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初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第8章第5节 复杂电路的简化与等效（含答案）
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这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第8章第5节 复杂电路的简化与等效（含答案），共15页。教案主要包含了电路中导线节点的电势，几种常见的简化电路的方法等内容，欢迎下载使用。
第五节 复杂电路的简化与等效
一般混联电路比较复杂，在题目中出现时，有时故意将电路图抽象化、隐蔽化，使我们不容易很快看出电阻的串并联关系，画“等效电路”就是对比较复杂的电路运用串并联电路的知识进行分析，画出简明的等效电路，这种科学方法即“等效替代”的方法。将比较复杂的电路画成简明的等效电路是电路计算中十分重要的一步。
本节将介绍几种常见的简化电路的方法，为了下文的表述方便以及让读者能够更清晰地理解这些方法，需要先介绍一个重要的概念——电势。
一、电路中导线节点的电势
众所周知，在地球表面附近，物体都有自己的髙度，物体受到的重力的方向都是竖直向下的(即沿着重力的方向)。电势就相当于是电路中的“髙度”，在电源外部，电流从电源正极流出，经过用电器后流回到电源负极，电源正极处的电势最髙，电源负极处的电势最低，当电流经过用电器时，沿着电流方向电势逐渐降低。电势的减少量实际上等于用电器两端的电压，即当电流流经阻值为的电阻时，电势降低了。电压实际上是电势之差。电势和电压的单位都是伏特。
在图8.128(3)所示的电路图中，已知电源电压为，，，，。从电源正极开始，依次用字母，，，标记电路中导线的连接处(即节点)，由于导线没有电阻，电流经过导线时电势不降低，同一导线两端的电势相等，可以用同一个字母标记。设电源负极点处电势为0，由于电源电压为，则点的电势为。根据串并联电路的规律，容易求出通过各个电阻的电流分别为，，，，。则从到，电势降低了，所以点的电势为；从点到点，电势降低了，所以点的电势为；从点到点，电势降低了(或)，因此点电势为零，这和我们假设的点电势为零相符。当然，也可以从电阻这条支路进行计算：从点经到点，电势降低了，仍然得出点电势为零的结论。
我们也可以像图8.128(b)所示，将每个节点按照电势从髙到低画成一条条竖线，根据电阻两端的电势与哪两条竖线对应，将电阻放入对应的两条竖线之间，不仅电阻的连接情况一目了然，从电流的流向也能很方便地看出。
二、几种常见的简化电路的方法
1．节点法
节点是指电路中两根导线的连接点。我们只要知道各个用电器相当于连接在哪些节点之间，就可以判断出用电器的连接方式。由于导线的电阻为零，不论导线有多长，只要其间没有电源、用电器等，导线两端的电势就相同，两端点可看成同一个点。利用节点法化简电路时，可结合电流的流向，将电路中的各节点依次标为，，，等，然后将各元件连在相对应的节点位置即可。同时，也要注意，若各电阻中通过同一电流，则这些电阻是串联的；若从某点起电流分开流过几个电阻后又汇合，则这些电阻是并联的。
例1 (上海第26届大同杯初赛)在如图8.129所示的电路中，电流表和的示数分别为和。若将电路中的某两个电阻的位置互换，电流表和的示数却不变，则电流表的示数可能为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 将电源正负极分别标记为，两点，由于电流表和导线电阻不计，将电路中其他各节点分别标记如图8.130(a)所示，显然，电阻，，为并联。结合电流方向为从节点流向节点，则电流表的读数等于通过，的电流之和，电流表的读数等于通过，的电流之和，即，。电流表读数为，等效电路图如图8.130(b)所示。当将电路中的某两个电阻的位置互换时，电流表和的示数却不变，由于三个电阻并联，说明互换的两个电阻必然阻值相等。若，则，故，选项B正确；若，则必然会有，与题给条件矛盾；若，则，，故，选项C正确。本题正确选项为BC。
例2 在下列情况下将如图8.131所示的电路简化：
(1)电键断开；
(2)电键闭合。
