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天津市和平区2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份天津市和平区2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了计算，下列二次根式的运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年天津市和平区八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
2．计算：+＝（ ）
A．8 B． C．8a D．15
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．200m B．20m C．40m D．50m
7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．20 B．25 C．20 D．1530
8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（ ）
A． B． C．7 D．29
9．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A．＝﹣5 B． C． D．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于（ ）
A．13 B． C． D．5
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
二．填空题（共6小题）
13．直角三角形的两个直角边分别为3和5，这个直角三角形的斜边长为 ．
14．计算（﹣2）×（+2）的结果是 ．
15．依次连接矩形中点得到的四边形一定是 ．
16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 ．
17．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 ．
18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
19．计算：（﹣）÷+．
20．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．
21．如图，BE是△ABC的中线，BD∥AC，且BD＝AC，连接AD、DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当∠ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．
22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．
（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长＝ ；
（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
2020-2021学年天津市和平区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3﹣x≥0
解得：x≤3．
故选：C．
2．计算：+＝（ ）
A．8 B． C．8a D．15
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3+5
＝8．
故选：A．
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
A、∵∠B＝∠BCF，
∴CF∥AB，即CF∥AD，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
B、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA＝2，则AC＝2OA＝4，又BD＝AC，故可求．
【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故选：A．
6．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．200m B．20m C．40m D．50m
【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
【解答】解：∵CB＝60m，AC＝20m，AC⊥AB，
∴AB＝＝40（m）．
故选：C．
7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．20 B．25 C．20 D．1530
【分析】先利用菱形的面积公式计算出BD＝8，然后根据菱形的性质和勾股定理可计算出菱形的边长＝10，从而得到菱形的周长．
【解答】解：∵菱形ABCD的面积是24，即×AC×BD＝24，
∴BD＝＝8，
∴菱形的边长＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20．
故选：A．
8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（ ）
A． B． C．7 D．29
【分析】利用勾股定理列式求出OB判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，
∴点C表示的无理数是．
故选：B．
9．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A．＝﹣5 B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝5，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项正确；
C、原式＝4，所以C选项错误；
D、原式＝10×3＝30，所以D选项错误．
故选：B．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于（ ）
A．13 B． C． D．5
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD，则在Rt△ACD中，由勾股定理可求得AC．
【解答】解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD＝＝＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝＝＝，
故选：B．
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∵MP＝AE＝2
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6，
∴S阴＝6+6＝12，
故选：B．
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【分析】先由勾股定理求出AB＝5，再证四边形CEMF是矩形，得EF＝CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM＝2.4，即可得出答案．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．直角三角形的两个直角边分别为3和5，这个直角三角形的斜边长为 ．
【分析】直接利用勾股定理计算即可．
【解答】解：∵直角三角形的两个直角边分别为3和5，
∴这个直角三角形的斜边长为＝．
故答案为．
14．计算（﹣2）×（+2）的结果是 ﹣1 ．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（）2﹣22
＝3﹣4
＝﹣1．
故答案为﹣1．
15．依次连接矩形中点得到的四边形一定是 菱形 ．
【分析】连接矩形对角线．利用矩形对角线相等、三角形中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，且EF＝FH＝HG＝EG；然后由四条边相等的平行四边形是菱形推知四边形EFGH是菱形．
【解答】解：如图E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点．连接AC、BD．
