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物理选修3-1学案
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这是一份物理选修3-1学案，共62页。学案主要包含了重难点知识剖析，典型例题等内容，欢迎下载使用。
库仑定律、电场强度
重难点知识归纳及讲解
（一）电荷 库仑定律
1、电荷守恒定律和元电荷
自然界中只有两种电荷，正电荷和负电荷。电荷的多少叫做电荷量，正电荷的电荷量用正数表示，负电荷的电荷量用负数表示。同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。使物体带电的方法有：（1）摩擦起电；（2）接触带电；（3）感应起电。不管哪种方式使物体带电，都是由于电荷转移的结果。元电荷e=1.60×10－19C.
2、电荷守恒定律
电荷既不能创造，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变。这个结论叫做电荷守恒定律。
3、比荷：带电粒子的电荷量与粒子的的质量之比，叫做该粒子的比荷。
4、库仑定律
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
（1）公式
（2）k=9.0×109N·m2/c2
（3）适用于点电荷（注意：看作点电荷的前提是带电体间的距离远大于带电体的尺寸
5、由于物体带电是由于电荷的转移，可知，物体所带电荷量或者等于电荷量e，或者等于电荷量e的整数倍。电荷量e称为元电荷，e=1.60×10－19C，比荷C/kg.
6、点电荷：如果带电体的距离比它们自身的大小大得多，带电体的大小和形状忽略不计。这样的带电体可看作点电荷，它是一种理想化的物理模型。
（二）电场 电场强度
1、电场的基本性质：就是对放入其中的电荷有力的作用，这种力叫做电场力。
2、电场是一种特殊的物质形态。
3、电场强度
放入电场中某点的电荷受到的电场力F跟它的电荷量q的比值，叫做该点的电场强度，简称场强。
（1）公式
（2）单位V/m 1V/m=1N/C
（3）矢量性：规定正电荷在该点受电场力的方向为该点场强的方向。
4、点电荷电场的场强
5、电场的叠加原理：如果有几个点电荷同时存在，它们的电场就互相叠加，形成合电场。这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。这叫做电场的叠加原理。
6、电场强度：电场强度是反映电场“力的性质”的物理量，是定义式，而仅适用于点电荷产生的电场。电场强度由表达，但E与F和q无关，E由场源和位置决定。
7、匀强电场
(1)定义：电场中各点场强的大小相等、方向相同的电场就叫匀强电场.
(2)匀强电场的电场线：是一组疏密程度相同(等间距)的平行直线.例如，两等大、正对且带等量异种电荷的平行金属板间的电场中，除边缘附近外，就是匀强电场.如图所示。
8、电场线
在电场中画出一系列从正电荷或无穷远处出发到负电荷或无穷远处终止的曲线，曲线上每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致，此曲线叫电场线。
电场线的特点：
(1)电场线是起源于正电荷或无穷远处，终止于负电荷或无穷远处的有源线。
(2)电场线不闭合、不相交、不间断的曲线。
(3)电场线的疏密反映电场的强弱，电场线密的地方场强大，电场线稀的地方场强小。
(4)电场线不表示电荷在电场中的运动轨迹，也不是客观存在的曲线，而是人们为了形象直观的描述电场而假想的曲线。
常见电场的电场线
电场
电场线图样
简要描述
正点电荷
发散状
负点电荷
会聚状
等量同号电荷
相斥状
等量异号电荷
相吸状
匀强电场
平行的、等间距的、同向的直线
典型例题：
例1、有三个完全相同的金属小球A、B、C，其中A、B分别带＋14Q和－Q的电量，C不带电，A、B球心间的距离为r（远大于球的直径），相互吸引力为F。现让C球先接触A球后，再与B球接触，当把C球移开后，A、B两球的作用力的大小将变为__________F。
精析：
A、B可看成点电荷，，C球与A球接触后，由电荷守恒定律知：A、C两球各带＋7Q的电量；C球再与B球接触后，B、C两球各带＋3Q的电量，此时A、B两球间的相互作用为斥力.
答案：
例2、真空中的两个点电荷A、B相距20cm，A带正电QA=4.0×10－10C，已知A对B的吸引力F=5.4×10－8N，则B在A处产生的场强大小为______V/m，方向_________；A在B处产生的场强大小是______V/m，方向是_________.
精析：
A对B的作用力是A的电场对B的作用力，B对A的作用力是B的电场对A的作用力，由牛顿第三定律知FBA=5.4×10－8N，则，方向由A指向B，又由
，方向由B指向A.
例3、如图所示，真空中有两个点电荷Q1=Q2=3.0×10－8C，它们相距0.1m，求与它们的距离都为0.1m的A点的场强.
精析：
点电荷Q1和Q2在A点场强分别为E1和E2，合场强在E1和E2的角平分线上，如图所示，
例4、如图所示：q1、q2、q3分别表示在一条直线上的三个点电荷，已知q1与q2之间的距为l1，q2与q3之间的距为l2，且每个电荷都处于平衡状态。
(1)如q2为正电荷，则q1为______电荷，q3为______电荷。
(2)q1、q2、q3三者电荷量大小之比是：______︰______︰______
解析：
就q2而言，q1和q3只要带同种电荷便可能使其处于平衡状态，而对q1和q3，若都带正电荷，各自均受制另外两个电荷的斥力而不能保持平衡，只有同带负电荷，q2对其为吸引力，另外一个电荷对其为斥力，当两力大小相等时才能处于平衡状态。
现再对q1列方程有：
可得：q2︰q3=l12︰(l1＋l2)2
对q2列方程有：
可得：q1︰q3=l12︰l22
∴q1︰q2︰q3=l12(l1＋l2)2︰l12l22︰(l1＋l2)2l22
总结：
1、三点电荷都平衡规律，三个点电荷一定满足：
(1)在同一直线上；
(2)两同类一异；
(3)两大夹一小。
2、分析带电体平衡问题的方法与力学分析物体的平衡方法是一样的，学会把电学问题力学化，分析方法是：
(1)确定研究对象，如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”和“隔离法”，一般是先整体后隔离。
(2)对研究对象进行受力分析。
(3)外平衡方程或根据牛顿第二定律方程求解(经常用到动量守恒定律，动能定理等)。
例5、图中边长为a的正三角形ABC的三点顶点分别固定三个点电荷+q、+q、－q，求该三角形中心O点处的场强大小和方向。
解：
每个点电荷在O点处的场强大小都是由图可得O点处的合场强为，方向由O指向C。
电势差、电势能和等势面
重难点知识归纳与讲解
1、电势差：
电荷在电场中由一点A移动到另一点B时，电场力所做的功WAB与电荷电量q的比值，叫做AB两点的电势差。表达式为：
说明：（1）定义式中，为q从初位置A移动到末位置B电场力做的功，可为正值，也可为负值，q为电荷所带的电量，正电荷取正值，负电荷取负值。
（2）电场中两点的电势差，由这两点本身的初、末位置决定。与在这两点间移动电荷的电量、电场力做功的大小无关。在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差都有确定的值，不能认为与成正比，与q成反比。只是可以利用、q来计算A、B两点电势差。
（3）公式适用于任何电场。
2、电势：
在电场中某点的电势等于该点相对零电势点的电势差；也等于单位正电荷由该点移动到参考点（零电势点）时电场力所做的功，电势记作，电势是相对的，某点的电势与零电势点的选取有关，沿电场线的方向，电势逐点降低。
说明：（1）电势的相对性。
（2）电势是标量。电势是只有大小、没有方向的物理量，电势的正负表示该点的电势高于和低于零电势。
（3）电势与电势差的比较
电势与电势差都是反映电场本身的性质（能的性质）的物理量，与检验电荷无关；电势与电势差都是标量，数值都有正负，单位相同， UAB=A－B。某点的电势与零电势点的选取有关，两点间的电势差与零电势点的选取无关。
3、电场力做功与电势能变化的关系。
（1）电场力做功的特点
在电场中移动电荷时，电场力所做的功只与电荷的起止位置有关，与电荷经过的路径无关，这一点与重力做功相同。
（2）电势能ε
电荷在电场中具有的势能叫做电势能，电势能属于电荷和电场系统所有。
（3）电场力做功与电势能变化的关系
电场力的功与电势能的数量关系 WAB=εA－εB=△ε。
电场力做正功时，电荷的电势能减小；电场力做负功时，电荷的电势能增加，电场力做了多少功，电荷的电势能就变化多少，即△ε=WAB=qUAB。
4、等势面的概念及特点
（1）等势面
电场中电势相同的各点构成的曲面叫做等势面。
（2）等势面的特点
①电场线与等势面处处垂直，且总是由电势高的等势面指向电势低的等势面；
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功；
③处于静电平衡的导体是一个等势体，导体表面是一个等势面；
④导体表面的电场线与导体表面处处垂直。
（3）熟悉匀强电场、点电荷的电场、等量异种电荷的电场、等量同种点电荷的电场的等势面的分布情况。
①点电荷电场中的等势面，是以电荷为球心的一簇球面；
②等量同种点电荷电场中的等势面，是两簇对称曲面
③等量异种点电荷电场中的等势面，是两簇对称曲面；
④匀强电场中的等势面，是垂直于电场线的一簇平面.
三、重难点知识剖析
5、电势与等势面
（1）电势是描述电场中单个点的电场性质，而等势面是描述电场中各点的电势分布。
（2）电场线是为了描述电场而人为引入的一组假想线，但等势面却是实际存在的一些面，它从另一角度描述了电场。
（3）等势面的性质
①同一等势面上任意两点间的电势差为零；
②不同的等势面一定不会相交或相切；
③电场强度方向垂直等势面且指向电势降低的方向。
6、比较电荷在电场中某两点电势能大小的方法
(1)场源电荷判断法
离场源正电荷越近，试验正电荷的电势能越大，试验负电荷的电势能越小．
离场源负电荷越近，试验正电荷的电势能越小，试验负电荷的电势能越大．
(2)电场线法
正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大．
负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小．
(3)做功判断法
无论正、负电荷，电场力做正功，电荷从电势能较大的地方移向电势能较小的地方．反之，如果电荷克服电场力做功，那么电荷将从电势能较小的地方移向电势能较大的地方．
7、电场中电势高低的判断和计算方法
(1)根据电场线方向判断．因沿电场线方向各点电势总是越来越低，而逆着电场线方向电势总是逐渐升高．
(2)根据等势面的分布和数值，都画在同一图上，直接从图上判定电势高低．
(3)根据电场力做功公式判定．当已知q和WAB时，由公式WAB=qUAB，则UAB=WAB/q判定．
8、电势能与电势的关系
(1)电势是反映电场电势能的性质的物理量．还可以从能的角度定义电势：电场中某点的电荷具有的电势能ε跟它的电荷量的比值，叫做该点的电势，即或者ε=qφ，某点的电势与该点是否有电荷无关．
(2)正电荷在电势为正值的地方电势能为正值，在电势为负值的地方电势能为负值；负电荷在电势为正的地方电势能为负值，在电势为负的地方电势能为正值．
(3)电势是由电场决定，电势能是由电场和电荷共同决定的．它们都是标量、相对量．当零势点确定以后，各点电势有确定的值．由于存在两种电荷，则在某一点不同种电荷的电势能有的为正值，也有的为负值．
(4)在实际问题中，我们主要关心的是电场中两点间的电势差UAB和在这两点间移动电荷时，电荷电势能的改变量△εAB。UAB和△εAB都与零电势点的选择无关．有关系式：△εAB=qUAB．
9、电势与场强的比较
(1)场强是反映电场力的性质，电势是反映电场能的性质，它们都是由比值定义的物理量，因而它们都是由电场本身确定的，与该点放不放电荷无关．
(2)电场强度是矢量，电场确定后，各点的场强大小和方向都惟一地确定了．(即各点场强大小有确定的值)
电势是标量，是相对量．电场确定后，各点电势的数值还可随零电势点的不同而改变．
(3)电场线都能描述它们，但又有所不同：
电场线的密度表示场强的大小，电场线上各点的切线方向表示场强的方向．
沿电场线的方向，电势越来越低，但不能表示电势的数值．
典型例题：
1、下图是一匀强电场，已知场强E=2×102N/C．现让一个电量q=－4×10－8C的电荷沿电场方向从M点移到N点，MN间的距离s=30cm．试求：
(1)电荷从M点移到N点电势能的变化．
(2)M，N两点间的电势差．
解析：
(1)由图可知，负电荷在该电场中所受电场力F方向向左．因此从M点移到N点，电荷克服电场力做功，电势能增加，增加的电势能△E等于电荷克服电场力做的功W．
电荷克服电场力做功为W=qEs=4×10－8×2×102×0.3J=2.4×10－6J．
即电荷从M点移到N点电势能增加了2.4×10－6J．
(2)从M点到N点电场力对电荷做负功为WMN=－2.4×10－6J．
则M，N两点间的电势差为．
即M，N两点间的电势差为60V．
2、下列一些说法，正确的是（ ）
A．电场中电势越高的地方，电荷在那一点具有的电势能越大
B．电场强度越大的地方，电场线一定越密，电势也一定越高
C．电场强度为零的地方，电势一定为零
D．某电荷在电场中沿电场线的方向移动一定距离，电场线越密的地方，它的电势能改变越大
解析：
解本题的关键是区分场强、电势、电势能概念以及与电场线的关系．最易错的是，总是用正电荷去考虑问题而忽略有两种电荷的存在．由于存在两种电荷，故A项错误．电场线的疏密表示场强大小，而电场线的方向才能反映电势的高低，故B项错．电场线越密，电场力越大，同一距离上电场力做的功越多，电荷电势能的改变越犬．D项正确．电势是相对量，其零电势位置可随研究问题的需要而任意确定．故“一定为零”是错误的．
答案：D
3、将一个电量为－2×10－8C的点电荷，从零电势点S移到M点要反抗电场力做功4×10－8J，则M点电势φM=________，若将该电荷从M点移到N点，电场力做功14×10－8J，则N点电势φN=________，MN两点间的电势差UMN=________．
解析：
本题可以根据电势差和电势的定义式解决，一般有下列三种解法：
解法一：严格按各量的数值正负代入公式求解．
由WSM=qUSM得：
．
而USM=φS－φM，
∴φM=φS－USM=(0－2)V=－2V．
由WMN=qUMN得：
．
而UMN=φM－φN，
∴φN=φM－UMN=[－2－(－7)]V=5V．
解法二：不考虑各量的正负，只是把各量数值代入公式求解，然后再用其他方法判断出要求量的正负．
由WSM=qUSM得．
∵电场力做负功，∴负电荷q受的电场力方向与移动方向大致相反，则场强方向与移动方向大致相同，故φS＞φM，而φS=0，故φM=－2V．
同理可知：UMN=7V，φN=5V．
解法三：整体法：求N点电势时把电荷从S点移到M点再移动N点，看成一个全过程，在这个过程中，由S到N电场力做的总功等于各段分过程中电场力做功的代数和．即WSN=WSM＋WMN=(－4×10－8＋14×10－8)J=10×10－8J．
由WSN=qUSN得：
．
而φS=0，∴φN=5V．
4、如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等．实线为一带正电粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下面说法中正确的是（ ）
A．三个等势面中，a的电势最高
B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大
C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大
D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大
解析：
由于带电粒子做曲线运动，所受电场力的方向必定指向轨道的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a．根据电场线的方向是指电势降低的方向，故Uc＞Ub＞Ua，选项A错．
带正电粒子若从N点运动到M点，场强方向与运动方向成锐角，电场力做正功，即电势能减少；若从M点运动到N点，场强方向与运动方向成钝角，电场力做负功，电势能增加．故选项B错．
根据能量守恒定律，电荷的动能和电势能之和不变，故粒子在M点的动能较大，选项C正确．
由于相邻等势面之间电势差相等，因N点等势面较密，则EN＞EM，即qEN＞qEM．由牛顿第二定律知，带电粒子从M点运动到N点时，加速度增大，选项D正确．所以正确答案为C、D项．
答案：C、D
5、如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d=10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm．求：
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少?
解析：
板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处．Q板接地，则电势φQ=0，板间各点电势均为负值．利用公式可求出板间匀强电场的场强，再由U=Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势值．
(1)场强．
QA间电势差UQA=Ed′=5×102×(10－4)×10－2V=30V．
∴A点电势φA=－30V，P点电势φP=UPQ=－50V．
(2)当Q板向左平移5cm时，两板间距离d1=10cm－5cm=5cm．
Q板与A点间距离变为d″=(10－4)cm－5cm=lcm．
电场强度．
Q、A间电势差UQA=Ed″=1.0×103×1.0×10－2V=10V．
所以A点电势φA=－10V．
电容器、带电粒子在电场中的运动
重难点知识归纳与讲解
1、电容器的电容、平行板电容器的电容
(1)电容器：两个彼此绝缘又互相靠近的导体可构成一个电容器.
(2)电容：电容器所带的电荷量Q(一个极板所带电荷量的绝对值)与两个极板间的电势差U的比值，即电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量.
(3)常用电容器：纸质电容器、电解电容器、平行板电容器、可变电容器.其中电解电容器连接时应注意其“＋”、“－”极.
(4)平行板电容器：平行板电容器的电容C跟介电常数ε成比，跟两板正对面积S成正比，跟两板间距离d成反比，即
(5)对电容器电容的两个公式的理解.
①公式是电容的定义式，适用于任何电容器.对于一个确定的电容器，其电容只由本身的因素决定，而与其电荷量Q和电压U无关.
②公式是平行板电容器的决定式，只适用于平行板电容器.
2、平行板电容器的动态分析
充电后平行板电容器两极板间形成的电场，可认为是匀强电场，由于某种原因使电容C发生了改变，就会导致电容器的电荷量Q，两板间电压U，匀强电场的场强E发生相应的变化，这类问题常见于两种情况：
(1)电容器一直与电源相连接.此时电容器两极板间电势差U保持不变.
(2)电容器充电后与电源断开.此时电容器所带的电荷量Q保持不变.
分析的基本思路是：
3、带电粒子在电场中加速
带电粒子进入电场中加速，若不计粒子重力，根据动能定理，有
当初速度v0=0时，末速度v的大小只与带电粒子的荷质比和加速电压U有关，而与粒子在电场中的位移无关.
4、带电粒子在电场中的偏转
带电粒子沿垂直匀强电场的场强方向进入电场后，做类平抛运动，如图所示，设粒子的电荷量为q，质量为m，初速度为v0，两平行金属板间电压为U，板长为L，板间距离为d，则平行于板方向的分运动是匀速直线运动，L=v0t
垂直于板方向的分运动是初速为零的匀加速直线运动
所以，侧移距离
偏转角θ满足
5、示波管的原理
(1)结构：示波管是由电子枪、偏转电极和荧光屏组成的，管内抽成真空.
(2)原理：如果在偏转电极XX′上加上扫描电压，同时在偏转电极YY′上加上所要研究的信号电压，若其周期与扫描电压的周期相同，在荧光屏上就显示出信号电压随时间变化的图线.
6、带电粒子在匀强电场中的运动
带电粒子在匀强电场中的运动有两类问题：一是运动和力的关系问题，常用牛顿第二定律结合运动学公式去分析解决；二是运动过程中的能量转化问题，常用动能定理或能量守恒定律去分析解决.
(1)在交变电场中的运动
①在交变电场中做直线运动.粒子进入电场时的速度方向(或初速为零)跟电场力方向平行，在交变电场力作用下，做加速、减速交替变化的直线运动，通常运用牛顿运动定律和运动学公式分析求解.
②在交变电场中的偏转，粒子进入电场时的速度方向跟电场力方向垂直，若粒子在电场中运动的时间远小于交变电场的周期，可近似认为粒子在通过电场的过程中电场力不变，而做类平抛运动.
(2)在匀强电场与重力场的复合场中运动
处理复合场有关问题的方法常有两种：
①正交分解法：将复杂的运动分解为两个相互正交的简单直线运动，分别去研究这两个分运动的规律，然后运用运动合成的知识去求解复杂运动的有关物理量.
②等效法：由于带电微粒在匀强电场中所受到的电场力和重力都是恒力，因此，可将电场力F和重力G进行合成如图所示，这样复合场就等效为一个简单场，将其合力F合与重力场的重力类比，然后利用力学规律和方法进行分析和解答.
典型例题
例1、如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中.在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况下，一定能使电子的偏转角θ变大的是（ ）
A．U1变大，U2变大 B．U1变小，U2变大
C．U1变大，U2变小 D．U1变小，U2变小
解析：
设电子经电场U1加速后获得的速度为v0，
根据动能定理 ①
设极板长为L，两板间距离为d，电子进入偏转电场后做类平抛运动，则
平行于极板方向：L=v0t ②
垂直于极板方向： ③
偏转角θ满足： ④
由以上各式可解得：
显然，U1减小，U2增大时，θ一定增大.
答案：B
例2、如图所示，质量为m、电荷量为－q的粒子(重力不计)，在匀强电场中的A点时速度为v，方向与电场线垂直，在B点时速度大小为2v，已知A、B两点间距离为d，求
(1)A、B两点间的电压；
(2)电场强度的大小和方向.
解析：
(1)带电粒子从A到B的过程中，由动能定理可得
将vA=v，vB=2v代入可解得
(2)带电粒子从A到B做类平抛运动，设在垂直电场线和平行电场线方向上的位移分别为x和y.
