（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷 数学（3）

（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷

数 学（三）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则z的虚部是（    ）

A． B．1 C． D．i

3．“”是“函数在上为增函数”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

4．函数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

5．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（    ）（参考数据）

A．120个月 B．64个月 C．52个月 D．48个月

6．如图，是的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，

则的最小值为（    ）

A．12 B．10 C．8 D．9

8．，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．是数列中的最大值 D．数列无最大值

10．在中，如下判断正确的是（    ）

A．若，则为等腰三角形

B．若，则

C．若为锐角三角形，则

D．若，则

11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有2条

12．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（    ）

A．0 B． C． D．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．给出下列说法：

①回归直线恒过样本点的中心；

②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；

③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；

④在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少个单位．

其中说法正确的是__________．

14．若，则被4除得的余数为__________．

15．有以下四个条件：

①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；

②是偶函数；

③在上不是单调函数；

④恰有两个零点．

若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式_____________．

16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，

则称函数具有性质，给出下列四个结论：

①函数不具有性质；

②函数具有性质；

③若函数，具有性质，则；

④若函数具有性质，则．

其中，正确结论的序号是________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，；②，，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．

已知数列为等差数列，数列为等比数列，数列前项和为，数列前项和为，，，______．

（1）求，的通项公式；

（2）求数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（12分）的内角，，的对边分别是，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积．(从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)

19．（12分）在年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了年前个月份企业的利润，如下表所示：

（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润（万元）关于月份的回归直线方程，并预测年月份该企业所获得的利润；

（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为元，第四个环节中产品合格的概率为，不合格产品需要的修复费用为元，设每件产品修复的费用为元，写出的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．

参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，为样本数据的平均值．

20．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．

（1）设平面平面，证明：；

（2）若二面角的余弦值为，求长．

21．（12分）已知函数，其中实数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

22．（12分）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线与椭圆在第一象限交于M点，O为坐标原点，三角形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若的三个顶点A，B，C都在椭圆上，且O为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由．