分析与解 当电键断开时，可将电键所在的导线去除，并将电阻所在的导线拉长，如图8.132所示，则明显可以看出，各个电阻的连接关系如图8.133所示。
(2)当电键闭合时，结合采用节点法，将各个节点标上字母，注意同一段导线两端电势相等，应标上同一个字母，如图8.134所示。由于电阻两端节点所标是同一个字母，说明两端电压为零，即没有电流通过，可将这一支路除去，其余电阻与节点间的关系如图8.135所示，显然，各个电阻之间的连接关系应如图8.136所示。
2．利用电路的对称性化简电路
一些电路虽然连接情况复杂，但是存在某种对称性，即电路中某些对称的节点的电势相同，这些节点之间即使用导线相连，导线上也没有电流，反过来，电路中的某些节点可以分成两个电势相同的节点，这并不会影响电路的连接方式，但却给我们简化电路带来了很大的方便。
例3 如图8.137所示，9个阻值为的电阻连成的电路，现在，两点间加上的电压，问：
(1)，间的总电阻为多少欧姆？
(2)流过直接接在，两点间的电阻上的电流为多少安？
分析与解 (1)观察可知，图8.137所示电路关于，连线对称，不妨将点分成如图8.138(a)所示的，两个点，则显然，两点电势相同，分开后并未影响到原电路电阻的连接情况，因此，可将电路简化为图8.138(b)所示的电路，则可求得间的总电阻为。
(2)直接接在，两点间的电阻就是在简也图8.138(b)中标记为的电阻，则通过它的电流为。
例4 (上海第29届大同杯初赛)在如图8.139所示的电阻网格中，，，，四根电阻丝的阻值均为，其余各电阻丝的阻值都相等，但阻值未知，测得，两点之间的总电阻为，若将，，，四根电阻丝皆换成阻值为的电阻丝，则两，点之间的总电阻为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 题中电阻网格关于连线有很好的对称性，可将点和点像图8.140(a)所示这样分开，则分开后并不影响原电阻的等效阻值，同时注意到，图8.140(a)中的点和点、点和点分别关于连线对称，因此点和点电势相等，点和点电势相等，即导线，无电流通过，可以去掉。电路可初步转化为8.140(b)所示。进一步观察，从图8.140(b)中已经能够看出各个电阻丝的连接关系了。将8.140(b)等效为8.140(c)所示电路，其中，，，，四点之间的电阻的阻值为，其余的电阻阻值均相同，设为，则由电阻的串并联知识可得，间的等效电阻满足
将，，，四根电阻丝皆换成阻值为的电阻丝后，，间的等效电阻满足：
由以上两式消去，可解得，即。选项A正确。
3．将立体电路转化为平面电路
立体电路图是指电路中各电阻为空间结构，构成了某一立体图形，这类电路不容易看出电阻的连接方式，要将其沿某一方向“压扁”，使其变为平面电路，再结合对称性等，进行简化与等效。
例5 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图8.141所示的网络。已知每一个金属圆圈的电阻都是，试求图中，两点间的等效电阻。
分析与解 求解两点间的等效电阻，应把立体电阻网络先“压扁”，使之变为平面电阻网络。如图8.142(a)所示，由对称性可知，，为等势点，将电阻网络沿，连线方向压扁，使，重合为一个新的点，三维金属线圈成为一个在弧线所在平面内的平面网络，如图8.142(b)所示。容易看出，压扁后，与并联成为，与并联成为，与并联成为，与并联成为，由于原电路中每个圆周的电阻均为，则压扁后的，，，的电阻均为。图8.142(b)具有明显的对称性，可将点断开如图8.142(c)所示，则各段导线之间的连接关系一目了然，可画出如图8.142(d)所示的等效电路图，据此求出。
例6 如图8.143所示，12根长度相等、阻值均为的金属棒焊接成一个正方体框，试求：
(1)，两点之间的电阻值；
(2)，两点之间的电阻值。
分析与解 (1)先设法将立体电路转化为平面电路。若将，两点分别与电源的正、负极相连，根据电路的对称性，易得，两点为等势点，，两点为等势点。如图8.144(a)所示，可将，两点“捏”在一起成为一个新的节点，将，两点“捏”在一起成为一个新的节点，则原来的金属棒与，与，与，与以及与均为并联关系，如图8.144(b)所示。进而可得到简化后的平面电路如图8.144(c)所示，两根金属棒并联后的阻值为，容易得出间的总电阻为。