∵AC＝BD（矩形的对角线相等），EFAC，HGAC，
∴EF∥HG，且EF＝HG＝AC；
同理HE∥GF，且HE＝GF＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，且EF＝FH＝HG＝EG，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案是：菱形．
16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 6cm ．
【分析】由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AD＝12cm，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝6（cm）．
故答案是：6cm．
17．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 3 ．
【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD＝10﹣2﹣2＝6，
∴MN＝3，即G的移动路径长为3．
18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是 2 ．
【分析】利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出OM+ON的最小值．
【解答】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，
则四边形MNQP是平行四边形，
∴MN＝PQ＝2，PM＝NQ＝MO，
∴OM+ON＝QN+ON，
当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，
连接PO，交BC于E，
由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP，
又∵矩形ABCD中，OB＝OC，
∴E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝3，
∴OP＝2×3＝6，
又∵PQ∥MN，
∴PQ⊥OP，
∴Rt△OPQ中，OQ＝＝＝2，
∴OM+ON的最小值是2，
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
19．计算：（﹣）÷+．
【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+
＝2﹣+
＝．
20．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．
【分析】结合已知条件可知AC＝4，利用三角形面积推出S△ABC＝S△BCE+S△BDE，即可推出CE的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，
∴AC＝12，
根据将其三角形纸片ABC对折后点A落在BC的延长线上，则AB＝BD＝13，
∵S△ABC＝S△BCE+S△BDE，
∴×5×12＝BC×EC+EC×BD，
∴30＝×EC（5+13），
∴CE＝．
21．如图，BE是△ABC的中线，BD∥AC，且BD＝AC，连接AD、DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当∠ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．
【分析】（1）首先判定四边形DBCE是平行四边形，然后即可证得BC＝DE；
（2）首先证得四边形ADBE是平行四边形，然后利用对角线互相垂直的平行四边形是平行四边形判定菱形即可．
【解答】解：（1）证明：∵BE是△ABC的中线，
∴EC＝AC，
∵BD＝AC，
∴BD＝CE，
∵BD∥AC，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BC＝DE；
（2）四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE是△ABC的中线，
∴EA＝AC，
∵BD＝AC，
∴BD＝AE，
∵BD∥AC，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥DE，
∴四边形ADBE是菱形．
22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）分①BC＝BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC＝CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG＝BC＝3，然后求出DG＝2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE＝FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝＝＝2，
所以，四边形BDFC的面积＝3×2＝6；
②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG＝BC＝3，
所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，CG＝＝＝，
所以，四边形BDFC的面积＝3×＝3；
③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．
23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．
（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长＝ 4 ；
（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）由点B的坐标知OA＝8、AB＝6、OB＝10，根据折叠性质可得BA＝BA′＝6，据此可得答案；
（Ⅱ）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得∠A′BD＝∠ABD＝30°，据此知AD＝ABtan∠ABD＝2，继而可得答案；
（Ⅲ）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，
由题意知OA＝8、AB＝6，
∴OB＝10，
由折叠知，BA＝BA′＝6，
∴OA′＝4，
故答案为：4；
（Ⅱ）如图2，连接AA′，
∵点A′落在线段AB的中垂线上，
∴BA＝AA′，
∵△BDA′是由△BDA折叠得到的，
∴△BDA′≌△BDA，
∴∠A′BD＝∠ABD，A′B＝AB，
∴AB＝A′B＝AA′，
∴△BAA′是等边三角形，
∴∠A′BA＝60°，
∴∠A′BD＝∠ABD＝30°，
∴AD＝ABtan∠ABD＝6tan30°＝2，
∴OD＝OA﹣AD＝8﹣2，
∴点D（8﹣2，0）．
（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时，
由旋转知△BDA′≌△BDA，
∴BA＝BA′＝6，∠BAD＝∠BA′D＝90°，
∵点A′在线段OA的中垂线上，
∴BM＝AN＝OA＝4，
∴A′M＝＝＝2，
∴A′N＝MN﹣A′M＝AB﹣A′M＝6﹣2，
由∠BMA′＝∠A′ND＝∠BA′D＝90°知△BMA′∽△A′ND，
则＝，即＝，
解得：DN＝3﹣5，
则OD＝ON+DN＝4+3﹣5＝3﹣1，
∴D（3﹣1，0）；
②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N，
则BN＝CM，MN＝BC＝OA＝8，
由旋转知△BDA′≌△BDA，
∴BA＝BA′＝6，∠BAD＝∠BA′D＝90°，
∵点A′在线段OA的中垂线上，
∴A′M＝A′N＝MN＝4，
则MC＝BN＝＝2，
∴MO＝MC+OC＝2+6，
由∠EMA′＝∠A′NB＝∠BA′D＝90°知△EMA′∽△A′NB，
则＝，即＝，
解得：ME＝，
则OE＝MO﹣ME＝6+，
∵∠DOE＝∠A′ME＝90°、∠OED＝∠MEA′，
∴△DOE∽△A′ME，
∴＝，即＝，
