高考数学一轮复习检测：第6章第1节 不等式的性质及一元二次不等式 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1.(2018·运城模拟)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A．ac＞bd　　　　　　　 B．ac＜bd

C．ad＜bc  D．ad＞bc

解析：选B.根据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，两式相乘有－ac＞－bd，ac＜bd.

2.(2018·安徽淮北一中模拟)若(x－1)(x－2)＜2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是(　　)

A．(0，3)  B．[－4，－3)

C．[－4，0)  D．(－3，4]

解析：选C.由(x－1)(x－2)＜2解得0＜x＜3，令f(x)＝(x＋1)·(x－3)＝x2－2x－3(0＜x＜3)，则f(x)图象的对称轴是直线x＝1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，f(x)在x＝1处取得最小值－4，在x＝3处取得最大值0，故(x＋1)(x－3)的取值范围为[－4，0)．

3.(2018·福建连城检测)已知a1＞a2＞a3＞0，则使得(1－aix)2＜1(i＝1，2，3)成立的x的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B.由(1－aix)2＜1，得ax2－2aix＜0，得ax＜0，其解集为，又＜＜，所以使得(1－aix)2＜1(i＝1，2，3)成立的x的取值范围是，故选B.

4.(2018·桂林二模)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜成立，如果a＜0，则b＜0，b＞成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜或b＞”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜或b＞”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分不必要条件．

5.(2018·聊城三模)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是(　　)

A．13  B．18

C．21  D．26

解析：选C.设f(x)＝x2－6x＋a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5＜a≤8，又a∈Z，所以a＝6，7，8，所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.选C.

6.(2018·深圳中学模拟)已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是(　　)

A．ac＞bc  B．ac＞bc

C．loga(a－c)＞logb(b－c)  D．＞

解析：选D.因为c＜0，a＞b，所以ac＜bc，故A错误；当c＜0时，幂函数y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，所以ac＜bc，故B错误；若a＝4，b＝2，c＝－4，则loga(a－c)＝log48＜2＜logb(b－c)＝log26，故C错误；－＝＝＞0，所以＞成立，故D正确．选D.

7.(2018·成都二诊)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(0，＋∞)  B．[－1，＋∞)

C．[－1，1]  D．[0，＋∞)

解析：选B.解法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，

当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，

又－≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．

解法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；

当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.

综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．

8.(2018·潍坊模拟)在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：由题意得不等式(x＋m)(2－x)＜1，

即x2＋(m－2)x＋(1－2m)＞0对任意x∈R恒成立，

因此Δ＝(m－2)2－4(1－2m)＜0，

即m2＋4m＜0，解得－4＜m＜0.

答案：(－4，0)

9.(2018·扬州模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值为________．

解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x%)，八月份销售额为500×(1＋x%)2，一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，可列出不等式为4 360＋1 000[(1＋x%)＋(1＋x%)2]≥7 000.

令1＋x%＝t，则t2＋t－≥0，

即≥0.又∵t＋≥0，

∴t≥，∴1＋x%≥，

∴x%≥0.2，∴x≥20.故x的最小值是20.

答案：20

10.已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.

(1)若关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，求实数 a，b的值；

(2)若b＝2，a≥0，解关于x的不等式f(x)＞0.

解：(1)∵不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，

∴－1，3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根，

∴可得解得

(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，

①当a＝0时，f(x)＞0，即2x＋2＞0，∴x＞－1

②a＞0，∴(x＋1)(ax－a＋2)＞0⇔(x＋1)＞0，

(ⅰ)当－1＝，即a＝1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；

(ⅱ)当－1＞，即0＜a＜1时，解集为{x|x＜或x＞－1}；

(ⅲ)当－1＜，即a＞1时，

解集为.

B级　能力提升练

11.(2018·北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y＞4，x－ay≤2}，则(　　)

A．对任意实数a，(2，1)∈A

B．对任意实数a，(2，1)∉A

C．当且仅当a＜0时，(2，1)∉A

D．当且仅当a≤时，(2，1)∉A

解析：选D.若点(2，1)∈A，则不等式x－y≥1显然成立．且满足解得a＞.即点(2，1)∈A⇒a＞，其等价命题为a≤⇒点(2，1)∉A成立．

12.(2017·山东卷)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)

A．a＋＜＜log2(a＋b)

B.＜log2(a＋b)＜a＋

C．a＋＜log2(a＋b)＜

D．log2(a＋b)＜a＋＜

解析：选B.(特值法)，∵a＞b＞0，ab＝1，∴令a＝3，

b＝，则a＋＝6，log2(a＋b)＝log2＜2，

＝＝，即a＋＞log2(a＋b)＞，故选B.

13.(2018·南昌模拟)若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围是________．

解析：解法一：∵x2＋ax－2＞0在x∈[1，5]上有解，令f(x)＝x2＋ax－2，

∴f(0)＝－2＜0，f(x)的图象开口向上，

∴只需f(5)＞0，即25＋5a－2＞0，解得a＞－.

解法二：由x2＋ax－2＞0在x∈[1，5]上有解，

可得a＞＝－x在x∈[1，5]上有解．

又f(x)＝－x在x∈[1，5]上是减函数，

∴＝－，只需a＞－.

答案：

14.(2018·银川质检)已知函数f(x)＝的定义域为R.

(1)求a的取值范围；

(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.

解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，

当a＝0时，1≥0恒成立．

当a≠0时，则有

解得0＜a≤1，

综上可知，a的取值范围是[0，1]．

(2)因为f(x)＝ ＝ ，

a＞0，所以当x＝－1时，f(x)min＝，由题意得，＝，所以a＝，所以不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.解得－＜x＜，

所以不等式的解集为.

15.(2018·汕头模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．

(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；

(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．

解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)．当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，

即a(x＋1)(x－2)＞0.

当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；

当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．

(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，

∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，

∴x－m＜0，1－an＋ax＞0.

∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.

C级　素养加强练

16.已知函数f(x)＝若不等式|f(x)|－mx＋2≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．

解析：由f(x)＝知|f(x)|＝不等式|f(x)|－mx＋2≥0恒成立，即|f(x)|≥mx－2恒成立．令g(x)＝|f(x)|，h(x)＝mx－2，则原不等式恒成立等价于y＝h(x)的图象不在y＝g(x)图象的上方．

h(x)＝mx－2是过定点(0，－2)的直线系．

如图，l1与x轴平行，l2与曲线y＝x2－3x(x≤0)相切，易知直线l1的斜率k1＝0，设直线l2的斜率为k2，联立方程，得⇒x2－3x－k2x＋2＝0，即x2－(3＋k2)x＋2＝0，则Δ＝(3＋k2)2－4×2＝0，故k2＝－2－3，(2－3舍去)，

结合图象易知m的取值范围为[－3－2，0]．

答案：[－3－2，0]