(2)求解，两点之间的电阻值时可以将四边形压到四边形之内，如图8.145(a)所示。假设，分别与电源的正、负极相连，则结合电路的对称性，可知，两点为等势点，，两点为等势点，因此金属棒，中不会有电流流过，可将这两根金属棒去除，如图8.145(b)所示，则容易看出电路最终简化为图8.145(c)所示的平面电路，可求得，两点之间的电阻值。
练习题
1．(上海第31届大同杯初赛)在如图8.146所示的电路中，总电流，，则下列对通过的电流的判断正确的是( )。
A．大小为，方向向右 B．大小为，方向向左
C．大小为，方向向右 D．大小为，方向向左
2．(上海第28届大同杯初赛)在如图8.147所示的电路中，电流表和的示数分别为和。若将，，中的某两个电阻互换，其他条件不变，发现电流表的示数不变。则通过的电流为( )。
A． B． C． D．
3．(上海第24届大同杯初赛)图8.148为复杂电路的一部分，电阻，，的阻值之比为1：2：3，通过这三个电阻的电流之比为4：1：2。则电流表，的示数之比为( )。
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
4．(上海第22届大同杯初赛)阻值都是的五个电阻连接如图8.149所示，则，之间的等效电阻值为( )。
A．0 B． C． D．
5．(上海第17届大同杯初赛)在图8.150所示电路中，电流表和电压表均为理想电表，则下列判断中正确的是( )。
A．，且最大，最小 B．，且最大，最小
C．，且最大，最小 D．，且最大，最小
6．(上海第16届大同杯初赛)图8.151所示为某复杂电路的一部分，电阻，，的阻值之比为1：2：3，则通过这三个电阻的电流之比有可能为( )。
A．3：2：1 B．6：3：2 C．4：2：1 D．1：4：3
7．图8.152所示为某电路中的一部分，已知，，，电流，，则通过电流表中的电流强度是( )。
A．，方向向左 B．，方向向右
C．，方向向右 D．，方向向左
8．(上海第22届大同杯初赛)，，，，，六根阻值均为的电阻线连接成如图8.153所示电路，则，之间的等效电阻为( )。
A． B． C． D．
9．(上海第15届大同杯初赛)图8.154为某均匀金属薄板，现测得接线柱，之间的电阻为。如果将该电阻板均匀地分成9块，并挖去其中一小块，则此时，之间的电阻变为( )。
A． B． C． D．
10．(上海第13届大同杯初赛)如图8.155所示，每个电阻都是，则，间的总电阻是( )。
A． B． C． D．
11．(上海第12届大同杯初赛)如图8.156所示，，则电键断开和闭合时，，间的电阻分别为( )。
A．， B．， C．， D．，
12．(上海第10届大同杯初赛)如图8.157所示，将一个阻值为的电阻丝围成一个等边三角形，，，分别为三条边的中点，它们与，，三个顶点共同构成6个接线柱，其中，接线柱用导线连接，从而构成一电阻器。则利用该电阻器可获得不同的电阻值(不包括零电阻)，其最大值和最小值分别是( )。
A．， B．， C．， D．，
13．图8.158中有一个半径为、总电阻为的均匀导体圆环，环上放置两根平行直导线，，直导线电阻不计，直导线间的距离等于圆的半径。现将直导线，在环上自由移动，移动过程中导线始终保持相互平行，距离仍为，并始终与导体环有良好接触，则，间电阻的最小值与最大值分别是( )。
A．， B．， C．， D．，
14．(上海第8届大同杯复赛)如图8.159所示，把6个阻值均为的相同电阻连接成一个正六边形的电阻器，这个六边形的每个顶点都有一个接线柱，其中1，4接线柱用导线相连接。则利用这个电阻器可获得的不同电阻值(不包括)的总个数和最大电阻值分别是( )。
A．2个， B．3个，
C．4个， D．5个，
15．在如图8.160所示的电路中，各个电阻的阻值已标出，则端点，间的等效电阻为________。
16．(上海第24届大同杯复赛)在图8.161(a)所示的电阻网络中，每一个电阻的阻值均为。某同学用如图8.161(b)所示的装置去测量网络中任意两节点之间的电流。设电源的电压恒为，则最大电流为________，最小电流为________。
