全国卷Ⅲ2021年衡水金卷先享题信息卷（四）数学（理）（含答案）

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

理数(四)

本试题卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝[1，＋∞)，I＝{x|x2＋x>0}，则∁IM＝

A.(－∞，1)     B.(－∞，－1)     C.(0，1)     D.(－∞，－1)∪(0，1)

2.已知复数x在复平面所对应的点的坐标为A(1，－2)，则|z|＝

A.2     B.     C.4     D.5

3.已知tanα＝，则

A.－     B.     C.2     D.－2

4.已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是

A.ac＋bd>ad＋bc     B.ac＋bd<ad＋bc     C.ac>bd     D.ac<bd

5.疫情期间，课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布N(9，12)，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为(四舍五入保留整数)

参考数据：P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z≤p＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9973。

A.15     B.16     C.31     D.32

6.已知命题p：∀a∈R，a2＋1>0，命题q：f(x)＝|sin(2x＋)|的最小正周期为π，则以下是真命题的是

A.p∧q     B.(¬p)∧q     C.(¬p)∧(¬q)     D.p∧(¬q)

7.如图所示是某几何体的三视图，图中的四边形都是边长为a的正方形，侧视图和俯视图中的两条虚线都互相垂直，已知几何体的体积为，则a＝

A.3     B.     C.2     D.

8.椭圆的上下顶点分别为B1、B2，右顶点为A，右焦点为F，BF1⊥B2A，则椭圆的离心率为

A     B.     C.     D.

9.函数y＝tan(3x＋)的一个对称中心是

A.(0，0)     B.(，0)     C.(，0)     D.以上选项都不对

10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。△ABC内一点M满足：

，则M一定为△ABC的

A.外心     B.重心     C.垂心     D.内心

11.双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作直线与圆O：x2＋y2＝a2切于点M，与双曲线右支交于N，若∠F1NF2＝45°，则双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

12.已知函数f(x)满足：对任意x∈R，f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(2＋x)，且在区间[0，2]上，f(x)＝＋cosx－1，m＝f()，n＝f(7)，t＝f(10)，则

A.m<n<t     B.n<m<t     C.m<t<n     D.n<t<m

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评先。1班30人，优秀率30%，2班35人，优秀率60%，三班35人，优秀率40%，则全年级优秀率为           。

14.，则           。

15.△ABC中，b＝4，a＝4cosC＋csinB，则△ABC面积的最大值为           。

16.多面体欧拉定理：V＋F＝E＋2，其中V是顶点数，F是面数，E为棱数，并且多面体所有面的内角总和为(V－2)·360°，已知某正多面体所有面的内角总和为3600°，且各面都为正三角形，则该多面体的顶点数V＝        ，棱数E＝        。(本题第一空2分，第二空3分)

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知等差数列{an}满足a2＝2，a4＝4，正项等比数列{bn}满足首项为1，前3项和为7。

(1)求{an}与{bn}的通项公式；

(2)求{anbn}的前n项和Sn。

18.(本小题满分12分)

如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EA//FC，且EA＝FC＝AB＝4，

△EBD、△FBD都是正三角形。

(1)证明：CF⊥平面ABCD；

(2)若，求ME与平面BDF所成角的正弦值。

19.(本小题满分12分)

过直线y＝－1上动点M，作抛物线x2＝2py(p>0)的切线MA、MB，A、B为切点，∠AMB＝90°。

(1)求抛物线方程；

(2)若△MAB面积为32，求直线AB的斜率。

20.(本小题满分12分)

由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多。为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图。

(1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人。

①若将频率视为概率，求至少有3人每周活动时间在[8，9)(单位：h)的概率；

②若抽取的5人中每周活动时间在[8，11](单位：h)的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在[8，11](单位：h)的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；

(2)将某人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动量不少于0.74h时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值。(每组数据以区间的中点值为代表)

21.(本小题满分12分)已知f(x)＝(x＋a)ex－a。

(1)若函数f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x－2y＋2＝0垂直，求a的值；

(2)若在[－1，1]上，f(x)≥－1，求a的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的直角坐标方程为y＝－x＋2，曲线C的参数方程为

，(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求直线l和C的极坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于M、N两点，求|MN|。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋2m|。

(1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤7的解集；

(2)若不等式f(x)≤9有解，求实数m的取值范围。