人教版新课标A第三章 概率综合与测试巩固练习

第三章检测(B)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.给出下面三个结论:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的个数为(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

解析:随机事件发生的概率是表示事件发生的可能性,是频率的估计值.故①②③都错误.

答案:A

2.某城市一年的空气质量状况如下表所示:

其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50<T≤100时,空气质量为良;当100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到良或优的概率为              (　　)

A. B.

C. D.

解析:空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为.

答案:C

3.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是(　　)

A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件

B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件

C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件

D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件

解析:由于A,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是一个必然事件,故其事件的关系可如图所示,任何一个事件与其余三个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.

答案:D

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中随机取点,则点落在四棱锥O-ABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是              (　　)

A. B.

C. D.

解析:设正方体的体积为V,则四棱锥O-ABCD的体积为,所求概率为.

答案:B

5.从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是(　　)

A. B.

C. D.

解析:符合要求的是⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}共8个,而集合{a,b,c,d,e}共有子集25=32(个),故所求的概率P=.

答案:C

6.如图,大正方形靶盘的边长为,四个全等的直角三角形围成一个小正方形,即阴影区域.较短的直角边长为2,现向大正方形靶盘投掷飞镖,则飞镖落在阴影区域的概率为(　　)

A. B.

C. D.

解析:根据题意,题图中四个全等的直角三角形的直角边长分别是3和2,则阴影区域的正方形的边长为1,面积为1;大正方形的边长为,面积为13,故飞镖落在阴影区域的概率为.

答案:C

7.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(　　)

A. B.

C. D.

解析:所有的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共有15个,b>a包含的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是.

答案:D

8.已知函数f(x)=ax2-bx-1,其中a∈(0,2],b∈(0,2],在其范围内任取实数a,b,则函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数的概率为(　　)

A. B.

C. D.

解析:∵a>0,∴由函数f(x)=ax2-bx-1在[1,+∞)上为增函数,得≤1,b≤2a.如图,b≤2a表示的区域为阴影部分,

∴所求概率为.

答案:D

9.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是(　　)

A. B.

C. D.

解析:从中随机取出2个小球的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共有10个,取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的结果有(1,3),(2,4),(3,5),(1,5),共有4个,所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是.

答案:C

10.某研究机构在对线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如下数据:

由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x+,则在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为(　　　)

A. B.

C. D.

解析:∵=8,=3.4,∴3.4=0.65×8+,解得=-1.8,则=0.65x-1.8,故5个点中落在回归直线下方的有(6,2),(8,3),共2个,故所求概率为P=,故选A.

答案:A

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11.在区间[0,6]上随机取一个数x,则x∈[0,2]的概率为　　　　　. 

答案:

12.如图,为了测算阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷 800个点.已知恰有300个点落在阴影部分,据此,可估计阴影部分的面积是　　　　. 

解析:设阴影部分的面积为S,向正方形内随机投掷1个点,落在阴影部分的概率的估计值是,则,又正方形的面积是36,则S=×36=13.5.

答案:13.5

13.甲、乙两支篮球队进行一局比赛,甲获胜的概率为0.6,若采用三局两胜制举行一次比赛,现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率.

先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜;6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数.

034　743　738　636　964　736　614　698　637　162

332　616　804　560　111　410　959　774　246　762

428　114　572　042　533　237　322　707　360　751

据此估计乙获胜的概率为　　　　　. 

解析:由题意知,相当于做了30次试验.表示乙获胜的有738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个.所以估计乙获胜的概率为.

答案:

14.在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数,若把这两个数按照取的先后顺序组成一个两位数,则“个位数与十位数不相同”的概率是　　　　　. 

解析:根据题意,在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数,基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)9种情况;按照取的先后顺序组成一个两位数后,其中个位数与十位数相同的有3种,即(1,1),(2,2),(3,3),则“个位数与十位数不相同”的有9-3=6(种),则其概率为.

答案:

15.把形状、质量、颜色等完全相同,标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入一个不透明的袋子中,从中任意抽取一个小球,记下号码为x,把第一次抽取的小球放回去之后再从中抽取一个小球,记下号码为y,设“xy=6”为事件A,则P(A)=　　　　　. 

解析:由题意易知,基本事件有36个.

满足xy=6的有(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),共4个,故P(A)=.

答案:

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)由经验得知,在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时,等候付款的人数及概率如下表:

求:(1)5人及以上排队等候付款的概率是多少?

(2)至多有1人排队等候付款的概率是多少?

解:(1)设“5人及以上排队等候付款”为事件A,

由于所有概率的和为1,则P(A)=1-(0.1+0.16+0.3+0.3+0.1)=0.04,即5人及以上排队等候付款的概率是0.04.

(2)设“至多有1人排队”为事件C,“没有人排队”为事件D,“恰有1人排队”为事件E,则事件D与E互斥,C=D+E,P(D)=0.1,P(E)=0.16,所以P(C)=P(D)+P(E)=0.1+0.16=0.26,即至多有1人排队等候付款的概率是0.26.

17.(8分)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.

把这6名学生的得分看成一个总体.

(1)求该总体的平均数;

(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本,求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解:(1)总体平均数为(5+6+7+8+9+10)=7.5.

(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.

从总体中抽取2个个体的全部可能结果有(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共有15个.

事件A包括的基本结果有(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有7个基本结果.

所以所求的概率为P(A)=.

18.(9分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).

(1)求x,y;

(2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率.

解:(1)由题意可得,,所以x=1,y=3.

(2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的3人为c1,c2,c3,则从高校B,C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10种.

设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共3种.

因此P(X)=.

故选中的2人都来自高校C的概率为.

19.(10分)甲、乙两人相约于下午1:00~2:00之间到某车站乘公共汽车外出,他们到达车站的时间是随机的.设在下午1:00~2:00之间该车站有四班公共汽车开出,开车时间分别是1:15,1:30,1:45,2:00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率:

(1)约定见车就乘;

(2)约定最多等一班车.

解:设甲、乙到站的时间分别是x,y,则1≤x≤2,1≤y≤2.

试验区域D为点(x,y)所形成的正方形,以16个小方格表示,示意图如图a所示.

(1)如图b,约定见车就乘的事件所表示的区域如图b中4个加阴影的小方格所示,于是所求的概率为.

(2)如图c,约定最多等一班车的事件所示的区域如图c中的10个加阴影的小方格所示,于是所求的概率为.

20.(10分)某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:

(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;

(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.

解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.

由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.

选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.

因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=.

(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.

由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.

选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.

因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=.