17．(上海第17届大同杯复赛)将电阻丝制成半径大小不同的两个圆环和一个正方形，按图8.162所示的方法连接，若各接触点都导电良好，大圆环的总电阻等于，现用导线在，两点间连接电压为的电源，此时电路中的电功率为，则，两点间的电阻等于________；若用导线截面直径为原电阻丝两倍的电阻丝替换大圆环上，间1/4圆环电阻丝，则电路中的电功率将变为________。
18．(上海第9届大同杯复赛)在如图8.163所示的电路图中，已知，，，，则电路的总电阻________，消耗的电功率与消耗的电功率之比为________。
19．(上海第5届大同杯复赛)如图8.164所示，已知，，安培表，示数分别为和。若，间的电压一定，且安培表的电阻不计，则两端的电压为________。
20．在图8.165所示的电路中，电压表都相同，第一个电压表的示数，第一个电流表的示数为，第二个电流表的示数，则所有电压表的示数之和为________。
21．如图8.166所示，电路中共有100个电阻，其中：，，，则电路中，间总电阻为________，若在，间加的电压，则流过电阻的电流为________。
22．(上海第11届大同杯复赛)在如图8.167所示的电路中，为，和为，，间的电压为。则，间的总电阻为________，电阻消耗的电功率为________。
23．(上海第26届大同杯复赛)如图8.168所示，六个电阻完全相同，阻值都是，将电压为的电源接在，两点之间，则，两点间的电阻的功率为________；若将电源接在线路中的，两点，则________(选填“”“”“”“”“”“”或“所有电阻”)中无电流流过。
24．12根阻值均为的电阻丝连接成如图8.169所示的电路，问：
(1)，间的总电阻是多少？
(2)，间的总电阻是多少？
(3)，间的总电阻是多少？
25．由12根完全相同的电阻丝组成如图8.170所示的“田”字形电路。每根电阻丝的阻值均为，试求：
(1)，两点间的电阻值；
(2)，两点间的电阻值；
(3)，两点间的电阻值。
26．(上海第25届大同杯复赛)在如图8.171所示的电路中，电源电压，；为电键；其他8个电阻中有一个未知阻值，设为。剩下的7个电阻的阻值均为。若闭合电键以后，电源的总功率为，则的阻值为多少？通过中的电流为多少？
参考答案
1．D。提示：沿着电流方向电势降低，且同一导线两端的电势相等，可知右端的电势髙于左端的电势，通过的电流反向向左。三个电阻为并联关系，根据并联分流可得的电流为总电流的，即。
2．AB。略，可参孝本节例1的解法。
3．B。设通过的电流方向向右，由于两端电压等于，两端电压之和，根据题给数据关系，可知通过的电流方向向左，通过的电流方向向上，则的示数为，的示数为，故，的示数之比为。
4．C。提示：采用节点法，用同一个字母标记相同电势的节点，则可知最左边两个电阻并联，最右边两个电阻并联，这两个并联部分串联起来后，再与中间的电阻并联。
5．C。提示:理想电流表可视为导线，理想电压表可视为断路，各点间的阻值，，，。
6．D。提示：根据电阻间的电压关系，可得或。
7．A。设通过的电流为，方向向下，则，的电压之和等于的电压，有，且通过电流表的电流的方向应向右，有，解得，，可见实际上方向向上，的方向向左。
8．A。提示：设，两点分别接电源的正负极，则，两点为等势点，，之间没有电流通过，可将其除去。
9．B。提示：将原来的整块金属竖直方向均匀分成三大块，这三大块串联成为原来的整块金属，则每一大块的电阻为。每大块又由三个小块并联而成，因此每个小块的电阻为，当某一大块被拿去一个小块之后，该大块剩余部分的电阻为，这样，，之间的电阻变为。
10．B。提示：本题各电阻的连接方式是：三个电阻并联后，再与靠近电源的那个电阻串联。
11．C。提示：电键闭合时，，之间被短路，电阻为零；电键打开时，三个电阻并联。
12．A。提示：，间的电阻最小，，间的电阻最大。
13．D。提示：，导线外侧的圆弧没有电流，，两点间的电阻等于，两导线之间的两段圆弧并联后的阻值。当，导线有一根与圆弧相切时，最大；当，两导线关于圆心对称时，最小。
14．A。提示：3与5，2与6连接时，总电阻均为；1与2，2与3，3与4，4与5，5与6，6与1连接时，总电阻均为。
15．3。提示:对角线上两个的电阻中没有电流通过，可以去掉。
16．，。提示：该电路为三角形对称电路，各节点间的电阻只有四种情况，如图8.172所示，，，，，则最大电流为，最小电流为。