由于A到B，粒子的动能增加，则电场力做正功，所以，场强方向应水平向左.
答案：
例3、带有等量异种电荷的两个平行金属板A和B水平放置，两板间距离为d(d远小于板的长和宽)，一个带正电的油滴M悬浮在两板的正中央，处于平衡，油滴的质量为m，电荷量为q，如图所示.在油滴的正上方距A板d处有一个质量也为m的带电油滴N，油滴N由静止释放后，可以穿过A板上的小孔，进入两金属板间与油滴M相碰，并立即结合成一个大油滴.整个装置处于真空环境中，若不计油滴M和N间的库仑力和万有引力以及金属板本身的厚度，要使油滴N能与M相碰，且结合成的大油滴(油滴可视为质点)又不与金属板B相碰.求：
(1)两个金属板A、B间的电压是多少？哪板电势高？
(2)油滴N带何种电荷，电荷量可能是多少？
解析：
(1)油滴M带正电，在两金属板之间处于平衡，有mg=qU/d，则B板电势较高，电势差
(2)若油滴N带负电，则N与M相碰后，结合成大油滴无论其电性为正，还是为负，或者电荷量为零，都将向B板做加速运动而最终与B板相碰.因此，要不落到B板上，油滴N必带正电.
设油滴N带电量为Q，油滴N与M相碰前的速度设为v0，有：
油滴N能与M相碰：
油滴M和N相碰后，结合成大油滴，速度为v，有：
此后，大油滴向下运动，不碰到B板，须有
代入v和U的值，解得
油滴所带电荷量是
答案：
B板电势较高 (2)正电，
例4、在水平向右的匀强电场中，有一质量为m，带正电的小球，用长为L的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止A点时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示.现给小球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动，求：
(1)小球运动过程中的最小速度.
(2)小球在A点的初速度.
解析：
小球在运动过程中，所受重力和电场力都是恒力，将它们合成等效为一个力F，如图所示，则把合力F与重力类比，其等效重力加速度因此，小球在竖直平面内做匀速圆周运动的等效“最低点”和“最高点”分别为图中的A点和B点.
(1)小球在B点处的速度最小，依题意有
(2)小球从A点运动到B点的过程中，根据动能定理
答案：
例5、如图所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d(d远小于板的长和宽)，在两板之间有一带负电的质点P.已知若在A、B之间加电压U0，则质点P可以静止平衡.现在A、B间加上如图所示的随时间t变化的电压U，在t=0时，质点P位于A、B间的中点处且初速度为0，已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图中U改变的各时刻t1，t2，t3及tn的表达式.(质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次.)
解析：
综合分析带电质点P的受力情况和运动情况，建立清晰的物理图景是解答本题的关键.
设质点P的质量为m，电荷量为q，当A、B间加电压U0时，根据题意有
当两板间所加电压为2U0时，P的加速度向上，设其大小为a，则联立解得，a=g.
当两板间的电压为零时，P只受重力，加速度方向向下，大小为g，要P以最大幅度上下运动，而又不与两板相碰，则P达到A板或B板时速度必为零.根据运动的对称性可知，加上电压2U0后，P质点先向上做匀加速度直线运动，运动后，撤去电场，继续向上做匀减速运动直到速度为零.
到达A板后，在重力作用下，自由下落直到A、B的中点，然后又加上电压2U0，使质点P向下做匀减速运动，至B板时，速度恰好减为零，然后反向加速，达到A、B中点时撤去电场，在重力作用下做匀减速运动到A板时，速度恰好为零，以后重复上述运动过程.
综合以上分析，质点P的运动过程可用v—t图象表示，如图所示.
由匀变速直线运动规律有
其中a=g，解得
设质点P从A板自由下落到AB两板中点所历经的时间为△t，则
答案：
例6、如图所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压U. A板的电势UA=0，B板的电势UB随时间的变化规律为：在0到的时间内， UB=U0(正的常数)；在到T的时间内， UB=－U0；在T到的时间内， UB=U0；在到2T的时间内，UB=－U0……，现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子初速度和重力的影响均可忽略（ ）
A．若电子是在t=0时刻进入的，它将一直向B板运动
B．若电子是在时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
C．若电子是在时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
D．若电子是在时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动
解析：
依题意，电子在电场中运动时，其加速度大小不变，方向在
时刻发生突变.不同时刻进入的电子，其运动情况有所不同，如图中的a、b、c所示，分别表示t=0时刻，时刻的和时刻进入的电子的v—t图象(以从A板指向B板方向为正方向).
从图象可以看出， t=0时刻进入的电子速度方向不变，一直向B板运动. 和时刻进入的电子运动一段时间后速度反向，这说明它们都是来回往复运动，但在一个周期内，前者的位移为正，即向B板运动了一段位移，最后一定打在B板上；而后者的位移为负，若在一个周期内未打到B板，电子将返回到A板而从小孔穿出. 时刻进入的电子受到指向A板的电场力，而初速为零，因此，它不可能进入两板间运动.
答案：AB
恒定电流
重点知识归纳及讲解
（一）电流
1、电流的一层含义
（1）大量自由电荷定向移动形成电流的现象；
（2）物体中有大量的自由电荷是形成电流的内因，电压是形成电流的外因。
2、电流的另一层含义
（1）意义：表示电流强弱的物理量
（2）定义：通过导体横截面的电荷量q跟通过这些电荷量所用时间的比值叫电流。
（3）公式：（定义式）
（4）单位：安培（A） 毫安（mA） 微安（μA）
（5）是标量，方向规定：正电荷定向移动的方向为电流的方向
（6）方向不随时间而改变的电流叫直流电：方向和强弱都不随时间而改变的电流叫恒定电流。
3、电流的微观表达式：I=nqSv
n—单位体积内电荷数
q—自由电荷量
S—导体的横截面
v—电荷定向移动的速率
4、导线中的电场：导线中的电场是两部分电荷共同作用的结果，其一是电源正、负极产生的电场，可以将该电场分解为两个方向：沿导线方向的分量使只有电子沿导线做定向移动，形成电流；垂直导线方向的分量使自由电子向导线的某一侧聚集，从而使导线的两侧出现正、负净电荷分布。这些电荷分布产生附加电场，该电场将削弱电源两极产生的垂直导线方向的电场，直到使导线中该方向合场强为零，而达到动态平衡状态。此时导线内的电场线保持与导线平行，自由电子只存在定向移动。
（二）电动势
1、电源：通过非静电力做功把其他形式的能转化为电势能的装置。
2、电动势在数值上等于非静电力把1C的正电荷在电源内从负极移动到正极所做的功
3、表达式：
4、内阻：电源内部也是由导体组成，这个电阻叫做电源的内阻。
（三）欧姆定律
内容：导体中的电流I跟导体两端的电压U成正比，跟导体的电阻R成反比,即（适用于金属导体和电解液，不适用于气体导电）。
电阻的伏安特性曲线：注意I-U曲线和U-I曲线的区别。还要注意：当考虑到电阻率随温度的变化时，电阻的伏安特性曲线不再是过原点的直线。
（四）电阻定律：导体的电阻R跟它的长度l成正比，跟它的横截面积S成反比。
（1）ρ是反映材料导电性能的物理量，叫材料的电阻率（反映该材料的性质，不是每根具体的导线的性质）。单位是Ω·m。
（2）纯金属的电阻率小，合金的电阻率大。
（3）材料的电阻率与温度有关系：
①金属的电阻率随温度的升高而增大（可以理解为温度升高时金属原子热运动加剧，对自由电子的定向移动的阻碍增大。）铂较明显，可用于做温度计；锰铜、镍铜的电阻率几乎不随温度而变，可用于做标准电阻。
②半导体的电阻率随温度的升高而减小（可以理解为半导体靠自由电子和空穴导电，温度升高时半导体中的自由电子和空穴的数量增大，导电能力提高）。
③有些物质当温度接近0 K时，电阻率突然减小到零——这种现象叫超导现象。能够发生超导现象的物体叫超导体。材料由正常状态转变为超导状态的温度叫超导材料的转变温度TC。我国科学家在1989年把TC提高到130K。现在科学家们正努力做到室温超导。
注意：公式R＝是电阻的定义式，而R=ρ是电阻的决定式。R与U成正比或R与I成反比的说法是错误的，导体的电阻大小由长度、截面积及材料决定，一旦导体给定，即使它两端的电压U＝0，它的电阻仍然存在。
三、难点知识剖析
例 1、一个标有“220V、60W”的白炽灯泡，加上的电压U由零逐渐增大到220V，在此过程中，电压U和电流I的关系可用图象表示，题中给出的四个图线中，肯定不符合实际的是（ ）
解析：
本题的思路是 U—I图像中，图线的斜率表示电阻，斜率越大，电阻越大。如果图线是曲线，则表示导体中通过不同的电压、电流时它的电阻是变化的，这时电阻可以用该点曲线的切线斜率来表示。
灯泡在电压加大的过程中，灯丝中的电流增大，温度升高，而金属的电阻率随着温度的升高而增大，所以灯丝在加大电压的过程中电阻不断增大， U—I图线中曲线的斜率应不断增大。A图中斜率不变，表示电阻不变，C图中斜率减小，表示电阻减小，D图中斜率先变大后变小。只有B图中斜率不断增大，符合电压不断变大的实际情况。
答案： ACD
说明：
本题的难点在于①是对 U—I图的物理意义的理解；②是由计算的电阻值只是灯泡正常发光的阻值，而不是整个过程中的阻值。
例 2、如图所示在NaCl水溶液中，如在t秒内分别有n1和n2个正负离子通过液体的横截面S，试问：溶液中的电流方向如何？电流强度多大？
解析：
在导体两端加上电压后， NaCl溶液中的Na＋离子和Cl－离子在电场力的作用下向相反的方向作定向移动。正离子Na＋的定向移动方向与电流的方向相同，如图所示电流方向A→B。
由于 NaCl水溶液中正、负离子都是一价离子，电量均为e，所以在t秒内有n1个一价正离子沿着A→B的方向通过S，同时有n2个一价负离子沿相反的方向通过S，负离子的运动可等效看成正离子沿相反方向运动，即溶液中的电流相当于t秒内有(n1＋n2)e的正电荷通过横截面S，由得：.
例3、如图所示，由一个由电池、电阻R、开关S与平行板电容器组成的串联电路，开关闭合.在增大电容器两极板间距离的过程中（ ）
A．电阻R中没有电流
B．电容器的电容变小
C．电阻R中有从a流向b的电流
D．电阻R中有从b流向a的电流
解析：
图中电容器被充电，A极板带正电，B极板带负电。根据平行板电容器的大小决定因等可知，当增大电容器两极板间距离d时，电容C变小.由于电容器始终与电池相连，电容器两极板间电压UAB保持不变，根据电容的定义，当C减小时电容器两极板所带电荷量Q都要减少，A极板所带正电荷的一部分从a到b经电阻流向电源正极，即电阻R中有从a流向b的电流.所以选项B、C正确.
答案：BC
例4、来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流强度为1mA的细柱形质子流。已知质子电荷e=1.60×10-19C。这束质子流每秒打到靶上的质子数为_________。假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距L和4L的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为n1和n2，则n1∶n2=_______。
解：
按定义，
由于各处电流相同，设这段长度为l，其中的质子数为n个，
则由。而
电功和电功率
重、难点知识归纳和讲解
（一）电功和电热
1、电功：
电流流过导体，导体内的自由电荷在电场力的作用下发生定向移动，在驱使自由电荷定向运动的过程中，电场力对自由电荷做了功，简称为电功。电功是电能转化为其他形式能的量度。其计算公式：W=qU，W=UIt，W=Pt是普适公式而W=I2Rt和，只适用于纯电阻电路的运算。单位：1度=1千瓦时=3.6×106焦耳。
2、电热：Q=I2Rt是焦耳通过多次实验得到的，是电能转化为热能的定量计算公式。变形公式：。
3、电功和电热的关系：W≥Q
4、电流通过做功，电能全部转化为热能的电路叫纯电阻电路；电能只有一部分转化
为内能，而大部分转化为机械能、化学能等的电路叫非纯电阻电路.
（二）电功率和热功率
1、电功率：
电功率是描述电流做功快慢的物理量。由功率公式P=W/t得P=UIt/t=UI，这两个公式是普适公式，而P=I2R，P=只适用于纯电阻电路。
2、电热功率：
电热功率是描述电流做功产生电热快慢程度的物理量。由功率。
3、电功率和电热功率的关系：P≥PQ.
4、额定功率和实际功率.
（1）额定功率：指用电器正常工作时的功率，当用电器两端电压达到额定电压时，电流也达到额定电流，功率达到额定功率。
（2）实际功率：指用电器在实际电压下电流做功的功率，只有当实际电压等于额定电压时，实际功率才等于额定功率。
（3）在忽略R的变化时，有如下关系：
（三）串联电路的特点
1、电流：串联电路中电流强度处处相等：I=I1=I2=I3.
2、电压：串联电路两端的总电压等于各串联导体两端的电压之和。
U=U1＋U2＋U3.
3、电阻：串联电路的总电阻等于各串联导体的电阻之和。
R=R1＋R2＋R3.
4、分压原理：串联电路中的电阻起分压作用，电压的分配与电阻成正比。
U1︰U2︰U3=IR1︰IR2︰IR3=R1︰R2︰R3
5、电功率、电功：串联电路中的电功率、电功与电阻成正比。
P1︰P2︰P3=I2R1︰I2R2︰I2R3=R1︰R2︰R3
W1︰W2︰W3=I2R1t︰I2R2t︰I2R3t=R1︰R2︰R3
（四）并联电路的特点
1、电流：并联电路中干路中的总电流等于各支路中电流之和。
I=I1＋I2＋I3.
2、电压：并联电路中，各支路两端的电压都相等。
U1=U2=U3=U
3、电阻：并联电路中，总电阻的倒数，等于各支路电阻的倒数之和.
.
4、分流原理：并联电路中的电阻起分流作用，电流的分配与电阻成反比。
I1︰I2︰I3=
5、电功率、电功：并联电路中各支路中的电功率、电功与电阻成反比。
P1︰P2︰P3=
W1︰W2︰W3=
（五）混联电路
1、解决混联电路的方法是：
（1）求混联电路的等效电路；
（2）运用欧姆定律和串、并联电路的特点进行计算。
2、画等效电路图即是等效替代的方法；对复杂电路进行等效变换的一般原则是：
（1）无阻导线可缩成一点，一点也可以延展成无阻导线；
（2）无电流的支路化简时可以去掉；
（3）电势相同的点可以合并；
（4）理想电流表可以认为短路，理想的电压表可认为断路，电压稳定时，电容器处可认为断路。
三、例题精析
例1、如图所示的电路中，三个电阻的阻值相等，电流表A1、A2和A3的内电阻均可忽略，电流表的读数分别为I1、I2和I3，则I1︰I2︰I3=_______︰_______︰_______。
精析：
依题意可知三只电流表电阻均不计，可用导线取而代之，故得等效电路图如图所示。
无阻导线所连的 A、A′可视为一点，B、B′也可视为一点，则其等效电路图又可改画成图乙所示。显然，三个等值电阻R1、R2、R3是并联的。最后将三个电流表分别补接在相应的位置上，可得等效电路图如丙。
由并联电路的分流关系可知，通过各电阻的电流相等，设为 I。分析等效电路如图丙可知：I1=3I，I2=2I，I3=2I。由此可得出I1、I2、I3的比例关系。
答案： I1︰I2︰I3=3︰2︰2。
例2、一直流电动机线圈内阻一定，用手握住转轴使其不能转动，在线圈两端加电压为0.3V，电流为0.3A，松开转轴，在线圈两端加电压为2V时，电流为0.8A，电动机正常工作。求该电机正常工作时，输入的电功率是多少？电功机的机械功率是多少？
精析：
（1）由于电动机不转动时，其消耗的电功全部转化为内能，故可看作纯电阻电路，由欧姆定律得电动机线圈的内阻为.
（2）电动机转动时，消耗的电能转化为内能和机械能，其输入功率为：
P入=I1U1=0.8×2=1.6W.
电动机的机械功率为：P机=P入－I12r=1.6－0.82×1=0.96W
说明：
（1）在非纯电阻电路中，要注意区别电功和电热；
（2）对电动机：输入的功率P入=IU，发热功率P热=I2R，输出功率即机械功率为P机=P入－P热=UI－I2R
闭合电路的欧姆定律
重、难点知识归纳和讲解
（一）闭合电路欧姆定律
1、电源电动势：电源是把其他形式的能转化为电能的装置。电动势是表征电源把其他形式的能量转换成电能的本领大小的物理量；电动势的大小由电源本身的性质决定，数值等于电路中通过1C电量时电源所提供的能量，也等于电源没有接入电路时两极间的电压；电动势是标量，方向规定为由电源的负极经电源内部到正极的方向为电源电动势的方向。
2、闭合电路欧姆定律
（1）闭合电路由电源的内部电路和电源的外部电路组成，也可叫含电源电路、全电路。
（2）在闭合电路里，内电路和外电路都适用部分电路的欧姆定律，设电源的内阻为r，外电路的电阻为R，那么电流I通过内阻时在电源内部的电压降U内=Ir，电流流过外电阻时的电压降为U外=IR，由U外＋U内=E，得。该式反映了闭合电路中电流强度与电源的电动势成正比，与整个电路的电阻成反比，即为闭合电路欧姆定律，适用条件是外电路为纯电阻电路。
3、路端电压与负载变化的关系
（1）路端电压与外电阻R的关系：
（外电路为纯电阻电路）
其关系用U—R图象可表示为：
（2）路端电压与电流的关系
U=E－Ir（普适式）
其关系用U—I图象可表示为
当R=∞时，即开路，
当R=0时，即短路，
其中，r=|tgθ|.
4、闭合电路中的功率
（1）电源的总功率（电源消耗的功率）P总=IE
电源的输出功率（外电路消耗的功率）P输=IU
电源内部损耗的功率：P损=I2r
由能量守恒有：IE=IU＋I2r
（2）外电路为纯电阻电路时：
由上式可以看出：
即当R=r时，
此时电源效率为：
（2）当R>r时，随R的增大输出功率减小。
（3）当R
（二）“串反并同”定则：在外电路为混联的闭合电路中，讨论因某一电阻发生变化引起电路中各参量的变化时，可采用以下简单的方法：“串反并同”，当某一电阻发生变化时，与它串联的电路上的电流、电压、功率必发生与其变化趋势相反的变化；与它并联的电路上的电流、电压、功率必发生与其变化趋势相同的变化。
（三）含电容器的电路分析：有电容器连接的电路，当电路电压达到稳定时，电容器当断路处理，它两端的电压等于它并联部分的电阻的两端电压。通常是先不考虑电容器，画出等效电路，再安上电容器，电容器在恒定电流中可等效为“电压表”。找出“电压表”的读数及变化，再由Q=CU求解。
例1、在如图所示的电路中，当滑线变阻器的滑动头向b端滑动时，电流表和电压表的示数将如何变化？
解：
整个电路的结构是：R2与R3并联，然后再与R1串联，电压表测的是路端电压，电流表测的是R3支路的电流强度。当滑动头向ｂ滑动时，R3的阻值减小，由R并=R2R3/(R2+R3)知并联电路总电阻R并减小，故外电路总电阻R=R1+R并减小。根据闭合电路欧姆定律I=E/(R+r)，总电流强度I增大，由U=E-Ir知路端电压即电压表的示数将减小。因并联电路电压U并=U-IR1所以U并减小，通过R2的电流I2= U并/R2减小。由I3=I-I2，可以看出R3支路的电流，即电流表的示数将增大。
说明：（１）判断并联电路的电压时不能用U并=IR并，因为R并在减小而Ｉ在增大，其乘积倒底如何变，由题设条计不能确定；同样在判断I3时也不能用I3=U并/R3，因为R3和U并都在减小，无法确定I3如何变。此时应通过先研究阻值不变的电阻R1和R2的电压、电流的变化，再去讨论U并和I3的变化情况。
（2）如果使用“串反并同”定则，判断起来更简捷，R3减小，则与它串联的电流表的示数必增大；R1、R2、R3混联电路电阻减小，则与它相并联的电压表的示数也应相应减小。
例2、某一电源对外供电电路如图，已知R1=6Ω，电源内阻r=1Ω，滑动变阻器的电阻R2变化范围为0～4Ω。
（1）当闭合开关S后，将变阻器的电阻调到有效电阻R2=2Ω时，电源消耗的总功率为16W，电源输出功率为12W，求灯泡电阻RL的阻值。
（2）若将开关S断开，此时灯泡L消耗的功率为多少？
（3）在开关S断开的情况下，仍要使灯泡消耗的功率和S闭合时相同，应将滑动变阻器的滑动片向哪边移动？移动到使其有效电阻值R2′等于多少的位置？
解析：
（1）因为电源内消耗功率：P内=I2r=P总－P出.所以
所以，灯泡电阻
（2）S断开后，通过灯泡L的电流为：
此时灯泡消耗的功率为：
（3）若S断开后仍要使灯泡消耗的功率和S闭合时相同，则由解（1）可知通过灯泡的电流仍应为1A，由闭合电路欧姆定律有：
即滑动变阻器的滑动片应向右滑动到R2′等于3Ω处.