解得：DO＝3+1，
则点D的坐标为（﹣3﹣1，0），
综上，点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．
2020-2021学年天津市和平区八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
2．计算：+＝（ ）
A．8 B． C．8a D．15
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．200m B．20m C．40m D．50m
7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．20 B．25 C．20 D．1530
8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（ ）
A． B． C．7 D．29
9．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A．＝﹣5 B． C． D．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于（ ）
A．13 B． C． D．5
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
二．填空题（共6小题）
13．直角三角形的两个直角边分别为3和5，这个直角三角形的斜边长为 ．
14．计算（﹣2）×（+2）的结果是 ．
15．依次连接矩形中点得到的四边形一定是 ．
16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 ．
17．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 ．
18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
19．计算：（﹣）÷+．
20．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．
21．如图，BE是△ABC的中线，BD∥AC，且BD＝AC，连接AD、DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当∠ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．
22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．
（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长＝ ；
（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
2020-2021学年天津市和平区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3﹣x≥0
解得：x≤3．
故选：C．
2．计算：+＝（ ）
A．8 B． C．8a D．15
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3+5
＝8．
故选：A．
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
A、∵∠B＝∠BCF，
∴CF∥AB，即CF∥AD，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
B、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA＝2，则AC＝2OA＝4，又BD＝AC，故可求．
【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故选：A．
6．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．200m B．20m C．40m D．50m
【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
【解答】解：∵CB＝60m，AC＝20m，AC⊥AB，
∴AB＝＝40（m）．
故选：C．
7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．20 B．25 C．20 D．1530
【分析】先利用菱形的面积公式计算出BD＝8，然后根据菱形的性质和勾股定理可计算出菱形的边长＝10，从而得到菱形的周长．
【解答】解：∵菱形ABCD的面积是24，即×AC×BD＝24，
∴BD＝＝8，
∴菱形的边长＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20．
故选：A．
8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（ ）
A． B． C．7 D．29
【分析】利用勾股定理列式求出OB判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，
∴点C表示的无理数是．
故选：B．
9．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A．＝﹣5 B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝5，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项正确；
C、原式＝4，所以C选项错误；
D、原式＝10×3＝30，所以D选项错误．
故选：B．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于（ ）
A．13 B． C． D．5
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD，则在Rt△ACD中，由勾股定理可求得AC．
【解答】解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD＝＝＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝＝＝，
故选：B．
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∵MP＝AE＝2
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6，
∴S阴＝6+6＝12，
故选：B．
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【分析】先由勾股定理求出AB＝5，再证四边形CEMF是矩形，得EF＝CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM＝2.4，即可得出答案．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．直角三角形的两个直角边分别为3和5，这个直角三角形的斜边长为 ．
【分析】直接利用勾股定理计算即可．
【解答】解：∵直角三角形的两个直角边分别为3和5，
∴这个直角三角形的斜边长为＝．
故答案为．
14．计算（﹣2）×（+2）的结果是 ﹣1 ．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（）2﹣22
＝3﹣4
＝﹣1．
故答案为﹣1．
15．依次连接矩形中点得到的四边形一定是 菱形 ．
【分析】连接矩形对角线．利用矩形对角线相等、三角形中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，且EF＝FH＝HG＝EG；然后由四条边相等的平行四边形是菱形推知四边形EFGH是菱形．
【解答】解：如图E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点．连接AC、BD．
∵AC＝BD（矩形的对角线相等），EFAC，HGAC，
∴EF∥HG，且EF＝HG＝AC；
