（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷 数学（四）

（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷

数 学（四）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．关于命题，下列判断正确的是（    ）

A．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题

B．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题

C．命题“”的否定为“”

D．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”

4．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．函数的奇偶性为（    ）

A．奇函数  B．既是奇函数也是偶函数

C．偶函数  D．非奇非偶函数

6．已知点是所在平面内一点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

7．已知实数、满足约束条件，其中，若目标函数的最大值为，则（    ）

A． B．或 C．或 D．

8．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（    ）

A．630种 B．600种 C．540种 D．480种

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，

则下列说法中正确的是（    ）

A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有线性相关关系

10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（    ）

A．该截角四面体的表面积为

B．该截角四面体的体积为

C．该截角四面体的外接球表面积为

D．该截角四面体中，二面角的余弦值为

11．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，

则以下结论正确的有（    ）

A． B． C． D．

12．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与该抛物线的两个交点为，，则（    ）

A．

B．以为直径的圆与直线相切

C．的最小值

D．经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．二项式的展开式中，常数项为_________．

14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为________．

15．过圆外一点引直线与圆相交于，两点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于，则的值为_________．

16．设函数，，则函数的最大值为_______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是_________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，满足．

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

18．（12分）已知各项均为正数的等差数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）记b=，求数列的前n项和Sn．

19．（12分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率的频数分布表．

（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；

（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（3）以表中的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查．若采访的企业的增长率，则采访价值为1；采访的企业的增长率，则采访价值为2；采访的企业的增长率，则采访价值为3．设选取的两个企业的采访价值之和为，求的分布列及数学期望．

20．（12分）如图所示，四棱锥的底面为梯形，平面平面，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的余弦值为，求的长度．

21．（12分）已知圆与圆的公共点的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）设点为圆上任意点，且圆在点处的切线与交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）若直线是曲线的切线，求实数k的值；

（2）若对任意，不等式成立，求实数a的取值集合．

（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷

数 学（四）答 案

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】由，即，得，集合，

由，得，即，集合，

由数轴表示可得，故选D．

2．【答案】D

【解析】，，

因此，，故选D．

3．【答案】C

【解析】A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错；

B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错；

C选项，命题“”的否定为“”，故C正确；

D选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错，

故选C．

4．【答案】C

【解析】由题意，函数对任意的都有成立，

即函数为R上的减函数，

可得，解得，故选C．

5．【答案】D

【解析】由，即，得函数定义域为，

此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．

所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D．

6．【答案】D

【解析】由题意，，，而，

∴，

又，即，∴，故选D．

7．【答案】A

【解析】因为实数、满足约束条件，

所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，

其中，，，

因为目标函数的几何意义是可行域内的点与所连直线的斜率，

所以目标函数的最大值为，即，

整理得，解得或（舍去），

故选A．

8．【答案】C

【解析】把6名工作人员分成1，1，4三组，

再安排到三个村有种；

把6名工作人员分成2，2，2三组，再安排到三个村有种；

把6名工作人员分成1，2，3三组，

再安排到三个村有种，

所以共有种，故选C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】ABD

【解析】A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心，故正确；

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；

D．若变量y和x之间的相关系数为，的绝对值接近于1，则变量y和x之间具有线性相关关系，故正确，

故选ABD．

10．【答案】ABC

【解析】如图所示：

由正四面体中，

题中截角四面体由4个边长为的正三角形，4个边长为的正六边形构成，

故，A正确；

∵棱长为的正四面体的高，

∴，B正确；

设外接球的球心为O，的中心为，的中心为，

∵截角四面体上下底面距离为，

∴，∴，

∴，∴，

∴，∴，C正确；

易知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为负值，D错误，

故选ABC．

11．【答案】AD

【解析】数列是公比q为的等比数列；是首项为12，公差设为d的等差数列，

则，，∴，故A正确；

∵a1正负不确定，故B错误；

∵a10正负不确定，∴由，不能求得b10的符号，故C错误；

由且，则，，

可得等差数列一定是递减数列，即，即有，故D正确，

故选AD．

12．【答案】ABD

【解析】抛物线的焦点为，设直线的方程为，

联立，可得，所以，，

，，故A正确；

以为直径的圆的圆心为，即，

半径为，

所以圆心到直线的距离为，等于半径，

所以以为直径的圆与直线相切，即B正确；

当直线与轴平行时，，，

所以的最小值不是，故C错误；

直线的方程为，与的交点坐标为，

因为，所以经过点与轴垂直的直线与直线交点在定直线上，

故D正确，

故选ABD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】60

【解析】二项式的展开式通项为，

令，解得，

则常数项为，故答案为60．

14．【答案】

【解析】，当且仅当时等号成立，

故答案为．

15．【答案】

【解析】，

当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离，

设直线方程为，，则，

所以，再将代入，求得．

故答案为．

16．【答案】，

【解析】，，

由，可得，此时函数为增函数；

由，可得，此时函数为减函数，

的最大值为；

若对任意，，不等式恒成立，

则等价为恒成立，

，当且仅当，即时等号成立，

即的最小值为，且的最大值为，

则的最大值为，

则由，得，即，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得，

∴，

∴，

所以，∴，

∵，∴．

（2）∵，，

∴

（当且仅时取等号），

又，∴．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，得，

即，

又数列的各项均为正数，即，则，

∴的公差为，而，故．

（2）由（1）知，

∴．

19．【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，．

【解析】（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为．

（2）这120个企业产值增长率的平均数．

（3）依题意可得的概率为，

的概率为，

的概率为．

的所有可能取值为2，3，4，5，6，

；；

；；

，

则的分布列为

故．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】（1）由题意，在底面梯形中，

因为且，，可得，

又由，所以，所以，

又因为平面平面，平面平面，

且，平面，所以上平面，

又由平面，所以，

因为且平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面．

（2）由（1）知平面，

以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内垂直于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

设，所以，可得，，，

由（1）得平面，所以平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则，可得，令，可得，

则，解得，即．

21．【答案】（1）；（2）是，．

【解析】（1）设公共点为，则，，，

即公共点的轨迹为椭圆，且，∴，

又，∴，故曲线．

（2）方法一：

当直线斜率不存在时，，

代入得，故，易知；

当直线斜率存在，设，与圆相切，，

将方程代入，得，

∴，，

，

将代入，得，即，

综上，恒有，．

法二：

当直线斜率不存在时，，代入得，；

当直线斜率存在，设，

∵与圆相切，∴，即．

将方程代入，得，

∴，，

，

同理可得，

故，

将，，及代入，

可得．

综上．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，所以，

设切点为，此时切线方程为，

又直线过，所以，即，

令，则，且在上单调递增，

所以方程有唯一解，所以．

（2）不等式恒成立，即不等式恒成立．

方法1：令，则，

令，因为，所以，

所以有两个不等根，，，不妨设，

所以在上递减，在上递增，

所以．

由，得，所以，

所以，

令，则，

所以在上递增，在上递减，

所以，

又，所以，所以，所以，

所以，实数a的取值集合为．

方法2：令，则，

所以是函数的极值点，所以，即，

此时，，，

所以在上递减，在上递增．

所以，符合题意，

所以，实数a的取值集合为．