例3、如图所示的电路中，电源的电动势恒定，要想使灯泡变暗，可以（ ）
A．增大R1 B．减小R1
C．增大R2 D．减小R2
分析：
电路是灯泡R与R2并联后再与电阻R1串联。
若增大R1，灯泡两端电压变小，灯泡变暗。同样若减小R1，则灯泡变亮。
若增大R2，使得回路的总电阻增大，干路中电流减小，灯泡两端电压变大，灯泡变亮。
同样若减小R2，则灯泡变暗。
故AD正确。
答案：AD
例4、如图所示，E=10V，C1=C2=30μF，R1=4.0Ω，R2=6.0Ω，电池内阻可忽略。先闭合开关S，待电路稳定后，再将S断开，则断开S后流过电阻R1的电量为_________C。
解析：
S闭合时，C1两板电压等于电阻R2两端电压，上极板电势高。
C2两极板间电压为零.
S断开时，C1、C2两端电压均为E，且上极板电势高。
流过R1的电量为：
Q=C1E＋C2E－Q1=2×30×10－6×10C－1.8×10－4C=4.2×10－4C.
例5、如图所示的电路中R1、R2、R3和R4皆为定值电阻，R5为可变电阻，电源的电动势为E，内阻为r0.设电流表A的读数为I，电压表V的读数为U.当R5的滑动触点向图中a端移动时（ ）
A．I变大，U变小 B．I变大，U变大
C．I变小，U变大 D．I变小，U变小
分析：
当滑头向a移动时，R5的阻值变小，使R2、R4、R5的总阻值Rab变小，从而引起总的外阻R外的变小.
得到Uab变小，所以的数值变小.
答案：D
评注：在讨论电路中电阻发生变化后引起电流、电压发生变化的问题时，应根据电路的结构，由局部到整体的思路，得到总电流的变化情况，然后再到局部分析出电压和支路电流的变化情况。
电学实验
重点知识讲解
（一）电表的改装
1、电流表：把表头G改装成电流表，即把表头的量程Ig扩大到电流表的量程I，这时应并联一个电阻R，起分流作用。
若电流表的扩大倍数为，由并联电路的特点得：
电流表的内阻：
2、电压表：把表头G改装成电压表，即把表头的量程Ug扩大到量程U，应串联一个电阻起分压作用。
若电压表的扩大倍数为，由串联电路的特点得：
电压表的内阻为：RV=R＋Rg=nRg
量程：U=nUg=IgRV
例1、有一块满偏电流Ig=1mA、线圈电阻Rg=1kΩ的小量程电流表；
（1）把它改装成满偏电压U=10V的电压表；
（2）把它改装成满偏电流I=10mA的电流表。要求画出电路图，算出有关数据。
解析：
因电流表的满偏电流Ig
①改装成电压表时，由串联分压
即需串联一个阻值为9kΩ的分压电阻.
②改装成电流表时，由并联分流：
即需并联一个阻值为0.11kΩ的分流电阻.
（二）电阻的测量
1、伏安法测电阻的两种电路形式（如图所示）
2、实验电路（电流表内外接法）的选择
测量未知电阻的原理是R＝，由于测量所需的电表实际上是非理想的，所以在测量未知电阻两端电压U和通过的电流I时，必然存在误差，即系统误差，要在实际测量中有效地减少这种由于电表测量所引起的系统误差，必须依照以下原则：
（1）若＞，一般选电流表的内接法。如图（a）所示。由于该电路中，电压表的读数U表示被测电阻Rx与电流表A串联后的总电压，电流表的读数I表示通过本身和Rx的电流，所以使用该电路所测电阻R测＝＝Rx＋RA，比真实值Rx大了RA，相对误差a＝
（2）若＜，一般选电流表外接法。如图（b）所示。由于该电路中电压表的读数U表示Rx两端电压，电流表的读数I表示通过Rx与RV并联电路的总电流，所以使用该电流所测电阻
R测＝也比真实值Rx略小些，相对误差a＝.
例2、某电流表的内阻在0.1Ω～0.2Ω之间，现要测量其内阻，可选用的器材如下：
A．待测电流表A1（量程0.6A）；
B．电压表V1（量程3V，内阻约2kΩ）
C．电压表V2（量程15V，内阻约10kΩ）；
D．滑动变阻器R1（最大电阻10Ω）
E．定值电阻R2（阻值5Ω）
F．电源E（电动势4V）
G．电键S及导线若干
（1）电压表应选用_____________；
（2）画出实验电路图；
（3）如测得电压表的读数为V，电流表的读数为I，则电流表A1内阻的表达式为：RA=______________。
解：
本题利用电压表指电压，电流表指电流的功能，根据欧姆定律R=计算电流表的内阻。由于电源电动势为4V，在量程为15V的电压表中有的刻度没有利用，测量误差较大，因而不能选；量程为3V的电压表其量程虽然小于电源电动势，但可在电路中接入滑动变阻器进行保护，故选用电压表V1。由于电流表的内阻在0.1Ω～0.2Ω之间，量程为0.6A ，电流表上允许通过的最大电压为0.12V，因而伏特表不能并联在电流表的两端，必须将一个阻值为5Ω的定值电阻R2与电流表串联再接到伏特表上，才满足要求。滑动变阻器在本实验中分压与限流的连接方式均符合要求，但考虑限流的连接方式节能些，因而滑动变阻器采用限流的连接方式。故本题电压表选用V1；设计电路图如图1所示；电流表A1内阻的表达式为：RA =-R2。
（三）滑动变阻器的使用
1、滑动变阻器的限流接法与分压接法的特点
如图所示的两种电路中，滑动变阻器（最大阻值为R0）对负载RL的电压、电流强度都起控制调节作用，通常把图（a）电路称为限流接法，图（b）电路称为分压接法.
负载RL上电压调节范围（忽略电源内阻）
负载RL上电流调节范围（忽略电源内阻）
相同条件下电路消耗的总功率
限流接法
E≤UL≤E
≤IL≤
EIL
分压接法
0≤UL≤E
0≤IL≤
E（IL+Iap）
比较
分压电路调节范围较大
分压电路调节范围较大
限流电路能耗较小
其中，在限流电路中，通RL的电流IL=，当R0＞RL时IL主要取决于R0的变化，当R0＜RL时，IL主要取决于RL，特别是当R0<
滑动变阻器以何种接法接入电路，应遵循安全性、精确性、节能性、方便性原则综合考虑，灵活择取.
（1）下列三种情况必须选用分压式接法
①要求回路中某部分电路电流或电压实现从零开始可连续调节时（如：测定导体的伏安特性、校对改装后的电表等电路），即大范围内测量时，必须采用分压接法.
②当用电器的电阻RL远大于滑动变阻器的最大值R0，且实验要求的电压变化范围较大（或要求测量多组数据）时，必须采用分压接法.因为按图（b）连接时，因RL>>R0＞Rap，所以RL与Rap的并联值R并≈Rap，而整个电路的总阻约为R0，那么RL两端电压UL=IR并=·Rap，显然UL∝Rap，且Rap越小，这种线性关系越好，电表的变化越平稳均匀，越便于观察和操作.
③若采用限流接法，电路中实际电压（或电流）的最小值仍超过RL的额定值时，只能采用分压接法.
（2）下列情况可选用限流式接法
①测量时电路电流或电压没有要求从零开始连续调节，只是小范围内测量，且RL与R0接近或RL略小于R0，采用限流式接法.
②电源的放电电流或滑动变阻器的额定电流太小，不能满足分压式接法的要求时，采用限流式接法.
③没有很高的要求，仅从安全性和精确性角度分析两者均可采用时，可考虑安装简便和节能因素采用限流式接法.
例3、用伏安法测量某一电阻Rx阻值，现有实验器材如下：待测电阻Rx（阻值约5 Ω，额定功率为1 W）；电流表A1（量程0～0.6 A，内阻0.2 Ω）；电流表A2（量程0～3 A，内阻0.05 Ω）；电压表V1（量程0～3 V，内阻3 kΩ）；电压表V2（量程0～15 V，内阻15 kΩ）；滑动变阻器R0（0～50 Ω），蓄电池（电动势为6 V）、开关、导线.
为了较准确测量Rx阻值，电压表、电流表应选________，并画出实验电路图.
错解分析：
没能据安全性、准确性原则选择A1和V1，忽视了节能、方便的原则，采用了变阻器的分压接法.
解题方法与技巧：
由待测电阻Rx额定功率和阻值的大约值，可以计算待测电阻Rx的额定电压、额定电流的值约为
U=≈2.2 V，I==0.45 A.
则电流表应选A1，电压表应选V1.
又因=24.5 Ω＞Rx，则电流表必须外接.
因为滑动变阻器的全阻值大于被测电阻Rx，故首先考虑滑动变阻器的限流接法，若用限流接法，则被测电阻Rx上的最小电流为Imin==0.11 A＜I额，故可用限流电路.电路如图所示.
（四）万用电表的使用
1、使用步骤及注意事项：
（1）使用前应看一下指针是否指在刻度盘左端的零刻线处。如果不在，就应该进行机械调零：用小螺丝刀轻旋表头正下方中央处的调零螺丝，使指针指左端零刻线。
（2）根据被测物理量及其数量级将选择开关旋到相应的位置。读数时还要注意选用刻度盘上对应的量程刻度。（如测量20mA左右的直流电流，应将选择开关对准左边100mA量程处，在刻度盘上，应该看最下方的刻度，即满偏刻度为10的刻度线，从刻度盘读出数据后还应再乘10，得测量结果。）
（3）使用欧姆挡时，在选好倍率后，还必须进行欧姆调零。方法是：将红、黑表笔短接，调节欧姆调零旋钮，使指针指右端零刻线处。因此用多用电表的欧姆挡测电阻的操作步骤是：
①选挡。一般比被测电阻的估计值低一个数量级，如估计值为200Ω就应该选×10的倍率。
②进行欧姆调零。
③将红黑表笔接被测电阻两端进行测量。
④将指针示数乘以倍率，得测量值。
⑤将选择开关扳到OFF或交流电压最高挡。
用欧姆挡测电阻，如果指针偏转角度太小（即指针所指的刻度值太大），应该增大倍率重新调零后再测；如果指针偏转角度太大（即指针所指的刻度值太小），应该减小倍率重新调零后再测。
（4）使用多用电表时，两只手只能握住表笔的绝缘棒部分，不能接触表笔上的金属部分。
2、欧姆表测电阻
（1）原理是闭合电路欧姆定律.
（2）当红、黑表笔之间接入某一电阻Rx时，通过欧姆表的电流为.
若I=0，则Rx=∞；I=Ig时，Rx=0。
欧姆表刻度具有反向性和非线性特点，表盘刻度不均匀.
当，
表盘中值电阻，中值电阻一定，表盘刻度就唯一确定.
欧姆表中的电池用久了，电动势和内阻都要发生变化，只能用来粗略测量电阻.
例4、如图，电流表满偏电流Ig=500μA，线圈电阻Rg=200Ω，电动势E=1.5V，电流表盘刻有欧姆表刻度线，指针指在满刻度时共转过90°.
（1）指针半偏时所对应的阻值是多少？
（2）指针转过30°时所对应的阻值是多少？
（3）若电池使用久了，电动势变为1.4V，这种情况下测电阻时若指针指在中间阻值处，求被测电阻真实值。
解析：
（1）设电源内阻为r，指针满偏时，
指针指在表盘正中央时，
（2）指针转过30°时对应阻值为Rx，则：
（3）电动势E′=1.4V时对应的中值电阻
指针半偏处仍刻着3000Ω，而实际电阻只有2800Ω，可见用欧姆表测电阻时，由于电动势变小，电阻的测量值偏大，电阻的测量将产生系统误差。
（五）测定电池的电动势和内阻
1、实验原理
如图(1)所示电路，改变电阻R，从电压表和电流表可测出几组U、I值，利用闭合电路欧姆定律可以求出E、r．
2、数据处理
①测出两组U、I值，列方程组可解出E、r．
②图象法处理数据，测出多组(不少于6组)、I值，在—I直角坐标系中标出各点，画出—I图象，如图(2)所示，图象的纵截距为E，横截距为短路电流，．
图象法比较好地利用各组测量数据，并能排除奇异点，能够减小偶然误差．
3、误差分析：
由于电流表和电压表不是理想电表，就会带来一定的系统误差，下面分别分析电流表内接和外接两种情况下的系统误差．
(1)如图(3)所示，电流表接在了外边，电压表所测为电源的外电压，而电流表读数比流过电源的电流值要小，测量存在系统误差．
电压表的读数越大，越大，电流表的测量误差也越大，如图(4)所示，短路时，＝0，测量值与真实值相同．
由图象可知，
定量分析：＝－
此函数式的纵截距为：
斜率的绝对值为：
当r时，．
(2)如图(5)所示，电流表接在了里边，电流表所测的电流为流过电源的电流，电压表所测电压比路端电压小．
当电路中电流增加时，，电压表读数的误差随着增加，U—I图象如图(6)所示，测量值图线比较陡，＝E，＞r．
由等效电路可知，．一般安培表的内阻与r接近，所以这种方法测出的内阻误差较大．
（六）简单的逻辑电路
逻辑关系
真值表
符号
与门：仅当输入信号A和B均为1时，输出信号Z才为1。
输入
输出
A
B
Z
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
或门：输入信号A和B只要有一个为1或者均为1时，输出信号Z为1。
输入
输出
A
B
Z
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
非门：输入信号A为1，则输出信号为0；输入信号A为0，输出信号为1。
输入
输出
A
Z
0
1
1
0
例5、如图为包含某逻辑电路的一个简单电路图，L为小灯泡．光照射电阻R′时，其阻值将变得远小于R．该逻辑电路是____门电路（填“与”、“或”或“非”）．当电阻R′受到光照时，小灯泡L将______（填“发光”或“不发光”）．
解析：
逻辑电路分为或门电路、与门电路和非门电路，由图示符号可知，该逻辑电路是非门电路；当光照射电阻R′时，其阻值将变得远小于R，则R′两端电压很小，由非门电路的特点可知，其输出电压较大，小灯泡L将发光。
答案：非，发光
磁场、安培力
重难点知识归纳与讲解
1、磁场
（1）磁场是存在于磁极或电流周围空间里的一种特殊的物质，磁场和电场一样，都是“场形态物质”。
（2）磁场的方向：物理学规定，在磁场中的任一点，小磁针北极受力的方向，亦即小磁针静止时北极所指的方向，就是那一点磁场的方向。
（3）磁场的基本性质：磁场对处在它里面的磁极或电流有磁场力的作用。磁极和磁极之间、磁场和电流之间、电流和电流之间的相互作用都是通过磁场来传递的。
2、磁感线
（1）磁感线：是形象地描述磁场而引入的有方向的曲线。在曲线上，每一点切线方向都在该点的磁场方向上，曲线的疏密反映磁场的强弱。
（2）磁感线的特点：
a.磁感线是闭合的曲线，磁体的磁感线在磁体外部由N极到S极，内部由S极到N极。
b.任意两条磁感线不能相交。
3、几种常见磁场的磁感线的分布
（1）条形磁铁和碲形磁铁的磁感线
条形磁铁和蹄形磁铁是两种最常见的磁体，如图所示的是这两种磁体在平面内的磁感线形状，其实它们的磁感线分布在整个空间内，而且磁感线是闭合的，它们的内部都有磁感线分布。
（2）通电直导线磁场的磁感线
通电直导线磁场的磁感线的形状与分布如图所示，通电直导线磁场的磁感线是一组组以导线上各点为圆心的同心圆。
需要指出的是，通电直导线产生的磁场是不均匀的，越靠近导线，磁场越强，磁感线越密。电流的方向与磁感线方向的关系可以用安培定则来判断，如图所示。用右手握住直导线，伸直的大拇指与电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向。
（3）环形电流磁场的磁感线
环形电流磁场的磁感线是一些围绕环形导线的闭合曲线，在环形的中心轴上，由对称性可知，磁感线是与环形导线的平面垂直的一条直线。如图甲所示，环形电流方向与磁感线方向的关系也可以用右手定则来判断，如图乙所示，让右手弯曲的四指和环形电流的方向一致，伸直的大拇指所指的方向就是圆环轴线上磁感线的方向；如图丙所示，让右手握住部分环形导线，伸直的大拇指与电流方向一致，则四指所指的方向就是围绕环形导线的磁感线的方向。
（4）通电螺线管的磁感线
通电螺线管表现出来的磁性很像一根条形磁铁，一端相当于北极（N），另一端相当于南极（S），形成的磁感线在通电螺线管的外部从北极（N）出来进入南极（S），通电螺线管内部具有磁场，磁感线方向与管轴线平行，方向都是由S极指向N极，并与外部磁感线连接形成一些闭合曲线，其方向也可用安培定则判断，用右手握住螺线管，让弯曲的四指所指的方向跟电流的方向一致，那么大拇指所指的方向就是螺线管内部磁感线的方向，如图所示。
（5）地磁场的磁感线
地磁场的南北极与地理上的南北极刚好相反，所以磁感线从地理的南极出来进入地理的北极如图所示。
4、磁感应强度
（1）定义：在匀强磁场中，垂直于磁场方向放置的通电直导线，所受的安培力F跟电流强度I和导线长度L的乘积之比，叫做通电导线所在处的磁感应强度，即，磁感应强度B只是由磁场本身决定，与所放置的电流I和导线长度L均无关。
（2）单位：特斯拉，简称特，符号是T，。
（3）磁感应强度是描述磁场的力的性质的物理量。磁感应强度是矢量，其方向就是该点的磁场方向。
5、匀强磁场
如果磁场的某一区域里，磁感应强度的大小和方向处处相同，这个区域的磁场叫做匀强磁场，距离很近的两个异名磁极之间的磁场，通电螺线管内部的磁场都可以看成是匀强磁场。匀强磁场的磁感线为相互平行，等间距的平行线。
6、安培力的大小和方向
（1）定义：磁场对通电导线的作用力叫安培力。
（2）大小：当通电导线与磁场方向垂直放置时，安培力最大，为F=BIL。当通电导线与磁场方向平行放置时，安培力最小，为零。当通电导线与磁场方向成其他任意角放置时，安培力介于最大值和最小值之间。
（3）方向：安培力的方向可以用左手定则来判断。安培力方向垂直磁场方向，垂直电流方向，即垂直于电流方向和磁场方向决定的平面。
三、重难点知识剖析
1、磁感线是闭合曲线
磁感线与电场线不同，在磁体外部是从N极指向S有，磁体内部则从S极指向N极，从而形成闭合曲线。
2、安培定则
用安培定则判断通电线圈（或螺线管）的磁感线时，拇指指向为线圈（或螺线管）内部的磁感线方向，其外部与此方向相反。
3、磁感应强度
（1）磁感应强度是描述磁场的物理量，由磁场自身决定，与是否放入检验电流无关。
（2）磁感应强度是矢量，其方向就是该点磁场方向。当磁场叠加时，磁感应强度矢量合成。
4、安培力
（1）安培力的大小不仅与B、I、L的大小有关，还与电流方向与磁场方向间的夹角有关。
当通电直导线与磁场方向垂直时，通电导线所受安培力最大，这时安培力F=BIL。
当两者平行最小为零，对于电流方向与磁场方向成任意角的情况，可以把磁感应强度B分解为垂直电流方向和平行电流方向两种情况处理。
（2）F=BIL只适用于匀强磁场，对非匀强磁场中，当L足够短时，可以认为导线所在处的磁场是匀强磁场。
（3）安培力的方向要用左手定则判断，垂直磁感应强度方向，这跟电场力与电场强度方向之间的关系是不同的。
5、安培分子电流假说
导体中的电流是由大量的自由电子的定向移动而形成的，而电流的周国又有磁场，所以电流的磁场应该是由于电荷的运动产生的。安培提出在磁铁中分子、原于存在着一种环形电流——分子电流，分子电流使每个物质微粒都成为微小的磁体．磁铁的分子电流的取向大致相同时，对外显磁性；磁铁的分子电流取向杂乱无章时，对外不显磁性。根据物质的微观结构理论，微粒原子由原子核和核外电子组成，原子核带正电，核外电子带负电，电子在库仑力的作用下，绕核高速旋转，形成分子电流。假说的意义在于其揭示了电与磁之间的联系。
6、安培力的应用——磁电式仪表
（1）根据通电导线在磁场中会受到安培力的作用这一原理制成的仪表，称为磁电式仪表。
（2）磁电式仪表的结构
教学演示电流表的内部结构
（3）磁电式仪表原理
由于磁场对电流的作用力方向与电流方向有关，因此，如果改变通过电流表的电流方向，磁场对电流的作用力方向也会随着改变，指针和线圈的偏转方向也就随着改变，据此便可判断出被测电流的方向。
磁场对电流的作用力跟电流成正比，线圈中的电流越大，受到的作用力也越大，指针和线圈的偏转角度也越大．因此，指针偏转角度的大小反映了被测电流的大小．只要通过实验把两者一一对应的关系记录下来，并标示在刻度盘上，这样在使用中，就可以在刻度盘上直接读出被测电流的大小。
例题分析
例1、质量为m，长度为L的金属棒ab通过两根细导线水平悬挂在绝缘架下，整个装置放在竖直方向的匀强磁场中，当金属棒中通入从a至b的电流I后，棒偏离竖直位置α角后又重新平衡，如图所示，求匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向。
答案：，竖直向上
解析：
由图可知，棒受到水平向右的安培力，根据安培定则得磁感应强度方向竖直向上，由棒平衡得安培力FA=mgtanθ=BIL，∴ B=.