（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷

数 学（三）答 案

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】依题意，，所以，

因为，故，故选B．

2．【答案】A

【解析】设，

因为，可得，

则，可得，所以复数的虚部是，故选A．

3．【答案】A

【解析】由可得，

若在上为增函数，则在恒成立，

即在恒成立，则，

，

则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件，故选A．

4．【答案】C

【解析】

，

因为，所以当时等号成立，

所以函数的最大值是，故选C．

5．【答案】C

【解析】依题设有，解得，，

故．

令，得，

故，故选C．

6．【答案】D

【解析】连接、、，如图．

由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，

，则、均为等边三角形，，

，，同理可知，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

故选D．

7．【答案】D

【解析】由于函数，且）向右平移两个单位得，且），

即为函数，且），所以定点，

由于点在椭圆，所以，且，，

所以，

当且仅当，即，时取等号，故选D．

8．【答案】B

【解析】和分别站在的两边，则只能在中间3个位置，分类说明：

（1）若站在左2位置，从，选一个排在左侧，剩余的3个人排在右侧，

故有种排法；

（2）若站在3位置，从，选一个，从，选一个排在左侧，并排列，剩余的2个人排在右侧，

故有种排法；

（3）若站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法；

所以和分别站在的两边的排法总共有种排法；

，，，，五个人站成一排有种排法，

故和分别站在的两边的概率，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】AB

【解析】当时，，不成立；

当时，，，不成立；

故，且，，故，A正确；

，故B正确；

是数列中的最大值，C、D错误，

故选AB．

10．【答案】BCD

【解析】选项A．在中，若，则或，

所以或，所以为等腰或直角三角形，故A不正确；

选项B．在中，若，则，

由正弦定理可得，即，故B正确；

选项C．若为锐角三角形，则，

所以，所以，故C正确；

选项D．在中，若，由正弦定理可得，

即，所以，故D正确，

故选BCD．

11．【答案】CD

【解析】令，由题意得，即得，∴A错误；

又，，即，故B错误，

由E的渐近线为，而圆心为，半径为1，

∴到距离为，

故的渐近线与圆相切，故C正确；

联立曲线E与直线的方程，整理得，，

∴，，而，

代入整理，

即有或(由与无交点，舍去)，故，∴D正确，

故选CD．

12．【答案】BD

【解析】画出函数的图象：

函数有零点，即方程有根的问题．

对于A：当时，，

故，，故，，，，

故方程有4个不等实根；

对于B：当时，，故，，，

当时，由图象可知，有1个根，

当时，由图象可知，有2个根，

当时，由图象可知，有3个根，

故方程有6个不等实根；

对于C：当时，，

故，，，

当时，由图象可知，有2个根，

当时，由图象可知，有2个根，

当时，由图象可知，有3个根，

故方程有7个不等实根；

对于D：当时，，

故，，，

当时，由图象可知，有1个根，

当时，由图象可知，有2个根，

当时，由图象可知，有3个根，

故方程有6个不等实根，

故选BD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】①②④

【解析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确；

对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，

所以是正确的；

对于③中，根据平均数的计算公式可得，

根据方差的计算公式，所以是不正确的；

对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，所以是正确的，

故答案为①②④．

14．【答案】1

【解析】由题知，时，①，

时，②，

由①+②，得，

故

，

所以被4除得的余数是1，故答案为1．

15．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）

【解析】根据条件②④可得（答案不唯一），

根据函数同时满足条件①②③④，可得（答案不唯一）．

故答案为（答案不唯一），（答案不唯一）．

16．【答案】①③

【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质．

①函数，定义域是R，当时，显然不存在，使得，

故不具备性质，故①正确；

②是单调增函数，定义域是R，，

当且仅当时等号成立，即值域为．

对任意的，，要使得，则需，而不存在，

使，故不具备性质，故②错误；

③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为．

要使得其具有性质，则对任意的，，

总存在，，

即，即，即，

故，即，故，故③正确；

④若函数具有性质，定义域是R，使得，

一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而，

故或，在此条件下，

另一方面，的值域是值域的子集．

的值域为；的值域为，

要满足题意，只需，，

时，，即；

时，，即，

故，即，

即，即，故．故④错误，

故答案为①③．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1），；（2）．

【解析】选择①：

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，，，，

得，解得，

所以，．

（2）记；（1）

又，（2）

（1）（2），得，

所以，

所以，

所以．

选择②：

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．

由，，，，

得，解得，

所以，．

（2）记；（1）

又，（2）

（1）（2），得，

所以，

所以，

所以．

18．【答案】（1）；（2）选择①：；选择②：．

【解析】（1）因为，

所以，

即得，，则有，

又因为，所以．

（2）选择条件①为的平分线，

因为为的平分线，所以，

又因为，

所以，即，

又根据余弦定理得，即，

则有，即，解得或(舍)，

所以．

选择②为的中点，则，，，

则有，可得，

又根据余弦定理得，解得，

则．

19．【答案】（1），万元；（2）分布列见解析，修复的平均费用为元．

【解析】（1）由表格数据知，，

，

由回归直线经过样本点的中心可知：，，

则回归直线方程为，

预测年月份该企业所获得的利润为（万元）．

（2）根据题意知所有可能取值为，，，，，，，，

；；；；；；；，

的分布列为：

，

即每件产品需要修复的平均费用为元．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为，平面，平面，

所以平面，

又平面，平面平面，所以．

（2）因为，，所以，

又，，平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以平面平面，

过E作于点O，则O是的中点，

因为平面平面，平面，

所以平面，

以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，，，

设平面的法向量为，

则，即，取，则，

所以平面的一个法向量；

，，

设平面的法向量为，

则，即，取，则，

同理可求得平面的一个法向量为，

所以，解得或，

当时，，

二面角的平面角为钝角，舍去，

所以，此时，，

所以．

21．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），

当时，，故在上单调递减；

当时，令，解得．

即在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（2）当时，，则．

下证：当时，不等式在上恒成立即可．

当时，要证，即，

又因为，即只需证．

令，，

令，则，解得．

故在区间上单调递减，在区间上单调递增，

，，故．

因此存在，使得．

故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

，，故成立．

综上，的取值范围为．

22．【答案】（1）；（2）是定值，理由见解析．

【解析】（1）直线过左焦点F，则有，

所以且右焦点，

又，得，

代入直线方程有，所以．

∴为直角三角形且，

由椭圆定义，知，即，

∴椭圆的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

若，则，

∵O为的重心，可知，代入椭圆方程，得，，

即有，A到BC的距离为，

∴；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

设，，

由，得，显然，

∴，，

则，

∵O为的重心，可知，

由A在椭圆上，得，化简得，

∴，

由重心的性质知：A到直线的距离d等于O到直线距离的3倍，即，

∴，

综上得，的面积为定值．