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2022版高考数学大一轮复习课时作业49《直线的交点与距离公式》(含答案详解)
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这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业49《直线的交点与距离公式》(含答案详解)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
过点(1,0)且与直线x－2y－2=0垂直的直线方程是( )
A.x－2y－1=0 B.x－2y＋1=0
C.2x＋y－2=0 D.x＋2y－1=0
当0A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
已知直线l1的方程为3x＋4y－7=0，直线l2的方程为6x＋8y＋1=0，则直线l1与l2的距离为( )
A.eq \f(8,5) B.eq \f(3,2) C.4 D.8
若点P在直线3x＋y－5=0上，且P到直线x－y－1=0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2，－1) D.(2,1)或(－1,2)
若直线l1：y=k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点( )
A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2)
已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A.(－2,4) B.(－2，－4) C.(2,4) D.(2，－4)
已知b>0，直线x－b2y－1=0与直线(b2＋1)x＋ay＋2=0互相垂直，则ab最小值等于( )
A.1 B.2 C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)=0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为( )
A.2eq \r(3) B.eq \r(10) C.eq \r(14) D.2eq \r(15)
二、填空题
直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为 .
与直线l1：3x＋2y－6=0和直线l2：6x＋4y－3=0等距离的直线方程是 .
已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3=0反射，反射光线经过点N(2,6)，
则反射光线所在直线的方程为 .
设m∈R，过定点A的动直线x＋my=0和过定点B的动直线mx－y－m＋3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是 .
已知x，y为实数，则代数式 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 .
三、解答题
已知两条直线l1：ax－by＋4=0和l2：(a－1)x＋y＋b=0，求满足下列条件的a，b的值.
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)=0与点P(－2,2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
\s 0 答案详解
答案为：C.
解析：因为直线x－2y－2=0的斜率为eq \f(1,2)，所以所求直线的斜率k=－2.
所以所求直线的方程为y－0=－2(x－1)，即2x＋y－2=0.
答案为：B.
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))且0因为00，故两直线的交点在第二象限.
答案为：B.
解析：因为直线l1的方程为3x＋4y－7=0，直线l2的方程为6x＋8y＋1=0，
即3x＋4y＋eq \f(1,2)=0，所以直线l1与l2的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))=eq \f(3,2).
答案为：C.
解析：设P(x,5－3x)，则d=eq \f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))=eq \r(2)，化简得|4x－6|=2，即4x－6=±2，
解得x=1或x=2，故P(1,2)或(2，－1).
答案为：B.
解析：由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.
答案为：C.
解析：设A(－4,2)关于直线y=2x的对称点为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))
∴BC所在直线方程为y－1=eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10=0.
同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(－1,3)，
∴AC所在直线方程为y－2=eq \f(3－2,－1－－4)(x＋4)，即x－3y＋10=0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,x－3y＋10＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4).故选C.
答案为：B.
解析：因为直线x－b2y－1=0与直线(b2＋1)x＋ay＋2=0互相垂直，所以(b2＋1)－b2a=0，
即a=eq \f(b2＋1,b2)，所以ab=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2＋1,b2)))b=eq \f(b2＋1,b)=b＋eq \f(1,b)≥2(当且仅当b=1时取等号)，
即ab的最小值等于2.
答案为：B.
解析：由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)=0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)=0，
此方程是过直线x＋y－2=0和3x＋2y－5=0交点的直线系方程.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))
可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，
如图所示，可知d=|PH|≤|PQ|=eq \r(10)，即d的最大值为eq \r(10).
答案为：(0,3).
解析：因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k=2，又直线l2过点(－1,1)，
所以直线l2的方程为y－1=2(x＋1)，整理得y=2x＋3，令x=0，得y=3，
所以P点坐标为(0,3).
答案为：12x＋8y－15=0.
解析：l2：6x＋4y－3=0化为3x＋2y－eq \f(3,2)=0，所以l1与l2平行，
设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c=0，则|c＋6|=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(3,2)))，
解得c=－eq \f(15,4)，所以l的方程为12x＋8y－15=0.
答案为：6x－y－6=0.
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3=0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a=1，b=0.
又反射光线经过点N(2,6)，∴NM′的斜率为eq \f(6－0,2－1)=6，
∴反射光线所在直线的方程是y=6x－6.
答案为：5.
解析：易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，
∴|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)=eq \f(|AB|2,2)=eq \f(10,2)=5.当且仅当|PA|=|PB|时，等号成立.
答案为：eq \r(41).
解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P(0，y)，A(1,2)，Q(x,0)，B(3,3)，
则eq \r(1＋y－22)＋eq \r(9＋3－x2)＋eq \r(x2＋y2)=|PA|＋|BQ|＋|PQ|.
分别作点A关于y轴的对称点A′(－1,2)，点B关于x轴的对称点B′(3，－3)，
则eq \r(1＋y－22)＋eq \r(9＋3－x2)＋eq \r(x2＋y2)≥|A′B′|=eq \r(41)，
当且仅当P，Q为A′B′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为eq \r(41).
解：(1)由已知可得l2的斜率存在，
∴k2=1－a.若k2=0，则1－a=0，a=1.
∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，
∴b=0.
又∵l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋4=0，即a=eq \f(4,3)(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在.
∵k2=1－a，k1=eq \f(a,b)，l1⊥l2，∴k1k2=－1，即eq \f(a,b)(1－a)=－1. ①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4=0. ②
由①②联立，解得a=2，b=2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，k1=k2，即eq \f(a,b)=1－a. ③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)=b. ④
联立③④，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))
∴a=2，b=－2或a=eq \f(2,3)，b=2.
