高三数学一轮复习： 第6章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式

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2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．
3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．
[导学心语]
1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．
2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒aca>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(6)开方法则：a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n≥2，n∈N)；(单向性)
(7)倒数性质：设ab>0，则aeq \f(1,b).(双向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
4.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( )
(2)a>b>0，c>d>0⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c).( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒eq \r(3,a)>eq \r(3,b)；
④a>b>0⇒eq \f(1,a2)>eq \f(1,b2).
A．①② B.②③
C．①④ D.①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以eq \f(1,a2)3．(2016·吉林长春二模)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>b2 B.eq \f(a,b)>1
C．2a>2b D.lg(a－b)>0
C [取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D.故选C.]
4．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________________．(用区间表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]
5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________.
【导学号：01772195】
[0,1) [①当m＝0时，1>0显然成立；
②当m≠0时，由条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝4m2－4m<0，))得0由①②知0≤m<1.]
(1)(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.eq \f(1,x)－eq \f(1,y)>0 B.sin x－sin y>0
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))y<0 D.ln x＋ln y>0
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
(1)C [函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xy>0⇒eq \f(1,x)y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故D错误．]
(2)由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
f(－2)＝4a－2b.3分
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3，))8分
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1).10分
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，
即f(－2)的取值范围为[5,10].12分
[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
3．由a[变式训练1] (1)(2016·河南六市2月模拟)若eq \f(1,a)A．a2C．a＋b<0 D.|a|＋|b|>|a＋b|
(2)已知“－1(1)D [由题可知b(2)设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)，))3分
即3x＋2y＝eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x－y)，
又－1∴－eq \f(5,2)∴－eq \f(3,2)即－eq \f(3,2)<3x＋2y故3x＋2y的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(23,2))).12分
解下列不等式：
(1)3＋2x－x2≥0；
(2)x2－(a＋1)x＋a<0.
[解] (1)原不等式化为x2－2x－3≤0，
即(x－3)(x＋1)≤0，
故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}.6分
(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，
当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为(a,1).12分
[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
[解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，
解得x1.3分
若a>0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.
①当a＝1时，eq \f(1,a)＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0无解；
②当a>1时，eq \f(1,a)<1，解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0得eq \f(1,a)③当01，解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0得1综上所述：当a<0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)或x>1))))；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤：
(1)使一端为0且把二次项系数化为正数．
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法．
(3)写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[变式训练2] (2016·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,))－\f(1,2)A．{x|2C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,))\f(1,3)\f(1,2)))
B [∵不等式ax2－bx－1>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,))－\f(1,2)∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－eq \f(1,2)和x2＝－eq \f(1,3)，且a<0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,3)＝\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－\f(1,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－6，,b＝5.))
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
☞角度1 形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
(2016·甘肃白银会宁一中月考)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________.
【导学号：01772196】
(－2,2] [当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,Δ＝4a－22＋16a－2<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<2，,－2综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．]
☞角度2 形如f(x)≥0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈[a，b]))求参数的范围
设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解] 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立.3分
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述：m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<\f(6,7))))).12分
法二：因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m所以m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<\f(6,7))))).12分
☞角度3 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围
对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．
{x|x<1或x>3} [x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，
即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，
在k∈[－1,1]时恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6>0，,x2－3x＋2>0，))
解得x<1或x>3.]
[规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
[思想与方法]
1．倒数性质，若ab>0，则a>b⇔eq \f(1,a)2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．
4．不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c<0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形．
6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
[易错与防范]
1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．
2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．
3．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
4．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
5．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
6．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
不等关系与不等式
全国卷Ⅰ·T8
不等式的证明
全国卷Ⅰ·T21
全国卷Ⅱ·T21
全国卷Ⅲ·T21
全国卷Ⅰ·T21
全国卷Ⅱ·T17
基本不等式
全国卷Ⅰ·T24
全国卷Ⅱ·T24
全国卷Ⅱ·T17
一元二次不等式及其解法
全国卷Ⅰ·T1
全国卷Ⅲ·T1
全国卷Ⅰ·T1
全国卷Ⅱ·T1
全国卷Ⅱ·T1
简单线性规划
全国卷Ⅰ·T16
全国卷Ⅲ·T13
全国卷Ⅰ·T15
全国卷Ⅱ·T14
全国卷Ⅰ·T9
全国卷Ⅱ·T9
全国卷Ⅱ·T9
全国卷·T14
合情推理与演绎推理
全国卷Ⅰ·T14
全国卷Ⅰ·T12
直接证明与间接证明
全国卷Ⅰ·T18
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T19
全国卷Ⅱ·T21
全国卷Ⅲ·T17
全国卷Ⅲ·T19
全国卷Ⅲ·T21
全国卷Ⅰ·T18
全国卷Ⅱ·T20
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅰ·T18
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅱ·T21
全国卷·T19
数学归纳法
不等式的性质及应用
一元二次不等式的解法
一元二次不等式恒成立问题