例2、在倾角为θ的斜面上，放置一段通有电流强度为I，长度为L，质量为m的导体棒a（通电电流方向垂直纸面向里），如图所示。棒与斜面间摩擦因数μ
答案：
（1）垂直斜面向上；（2），竖直向上
解析：
（1）对a受力分析可知为保证a静止，所加安培力的最小值应沿斜面向上，大小为：方向垂直斜面向上。
（2）当a对斜面无压力时，斜面与a间摩擦力f=0，对a受力分析可知，a只受重力与安培力两个力，为保证a静止，则FA=mg，方向竖直向上，所以应加水平向左的匀强磁场，
例3、如图所示，距地面高为h处水平放置的光滑导轨上一端放一导体棒，导轨与电源相连，置于竖直向下的匀强磁场中，已知导轨宽为L，磁感应强度为B，导体棒的质量为m。若开关S闭合后，导体棒离开导轨做平抛运动，水平射程为s，则通过导体棒的电量多大？
解析：
开关闭合后，就有电流通过导体棒ab，导体棒在磁场中就会受到向右的安培力作用做加速运动，然后离开导轨以某一初速度做平抛运动。根据导体棒下落的高度和水平射程，可以求出导体棒做平抛的初速度大小。根据动量定理可知，导体棒所获得的初动量是安培力的冲量作用的结果。
导体棒离开导轨后做平抛运动，由平抛运动的知识可得：
导体棒在导轨上运动时，所受的合外力就是安培力，由动量定理可得BIL·△t=mv.
∴.
例4、如图所示是一个可以用来测量磁感应强度的装置：一长方体绝缘容器内部高为L，厚为d，左右两管等高处装有两根完全相同的开口向上的管子a、b，上、下两侧装有电极C（正极）和D（负极）并经开关S与电源连接，容器中注满能导电的液体，液体的密度为ρ；将容器置于一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当开关断开时，竖直管子a、b中的液面高度相同，开关S闭合后，a、b管中液面将出现高度差。若当开关S闭合后，a、b管中液面将出现高度差为h，电路中电流表的读数为I，求磁感应强度B的大小。
解析：
开关S闭合后，导电液体中有电流由C流到D，根据左手定则可知导电液体要受到向右的安培力F作用，在液体中产生附加压强P，这样a、b管中液面将出现高度差。在液体中产生附加压强P为
所以磁感应强度B的大小为：
磁场对运动电荷的作用力（一）
重、难点知识归纳与讲解
1、洛伦兹力是磁场对运动电荷的作用，它是安培力的微观本质。安培力是洛伦兹力的宏观表现。
2、洛伦兹力的大小
（1）当电荷速度方向垂直于磁场的方向时，磁场对运动电荷的作用力，等于电荷量、速率、磁感应强度三者的乘积，即F=qvB.
（2）当电荷速度方向平行磁场方向时，洛伦兹力F=0。
（3）当电荷速度方向与磁场方向成θ角时，可以把速度分解为平行磁场方向和垂直磁场方向来处理，此时受洛伦兹力F=qvBsinθ。
3、洛伦兹力的方向
安培力的方向可以用左手定则来判断，洛伦兹力的方向也可用左手定则来判断：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，把手放入磁场，让磁感线穿过手心，对于正电荷，四指指向电荷的运动方向，对于负电荷，四指的指向与电荷的运动方向相反，大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。由此可见洛伦兹力方向总是垂直速度方向和磁场方向，即垂直速度方向和磁场方向决定的平面。
4、洛伦兹力的特点
因为洛伦兹力始终与电荷的运动方向垂直，所以洛伦兹力对运动电荷不做功。它只改变运动电荷速度的方向，而不改变速度的大小。
三、重、难点知识剖析
1、洛伦兹力与电场力的比较
（1）与带电粒子运动状态的关系
带电粒子在电场中所受到的电场力的大小和方向，与其运动状态无关。但洛伦兹力的大小和方向，则与带电粒子本身运动的速度紧密相关。
（2）决定大小的有关因素
电荷在电场中所受到的电场力F=qE，与两个因素有关：本身电量的多少和电场的强弱。运动电荷在磁场中所受的磁场力，与四个因素有关；本身电量的多少、运动速度v的大小、速度v的方向与磁感应强度B方向间的关系、磁场的磁感应强度B。
（3）方向的区别
电荷所受电场力的方向，一定与电场方向在同一条直线上（正电荷同向，负电荷反向），但洛伦兹力的方向则与磁感应强度的方向垂直。
2、解决在洛伦兹力等多力作用下电荷运动问题的注意问题：
（1）正确分析受力情况是解决电荷运动问题的关键。要在详细分析问题给出的物理过程的基础上，认清洛伦兹力是怎么变化的。伴随着洛伦兹力的变化，物体的受力情况又发生了什么样的变化。
（2）受力变化演变，出现了什么新运动情况，电荷从什么运动状态过渡到什么运动状态。
（3）寻找关键状态各物理量之间的数量关系，选择合适的物理规律去求解，这些常常就是解题的关键之所在。
3、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定：
（1）圆心的确定．因为洛伦兹力指向圆心，根据F洛⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的F洛的方向，其延长线的交点即为圆心．
（2）半径的确定和计算．半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法．
（3）在磁场中运动时间的确定．利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于360°计算出圆心角θ的大小，由公式可求出运动时间．
四、典型例题
例1、如图所示，一只阴极射线管，左侧不断有电子射出，若在管的正下方放一通电直导线AB时，发现射线的径迹向下偏，则（ ）
A．导线中的电流从A流向B
B．导线中的电流从B流向A
C．若要使电子束的径迹向上偏，可以通过改变AB中的电流方向来实现
D．电子束的径迹与AB中的电流方向无关
解析：
由于AB中通有电流，在阴极射线管中产生磁场，电子受到洛伦兹力的作用而发生偏转，由左手定则可知，阴极射线管中的磁场方向垂直纸面向内，所以根据安培定则，AB中的电流方向应为从B流向A。当AB中的电流方向变为从A流向B，则AB上方的磁场方向变为垂直纸面向外，电子所受的洛伦兹力变为向上，电子束的径迹变为向上偏转。所以本题的正确选项应为B、C。
答案：BC
例2、如甲图所示，OA是一光滑、绝缘斜面，倾角为θ，一质量为m的带电体从斜面上的A点由静止开始下滑，如果物体的带电量为＋q，整个装置处于垂直纸面向里的磁感应强度的大小为B的匀强磁场中，试求当物体离开斜面时，物体运动的速率及其沿斜面下滑的距离？（斜面足够长）
解析：
物体刚离开斜面时，对斜面的压力为零，物体受到斜面的支持力为零，受力分析如图乙，f=G2，以此可求速度v，下滑时由于洛仑兹力不做功，势能转化为动能，物体下降的高度h可以求出，物体下滑的距离。
物体刚离开斜面时，f=Gcosθ，即qvB=mgcosθ，所以得，
由于洛仑兹力不做功，mgh= ①，
沿斜面下滑的距离 ②，
联立①②代入v得
。
例3、如图所示，在竖直放置的绝缘直棒上套一个小环，其质量为0.1g，环带有电量为q=4×10－4C的正电荷，环与棒之间的动摩擦因数为μ=0.2，棒所在的空间分布有正交的匀强电场和匀强磁场，电场的场强为E=10V/m，磁场的磁感应强度为B=0.5T，现让环从静止开始下滑，求：
（1）环在下滑过程中的最大加速度；
（2）环在下滑过程中的最大速度。
解析：
要求出环在下滑过程中的最大加速度和最大速度，必须要了解环在整个下滑过程中的运动情况和受力情况。首先应对环进行受力分析，环在下滑过程中受到竖直向下的重力、水平向左的电场力、水平向右的洛伦兹力、水平方向的弹力和竖直向上的摩擦力。当环刚开始下滑时，环的速度很小，洛伦兹力也很小，环所受的电场力大于洛伦兹力。所以弹力的方向水平向右，环向下做加速运动，随着环的速度增大，环所受的洛伦兹力也增大，环所受的弹力变小，滑动摩擦力也变小，环在竖直方向所受的合力增大，环做加速度变大的加速运动，当环所受的洛伦兹力等于电场力时，弹力为零，滑动摩擦力也为零，此时，环在竖直方向的合力达到最大，加速度达到最大，为重力加速度g。随着环速度的进一步增大，环所受的洛伦兹力将大于电场力，弹力的方向变为水平向左，并随着洛伦兹力的增大而增大，环所受的滑动摩擦力增大，环在竖直方向所受的合外力变小，环做加速度变小的加速运动，当环所受的滑动摩擦力等于环的重力时，环的加速度为零，速度达到最大，接下去环将做匀速直线运动。
开始下滑时，环的受力如图（1）所示，当弹力为零时，物体在竖直方向只受重力作用，此时环的加速度最大，由牛顿第二定律可得：mg=mamax，
∴amax=g=10m/s2.
当环的加速度达到最大后，环受力情况如图（2）所示，当环的速度达到最大时，环所受的滑动摩擦力等于的重力，即f=mg。
而由于f=μN， N=qvmaxB－qE
∴
例4、如图所示，一带正电的质子从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使粒子能从两板间射出，试求磁感应强度B应满足的条件（已知质子的带电量为e，质量为m）．
解析：
由于质子在O点的速度垂直于板NP，所以粒子在磁场中做圆周运动的圆心O′一定位于NP所在的直线上，如果直径小于ON，则轨迹将是圆心位于ON之间的一个半圆弧．随着磁场B的减弱，其半径r＝逐渐增大，当半径r＝ON/2时，质子恰能从N点射出．如果B继续减小，质子将从NM之间的某点射出．当B减小到某一值时，质子恰从M点射出．如果B再减小，质子将打在MQ板上而不能飞出．因此质子分别从N点和M点射出是B所对应的两个临界值．
第一种情况是质子从N点射出，此时质子轨迹的半个圆，半径为ON/2＝d/4．
所以R1＝
B1＝
第二种情况是质子恰好从M点射出，轨迹如图中所示．由平面几何知识可得：
R22＝d2＋（R2－d）2 ①
又R2＝ ②
由①②得：
B2＝
磁感应强度B应满足的条件：
≤B≤．
【说明】求解带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的题目时，正确地画出带电粒子的轨迹是解题的关键．作图时一定要认真、规范，不要怕在此耽误时间．否则将会增大解题的难度．造成失误。通过本例说明（1）确定带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心并进一步利用几何关系求半径的方法．（2）分析解决临界问题的方法．
例5、如图所示，在xOy平面上，a点坐标为（0，l），平面内一边界通过a点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，有一电子（质量为m，电量为e）从a点以初速度v0平行x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好在x轴上的b点（未标出）射出磁场区域，此时速度方向与x轴正方向夹角为60°，求：
（1）磁场的磁感应强度；
（2）磁场区域圆心O1的坐标；
（3）电子在磁场中运动的时间．
解析：
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，从a点射入从b点射出，O、a、b均在圆形磁场区域的边界，粒子运动轨道圆心为O2，令
由题意可知，∠aO2b＝60°，且△aO2b为正三角形
在△OO2b中，R2＝（R－l）2＋（Rsin60°）2 ①
而R＝ ②
由①②得R＝2l
所以B＝
而粒子在磁场中飞行时间
t＝
由于∠aOb＝90°又∠aOb为磁场图形区域的圆周角
所以ab即为磁场区域直径
O1的x坐标：x＝aO1sin60°＝
y＝l－aO1cos60°＝
所以O1坐标为（，）
【说明】本题为带电粒子在有边界磁场区域中的圆周运动，解题的关键一步是找圆心，根据运动电荷在有界磁场的出入点速度方向垂线的交点，确定圆心的位置，然后作出轨迹和半径，根据几何关系找出等量关系．求解飞行时间从找轨迹所对应的圆心角的方面着手．
当然带电粒子在有界磁场中做部分圆周运动，除了要运用圆周运动的规律外，还要注意各种因素的制约而形成不是惟一的解，这就要求必须深刻理解题意，挖掘隐含条件，分析不确定因素，力求解答准确、完整．
【设计意图】（1）巩固找圆心求半径的方法．（2）说明求时间的方法．
磁场对运动电荷的作用力（二）
重、难点知识归纳与讲解
（一）带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1、带电粒子的速度方向若与磁场方向平行，带电粒子不受洛伦兹力作用，将以入射速度做匀速直线运动。
2、带电粒子若垂直进入匀强磁场且只受洛伦兹力的作用，带电粒子一定做匀速圆周运动，其轨道平面一定与磁场垂直。
由洛伦兹力提供向心力，得轨道半径：。
由轨道半径与周期的关系得：。
可见，周期与入射速度和运动半径无关。荷质比相同的带电粒子，当它们以不同的速度在磁场中做匀速圆周运动时，无论速度相差多大，由于其运动半径，与速度成正比，所以它们运动的周期都相同。
（二）质谱仪
利用不同质量而带同样电量的带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径不同，可以制成测定带电粒子质量的仪器——质谱仪。
如图所示，粒子带电量为q，质量为m，经加速电压U加速后进入匀强磁场中，在加速电场中，由动能定量得：，在匀强磁场中轨道半径：，所以粒子质量。
例1、质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示．离子源S产生一个质量为m、电量为q的正离子．离子产生出来时速度很小，可以看作是静止的．离子产生出来后经过电压U加速，进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆周运动而达到记录它的照相底片P上，测得它在P上的位置到入口处S1的距离为x．则下列说法正确的是（ ）
A．若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明离子的质量一定变大
B．若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明加速电压U一定变大
C．若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明磁感应强度B一定变大
D．若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明离子所带电量q可能变小
解析：
由加速过程得v＝及半径公式r＝得r＝；故U、m、q，B都有可能变化导致x增大，所以ABC不对．
答案：D
（三）回旋加速器的工作原理
粒子源位于两D形盒的缝隙中央处，从粒子源放射出的带电粒子经两D形盒间的电场加速后，垂直磁场方向进入某一D形盒内，在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动，若带电粒子的电荷量为q，质量为m，进入D形盒时速度为v，匀强磁场的磁感应强度为B。
使高频电源的周期，则当粒子从一个D形盒飞出时，缝隙间的电场方向恰好改变，带电粒子在经过缝隙时再一次被加速，以更大的速度进入另一个D形盒，以更大的速率在另一D形盒内做匀速圆周运动……；利用缝隙间的电场使带电粒子加速，利用D形盒中的磁场控制带电粒子转弯，每经过缝隙一次，带电粒子的速度增大一次，粒子的速度和动能逐次增大，在两D形盒内运动的轨道半径也逐次增大，设粒子被引出D形盒前最后半周的轨道半径的R，则带电粒子从加速器飞出的速度和动能达到最大分别为：
。
例2、正电子发射计算机断层（PET）是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段。
（1）PET所用回旋加速器示意如图，其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R，两盒间距为d，在左侧D形盒圆心处放有粒子源S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示。质子质量为m，电荷量为q。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，质子在加速器中运动的总时间为t（其中已略去了质子在加速电场中的运动时间），质子在电场中的加速次数于回旋半周的次数相同，加速质子时的电压大小可视为不变。求此加速器所需的高频电源频率f和加速电压U。
（2）试推证当Rd时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计（质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）。
解析：
（1）设质子回速最大速度为v，由和牛顿第二定律有
qvB=m
质子的回旋周期
T=
高频电源的频率
f=
质子加速后的最大动能
Ek=vm2
设质子在电场中加速的次数为n，则
En=nqU
又t=n
可解得U=
（2）在电场中=，
在D形盒中回旋的总时间为
t1=n
故
即当R>> d时，t1可忽略不计。
例3、某回旋加速器D形盒的半径R=60cm，用它加速质量m=1.67×10－27kg，电荷量q=1.6×10－19C的质子，要把静止质子加速到Ek=4.0MeV的能量，求D形盒内的磁感应强度B应多大？
解析：
D形盒的半径R可近似看作质子引出D形盒前半周的轨道半径，跟R相应的质子能量为Ek，由
三、重、难点知识剖析
1、带电粒子作匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定：
（1）圆心的确定，因为洛仑兹力f指向圆心，根据f⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的f的方向，其延长线的交点即为圆心。
（2）半径的确定和计算，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法。
（3）在磁场中运动时间的确定，利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于360°计算出圆心角θ的大小，由公式，可求出运动时间。
2、带电粒子在复合场中的运动，这里所说的复合场是磁场与电场的复合场，或者是磁场与重力场的复合场，或者是磁场和电场、重力场的复合场，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，所处状态是静止或匀速直线运动状态；当带电粒子所受合外力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动；当带电粒子所受合外力变化且与速度方向不在一条直线上时，粒子作非匀变速曲线运动。除了要写出相应的受力特点的方程之外，还要用到运动学公式，或者从能量的观点（即动能定理或能量守恒定律）写出方程，联立求解。注意微观带电粒子在复合场中运动时，一般不计重力。
例4、如图所示，一束电子平行于匀强磁场边界入射，入射点到边界的距离为d，其中有的电子以速度v1垂直于磁场边界从磁场中射出，有的以速度v2与边界成30°角从磁场射出，则：
（1）电子圆周运动轨道半径之比R1︰R2为多少？
（2）电子运动速度比v1︰v2为多少？
解析：
（1）如图所示，过A、C两点分别作垂直于速度方向直线，相交于O1点：过A、D两点分别作垂直于速度方向直线，相交于O2，O1、O2为两个圆周的圆心。
从C点射出的电子圆周圆心在界线上，因此圆周半径R1=d.
设从D点射出的电子圆周运动轨道半径为R2。
在Rt△O1O2D中，∠O1O2D=30°，。
得。
（2）根据得，
例5、如图所示，虚线为有界磁场的竖直界面所在处，其区域宽度为d，磁场磁感强度 为B，方向垂直纸面向里，有一带电粒子从磁场中央O点出发，粒子速度大小为v，方向垂直磁场且与水平方向成30°角，粒子质量为m、电量为q，不计粒子重力，若要求粒子能从左边边界射出磁场，则对粒子速度v的要求如何？
解析：
电粒子在匀强磁场中作匀速圆运动时，其轨道半径，即R∝v，因此要确定粒子速度大小取值范围，须从分析轨道半径取值范围入手。
（1）若粒子作圆周运动恰好经过左边边界并与边界线相切，则其对应轨道如左图所示，设粒子对应速度大小v1，轨道半径为R1。
根据粒子经过O、A两点的速度方向确定圆弧轨迹圆心O1，则有：
而。
要使粒子从左边界射出磁场，其运动轨迹的半径应大于R，因此粒子运动速度。
（2）若粒子作圆周运动经过右边边界恰好与边界相切，则其运动轨迹如图所示，设其对应的速度为v2，轨道半径为R2。利用作图法确定轨迹圆心O2，则有：
。
要使粒子不从右边边界射出，其运动轨道半径应小于R2，因此对速度要求：。
例6、如图甲所示，从左到右依次分布着水平向右的匀强磁场电场、垂直纸面向里的匀强磁场和垂直纸面向外的匀强磁场（边界是理想的）。其中匀强电场的场强为E，宽度为L，中间磁场与右侧磁场的磁感应强度均为B，质量为m、带电量为q的带电粒子从a点静止开始经电场加速，穿过中间磁场区域进入右侧磁场后，又回到a点，然后重复上述运动过程。
（1）在图上定性画出运动轨迹；
（2）求中间区域的宽度d和粒子运动的周期T。
解析：
带电粒子在电场力的作用下，从a点开始做匀加速运动，在进入中间磁场后在洛伦兹力的作用下向下偏转，经一段圆弧后，进入右侧磁场后，在洛伦兹力的作用下经一圆弧后返回到中间磁场，再经一圆弧返回到电场，最后在电场中做匀减速直线运动返回到a点。该粒子的运动轨迹应具有轴对称性，故该粒子的运动轨迹如图所示。
粒子在电场中做加速运动，由动能定理可得。
∴ 。
带电粒子以速度v进入磁场沿圆弧运动时，由于中间磁场与右侧磁场的磁感应强度相同，所以粒子轨迹半径相同，其大小应为。
如图所示，由三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是边长为2r的正三角形，根据几何知识可得，中间磁场的宽度应为。
粒子运动的一个完整周期由二段直线运动和三段部分圆周运动组成。带电粒子在电场中做初速为零的匀加速直线运动，在中间磁场做圆弧运动所对应的圆角为60°，在右侧磁场中运动所对应的圆心角为300°，所以。
例7、如图所示，半径为R的光滑绝缘环上套有一个质量为m、电量为＋q的小球，它可沿环自由滑动。绝缘环竖直地放在相互垂直的匀强电场和匀强磁场内，电场强度为E，磁感应强度为B，方向如图所示。当球从水平直径的A端由静止释放滑到最低点时，求环对球的压力。
解析：
首先对环进行受力分析，球在运动过程中，受到重力、电场力、洛伦兹力和环的弹力四个力的作用。由这四个力的特点可知，小球在下落过程中，只有重力和电场力做功。所以当小球从A滑到C位置过程中，由动能定理可知。
∴
当小球滑到C位置时，小球所受的四个力均在竖直方向，由圆周运动知可得
。
∴方向竖直向上。
库仑定律、电场强度
重难点知识归纳及讲解
（一）电荷 库仑定律
1、电荷守恒定律和元电荷
自然界中只有两种电荷，正电荷和负电荷。电荷的多少叫做电荷量，正电荷的电荷量用正数表示，负电荷的电荷量用负数表示。同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。使物体带电的方法有：（1）摩擦起电；（2）接触带电；（3）感应起电。不管哪种方式使物体带电，都是由于电荷转移的结果。元电荷e=1.60×10－19C.