解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，
对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)=0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明：过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，
当且仅当Q与M重合时，
|PQ|=|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2=x－2，即x－y－4=0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4=0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|=4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立.
一、选择题
过点(1,0)且与直线x－2y－2=0垂直的直线方程是( )
A.x－2y－1=0 B.x－2y＋1=0
C.2x＋y－2=0 D.x＋2y－1=0
当0
已知直线l1的方程为3x＋4y－7=0，直线l2的方程为6x＋8y＋1=0，则直线l1与l2的距离为( )
A.eq \f(8,5) B.eq \f(3,2) C.4 D.8
若点P在直线3x＋y－5=0上，且P到直线x－y－1=0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2，－1) D.(2,1)或(－1,2)
若直线l1：y=k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点( )
A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2)
已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A.(－2,4) B.(－2，－4) C.(2,4) D.(2，－4)
已知b>0，直线x－b2y－1=0与直线(b2＋1)x＋ay＋2=0互相垂直，则ab最小值等于( )
A.1 B.2 C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)=0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为( )
A.2eq \r(3) B.eq \r(10) C.eq \r(14) D.2eq \r(15)
二、填空题
直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为 .
与直线l1：3x＋2y－6=0和直线l2：6x＋4y－3=0等距离的直线方程是 .
已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3=0反射，反射光线经过点N(2,6)，
则反射光线所在直线的方程为 .
设m∈R，过定点A的动直线x＋my=0和过定点B的动直线mx－y－m＋3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是 .
已知x，y为实数，则代数式 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 .
三、解答题
已知两条直线l1：ax－by＋4=0和l2：(a－1)x＋y＋b=0，求满足下列条件的a，b的值.
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)=0与点P(－2,2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
\s 0 答案详解
答案为：C.
解析：因为直线x－2y－2=0的斜率为eq \f(1,2)，所以所求直线的斜率k=－2.
所以所求直线的方程为y－0=－2(x－1)，即2x＋y－2=0.
答案为：B.
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))且0
答案为：B.
解析：因为直线l1的方程为3x＋4y－7=0，直线l2的方程为6x＋8y＋1=0，
即3x＋4y＋eq \f(1,2)=0，所以直线l1与l2的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))=eq \f(3,2).
答案为：C.
解析：设P(x,5－3x)，则d=eq \f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))=eq \r(2)，化简得|4x－6|=2，即4x－6=±2，
解得x=1或x=2，故P(1,2)或(2，－1).
答案为：B.
解析：由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.
答案为：C.
解析：设A(－4,2)关于直线y=2x的对称点为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))
∴BC所在直线方程为y－1=eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10=0.
同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(－1,3)，
∴AC所在直线方程为y－2=eq \f(3－2,－1－－4)(x＋4)，即x－3y＋10=0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,x－3y＋10＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4).故选C.
答案为：B.
解析：因为直线x－b2y－1=0与直线(b2＋1)x＋ay＋2=0互相垂直，所以(b2＋1)－b2a=0，
即a=eq \f(b2＋1,b2)，所以ab=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2＋1,b2)))b=eq \f(b2＋1,b)=b＋eq \f(1,b)≥2(当且仅当b=1时取等号)，
即ab的最小值等于2.
答案为：B.
解析：由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)=0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)=0，
此方程是过直线x＋y－2=0和3x＋2y－5=0交点的直线系方程.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))
可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，
如图所示，可知d=|PH|≤|PQ|=eq \r(10)，即d的最大值为eq \r(10).
答案为：(0,3).
解析：因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k=2，又直线l2过点(－1,1)，
所以直线l2的方程为y－1=2(x＋1)，整理得y=2x＋3，令x=0，得y=3，
所以P点坐标为(0,3).
答案为：12x＋8y－15=0.
解析：l2：6x＋4y－3=0化为3x＋2y－eq \f(3,2)=0，所以l1与l2平行，
设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c=0，则|c＋6|=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(3,2)))，
解得c=－eq \f(15,4)，所以l的方程为12x＋8y－15=0.
答案为：6x－y－6=0.
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3=0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a=1，b=0.
又反射光线经过点N(2,6)，∴NM′的斜率为eq \f(6－0,2－1)=6，
∴反射光线所在直线的方程是y=6x－6.
答案为：5.
解析：易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，
∴|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)=eq \f(|AB|2,2)=eq \f(10,2)=5.当且仅当|PA|=|PB|时，等号成立.
答案为：eq \r(41).
解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P(0，y)，A(1,2)，Q(x,0)，B(3,3)，
则eq \r(1＋y－22)＋eq \r(9＋3－x2)＋eq \r(x2＋y2)=|PA|＋|BQ|＋|PQ|.
分别作点A关于y轴的对称点A′(－1,2)，点B关于x轴的对称点B′(3，－3)，
则eq \r(1＋y－22)＋eq \r(9＋3－x2)＋eq \r(x2＋y2)≥|A′B′|=eq \r(41)，
当且仅当P，Q为A′B′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为eq \r(41).
解：(1)由已知可得l2的斜率存在，
∴k2=1－a.若k2=0，则1－a=0，a=1.
∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，
∴b=0.
又∵l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋4=0，即a=eq \f(4,3)(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在.
∵k2=1－a，k1=eq \f(a,b)，l1⊥l2，∴k1k2=－1，即eq \f(a,b)(1－a)=－1. ①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4=0. ②
由①②联立，解得a=2，b=2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，k1=k2，即eq \f(a,b)=1－a. ③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)=b. ④
联立③④，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))
∴a=2，b=－2或a=eq \f(2,3)，b=2.
解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，
对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)=0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明：过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，
当且仅当Q与M重合时，
|PQ|=|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2=x－2，即x－y－4=0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4=0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|=4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立.
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