同理HE∥GF，且HE＝GF＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，且EF＝FH＝HG＝EG，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案是：菱形．
16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 6cm ．
【分析】由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AD＝12cm，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝6（cm）．
故答案是：6cm．
17．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 3 ．
【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD＝10﹣2﹣2＝6，
∴MN＝3，即G的移动路径长为3．
18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是 2 ．
【分析】利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出OM+ON的最小值．
【解答】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，
则四边形MNQP是平行四边形，
∴MN＝PQ＝2，PM＝NQ＝MO，
∴OM+ON＝QN+ON，
当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，
连接PO，交BC于E，
由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP，
又∵矩形ABCD中，OB＝OC，
∴E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝3，
∴OP＝2×3＝6，
又∵PQ∥MN，
∴PQ⊥OP，
∴Rt△OPQ中，OQ＝＝＝2，
∴OM+ON的最小值是2，
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
19．计算：（﹣）÷+．
【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+
＝2﹣+
＝．
20．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．
【分析】结合已知条件可知AC＝4，利用三角形面积推出S△ABC＝S△BCE+S△BDE，即可推出CE的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，
∴AC＝12，
根据将其三角形纸片ABC对折后点A落在BC的延长线上，则AB＝BD＝13，
∵S△ABC＝S△BCE+S△BDE，
∴×5×12＝BC×EC+EC×BD，
∴30＝×EC（5+13），
∴CE＝．
21．如图，BE是△ABC的中线，BD∥AC，且BD＝AC，连接AD、DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当∠ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．
【分析】（1）首先判定四边形DBCE是平行四边形，然后即可证得BC＝DE；
（2）首先证得四边形ADBE是平行四边形，然后利用对角线互相垂直的平行四边形是平行四边形判定菱形即可．
【解答】解：（1）证明：∵BE是△ABC的中线，
∴EC＝AC，
∵BD＝AC，
∴BD＝CE，
∵BD∥AC，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BC＝DE；
（2）四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE是△ABC的中线，
∴EA＝AC，
∵BD＝AC，
∴BD＝AE，
∵BD∥AC，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥DE，
∴四边形ADBE是菱形．
22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）分①BC＝BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC＝CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG＝BC＝3，然后求出DG＝2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE＝FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝＝＝2，
所以，四边形BDFC的面积＝3×2＝6；
②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG＝BC＝3，
所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，CG＝＝＝，
所以，四边形BDFC的面积＝3×＝3；
③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．
23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．
（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长＝ 4 ；
（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）由点B的坐标知OA＝8、AB＝6、OB＝10，根据折叠性质可得BA＝BA′＝6，据此可得答案；
（Ⅱ）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得∠A′BD＝∠ABD＝30°，据此知AD＝ABtan∠ABD＝2，继而可得答案；
（Ⅲ）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，
由题意知OA＝8、AB＝6，
∴OB＝10，
由折叠知，BA＝BA′＝6，
∴OA′＝4，
故答案为：4；
（Ⅱ）如图2，连接AA′，
∵点A′落在线段AB的中垂线上，
∴BA＝AA′，
∵△BDA′是由△BDA折叠得到的，
∴△BDA′≌△BDA，
∴∠A′BD＝∠ABD，A′B＝AB，
∴AB＝A′B＝AA′，
∴△BAA′是等边三角形，
∴∠A′BA＝60°，
∴∠A′BD＝∠ABD＝30°，
∴AD＝ABtan∠ABD＝6tan30°＝2，
∴OD＝OA﹣AD＝8﹣2，
∴点D（8﹣2，0）．
（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时，
由旋转知△BDA′≌△BDA，
∴BA＝BA′＝6，∠BAD＝∠BA′D＝90°，
∵点A′在线段OA的中垂线上，
∴BM＝AN＝OA＝4，
∴A′M＝＝＝2，
∴A′N＝MN﹣A′M＝AB﹣A′M＝6﹣2，
由∠BMA′＝∠A′ND＝∠BA′D＝90°知△BMA′∽△A′ND，
则＝，即＝，
解得：DN＝3﹣5，
则OD＝ON+DN＝4+3﹣5＝3﹣1，
∴D（3﹣1，0）；
②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N，
则BN＝CM，MN＝BC＝OA＝8，
由旋转知△BDA′≌△BDA，
∴BA＝BA′＝6，∠BAD＝∠BA′D＝90°，
∵点A′在线段OA的中垂线上，
∴A′M＝A′N＝MN＝4，
则MC＝BN＝＝2，
∴MO＝MC+OC＝2+6，
由∠EMA′＝∠A′NB＝∠BA′D＝90°知△EMA′∽△A′NB，
则＝，即＝，
解得：ME＝，
则OE＝MO﹣ME＝6+，
∵∠DOE＝∠A′ME＝90°、∠OED＝∠MEA′，
∴△DOE∽△A′ME，
∴＝，即＝，
解得：DO＝3+1，
则点D的坐标为（﹣3﹣1，0），
综上，点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．
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