2、电荷守恒定律
电荷既不能创造，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变。这个结论叫做电荷守恒定律。
3、比荷：带电粒子的电荷量与粒子的的质量之比，叫做该粒子的比荷。
4、库仑定律
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
（1）公式
（2）k=9.0×109N·m2/c2
（3）适用于点电荷（注意：看作点电荷的前提是带电体间的距离远大于带电体的尺寸
5、由于物体带电是由于电荷的转移，可知，物体所带电荷量或者等于电荷量e，或者等于电荷量e的整数倍。电荷量e称为元电荷，e=1.60×10－19C，比荷C/kg.
6、点电荷：如果带电体的距离比它们自身的大小大得多，带电体的大小和形状忽略不计。这样的带电体可看作点电荷，它是一种理想化的物理模型。
（二）电场 电场强度
1、电场的基本性质：就是对放入其中的电荷有力的作用，这种力叫做电场力。
2、电场是一种特殊的物质形态。
3、电场强度
放入电场中某点的电荷受到的电场力F跟它的电荷量q的比值，叫做该点的电场强度，简称场强。
（1）公式
（2）单位V/m 1V/m=1N/C
（3）矢量性：规定正电荷在该点受电场力的方向为该点场强的方向。
4、点电荷电场的场强
5、电场的叠加原理：如果有几个点电荷同时存在，它们的电场就互相叠加，形成合电场。这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。这叫做电场的叠加原理。
6、电场强度：电场强度是反映电场“力的性质”的物理量，是定义式，而仅适用于点电荷产生的电场。电场强度由表达，但E与F和q无关，E由场源和位置决定。
7、匀强电场
(1)定义：电场中各点场强的大小相等、方向相同的电场就叫匀强电场.
(2)匀强电场的电场线：是一组疏密程度相同(等间距)的平行直线.例如，两等大、正对且带等量异种电荷的平行金属板间的电场中，除边缘附近外，就是匀强电场.如图所示。
8、电场线
在电场中画出一系列从正电荷或无穷远处出发到负电荷或无穷远处终止的曲线，曲线上每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致，此曲线叫电场线。
电场线的特点：
(1)电场线是起源于正电荷或无穷远处，终止于负电荷或无穷远处的有源线。
(2)电场线不闭合、不相交、不间断的曲线。
(3)电场线的疏密反映电场的强弱，电场线密的地方场强大，电场线稀的地方场强小。
(4)电场线不表示电荷在电场中的运动轨迹，也不是客观存在的曲线，而是人们为了形象直观的描述电场而假想的曲线。
常见电场的电场线
电场
电场线图样
简要描述
正点电荷
发散状
负点电荷
会聚状
等量同号电荷
相斥状
等量异号电荷
相吸状
匀强电场
平行的、等间距的、同向的直线
典型例题：
例1、有三个完全相同的金属小球A、B、C，其中A、B分别带＋14Q和－Q的电量，C不带电，A、B球心间的距离为r（远大于球的直径），相互吸引力为F。现让C球先接触A球后，再与B球接触，当把C球移开后，A、B两球的作用力的大小将变为__________F。
精析：
A、B可看成点电荷，，C球与A球接触后，由电荷守恒定律知：A、C两球各带＋7Q的电量；C球再与B球接触后，B、C两球各带＋3Q的电量，此时A、B两球间的相互作用为斥力.
答案：
例2、真空中的两个点电荷A、B相距20cm，A带正电QA=4.0×10－10C，已知A对B的吸引力F=5.4×10－8N，则B在A处产生的场强大小为______V/m，方向_________；A在B处产生的场强大小是______V/m，方向是_________.
精析：
A对B的作用力是A的电场对B的作用力，B对A的作用力是B的电场对A的作用力，由牛顿第三定律知FBA=5.4×10－8N，则，方向由A指向B，又由
，方向由B指向A.
例3、如图所示，真空中有两个点电荷Q1=Q2=3.0×10－8C，它们相距0.1m，求与它们的距离都为0.1m的A点的场强.
精析：
点电荷Q1和Q2在A点场强分别为E1和E2，合场强在E1和E2的角平分线上，如图所示，
例4、如图所示：q1、q2、q3分别表示在一条直线上的三个点电荷，已知q1与q2之间的距为l1，q2与q3之间的距为l2，且每个电荷都处于平衡状态。
(1)如q2为正电荷，则q1为______电荷，q3为______电荷。
(2)q1、q2、q3三者电荷量大小之比是：______︰______︰______
解析：
就q2而言，q1和q3只要带同种电荷便可能使其处于平衡状态，而对q1和q3，若都带正电荷，各自均受制另外两个电荷的斥力而不能保持平衡，只有同带负电荷，q2对其为吸引力，另外一个电荷对其为斥力，当两力大小相等时才能处于平衡状态。
现再对q1列方程有：
可得：q2︰q3=l12︰(l1＋l2)2
对q2列方程有：
可得：q1︰q3=l12︰l22
∴q1︰q2︰q3=l12(l1＋l2)2︰l12l22︰(l1＋l2)2l22
总结：
1、三点电荷都平衡规律，三个点电荷一定满足：
(1)在同一直线上；
(2)两同类一异；
(3)两大夹一小。
2、分析带电体平衡问题的方法与力学分析物体的平衡方法是一样的，学会把电学问题力学化，分析方法是：
(1)确定研究对象，如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”和“隔离法”，一般是先整体后隔离。
(2)对研究对象进行受力分析。
(3)外平衡方程或根据牛顿第二定律方程求解(经常用到动量守恒定律，动能定理等)。
例5、图中边长为a的正三角形ABC的三点顶点分别固定三个点电荷+q、+q、－q，求该三角形中心O点处的场强大小和方向。
解：
每个点电荷在O点处的场强大小都是由图可得O点处的合场强为，方向由O指向C。
电势差、电势能和等势面
重难点知识归纳与讲解
1、电势差：
电荷在电场中由一点A移动到另一点B时，电场力所做的功WAB与电荷电量q的比值，叫做AB两点的电势差。表达式为：
说明：（1）定义式中，为q从初位置A移动到末位置B电场力做的功，可为正值，也可为负值，q为电荷所带的电量，正电荷取正值，负电荷取负值。
（2）电场中两点的电势差，由这两点本身的初、末位置决定。与在这两点间移动电荷的电量、电场力做功的大小无关。在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差都有确定的值，不能认为与成正比，与q成反比。只是可以利用、q来计算A、B两点电势差。
（3）公式适用于任何电场。
2、电势：
在电场中某点的电势等于该点相对零电势点的电势差；也等于单位正电荷由该点移动到参考点（零电势点）时电场力所做的功，电势记作，电势是相对的，某点的电势与零电势点的选取有关，沿电场线的方向，电势逐点降低。
说明：（1）电势的相对性。
（2）电势是标量。电势是只有大小、没有方向的物理量，电势的正负表示该点的电势高于和低于零电势。
（3）电势与电势差的比较
电势与电势差都是反映电场本身的性质（能的性质）的物理量，与检验电荷无关；电势与电势差都是标量，数值都有正负，单位相同， UAB=A－B。某点的电势与零电势点的选取有关，两点间的电势差与零电势点的选取无关。
3、电场力做功与电势能变化的关系。
（1）电场力做功的特点
在电场中移动电荷时，电场力所做的功只与电荷的起止位置有关，与电荷经过的路径无关，这一点与重力做功相同。
（2）电势能ε
电荷在电场中具有的势能叫做电势能，电势能属于电荷和电场系统所有。
（3）电场力做功与电势能变化的关系
电场力的功与电势能的数量关系 WAB=εA－εB=△ε。
电场力做正功时，电荷的电势能减小；电场力做负功时，电荷的电势能增加，电场力做了多少功，电荷的电势能就变化多少，即△ε=WAB=qUAB。
4、等势面的概念及特点
（1）等势面
电场中电势相同的各点构成的曲面叫做等势面。
（2）等势面的特点
①电场线与等势面处处垂直，且总是由电势高的等势面指向电势低的等势面；
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功；
③处于静电平衡的导体是一个等势体，导体表面是一个等势面；
④导体表面的电场线与导体表面处处垂直。
（3）熟悉匀强电场、点电荷的电场、等量异种电荷的电场、等量同种点电荷的电场的等势面的分布情况。
①点电荷电场中的等势面，是以电荷为球心的一簇球面；
②等量同种点电荷电场中的等势面，是两簇对称曲面
③等量异种点电荷电场中的等势面，是两簇对称曲面；
④匀强电场中的等势面，是垂直于电场线的一簇平面.
三、重难点知识剖析
5、电势与等势面
（1）电势是描述电场中单个点的电场性质，而等势面是描述电场中各点的电势分布。
（2）电场线是为了描述电场而人为引入的一组假想线，但等势面却是实际存在的一些面，它从另一角度描述了电场。
（3）等势面的性质
①同一等势面上任意两点间的电势差为零；
②不同的等势面一定不会相交或相切；
③电场强度方向垂直等势面且指向电势降低的方向。
6、比较电荷在电场中某两点电势能大小的方法
(1)场源电荷判断法
离场源正电荷越近，试验正电荷的电势能越大，试验负电荷的电势能越小．
离场源负电荷越近，试验正电荷的电势能越小，试验负电荷的电势能越大．
(2)电场线法
正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大．
负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小．
(3)做功判断法
无论正、负电荷，电场力做正功，电荷从电势能较大的地方移向电势能较小的地方．反之，如果电荷克服电场力做功，那么电荷将从电势能较小的地方移向电势能较大的地方．
7、电场中电势高低的判断和计算方法
(1)根据电场线方向判断．因沿电场线方向各点电势总是越来越低，而逆着电场线方向电势总是逐渐升高．
(2)根据等势面的分布和数值，都画在同一图上，直接从图上判定电势高低．
(3)根据电场力做功公式判定．当已知q和WAB时，由公式WAB=qUAB，则UAB=WAB/q判定．
8、电势能与电势的关系
(1)电势是反映电场电势能的性质的物理量．还可以从能的角度定义电势：电场中某点的电荷具有的电势能ε跟它的电荷量的比值，叫做该点的电势，即或者ε=qφ，某点的电势与该点是否有电荷无关．
(2)正电荷在电势为正值的地方电势能为正值，在电势为负值的地方电势能为负值；负电荷在电势为正的地方电势能为负值，在电势为负的地方电势能为正值．
(3)电势是由电场决定，电势能是由电场和电荷共同决定的．它们都是标量、相对量．当零势点确定以后，各点电势有确定的值．由于存在两种电荷，则在某一点不同种电荷的电势能有的为正值，也有的为负值．
(4)在实际问题中，我们主要关心的是电场中两点间的电势差UAB和在这两点间移动电荷时，电荷电势能的改变量△εAB。UAB和△εAB都与零电势点的选择无关．有关系式：△εAB=qUAB．
9、电势与场强的比较
(1)场强是反映电场力的性质，电势是反映电场能的性质，它们都是由比值定义的物理量，因而它们都是由电场本身确定的，与该点放不放电荷无关．
(2)电场强度是矢量，电场确定后，各点的场强大小和方向都惟一地确定了．(即各点场强大小有确定的值)
电势是标量，是相对量．电场确定后，各点电势的数值还可随零电势点的不同而改变．
(3)电场线都能描述它们，但又有所不同：
电场线的密度表示场强的大小，电场线上各点的切线方向表示场强的方向．
沿电场线的方向，电势越来越低，但不能表示电势的数值．
典型例题：
1、下图是一匀强电场，已知场强E=2×102N/C．现让一个电量q=－4×10－8C的电荷沿电场方向从M点移到N点，MN间的距离s=30cm．试求：
(1)电荷从M点移到N点电势能的变化．
(2)M，N两点间的电势差．
解析：
(1)由图可知，负电荷在该电场中所受电场力F方向向左．因此从M点移到N点，电荷克服电场力做功，电势能增加，增加的电势能△E等于电荷克服电场力做的功W．
电荷克服电场力做功为W=qEs=4×10－8×2×102×0.3J=2.4×10－6J．
即电荷从M点移到N点电势能增加了2.4×10－6J．
(2)从M点到N点电场力对电荷做负功为WMN=－2.4×10－6J．
则M，N两点间的电势差为．
即M，N两点间的电势差为60V．
2、下列一些说法，正确的是（ ）
A．电场中电势越高的地方，电荷在那一点具有的电势能越大
B．电场强度越大的地方，电场线一定越密，电势也一定越高
C．电场强度为零的地方，电势一定为零
D．某电荷在电场中沿电场线的方向移动一定距离，电场线越密的地方，它的电势能改变越大
解析：
解本题的关键是区分场强、电势、电势能概念以及与电场线的关系．最易错的是，总是用正电荷去考虑问题而忽略有两种电荷的存在．由于存在两种电荷，故A项错误．电场线的疏密表示场强大小，而电场线的方向才能反映电势的高低，故B项错．电场线越密，电场力越大，同一距离上电场力做的功越多，电荷电势能的改变越犬．D项正确．电势是相对量，其零电势位置可随研究问题的需要而任意确定．故“一定为零”是错误的．
答案：D
3、将一个电量为－2×10－8C的点电荷，从零电势点S移到M点要反抗电场力做功4×10－8J，则M点电势φM=________，若将该电荷从M点移到N点，电场力做功14×10－8J，则N点电势φN=________，MN两点间的电势差UMN=________．
解析：
本题可以根据电势差和电势的定义式解决，一般有下列三种解法：
解法一：严格按各量的数值正负代入公式求解．
由WSM=qUSM得：
．
而USM=φS－φM，
∴φM=φS－USM=(0－2)V=－2V．
由WMN=qUMN得：
．
而UMN=φM－φN，
∴φN=φM－UMN=[－2－(－7)]V=5V．
解法二：不考虑各量的正负，只是把各量数值代入公式求解，然后再用其他方法判断出要求量的正负．
由WSM=qUSM得．
∵电场力做负功，∴负电荷q受的电场力方向与移动方向大致相反，则场强方向与移动方向大致相同，故φS＞φM，而φS=0，故φM=－2V．
同理可知：UMN=7V，φN=5V．
解法三：整体法：求N点电势时把电荷从S点移到M点再移动N点，看成一个全过程，在这个过程中，由S到N电场力做的总功等于各段分过程中电场力做功的代数和．即WSN=WSM＋WMN=(－4×10－8＋14×10－8)J=10×10－8J．
由WSN=qUSN得：
．
而φS=0，∴φN=5V．
4、如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等．实线为一带正电粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下面说法中正确的是（ ）
A．三个等势面中，a的电势最高
B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大
C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大
D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大
解析：
由于带电粒子做曲线运动，所受电场力的方向必定指向轨道的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a．根据电场线的方向是指电势降低的方向，故Uc＞Ub＞Ua，选项A错．
带正电粒子若从N点运动到M点，场强方向与运动方向成锐角，电场力做正功，即电势能减少；若从M点运动到N点，场强方向与运动方向成钝角，电场力做负功，电势能增加．故选项B错．
根据能量守恒定律，电荷的动能和电势能之和不变，故粒子在M点的动能较大，选项C正确．
由于相邻等势面之间电势差相等，因N点等势面较密，则EN＞EM，即qEN＞qEM．由牛顿第二定律知，带电粒子从M点运动到N点时，加速度增大，选项D正确．所以正确答案为C、D项．
答案：C、D
5、如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d=10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm．求：
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少?
解析：
板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处．Q板接地，则电势φQ=0，板间各点电势均为负值．利用公式可求出板间匀强电场的场强，再由U=Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势值．
(1)场强．
QA间电势差UQA=Ed′=5×102×(10－4)×10－2V=30V．
∴A点电势φA=－30V，P点电势φP=UPQ=－50V．
(2)当Q板向左平移5cm时，两板间距离d1=10cm－5cm=5cm．
Q板与A点间距离变为d″=(10－4)cm－5cm=lcm．
电场强度．
Q、A间电势差UQA=Ed″=1.0×103×1.0×10－2V=10V．
所以A点电势φA=－10V．
电容器、带电粒子在电场中的运动
重难点知识归纳与讲解
1、电容器的电容、平行板电容器的电容
(1)电容器：两个彼此绝缘又互相靠近的导体可构成一个电容器.
(2)电容：电容器所带的电荷量Q(一个极板所带电荷量的绝对值)与两个极板间的电势差U的比值，即电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量.
(3)常用电容器：纸质电容器、电解电容器、平行板电容器、可变电容器.其中电解电容器连接时应注意其“＋”、“－”极.
(4)平行板电容器：平行板电容器的电容C跟介电常数ε成比，跟两板正对面积S成正比，跟两板间距离d成反比，即
(5)对电容器电容的两个公式的理解.
①公式是电容的定义式，适用于任何电容器.对于一个确定的电容器，其电容只由本身的因素决定，而与其电荷量Q和电压U无关.
②公式是平行板电容器的决定式，只适用于平行板电容器.
2、平行板电容器的动态分析
充电后平行板电容器两极板间形成的电场，可认为是匀强电场，由于某种原因使电容C发生了改变，就会导致电容器的电荷量Q，两板间电压U，匀强电场的场强E发生相应的变化，这类问题常见于两种情况：
(1)电容器一直与电源相连接.此时电容器两极板间电势差U保持不变.
(2)电容器充电后与电源断开.此时电容器所带的电荷量Q保持不变.
分析的基本思路是：
3、带电粒子在电场中加速
带电粒子进入电场中加速，若不计粒子重力，根据动能定理，有
当初速度v0=0时，末速度v的大小只与带电粒子的荷质比和加速电压U有关，而与粒子在电场中的位移无关.
4、带电粒子在电场中的偏转
带电粒子沿垂直匀强电场的场强方向进入电场后，做类平抛运动，如图所示，设粒子的电荷量为q，质量为m，初速度为v0，两平行金属板间电压为U，板长为L，板间距离为d，则平行于板方向的分运动是匀速直线运动，L=v0t
垂直于板方向的分运动是初速为零的匀加速直线运动
所以，侧移距离
偏转角θ满足
5、示波管的原理
(1)结构：示波管是由电子枪、偏转电极和荧光屏组成的，管内抽成真空.
(2)原理：如果在偏转电极XX′上加上扫描电压，同时在偏转电极YY′上加上所要研究的信号电压，若其周期与扫描电压的周期相同，在荧光屏上就显示出信号电压随时间变化的图线.
6、带电粒子在匀强电场中的运动
带电粒子在匀强电场中的运动有两类问题：一是运动和力的关系问题，常用牛顿第二定律结合运动学公式去分析解决；二是运动过程中的能量转化问题，常用动能定理或能量守恒定律去分析解决.
(1)在交变电场中的运动
①在交变电场中做直线运动.粒子进入电场时的速度方向(或初速为零)跟电场力方向平行，在交变电场力作用下，做加速、减速交替变化的直线运动，通常运用牛顿运动定律和运动学公式分析求解.
②在交变电场中的偏转，粒子进入电场时的速度方向跟电场力方向垂直，若粒子在电场中运动的时间远小于交变电场的周期，可近似认为粒子在通过电场的过程中电场力不变，而做类平抛运动.
(2)在匀强电场与重力场的复合场中运动
处理复合场有关问题的方法常有两种：
①正交分解法：将复杂的运动分解为两个相互正交的简单直线运动，分别去研究这两个分运动的规律，然后运用运动合成的知识去求解复杂运动的有关物理量.
②等效法：由于带电微粒在匀强电场中所受到的电场力和重力都是恒力，因此，可将电场力F和重力G进行合成如图所示，这样复合场就等效为一个简单场，将其合力F合与重力场的重力类比，然后利用力学规律和方法进行分析和解答.
典型例题
例1、如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中.在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况下，一定能使电子的偏转角θ变大的是（ ）
A．U1变大，U2变大 B．U1变小，U2变大
C．U1变大，U2变小 D．U1变小，U2变小
解析：
设电子经电场U1加速后获得的速度为v0，
根据动能定理 ①
设极板长为L，两板间距离为d，电子进入偏转电场后做类平抛运动，则
平行于极板方向：L=v0t ②
垂直于极板方向： ③
偏转角θ满足： ④
由以上各式可解得：
显然，U1减小，U2增大时，θ一定增大.
答案：B
例2、如图所示，质量为m、电荷量为－q的粒子(重力不计)，在匀强电场中的A点时速度为v，方向与电场线垂直，在B点时速度大小为2v，已知A、B两点间距离为d，求
(1)A、B两点间的电压；
(2)电场强度的大小和方向.
解析：
(1)带电粒子从A到B的过程中，由动能定理可得
将vA=v，vB=2v代入可解得
(2)带电粒子从A到B做类平抛运动，设在垂直电场线和平行电场线方向上的位移分别为x和y.
由于A到B，粒子的动能增加，则电场力做正功，所以，场强方向应水平向左.
