全国卷Ⅲ衡水金卷2021年高三先享题信息卷（三）数学（文）（含答案）

（全国卷Ⅲ，衡水金卷）2021年高三先享题信息卷（三）

文科数学

本试卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x≤－1}，则A∪B＝

A.     B.(－∞，3)     C.(－∞，－1]     D.(－∞，－1]∪(3，＋∞)

2.若复数z满足(1＋i)z＝3－2i，则z的虚部为

A.－     B.－i     C.     D.

3.已知偶函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，则下列不等式一定成立的是

A.f(2)>f(－3)     B.f(－2)<f(1)     C.f(－1)>f(2)     D.f(－1)<f(2)

4.下图是我国2016年第1季度至2020年第2季度重点城市分季度土地供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是

A.各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米

B.各季度供应规划建筑面积的平均数超过15000万平方米

C.2019年第4季度与2018年第4季度相比，供应规划建筑面积上涨幅度高于10%

D.2020年第1季度与2019年第1季度相比，供应规划建筑面积下降幅度高于10%

5.已知双曲线C：(a>0，b>0)，则“C的渐近线的方程为y＝±3x”是“C的方程为”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

6.2020年8月，习近平总书记针对触目惊心、令人痛心的餐饮浪费现象，作出重要指示强调，要进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约为荣的氛围。某宣传袋内有六张卡片，分别写有“节、约、粮、食、光、荣”六个字，从中任取两张卡片，恰好取到“节”“约”二字的概率为

A.     B.     C.     D.

7.已知a＝log32，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系为

A.a<b<c     B.b<c<a     C.c<a<b     D.b<a<c

8.我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用互和减半(两项相加折半可得其中间项(当人数为奇数时))的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲差33贯600文(1贯＝1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为

A.30.8贯     B.39.2贯     C.47.6贯     D.64.4贯

9.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，M，N分别为图象上相邻的最高点与最低点，且线段MN的长为，则f()＝

A.     B.     C.－     D.

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为

A.2π     B.4π     C.6π     D.

11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1，若对于任意的n∈N*，不等式λ(Sn＋1)≥6an－3恒成立，则实数λ的取值范围为

A.(0，4]     B.[4，＋∞)     C.[3，＋∞)     D.(3，＋∞)

12.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，点A，B在C的准线l上的投影分别为点E，G，若，则四边形ABGE的面积为

A.     B.     C.     D.

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.已知向量a＝(－2，4)，b＝(1，－1－2λ)，若a//b，则λ＝          。

14.若x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最小值为          。

15.函数f(x)＝－(－≤x≤)取最大值时x的值为          。

16.阿基米德是古希腊的一位著名的数学家，有一种空间几何体便以他的名字命名为“阿基米德立体”。“阿基米德立体”是一种高度对称的“半正多面体”(如图)，并且都是可以从正多面体经过截角、截半、截边等操作构造而成，它的所有顶点都是正多面体各棱的中点，且它的三个视图全都一样。现将一个棱长为10cm的正方体木块加工成一个“阿基米德立体”工艺品，则所得的“阿基米德立体”工艺品共有        个面，其表面积为        cm2。(本题第一空2分，第二空3分)

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足。

(1)求cosA；

(2)若a＝3，求b＋c的最大值。

18.(本小题满分12分)

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ACB＝45°，PA⊥底面ABCD，AB＝AC＝PA＝2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点。

(1)求证：AB//MN；

(2)求点B到平面PCD的距离。

19.(本小题满分12分)

某精准扶贫帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，决定在该村兴办一个年产量为1000万块的瓷砖厂，以吸纳富余劳动力，提高村民收入。已知瓷砖的质量以某质量指标值t(单位：分，t∈[0，100])为衡量标准，为估算其经济效益，该瓷砖厂进行了试产，并从中随机抽取了100块瓷砖，进行了统计，其统计结果如下表所示：

试利用样本分布估计总体分布的思想解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值)。

(1)在一天内抽检瓷砖，若出现了瓷砖的质量指标值t在区间[0，－3s)内，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，其中近似为样本平均数，s近似为样本的标准差，并已求得s≈14。若某天抽检到的瓷砖有1块的t值为20分，则从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

(2)已知每块瓷砖的质量指标值t与等级及纯利润y(单位：元)的关系如下表所示：

假定该瓷砖厂所生产的瓷砖都能销售出去，且瓷砖厂的总投资为3000万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内)，问：该厂能否在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资？试说明理由。

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝－ax＋lnx。

(1)当a＝2时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若关于x的不等式xf(x)>1－2a在[1，＋∞)上有实数解，求实数a的取值范围。

21.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的右焦点F在圆O：x2＋y2＝1上，直线x＋y－＝0恰与圆O相切。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)动直线l与椭圆C相交于点A，B，且与轴的正半轴相交，若为定值t，请判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标及实数t的值；若不过定点，试说明理由。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(φ为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcosθ＋ρsinθ＝4。

(1)求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若A(ρ1，α)是曲线C上一点，B(ρ2，α＋)是直线l上一点，求的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－1|。

(1)求不等式f(x)＋f(2x＋2)>3的解集M；

(2)设a，b∈M，求证：。