答案：
例3、带有等量异种电荷的两个平行金属板A和B水平放置，两板间距离为d(d远小于板的长和宽)，一个带正电的油滴M悬浮在两板的正中央，处于平衡，油滴的质量为m，电荷量为q，如图所示.在油滴的正上方距A板d处有一个质量也为m的带电油滴N，油滴N由静止释放后，可以穿过A板上的小孔，进入两金属板间与油滴M相碰，并立即结合成一个大油滴.整个装置处于真空环境中，若不计油滴M和N间的库仑力和万有引力以及金属板本身的厚度，要使油滴N能与M相碰，且结合成的大油滴(油滴可视为质点)又不与金属板B相碰.求：
(1)两个金属板A、B间的电压是多少？哪板电势高？
(2)油滴N带何种电荷，电荷量可能是多少？
解析：
(1)油滴M带正电，在两金属板之间处于平衡，有mg=qU/d，则B板电势较高，电势差
(2)若油滴N带负电，则N与M相碰后，结合成大油滴无论其电性为正，还是为负，或者电荷量为零，都将向B板做加速运动而最终与B板相碰.因此，要不落到B板上，油滴N必带正电.
设油滴N带电量为Q，油滴N与M相碰前的速度设为v0，有：
油滴N能与M相碰：
油滴M和N相碰后，结合成大油滴，速度为v，有：
此后，大油滴向下运动，不碰到B板，须有
代入v和U的值，解得
油滴所带电荷量是
答案：
B板电势较高 (2)正电，
例4、在水平向右的匀强电场中，有一质量为m，带正电的小球，用长为L的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止A点时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示.现给小球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动，求：
(1)小球运动过程中的最小速度.
(2)小球在A点的初速度.
解析：
小球在运动过程中，所受重力和电场力都是恒力，将它们合成等效为一个力F，如图所示，则把合力F与重力类比，其等效重力加速度因此，小球在竖直平面内做匀速圆周运动的等效“最低点”和“最高点”分别为图中的A点和B点.
(1)小球在B点处的速度最小，依题意有
(2)小球从A点运动到B点的过程中，根据动能定理
答案：
例5、如图所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d(d远小于板的长和宽)，在两板之间有一带负电的质点P.已知若在A、B之间加电压U0，则质点P可以静止平衡.现在A、B间加上如图所示的随时间t变化的电压U，在t=0时，质点P位于A、B间的中点处且初速度为0，已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图中U改变的各时刻t1，t2，t3及tn的表达式.(质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次.)
解析：
综合分析带电质点P的受力情况和运动情况，建立清晰的物理图景是解答本题的关键.
设质点P的质量为m，电荷量为q，当A、B间加电压U0时，根据题意有
当两板间所加电压为2U0时，P的加速度向上，设其大小为a，则联立解得，a=g.
当两板间的电压为零时，P只受重力，加速度方向向下，大小为g，要P以最大幅度上下运动，而又不与两板相碰，则P达到A板或B板时速度必为零.根据运动的对称性可知，加上电压2U0后，P质点先向上做匀加速度直线运动，运动后，撤去电场，继续向上做匀减速运动直到速度为零.
到达A板后，在重力作用下，自由下落直到A、B的中点，然后又加上电压2U0，使质点P向下做匀减速运动，至B板时，速度恰好减为零，然后反向加速，达到A、B中点时撤去电场，在重力作用下做匀减速运动到A板时，速度恰好为零，以后重复上述运动过程.
综合以上分析，质点P的运动过程可用v—t图象表示，如图所示.
由匀变速直线运动规律有
其中a=g，解得
设质点P从A板自由下落到AB两板中点所历经的时间为△t，则
答案：
例6、如图所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压U. A板的电势UA=0，B板的电势UB随时间的变化规律为：在0到的时间内， UB=U0(正的常数)；在到T的时间内， UB=－U0；在T到的时间内， UB=U0；在到2T的时间内，UB=－U0……，现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子初速度和重力的影响均可忽略（ ）
A．若电子是在t=0时刻进入的，它将一直向B板运动
B．若电子是在时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
C．若电子是在时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
D．若电子是在时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动
解析：
依题意，电子在电场中运动时，其加速度大小不变，方向在
时刻发生突变.不同时刻进入的电子，其运动情况有所不同，如图中的a、b、c所示，分别表示t=0时刻，时刻的和时刻进入的电子的v—t图象(以从A板指向B板方向为正方向).
从图象可以看出， t=0时刻进入的电子速度方向不变，一直向B板运动. 和时刻进入的电子运动一段时间后速度反向，这说明它们都是来回往复运动，但在一个周期内，前者的位移为正，即向B板运动了一段位移，最后一定打在B板上；而后者的位移为负，若在一个周期内未打到B板，电子将返回到A板而从小孔穿出. 时刻进入的电子受到指向A板的电场力，而初速为零，因此，它不可能进入两板间运动.
答案：AB
恒定电流
重点知识归纳及讲解
（一）电流
1、电流的一层含义
（1）大量自由电荷定向移动形成电流的现象；
（2）物体中有大量的自由电荷是形成电流的内因，电压是形成电流的外因。
2、电流的另一层含义
（1）意义：表示电流强弱的物理量
（2）定义：通过导体横截面的电荷量q跟通过这些电荷量所用时间的比值叫电流。
（3）公式：（定义式）
（4）单位：安培（A） 毫安（mA） 微安（μA）
（5）是标量，方向规定：正电荷定向移动的方向为电流的方向
（6）方向不随时间而改变的电流叫直流电：方向和强弱都不随时间而改变的电流叫恒定电流。
3、电流的微观表达式：I=nqSv
n—单位体积内电荷数
q—自由电荷量
S—导体的横截面
v—电荷定向移动的速率
4、导线中的电场：导线中的电场是两部分电荷共同作用的结果，其一是电源正、负极产生的电场，可以将该电场分解为两个方向：沿导线方向的分量使只有电子沿导线做定向移动，形成电流；垂直导线方向的分量使自由电子向导线的某一侧聚集，从而使导线的两侧出现正、负净电荷分布。这些电荷分布产生附加电场，该电场将削弱电源两极产生的垂直导线方向的电场，直到使导线中该方向合场强为零，而达到动态平衡状态。此时导线内的电场线保持与导线平行，自由电子只存在定向移动。
（二）电动势
1、电源：通过非静电力做功把其他形式的能转化为电势能的装置。
2、电动势在数值上等于非静电力把1C的正电荷在电源内从负极移动到正极所做的功
3、表达式：
4、内阻：电源内部也是由导体组成，这个电阻叫做电源的内阻。
（三）欧姆定律
内容：导体中的电流I跟导体两端的电压U成正比，跟导体的电阻R成反比,即（适用于金属导体和电解液，不适用于气体导电）。
电阻的伏安特性曲线：注意I-U曲线和U-I曲线的区别。还要注意：当考虑到电阻率随温度的变化时，电阻的伏安特性曲线不再是过原点的直线。
（四）电阻定律：导体的电阻R跟它的长度l成正比，跟它的横截面积S成反比。
（1）ρ是反映材料导电性能的物理量，叫材料的电阻率（反映该材料的性质，不是每根具体的导线的性质）。单位是Ω·m。
（2）纯金属的电阻率小，合金的电阻率大。
（3）材料的电阻率与温度有关系：
①金属的电阻率随温度的升高而增大（可以理解为温度升高时金属原子热运动加剧，对自由电子的定向移动的阻碍增大。）铂较明显，可用于做温度计；锰铜、镍铜的电阻率几乎不随温度而变，可用于做标准电阻。
②半导体的电阻率随温度的升高而减小（可以理解为半导体靠自由电子和空穴导电，温度升高时半导体中的自由电子和空穴的数量增大，导电能力提高）。
③有些物质当温度接近0 K时，电阻率突然减小到零——这种现象叫超导现象。能够发生超导现象的物体叫超导体。材料由正常状态转变为超导状态的温度叫超导材料的转变温度TC。我国科学家在1989年把TC提高到130K。现在科学家们正努力做到室温超导。
注意：公式R＝是电阻的定义式，而R=ρ是电阻的决定式。R与U成正比或R与I成反比的说法是错误的，导体的电阻大小由长度、截面积及材料决定，一旦导体给定，即使它两端的电压U＝0，它的电阻仍然存在。
三、难点知识剖析
例 1、一个标有“220V、60W”的白炽灯泡，加上的电压U由零逐渐增大到220V，在此过程中，电压U和电流I的关系可用图象表示，题中给出的四个图线中，肯定不符合实际的是（ ）
解析：
本题的思路是 U—I图像中，图线的斜率表示电阻，斜率越大，电阻越大。如果图线是曲线，则表示导体中通过不同的电压、电流时它的电阻是变化的，这时电阻可以用该点曲线的切线斜率来表示。
灯泡在电压加大的过程中，灯丝中的电流增大，温度升高，而金属的电阻率随着温度的升高而增大，所以灯丝在加大电压的过程中电阻不断增大， U—I图线中曲线的斜率应不断增大。A图中斜率不变，表示电阻不变，C图中斜率减小，表示电阻减小，D图中斜率先变大后变小。只有B图中斜率不断增大，符合电压不断变大的实际情况。
答案： ACD
说明：
本题的难点在于①是对 U—I图的物理意义的理解；②是由计算的电阻值只是灯泡正常发光的阻值，而不是整个过程中的阻值。
例 2、如图所示在NaCl水溶液中，如在t秒内分别有n1和n2个正负离子通过液体的横截面S，试问：溶液中的电流方向如何？电流强度多大？
解析：
在导体两端加上电压后， NaCl溶液中的Na＋离子和Cl－离子在电场力的作用下向相反的方向作定向移动。正离子Na＋的定向移动方向与电流的方向相同，如图所示电流方向A→B。
由于 NaCl水溶液中正、负离子都是一价离子，电量均为e，所以在t秒内有n1个一价正离子沿着A→B的方向通过S，同时有n2个一价负离子沿相反的方向通过S，负离子的运动可等效看成正离子沿相反方向运动，即溶液中的电流相当于t秒内有(n1＋n2)e的正电荷通过横截面S，由得：.
例3、如图所示，由一个由电池、电阻R、开关S与平行板电容器组成的串联电路，开关闭合.在增大电容器两极板间距离的过程中（ ）
A．电阻R中没有电流
B．电容器的电容变小
C．电阻R中有从a流向b的电流
D．电阻R中有从b流向a的电流
解析：
图中电容器被充电，A极板带正电，B极板带负电。根据平行板电容器的大小决定因等可知，当增大电容器两极板间距离d时，电容C变小.由于电容器始终与电池相连，电容器两极板间电压UAB保持不变，根据电容的定义，当C减小时电容器两极板所带电荷量Q都要减少，A极板所带正电荷的一部分从a到b经电阻流向电源正极，即电阻R中有从a流向b的电流.所以选项B、C正确.
答案：BC
例4、来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流强度为1mA的细柱形质子流。已知质子电荷e=1.60×10-19C。这束质子流每秒打到靶上的质子数为_________。假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距L和4L的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为n1和n2，则n1∶n2=_______。
解：
按定义，
由于各处电流相同，设这段长度为l，其中的质子数为n个，
则由。而
电功和电功率
重、难点知识归纳和讲解
（一）电功和电热
1、电功：
电流流过导体，导体内的自由电荷在电场力的作用下发生定向移动，在驱使自由电荷定向运动的过程中，电场力对自由电荷做了功，简称为电功。电功是电能转化为其他形式能的量度。其计算公式：W=qU，W=UIt，W=Pt是普适公式而W=I2Rt和，只适用于纯电阻电路的运算。单位：1度=1千瓦时=3.6×106焦耳。
2、电热：Q=I2Rt是焦耳通过多次实验得到的，是电能转化为热能的定量计算公式。变形公式：。
3、电功和电热的关系：W≥Q
4、电流通过做功，电能全部转化为热能的电路叫纯电阻电路；电能只有一部分转化
为内能，而大部分转化为机械能、化学能等的电路叫非纯电阻电路.
（二）电功率和热功率
1、电功率：
电功率是描述电流做功快慢的物理量。由功率公式P=W/t得P=UIt/t=UI，这两个公式是普适公式，而P=I2R，P=只适用于纯电阻电路。
2、电热功率：
电热功率是描述电流做功产生电热快慢程度的物理量。由功率。
3、电功率和电热功率的关系：P≥PQ.
4、额定功率和实际功率.
（1）额定功率：指用电器正常工作时的功率，当用电器两端电压达到额定电压时，电流也达到额定电流，功率达到额定功率。
（2）实际功率：指用电器在实际电压下电流做功的功率，只有当实际电压等于额定电压时，实际功率才等于额定功率。
（3）在忽略R的变化时，有如下关系：
（三）串联电路的特点
1、电流：串联电路中电流强度处处相等：I=I1=I2=I3.
2、电压：串联电路两端的总电压等于各串联导体两端的电压之和。
U=U1＋U2＋U3.
3、电阻：串联电路的总电阻等于各串联导体的电阻之和。
R=R1＋R2＋R3.
4、分压原理：串联电路中的电阻起分压作用，电压的分配与电阻成正比。
U1︰U2︰U3=IR1︰IR2︰IR3=R1︰R2︰R3
5、电功率、电功：串联电路中的电功率、电功与电阻成正比。
P1︰P2︰P3=I2R1︰I2R2︰I2R3=R1︰R2︰R3
W1︰W2︰W3=I2R1t︰I2R2t︰I2R3t=R1︰R2︰R3
（四）并联电路的特点
1、电流：并联电路中干路中的总电流等于各支路中电流之和。
I=I1＋I2＋I3.
2、电压：并联电路中，各支路两端的电压都相等。
U1=U2=U3=U
3、电阻：并联电路中，总电阻的倒数，等于各支路电阻的倒数之和.
.
4、分流原理：并联电路中的电阻起分流作用，电流的分配与电阻成反比。
I1︰I2︰I3=
5、电功率、电功：并联电路中各支路中的电功率、电功与电阻成反比。
P1︰P2︰P3=
W1︰W2︰W3=
（五）混联电路
1、解决混联电路的方法是：
（1）求混联电路的等效电路；
（2）运用欧姆定律和串、并联电路的特点进行计算。
2、画等效电路图即是等效替代的方法；对复杂电路进行等效变换的一般原则是：
（1）无阻导线可缩成一点，一点也可以延展成无阻导线；
（2）无电流的支路化简时可以去掉；
（3）电势相同的点可以合并；
（4）理想电流表可以认为短路，理想的电压表可认为断路，电压稳定时，电容器处可认为断路。
三、例题精析
例1、如图所示的电路中，三个电阻的阻值相等，电流表A1、A2和A3的内电阻均可忽略，电流表的读数分别为I1、I2和I3，则I1︰I2︰I3=_______︰_______︰_______。
精析：
依题意可知三只电流表电阻均不计，可用导线取而代之，故得等效电路图如图所示。
无阻导线所连的 A、A′可视为一点，B、B′也可视为一点，则其等效电路图又可改画成图乙所示。显然，三个等值电阻R1、R2、R3是并联的。最后将三个电流表分别补接在相应的位置上，可得等效电路图如丙。
由并联电路的分流关系可知，通过各电阻的电流相等，设为 I。分析等效电路如图丙可知：I1=3I，I2=2I，I3=2I。由此可得出I1、I2、I3的比例关系。
答案： I1︰I2︰I3=3︰2︰2。
例2、一直流电动机线圈内阻一定，用手握住转轴使其不能转动，在线圈两端加电压为0.3V，电流为0.3A，松开转轴，在线圈两端加电压为2V时，电流为0.8A，电动机正常工作。求该电机正常工作时，输入的电功率是多少？电功机的机械功率是多少？
精析：
（1）由于电动机不转动时，其消耗的电功全部转化为内能，故可看作纯电阻电路，由欧姆定律得电动机线圈的内阻为.
（2）电动机转动时，消耗的电能转化为内能和机械能，其输入功率为：
P入=I1U1=0.8×2=1.6W.
电动机的机械功率为：P机=P入－I12r=1.6－0.82×1=0.96W
说明：
（1）在非纯电阻电路中，要注意区别电功和电热；
（2）对电动机：输入的功率P入=IU，发热功率P热=I2R，输出功率即机械功率为P机=P入－P热=UI－I2R
闭合电路的欧姆定律
重、难点知识归纳和讲解
（一）闭合电路欧姆定律
1、电源电动势：电源是把其他形式的能转化为电能的装置。电动势是表征电源把其他形式的能量转换成电能的本领大小的物理量；电动势的大小由电源本身的性质决定，数值等于电路中通过1C电量时电源所提供的能量，也等于电源没有接入电路时两极间的电压；电动势是标量，方向规定为由电源的负极经电源内部到正极的方向为电源电动势的方向。
2、闭合电路欧姆定律
（1）闭合电路由电源的内部电路和电源的外部电路组成，也可叫含电源电路、全电路。
（2）在闭合电路里，内电路和外电路都适用部分电路的欧姆定律，设电源的内阻为r，外电路的电阻为R，那么电流I通过内阻时在电源内部的电压降U内=Ir，电流流过外电阻时的电压降为U外=IR，由U外＋U内=E，得。该式反映了闭合电路中电流强度与电源的电动势成正比，与整个电路的电阻成反比，即为闭合电路欧姆定律，适用条件是外电路为纯电阻电路。
3、路端电压与负载变化的关系
（1）路端电压与外电阻R的关系：
（外电路为纯电阻电路）
其关系用U—R图象可表示为：
（2）路端电压与电流的关系
U=E－Ir（普适式）
其关系用U—I图象可表示为
当R=∞时，即开路，
当R=0时，即短路，
其中，r=|tgθ|.
4、闭合电路中的功率
（1）电源的总功率（电源消耗的功率）P总=IE
电源的输出功率（外电路消耗的功率）P输=IU
电源内部损耗的功率：P损=I2r
由能量守恒有：IE=IU＋I2r
（2）外电路为纯电阻电路时：
由上式可以看出：
即当R=r时，
此时电源效率为：
（2）当R>r时，随R的增大输出功率减小。
（3）当R
（二）“串反并同”定则：在外电路为混联的闭合电路中，讨论因某一电阻发生变化引起电路中各参量的变化时，可采用以下简单的方法：“串反并同”，当某一电阻发生变化时，与它串联的电路上的电流、电压、功率必发生与其变化趋势相反的变化；与它并联的电路上的电流、电压、功率必发生与其变化趋势相同的变化。
（三）含电容器的电路分析：有电容器连接的电路，当电路电压达到稳定时，电容器当断路处理，它两端的电压等于它并联部分的电阻的两端电压。通常是先不考虑电容器，画出等效电路，再安上电容器，电容器在恒定电流中可等效为“电压表”。找出“电压表”的读数及变化，再由Q=CU求解。
例1、在如图所示的电路中，当滑线变阻器的滑动头向b端滑动时，电流表和电压表的示数将如何变化？
解：
整个电路的结构是：R2与R3并联，然后再与R1串联，电压表测的是路端电压，电流表测的是R3支路的电流强度。当滑动头向ｂ滑动时，R3的阻值减小，由R并=R2R3/(R2+R3)知并联电路总电阻R并减小，故外电路总电阻R=R1+R并减小。根据闭合电路欧姆定律I=E/(R+r)，总电流强度I增大，由U=E-Ir知路端电压即电压表的示数将减小。因并联电路电压U并=U-IR1所以U并减小，通过R2的电流I2= U并/R2减小。由I3=I-I2，可以看出R3支路的电流，即电流表的示数将增大。
说明：（１）判断并联电路的电压时不能用U并=IR并，因为R并在减小而Ｉ在增大，其乘积倒底如何变，由题设条计不能确定；同样在判断I3时也不能用I3=U并/R3，因为R3和U并都在减小，无法确定I3如何变。此时应通过先研究阻值不变的电阻R1和R2的电压、电流的变化，再去讨论U并和I3的变化情况。
（2）如果使用“串反并同”定则，判断起来更简捷，R3减小，则与它串联的电流表的示数必增大；R1、R2、R3混联电路电阻减小，则与它相并联的电压表的示数也应相应减小。
例2、某一电源对外供电电路如图，已知R1=6Ω，电源内阻r=1Ω，滑动变阻器的电阻R2变化范围为0～4Ω。
（1）当闭合开关S后，将变阻器的电阻调到有效电阻R2=2Ω时，电源消耗的总功率为16W，电源输出功率为12W，求灯泡电阻RL的阻值。
（2）若将开关S断开，此时灯泡L消耗的功率为多少？
（3）在开关S断开的情况下，仍要使灯泡消耗的功率和S闭合时相同，应将滑动变阻器的滑动片向哪边移动？移动到使其有效电阻值R2′等于多少的位置？
解析：
（1）因为电源内消耗功率：P内=I2r=P总－P出.所以
所以，灯泡电阻
（2）S断开后，通过灯泡L的电流为：
此时灯泡消耗的功率为：
（3）若S断开后仍要使灯泡消耗的功率和S闭合时相同，则由解（1）可知通过灯泡的电流仍应为1A，由闭合电路欧姆定律有：
即滑动变阻器的滑动片应向右滑动到R2′等于3Ω处.
例3、如图所示的电路中，电源的电动势恒定，要想使灯泡变暗，可以（ ）
A．增大R1 B．减小R1
C．增大R2 D．减小R2
分析：
电路是灯泡R与R2并联后再与电阻R1串联。
若增大R1，灯泡两端电压变小，灯泡变暗。同样若减小R1，则灯泡变亮。
若增大R2，使得回路的总电阻增大，干路中电流减小，灯泡两端电压变大，灯泡变亮。
同样若减小R2，则灯泡变暗。
故AD正确。
答案：AD
例4、如图所示，E=10V，C1=C2=30μF，R1=4.0Ω，R2=6.0Ω，电池内阻可忽略。先闭合开关S，待电路稳定后，再将S断开，则断开S后流过电阻R1的电量为_________C。
解析：
S闭合时，C1两板电压等于电阻R2两端电压，上极板电势高。
C2两极板间电压为零.
S断开时，C1、C2两端电压均为E，且上极板电势高。
流过R1的电量为：
Q=C1E＋C2E－Q1=2×30×10－6×10C－1.8×10－4C=4.2×10－4C.
例5、如图所示的电路中R1、R2、R3和R4皆为定值电阻，R5为可变电阻，电源的电动势为E，内阻为r0.设电流表A的读数为I，电压表V的读数为U.当R5的滑动触点向图中a端移动时（ ）
A．I变大，U变小 B．I变大，U变大
C．I变小，U变大 D．I变小，U变小
分析：
当滑头向a移动时，R5的阻值变小，使R2、R4、R5的总阻值Rab变小，从而引起总的外阻R外的变小.
得到Uab变小，所以的数值变小.
答案：D
评注：在讨论电路中电阻发生变化后引起电流、电压发生变化的问题时，应根据电路的结构，由局部到整体的思路，得到总电流的变化情况，然后再到局部分析出电压和支路电流的变化情况。
电学实验
重点知识讲解
（一）电表的改装
1、电流表：把表头G改装成电流表，即把表头的量程Ig扩大到电流表的量程I，这时应并联一个电阻R，起分流作用。
若电流表的扩大倍数为，由并联电路的特点得：
电流表的内阻：
2、电压表：把表头G改装成电压表，即把表头的量程Ug扩大到量程U，应串联一个电阻起分压作用。
若电压表的扩大倍数为，由串联电路的特点得：
电压表的内阻为：RV=R＋Rg=nRg
量程：U=nUg=IgRV
例1、有一块满偏电流Ig=1mA、线圈电阻Rg=1kΩ的小量程电流表；
（1）把它改装成满偏电压U=10V的电压表；
（2）把它改装成满偏电流I=10mA的电流表。要求画出电路图，算出有关数据。
解析：
因电流表的满偏电流Ig
①改装成电压表时，由串联分压
即需串联一个阻值为9kΩ的分压电阻.
②改装成电流表时，由并联分流：
即需并联一个阻值为0.11kΩ的分流电阻.
（二）电阻的测量
1、伏安法测电阻的两种电路形式（如图所示）
2、实验电路（电流表内外接法）的选择
测量未知电阻的原理是R＝，由于测量所需的电表实际上是非理想的，所以在测量未知电阻两端电压U和通过的电流I时，必然存在误差，即系统误差，要在实际测量中有效地减少这种由于电表测量所引起的系统误差，必须依照以下原则：
（1）若＞，一般选电流表的内接法。如图（a）所示。由于该电路中，电压表的读数U表示被测电阻Rx与电流表A串联后的总电压，电流表的读数I表示通过本身和Rx的电流，所以使用该电路所测电阻R测＝＝Rx＋RA，比真实值Rx大了RA，相对误差a＝
（2）若＜，一般选电流表外接法。如图（b）所示。由于该电路中电压表的读数U表示Rx两端电压，电流表的读数I表示通过Rx与RV并联电路的总电流，所以使用该电流所测电阻
R测＝也比真实值Rx略小些，相对误差a＝.
例2、某电流表的内阻在0.1Ω～0.2Ω之间，现要测量其内阻，可选用的器材如下：
A．待测电流表A1（量程0.6A）；
B．电压表V1（量程3V，内阻约2kΩ）
C．电压表V2（量程15V，内阻约10kΩ）；
D．滑动变阻器R1（最大电阻10Ω）
E．定值电阻R2（阻值5Ω）
F．电源E（电动势4V）
G．电键S及导线若干
（1）电压表应选用_____________；
（2）画出实验电路图；
（3）如测得电压表的读数为V，电流表的读数为I，则电流表A1内阻的表达式为：RA=______________。
解：
本题利用电压表指电压，电流表指电流的功能，根据欧姆定律R=计算电流表的内阻。由于电源电动势为4V，在量程为15V的电压表中有的刻度没有利用，测量误差较大，因而不能选；量程为3V的电压表其量程虽然小于电源电动势，但可在电路中接入滑动变阻器进行保护，故选用电压表V1。由于电流表的内阻在0.1Ω～0.2Ω之间，量程为0.6A ，电流表上允许通过的最大电压为0.12V，因而伏特表不能并联在电流表的两端，必须将一个阻值为5Ω的定值电阻R2与电流表串联再接到伏特表上，才满足要求。滑动变阻器在本实验中分压与限流的连接方式均符合要求，但考虑限流的连接方式节能些，因而滑动变阻器采用限流的连接方式。故本题电压表选用V1；设计电路图如图1所示；电流表A1内阻的表达式为：RA =-R2。
（三）滑动变阻器的使用
1、滑动变阻器的限流接法与分压接法的特点
如图所示的两种电路中，滑动变阻器（最大阻值为R0）对负载RL的电压、电流强度都起控制调节作用，通常把图（a）电路称为限流接法，图（b）电路称为分压接法.
负载RL上电压调节范围（忽略电源内阻）
负载RL上电流调节范围（忽略电源内阻）
相同条件下电路消耗的总功率
限流接法
E≤UL≤E
≤IL≤
EIL
分压接法
0≤UL≤E
0≤IL≤
E（IL+Iap）
比较
分压电路调节范围较大
分压电路调节范围较大
限流电路能耗较小
其中，在限流电路中，通RL的电流IL=，当R0＞RL时IL主要取决于R0的变化，当R0＜RL时，IL主要取决于RL，特别是当R0<
滑动变阻器以何种接法接入电路，应遵循安全性、精确性、节能性、方便性原则综合考虑，灵活择取.
（1）下列三种情况必须选用分压式接法
①要求回路中某部分电路电流或电压实现从零开始可连续调节时（如：测定导体的伏安特性、校对改装后的电表等电路），即大范围内测量时，必须采用分压接法.
②当用电器的电阻RL远大于滑动变阻器的最大值R0，且实验要求的电压变化范围较大（或要求测量多组数据）时，必须采用分压接法.因为按图（b）连接时，因RL>>R0＞Rap，所以RL与Rap的并联值R并≈Rap，而整个电路的总阻约为R0，那么RL两端电压UL=IR并=·Rap，显然UL∝Rap，且Rap越小，这种线性关系越好，电表的变化越平稳均匀，越便于观察和操作.
③若采用限流接法，电路中实际电压（或电流）的最小值仍超过RL的额定值时，只能采用分压接法.
（2）下列情况可选用限流式接法
①测量时电路电流或电压没有要求从零开始连续调节，只是小范围内测量，且RL与R0接近或RL略小于R0，采用限流式接法.
②电源的放电电流或滑动变阻器的额定电流太小，不能满足分压式接法的要求时，采用限流式接法.
③没有很高的要求，仅从安全性和精确性角度分析两者均可采用时，可考虑安装简便和节能因素采用限流式接法.
例3、用伏安法测量某一电阻Rx阻值，现有实验器材如下：待测电阻Rx（阻值约5 Ω，额定功率为1 W）；电流表A1（量程0～0.6 A，内阻0.2 Ω）；电流表A2（量程0～3 A，内阻0.05 Ω）；电压表V1（量程0～3 V，内阻3 kΩ）；电压表V2（量程0～15 V，内阻15 kΩ）；滑动变阻器R0（0～50 Ω），蓄电池（电动势为6 V）、开关、导线.
为了较准确测量Rx阻值，电压表、电流表应选________，并画出实验电路图.
错解分析：
没能据安全性、准确性原则选择A1和V1，忽视了节能、方便的原则，采用了变阻器的分压接法.
解题方法与技巧：
由待测电阻Rx额定功率和阻值的大约值，可以计算待测电阻Rx的额定电压、额定电流的值约为
U=≈2.2 V，I==0.45 A.
则电流表应选A1，电压表应选V1.
又因=24.5 Ω＞Rx，则电流表必须外接.
因为滑动变阻器的全阻值大于被测电阻Rx，故首先考虑滑动变阻器的限流接法，若用限流接法，则被测电阻Rx上的最小电流为Imin==0.11 A＜I额，故可用限流电路.电路如图所示.
（四）万用电表的使用
1、使用步骤及注意事项：
（1）使用前应看一下指针是否指在刻度盘左端的零刻线处。如果不在，就应该进行机械调零：用小螺丝刀轻旋表头正下方中央处的调零螺丝，使指针指左端零刻线。
（2）根据被测物理量及其数量级将选择开关旋到相应的位置。读数时还要注意选用刻度盘上对应的量程刻度。（如测量20mA左右的直流电流，应将选择开关对准左边100mA量程处，在刻度盘上，应该看最下方的刻度，即满偏刻度为10的刻度线，从刻度盘读出数据后还应再乘10，得测量结果。）
（3）使用欧姆挡时，在选好倍率后，还必须进行欧姆调零。方法是：将红、黑表笔短接，调节欧姆调零旋钮，使指针指右端零刻线处。因此用多用电表的欧姆挡测电阻的操作步骤是：
①选挡。一般比被测电阻的估计值低一个数量级，如估计值为200Ω就应该选×10的倍率。
②进行欧姆调零。
③将红黑表笔接被测电阻两端进行测量。
④将指针示数乘以倍率，得测量值。
⑤将选择开关扳到OFF或交流电压最高挡。
用欧姆挡测电阻，如果指针偏转角度太小（即指针所指的刻度值太大），应该增大倍率重新调零后再测；如果指针偏转角度太大（即指针所指的刻度值太小），应该减小倍率重新调零后再测。
（4）使用多用电表时，两只手只能握住表笔的绝缘棒部分，不能接触表笔上的金属部分。
2、欧姆表测电阻
（1）原理是闭合电路欧姆定律.
（2）当红、黑表笔之间接入某一电阻Rx时，通过欧姆表的电流为.
若I=0，则Rx=∞；I=Ig时，Rx=0。
欧姆表刻度具有反向性和非线性特点，表盘刻度不均匀.
当，
表盘中值电阻，中值电阻一定，表盘刻度就唯一确定.
欧姆表中的电池用久了，电动势和内阻都要发生变化，只能用来粗略测量电阻.
例4、如图，电流表满偏电流Ig=500μA，线圈电阻Rg=200Ω，电动势E=1.5V，电流表盘刻有欧姆表刻度线，指针指在满刻度时共转过90°.
（1）指针半偏时所对应的阻值是多少？
（2）指针转过30°时所对应的阻值是多少？
（3）若电池使用久了，电动势变为1.4V，这种情况下测电阻时若指针指在中间阻值处，求被测电阻真实值。
解析：
（1）设电源内阻为r，指针满偏时，
指针指在表盘正中央时，
（2）指针转过30°时对应阻值为Rx，则：
（3）电动势E′=1.4V时对应的中值电阻
指针半偏处仍刻着3000Ω，而实际电阻只有2800Ω，可见用欧姆表测电阻时，由于电动势变小，电阻的测量值偏大，电阻的测量将产生系统误差。
（五）测定电池的电动势和内阻
1、实验原理
如图(1)所示电路，改变电阻R，从电压表和电流表可测出几组U、I值，利用闭合电路欧姆定律可以求出E、r．
2、数据处理
①测出两组U、I值，列方程组可解出E、r．
②图象法处理数据，测出多组(不少于6组)、I值，在—I直角坐标系中标出各点，画出—I图象，如图(2)所示，图象的纵截距为E，横截距为短路电流，．
图象法比较好地利用各组测量数据，并能排除奇异点，能够减小偶然误差．
3、误差分析：
由于电流表和电压表不是理想电表，就会带来一定的系统误差，下面分别分析电流表内接和外接两种情况下的系统误差．
(1)如图(3)所示，电流表接在了外边，电压表所测为电源的外电压，而电流表读数比流过电源的电流值要小，测量存在系统误差．
电压表的读数越大，越大，电流表的测量误差也越大，如图(4)所示，短路时，＝0，测量值与真实值相同．
由图象可知，
定量分析：＝－
此函数式的纵截距为：
斜率的绝对值为：
当r时，．
(2)如图(5)所示，电流表接在了里边，电流表所测的电流为流过电源的电流，电压表所测电压比路端电压小．
当电路中电流增加时，，电压表读数的误差随着增加，U—I图象如图(6)所示，测量值图线比较陡，＝E，＞r．
由等效电路可知，．一般安培表的内阻与r接近，所以这种方法测出的内阻误差较大．
（六）简单的逻辑电路
逻辑关系
真值表
符号
与门：仅当输入信号A和B均为1时，输出信号Z才为1。
输入
输出
A
B
Z
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
或门：输入信号A和B只要有一个为1或者均为1时，输出信号Z为1。
输入
输出
A
B
Z
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
非门：输入信号A为1，则输出信号为0；输入信号A为0，输出信号为1。
输入
输出
A
Z
0
1
1
0
例5、如图为包含某逻辑电路的一个简单电路图，L为小灯泡．光照射电阻R′时，其阻值将变得远小于R．该逻辑电路是____门电路（填“与”、“或”或“非”）．当电阻R′受到光照时，小灯泡L将______（填“发光”或“不发光”）．
解析：
逻辑电路分为或门电路、与门电路和非门电路，由图示符号可知，该逻辑电路是非门电路；当光照射电阻R′时，其阻值将变得远小于R，则R′两端电压很小，由非门电路的特点可知，其输出电压较大，小灯泡L将发光。
答案：非，发光
磁场、安培力
重难点知识归纳与讲解
1、磁场
（1）磁场是存在于磁极或电流周围空间里的一种特殊的物质，磁场和电场一样，都是“场形态物质”。
（2）磁场的方向：物理学规定，在磁场中的任一点，小磁针北极受力的方向，亦即小磁针静止时北极所指的方向，就是那一点磁场的方向。
（3）磁场的基本性质：磁场对处在它里面的磁极或电流有磁场力的作用。磁极和磁极之间、磁场和电流之间、电流和电流之间的相互作用都是通过磁场来传递的。
2、磁感线
（1）磁感线：是形象地描述磁场而引入的有方向的曲线。在曲线上，每一点切线方向都在该点的磁场方向上，曲线的疏密反映磁场的强弱。
（2）磁感线的特点：
a.磁感线是闭合的曲线，磁体的磁感线在磁体外部由N极到S极，内部由S极到N极。
b.任意两条磁感线不能相交。
3、几种常见磁场的磁感线的分布
（1）条形磁铁和碲形磁铁的磁感线
条形磁铁和蹄形磁铁是两种最常见的磁体，如图所示的是这两种磁体在平面内的磁感线形状，其实它们的磁感线分布在整个空间内，而且磁感线是闭合的，它们的内部都有磁感线分布。
（2）通电直导线磁场的磁感线
通电直导线磁场的磁感线的形状与分布如图所示，通电直导线磁场的磁感线是一组组以导线上各点为圆心的同心圆。
需要指出的是，通电直导线产生的磁场是不均匀的，越靠近导线，磁场越强，磁感线越密。电流的方向与磁感线方向的关系可以用安培定则来判断，如图所示。用右手握住直导线，伸直的大拇指与电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向。
（3）环形电流磁场的磁感线
环形电流磁场的磁感线是一些围绕环形导线的闭合曲线，在环形的中心轴上，由对称性可知，磁感线是与环形导线的平面垂直的一条直线。如图甲所示，环形电流方向与磁感线方向的关系也可以用右手定则来判断，如图乙所示，让右手弯曲的四指和环形电流的方向一致，伸直的大拇指所指的方向就是圆环轴线上磁感线的方向；如图丙所示，让右手握住部分环形导线，伸直的大拇指与电流方向一致，则四指所指的方向就是围绕环形导线的磁感线的方向。
（4）通电螺线管的磁感线
通电螺线管表现出来的磁性很像一根条形磁铁，一端相当于北极（N），另一端相当于南极（S），形成的磁感线在通电螺线管的外部从北极（N）出来进入南极（S），通电螺线管内部具有磁场，磁感线方向与管轴线平行，方向都是由S极指向N极，并与外部磁感线连接形成一些闭合曲线，其方向也可用安培定则判断，用右手握住螺线管，让弯曲的四指所指的方向跟电流的方向一致，那么大拇指所指的方向就是螺线管内部磁感线的方向，如图所示。
（5）地磁场的磁感线
地磁场的南北极与地理上的南北极刚好相反，所以磁感线从地理的南极出来进入地理的北极如图所示。
4、磁感应强度
（1）定义：在匀强磁场中，垂直于磁场方向放置的通电直导线，所受的安培力F跟电流强度I和导线长度L的乘积之比，叫做通电导线所在处的磁感应强度，即，磁感应强度B只是由磁场本身决定，与所放置的电流I和导线长度L均无关。
（2）单位：特斯拉，简称特，符号是T，。
（3）磁感应强度是描述磁场的力的性质的物理量。磁感应强度是矢量，其方向就是该点的磁场方向。
5、匀强磁场
如果磁场的某一区域里，磁感应强度的大小和方向处处相同，这个区域的磁场叫做匀强磁场，距离很近的两个异名磁极之间的磁场，通电螺线管内部的磁场都可以看成是匀强磁场。匀强磁场的磁感线为相互平行，等间距的平行线。
6、安培力的大小和方向
（1）定义：磁场对通电导线的作用力叫安培力。
（2）大小：当通电导线与磁场方向垂直放置时，安培力最大，为F=BIL。当通电导线与磁场方向平行放置时，安培力最小，为零。当通电导线与磁场方向成其他任意角放置时，安培力介于最大值和最小值之间。
（3）方向：安培力的方向可以用左手定则来判断。安培力方向垂直磁场方向，垂直电流方向，即垂直于电流方向和磁场方向决定的平面。
三、重难点知识剖析
1、磁感线是闭合曲线
磁感线与电场线不同，在磁体外部是从N极指向S有，磁体内部则从S极指向N极，从而形成闭合曲线。
2、安培定则
用安培定则判断通电线圈（或螺线管）的磁感线时，拇指指向为线圈（或螺线管）内部的磁感线方向，其外部与此方向相反。
3、磁感应强度
（1）磁感应强度是描述磁场的物理量，由磁场自身决定，与是否放入检验电流无关。
（2）磁感应强度是矢量，其方向就是该点磁场方向。当磁场叠加时，磁感应强度矢量合成。
4、安培力
（1）安培力的大小不仅与B、I、L的大小有关，还与电流方向与磁场方向间的夹角有关。
当通电直导线与磁场方向垂直时，通电导线所受安培力最大，这时安培力F=BIL。
当两者平行最小为零，对于电流方向与磁场方向成任意角的情况，可以把磁感应强度B分解为垂直电流方向和平行电流方向两种情况处理。
（2）F=BIL只适用于匀强磁场，对非匀强磁场中，当L足够短时，可以认为导线所在处的磁场是匀强磁场。
（3）安培力的方向要用左手定则判断，垂直磁感应强度方向，这跟电场力与电场强度方向之间的关系是不同的。
5、安培分子电流假说
导体中的电流是由大量的自由电子的定向移动而形成的，而电流的周国又有磁场，所以电流的磁场应该是由于电荷的运动产生的。安培提出在磁铁中分子、原于存在着一种环形电流——分子电流，分子电流使每个物质微粒都成为微小的磁体．磁铁的分子电流的取向大致相同时，对外显磁性；磁铁的分子电流取向杂乱无章时，对外不显磁性。根据物质的微观结构理论，微粒原子由原子核和核外电子组成，原子核带正电，核外电子带负电，电子在库仑力的作用下，绕核高速旋转，形成分子电流。假说的意义在于其揭示了电与磁之间的联系。
6、安培力的应用——磁电式仪表
（1）根据通电导线在磁场中会受到安培力的作用这一原理制成的仪表，称为磁电式仪表。
（2）磁电式仪表的结构
教学演示电流表的内部结构
（3）磁电式仪表原理
由于磁场对电流的作用力方向与电流方向有关，因此，如果改变通过电流表的电流方向，磁场对电流的作用力方向也会随着改变，指针和线圈的偏转方向也就随着改变，据此便可判断出被测电流的方向。
磁场对电流的作用力跟电流成正比，线圈中的电流越大，受到的作用力也越大，指针和线圈的偏转角度也越大．因此，指针偏转角度的大小反映了被测电流的大小．只要通过实验把两者一一对应的关系记录下来，并标示在刻度盘上，这样在使用中，就可以在刻度盘上直接读出被测电流的大小。
例题分析
例1、质量为m，长度为L的金属棒ab通过两根细导线水平悬挂在绝缘架下，整个装置放在竖直方向的匀强磁场中，当金属棒中通入从a至b的电流I后，棒偏离竖直位置α角后又重新平衡，如图所示，求匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向。
答案：，竖直向上
解析：
由图可知，棒受到水平向右的安培力，根据安培定则得磁感应强度方向竖直向上，由棒平衡得安培力FA=mgtanθ=BIL，∴ B=.
例2、在倾角为θ的斜面上，放置一段通有电流强度为I，长度为L，质量为m的导体棒a（通电电流方向垂直纸面向里），如图所示。棒与斜面间摩擦因数μ
答案：
（1）垂直斜面向上；（2），竖直向上
解析：
（1）对a受力分析可知为保证a静止，所加安培力的最小值应沿斜面向上，大小为：方向垂直斜面向上。
（2）当a对斜面无压力时，斜面与a间摩擦力f=0，对a受力分析可知，a只受重力与安培力两个力，为保证a静止，则FA=mg，方向竖直向上，所以应加水平向左的匀强磁场，
例3、如图所示，距地面高为h处水平放置的光滑导轨上一端放一导体棒，导轨与电源相连，置于竖直向下的匀强磁场中，已知导轨宽为L，磁感应强度为B，导体棒的质量为m。若开关S闭合后，导体棒离开导轨做平抛运动，水平射程为s，则通过导体棒的电量多大？
解析：
开关闭合后，就有电流通过导体棒ab，导体棒在磁场中就会受到向右的安培力作用做加速运动，然后离开导轨以某一初速度做平抛运动。根据导体棒下落的高度和水平射程，可以求出导体棒做平抛的初速度大小。根据动量定理可知，导体棒所获得的初动量是安培力的冲量作用的结果。
导体棒离开导轨后做平抛运动，由平抛运动的知识可得：
导体棒在导轨上运动时，所受的合外力就是安培力，由动量定理可得BIL·△t=mv.
∴.
例4、如图所示是一个可以用来测量磁感应强度的装置：一长方体绝缘容器内部高为L，厚为d，左右两管等高处装有两根完全相同的开口向上的管子a、b，上、下两侧装有电极C（正极）和D（负极）并经开关S与电源连接，容器中注满能导电的液体，液体的密度为ρ；将容器置于一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当开关断开时，竖直管子a、b中的液面高度相同，开关S闭合后，a、b管中液面将出现高度差。若当开关S闭合后，a、b管中液面将出现高度差为h，电路中电流表的读数为I，求磁感应强度B的大小。
解析：
开关S闭合后，导电液体中有电流由C流到D，根据左手定则可知导电液体要受到向右的安培力F作用，在液体中产生附加压强P，这样a、b管中液面将出现高度差。在液体中产生附加压强P为
所以磁感应强度B的大小为：
磁场对运动电荷的作用力（一）
重、难点知识归纳与讲解
1、洛伦兹力是磁场对运动电荷的作用，它是安培力的微观本质。安培力是洛伦兹力的宏观表现。
2、洛伦兹力的大小
（1）当电荷速度方向垂直于磁场的方向时，磁场对运动电荷的作用力，等于电荷量、速率、磁感应强度三者的乘积，即F=qvB.
（2）当电荷速度方向平行磁场方向时，洛伦兹力F=0。
（3）当电荷速度方向与磁场方向成θ角时，可以把速度分解为平行磁场方向和垂直磁场方向来处理，此时受洛伦兹力F=qvBsinθ。
3、洛伦兹力的方向
安培力的方向可以用左手定则来判断，洛伦兹力的方向也可用左手定则来判断：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，把手放入磁场，让磁感线穿过手心，对于正电荷，四指指向电荷的运动方向，对于负电荷，四指的指向与电荷的运动方向相反，大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。由此可见洛伦兹力方向总是垂直速度方向和磁场方向，即垂直速度方向和磁场方向决定的平面。
4、洛伦兹力的特点
因为洛伦兹力始终与电荷的运动方向垂直，所以洛伦兹力对运动电荷不做功。它只改变运动电荷速度的方向，而不改变速度的大小。
三、重、难点知识剖析
1、洛伦兹力与电场力的比较
（1）与带电粒子运动状态的关系
带电粒子在电场中所受到的电场力的大小和方向，与其运动状态无关。但洛伦兹力的大小和方向，则与带电粒子本身运动的速度紧密相关。
（2）决定大小的有关因素
电荷在电场中所受到的电场力F=qE，与两个因素有关：本身电量的多少和电场的强弱。运动电荷在磁场中所受的磁场力，与四个因素有关；本身电量的多少、运动速度v的大小、速度v的方向与磁感应强度B方向间的关系、磁场的磁感应强度B。
（3）方向的区别
电荷所受电场力的方向，一定与电场方向在同一条直线上（正电荷同向，负电荷反向），但洛伦兹力的方向则与磁感应强度的方向垂直。
2、解决在洛伦兹力等多力作用下电荷运动问题的注意问题：
（1）正确分析受力情况是解决电荷运动问题的关键。要在详细分析问题给出的物理过程的基础上，认清洛伦兹力是怎么变化的。伴随着洛伦兹力的变化，物体的受力情况又发生了什么样的变化。
（2）受力变化演变，出现了什么新运动情况，电荷从什么运动状态过渡到什么运动状态。
（3）寻找关键状态各物理量之间的数量关系，选择合适的物理规律去求解，这些常常就是解题的关键之所在。
3、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定：
（1）圆心的确定．因为洛伦兹力指向圆心，根据F洛⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的F洛的方向，其延长线的交点即为圆心．
（2）半径的确定和计算．半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法．
（3）在磁场中运动时间的确定．利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于360°计算出圆心角θ的大小，由公式可求出运动时间．
四、典型例题
例1、如图所示，一只阴极射线管，左侧不断有电子射出，若在管的正下方放一通电直导线AB时，发现射线的径迹向下偏，则（ ）
A．导线中的电流从A流向B
B．导线中的电流从B流向A
C．若要使电子束的径迹向上偏，可以通过改变AB中的电流方向来实现
D．电子束的径迹与AB中的电流方向无关
解析：
由于AB中通有电流，在阴极射线管中产生磁场，电子受到洛伦兹力的作用而发生偏转，由左手定则可知，阴极射线管中的磁场方向垂直纸面向内，所以根据安培定则，AB中的电流方向应为从B流向A。当AB中的电流方向变为从A流向B，则AB上方的磁场方向变为垂直纸面向外，电子所受的洛伦兹力变为向上，电子束的径迹变为向上偏转。所以本题的正确选项应为B、C。
答案：BC
例2、如甲图所示，OA是一光滑、绝缘斜面，倾角为θ，一质量为m的带电体从斜面上的A点由静止开始下滑，如果物体的带电量为＋q，整个装置处于垂直纸面向里的磁感应强度的大小为B的匀强磁场中，试求当物体离开斜面时，物体运动的速率及其沿斜面下滑的距离？（斜面足够长）
解析：
物体刚离开斜面时，对斜面的压力为零，物体受到斜面的支持力为零，受力分析如图乙，f=G2，以此可求速度v，下滑时由于洛仑兹力不做功，势能转化为动能，物体下降的高度h可以求出，物体下滑的距离。
物体刚离开斜面时，f=Gcosθ，即qvB=mgcosθ，所以得，
由于洛仑兹力不做功，mgh= ①，
沿斜面下滑的距离 ②，
联立①②代入v得
。
例3、如图所示，在竖直放置的绝缘直棒上套一个小环，其质量为0.1g，环带有电量为q=4×10－4C的正电荷，环与棒之间的动摩擦因数为μ=0.2，棒所在的空间分布有正交的匀强电场和匀强磁场，电场的场强为E=10V/m，磁场的磁感应强度为B=0.5T，现让环从静止开始下滑，求：
（1）环在下滑过程中的最大加速度；
（2）环在下滑过程中的最大速度。
解析：
要求出环在下滑过程中的最大加速度和最大速度，必须要了解环在整个下滑过程中的运动情况和受力情况。首先应对环进行受力分析，环在下滑过程中受到竖直向下的重力、水平向左的电场力、水平向右的洛伦兹力、水平方向的弹力和竖直向上的摩擦力。当环刚开始下滑时，环的速度很小，洛伦兹力也很小，环所受的电场力大于洛伦兹力。所以弹力的方向水平向右，环向下做加速运动，随着环的速度增大，环所受的洛伦兹力也增大，环所受的弹力变小，滑动摩擦力也变小，环在竖直方向所受的合力增大，环做加速度变大的加速运动，当环所受的洛伦兹力等于电场力时，弹力为零，滑动摩擦力也为零，此时，环在竖直方向的合力达到最大，加速度达到最大，为重力加速度g。随着环速度的进一步增大，环所受的洛伦兹力将大于电场力，弹力的方向变为水平向左，并随着洛伦兹力的增大而增大，环所受的滑动摩擦力增大，环在竖直方向所受的合外力变小，环做加速度变小的加速运动，当环所受的滑动摩擦力等于环的重力时，环的加速度为零，速度达到最大，接下去环将做匀速直线运动。
开始下滑时，环的受力如图（1）所示，当弹力为零时，物体在竖直方向只受重力作用，此时环的加速度最大，由牛顿第二定律可得：mg=mamax，
∴amax=g=10m/s2.
当环的加速度达到最大后，环受力情况如图（2）所示，当环的速度达到最大时，环所受的滑动摩擦力等于的重力，即f=mg。
而由于f=μN， N=qvmaxB－qE
∴
例4、如图所示，一带正电的质子从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使粒子能从两板间射出，试求磁感应强度B应满足的条件（已知质子的带电量为e，质量为m）．
解析：
由于质子在O点的速度垂直于板NP，所以粒子在磁场中做圆周运动的圆心O′一定位于NP所在的直线上，如果直径小于ON，则轨迹将是圆心位于ON之间的一个半圆弧．随着磁场B的减弱，其半径r＝逐渐增大，当半径r＝ON/2时，质子恰能从N点射出．如果B继续减小，质子将从NM之间的某点射出．当B减小到某一值时，质子恰从M点射出．如果B再减小，质子将打在MQ板上而不能飞出．因此质子分别从N点和M点射出是B所对应的两个临界值．
第一种情况是质子从N点射出，此时质子轨迹的半个圆，半径为ON/2＝d/4．
所以R1＝
B1＝
第二种情况是质子恰好从M点射出，轨迹如图中所示．由平面几何知识可得：
R22＝d2＋（R2－d）2 ①
又R2＝ ②
由①②得：
B2＝
磁感应强度B应满足的条件：
≤B≤．
【说明】求解带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的题目时，正确地画出带电粒子的轨迹是解题的关键．作图时一定要认真、规范，不要怕在此耽误时间．否则将会增大解题的难度．造成失误。通过本例说明（1）确定带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心并进一步利用几何关系求半径的方法．（2）分析解决临界问题的方法．
例5、如图所示，在xOy平面上，a点坐标为（0，l），平面内一边界通过a点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，有一电子（质量为m，电量为e）从a点以初速度v0平行x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好在x轴上的b点（未标出）射出磁场区域，此时速度方向与x轴正方向夹角为60°，求：
（1）磁场的磁感应强度；
（2）磁场区域圆心O1的坐标；
（3）电子在磁场中运动的时间．
解析：
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，从a点射入从b点射出，O、a、b均在圆形磁场区域的边界，粒子运动轨道圆心为O2，令
由题意可知，∠aO2b＝60°，且△aO2b为正三角形
在△OO2b中，R2＝（R－l）2＋（Rsin60°）2 ①
而R＝ ②
由①②得R＝2l
所以B＝
而粒子在磁场中飞行时间
t＝
由于∠aOb＝90°又∠aOb为磁场图形区域的圆周角
所以ab即为磁场区域直径
O1的x坐标：x＝aO1sin60°＝
y＝l－aO1cos60°＝
所以O1坐标为（，）
【说明】本题为带电粒子在有边界磁场区域中的圆周运动，解题的关键一步是找圆心，根据运动电荷在有界磁场的出入点速度方向垂线的交点，确定圆心的位置，然后作出轨迹和半径，根据几何关系找出等量关系．求解飞行时间从找轨迹所对应的圆心角的方面着手．
当然带电粒子在有界磁场中做部分圆周运动，除了要运用圆周运动的规律外，还要注意各种因素的制约而形成不是惟一的解，这就要求必须深刻理解题意，挖掘隐含条件，分析不确定因素，力求解答准确、完整．
【设计意图】（1）巩固找圆心求半径的方法．（2）说明求时间的方法．
磁场对运动电荷的作用力（二）
重、难点知识归纳与讲解
（一）带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1、带电粒子的速度方向若与磁场方向平行，带电粒子不受洛伦兹力作用，将以入射速度做匀速直线运动。
2、带电粒子若垂直进入匀强磁场且只受洛伦兹力的作用，带电粒子一定做匀速圆周运动，其轨道平面一定与磁场垂直。
由洛伦兹力提供向心力，得轨道半径：。
由轨道半径与周期的关系得：。
可见，周期与入射速度和运动半径无关。荷质比相同的带电粒子，当它们以不同的速度在磁场中做匀速圆周运动时，无论速度相差多大，由于其运动半径，与速度成正比，所以它们运动的周期都相同。
（二）质谱仪
利用不同质量而带同样电量的带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径不同，可以制成测定带电粒子质量的仪器——质谱仪。
如图所示，粒子带电量为q，质量为m，经加速电压U加速后进入匀强磁场中，在加速电场中，由动能定量得：，在匀强磁场中轨道半径：，所以粒子质量。
例1、质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示．离子源S产生一个质量为m、电量为q的正离子．离子产生出来时速度很小，可以看作是静止的．离子产生出来后经过电压U加速，进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆周运动而达到记录它的照相底片P上，测得它在P上的位置到入口处S1的距离为x．则下列说法正确的是（ ）
A．若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明离子的质量一定变大
B．若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明加速电压U一定变大
C．若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明磁感应强度B一定变大
D．若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明离子所带电量q可能变小
解析：
由加速过程得v＝及半径公式r＝得r＝；故U、m、q，B都有可能变化导致x增大，所以ABC不对．
答案：D
（三）回旋加速器的工作原理
粒子源位于两D形盒的缝隙中央处，从粒子源放射出的带电粒子经两D形盒间的电场加速后，垂直磁场方向进入某一D形盒内，在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动，若带电粒子的电荷量为q，质量为m，进入D形盒时速度为v，匀强磁场的磁感应强度为B。
使高频电源的周期，则当粒子从一个D形盒飞出时，缝隙间的电场方向恰好改变，带电粒子在经过缝隙时再一次被加速，以更大的速度进入另一个D形盒，以更大的速率在另一D形盒内做匀速圆周运动……；利用缝隙间的电场使带电粒子加速，利用D形盒中的磁场控制带电粒子转弯，每经过缝隙一次，带电粒子的速度增大一次，粒子的速度和动能逐次增大，在两D形盒内运动的轨道半径也逐次增大，设粒子被引出D形盒前最后半周的轨道半径的R，则带电粒子从加速器飞出的速度和动能达到最大分别为：
。
例2、正电子发射计算机断层（PET）是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段。
（1）PET所用回旋加速器示意如图，其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R，两盒间距为d，在左侧D形盒圆心处放有粒子源S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示。质子质量为m，电荷量为q。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，质子在加速器中运动的总时间为t（其中已略去了质子在加速电场中的运动时间），质子在电场中的加速次数于回旋半周的次数相同，加速质子时的电压大小可视为不变。求此加速器所需的高频电源频率f和加速电压U。
（2）试推证当Rd时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计（质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）。
解析：
（1）设质子回速最大速度为v，由和牛顿第二定律有
qvB=m
质子的回旋周期
T=
高频电源的频率
f=
质子加速后的最大动能
Ek=vm2
设质子在电场中加速的次数为n，则
En=nqU
又t=n
可解得U=
（2）在电场中=，
在D形盒中回旋的总时间为
t1=n
故
即当R>> d时，t1可忽略不计。
例3、某回旋加速器D形盒的半径R=60cm，用它加速质量m=1.67×10－27kg，电荷量q=1.6×10－19C的质子，要把静止质子加速到Ek=4.0MeV的能量，求D形盒内的磁感应强度B应多大？
解析：
D形盒的半径R可近似看作质子引出D形盒前半周的轨道半径，跟R相应的质子能量为Ek，由
三、重、难点知识剖析
1、带电粒子作匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定：
（1）圆心的确定，因为洛仑兹力f指向圆心，根据f⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的f的方向，其延长线的交点即为圆心。
（2）半径的确定和计算，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法。
（3）在磁场中运动时间的确定，利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于360°计算出圆心角θ的大小，由公式，可求出运动时间。
2、带电粒子在复合场中的运动，这里所说的复合场是磁场与电场的复合场，或者是磁场与重力场的复合场，或者是磁场和电场、重力场的复合场，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，所处状态是静止或匀速直线运动状态；当带电粒子所受合外力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动；当带电粒子所受合外力变化且与速度方向不在一条直线上时，粒子作非匀变速曲线运动。除了要写出相应的受力特点的方程之外，还要用到运动学公式，或者从能量的观点（即动能定理或能量守恒定律）写出方程，联立求解。注意微观带电粒子在复合场中运动时，一般不计重力。
例4、如图所示，一束电子平行于匀强磁场边界入射，入射点到边界的距离为d，其中有的电子以速度v1垂直于磁场边界从磁场中射出，有的以速度v2与边界成30°角从磁场射出，则：
（1）电子圆周运动轨道半径之比R1︰R2为多少？
（2）电子运动速度比v1︰v2为多少？
解析：
（1）如图所示，过A、C两点分别作垂直于速度方向直线，相交于O1点：过A、D两点分别作垂直于速度方向直线，相交于O2，O1、O2为两个圆周的圆心。
从C点射出的电子圆周圆心在界线上，因此圆周半径R1=d.
设从D点射出的电子圆周运动轨道半径为R2。
在Rt△O1O2D中，∠O1O2D=30°，。
得。
（2）根据得，
例5、如图所示，虚线为有界磁场的竖直界面所在处，其区域宽度为d，磁场磁感强度 为B，方向垂直纸面向里，有一带电粒子从磁场中央O点出发，粒子速度大小为v，方向垂直磁场且与水平方向成30°角，粒子质量为m、电量为q，不计粒子重力，若要求粒子能从左边边界射出磁场，则对粒子速度v的要求如何？
解析：
电粒子在匀强磁场中作匀速圆运动时，其轨道半径，即R∝v，因此要确定粒子速度大小取值范围，须从分析轨道半径取值范围入手。
（1）若粒子作圆周运动恰好经过左边边界并与边界线相切，则其对应轨道如左图所示，设粒子对应速度大小v1，轨道半径为R1。
根据粒子经过O、A两点的速度方向确定圆弧轨迹圆心O1，则有：
而。
要使粒子从左边界射出磁场，其运动轨迹的半径应大于R，因此粒子运动速度。
（2）若粒子作圆周运动经过右边边界恰好与边界相切，则其运动轨迹如图所示，设其对应的速度为v2，轨道半径为R2。利用作图法确定轨迹圆心O2，则有：
。
要使粒子不从右边边界射出，其运动轨道半径应小于R2，因此对速度要求：。
例6、如图甲所示，从左到右依次分布着水平向右的匀强磁场电场、垂直纸面向里的匀强磁场和垂直纸面向外的匀强磁场（边界是理想的）。其中匀强电场的场强为E，宽度为L，中间磁场与右侧磁场的磁感应强度均为B，质量为m、带电量为q的带电粒子从a点静止开始经电场加速，穿过中间磁场区域进入右侧磁场后，又回到a点，然后重复上述运动过程。
（1）在图上定性画出运动轨迹；
（2）求中间区域的宽度d和粒子运动的周期T。
解析：
带电粒子在电场力的作用下，从a点开始做匀加速运动，在进入中间磁场后在洛伦兹力的作用下向下偏转，经一段圆弧后，进入右侧磁场后，在洛伦兹力的作用下经一圆弧后返回到中间磁场，再经一圆弧返回到电场，最后在电场中做匀减速直线运动返回到a点。该粒子的运动轨迹应具有轴对称性，故该粒子的运动轨迹如图所示。
粒子在电场中做加速运动，由动能定理可得。
∴ 。
带电粒子以速度v进入磁场沿圆弧运动时，由于中间磁场与右侧磁场的磁感应强度相同，所以粒子轨迹半径相同，其大小应为。
如图所示，由三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是边长为2r的正三角形，根据几何知识可得，中间磁场的宽度应为。
粒子运动的一个完整周期由二段直线运动和三段部分圆周运动组成。带电粒子在电场中做初速为零的匀加速直线运动，在中间磁场做圆弧运动所对应的圆角为60°，在右侧磁场中运动所对应的圆心角为300°，所以。
例7、如图所示，半径为R的光滑绝缘环上套有一个质量为m、电量为＋q的小球，它可沿环自由滑动。绝缘环竖直地放在相互垂直的匀强电场和匀强磁场内，电场强度为E，磁感应强度为B，方向如图所示。当球从水平直径的A端由静止释放滑到最低点时，求环对球的压力。
解析：
首先对环进行受力分析，球在运动过程中，受到重力、电场力、洛伦兹力和环的弹力四个力的作用。由这四个力的特点可知，小球在下落过程中，只有重力和电场力做功。所以当小球从A滑到C位置过程中，由动能定理可知。
∴
当小球滑到C位置时，小球所受的四个力均在竖直方向，由圆周运动知可得
。
∴方向竖直向上。
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