17．20，4.5。，两点间的电阻。设大圆上，两点间的电阻为，则，再设其余部分的总电阻为，有，解得。用导线截面直径为原电阻丝两倍的电阻丝替换大圆环上，间1/4圆环电阻丝后，大圆上，两点间的电阻变为，则，两点间的总电阻满足，解得。电路中的电功率变为。
18．13.5，1：1。提示：电阻与并联，电阻与并联，这两部分串联后，再与电阻并联。
19．50。提示，，，，四个电阻并联，由于，的读数也等于，的电流之和，则通过的电流等于与的读数之和，即，所以两端电压为。
20．304。设各电流表的读数分别为，电压表的读数分别为，电压表的内阻设为，则有，，，，以上各式相加，可得各个电压表示数之和为，由于，因此可得。
21．4，。提示：不难求得两端的总电阻为，则。两端的电压为，两端电压为，两端电压为，两端电压为……依次类推，两端电压为，则通过的电流为。
22．10，2.5。略。
23．，。提示：等效电路图如图8.173所示，可见，电路关于连线对称，则，两点电势相同，电阻没有电流通过。电阻与串联后接在两端，则两端电压为，消耗的功率为。
24．(1)根据图8.174(a)所示的电路的对称性，将其像图8.174(b)那样从点断开，则最终的等效电路如图8.174(c)所示，可求得，间的总阻值为。
(2)将，两点接电源时，根据对称性，，，三点电势相同，可将，两根电阻丝除去，如图8.175(a)所示。再将点像图8.175(b)所示那样断开，最终得到图8.175(c)所示的等效电路，可求得，间的总阻值为。
(3)，两点接电源时，可将图8.176(a)所示电路从点断开，转化为图8.176(b)所示电路，这样即可得到图8.176(c)所示等效电路，则，间的总阻值为。
25．(1)若，两点接电源，则，，三点电势相同，可将电阻丝，除去，因此图8.177(a)所示电路即转化为图8.177(b)所示电路，最终等效电路如图8.177(c)所示。可求得，两点间的电阻值为。
(2)若，两点接电源，则仍可将电阻丝，除去，电路图最终化为图8.178(c)所示，可求得，两点间的电阻值为。
(3)若，两点接电源，则可将节点如图8.179(b)所示那样断开，从而电路最终转化为图8.179(c)所示，可求得，两点间的电阻值为。
26．如图8.180(a)所示，先计算，两点间的电阻值，用圈圈起来的三个节点电势相同，可以收缩为一个点，收缩后，间的等效电路如图8.180(b)所示。容易算出，间的电阻为。由电源电压为，输出功率为，根据，则可得，求得，也不难求得通过的电流为。
第五节 复杂电路的简化与等效
一般混联电路比较复杂，在题目中出现时，有时故意将电路图抽象化、隐蔽化，使我们不容易很快看出电阻的串并联关系，画“等效电路”就是对比较复杂的电路运用串并联电路的知识进行分析，画出简明的等效电路，这种科学方法即“等效替代”的方法。将比较复杂的电路画成简明的等效电路是电路计算中十分重要的一步。
本节将介绍几种常见的简化电路的方法，为了下文的表述方便以及让读者能够更清晰地理解这些方法，需要先介绍一个重要的概念——电势。
一、电路中导线节点的电势
众所周知，在地球表面附近，物体都有自己的髙度，物体受到的重力的方向都是竖直向下的(即沿着重力的方向)。电势就相当于是电路中的“髙度”，在电源外部，电流从电源正极流出，经过用电器后流回到电源负极，电源正极处的电势最髙，电源负极处的电势最低，当电流经过用电器时，沿着电流方向电势逐渐降低。电势的减少量实际上等于用电器两端的电压，即当电流流经阻值为的电阻时，电势降低了。电压实际上是电势之差。电势和电压的单位都是伏特。
在图8.128(3)所示的电路图中，已知电源电压为，，，，。从电源正极开始，依次用字母，，，标记电路中导线的连接处(即节点)，由于导线没有电阻，电流经过导线时电势不降低，同一导线两端的电势相等，可以用同一个字母标记。设电源负极点处电势为0，由于电源电压为，则点的电势为。根据串并联电路的规律，容易求出通过各个电阻的电流分别为，，，，。则从到，电势降低了，所以点的电势为；从点到点，电势降低了，所以点的电势为；从点到点，电势降低了(或)，因此点电势为零，这和我们假设的点电势为零相符。当然，也可以从电阻这条支路进行计算：从点经到点，电势降低了，仍然得出点电势为零的结论。
我们也可以像图8.128(b)所示，将每个节点按照电势从髙到低画成一条条竖线，根据电阻两端的电势与哪两条竖线对应，将电阻放入对应的两条竖线之间，不仅电阻的连接情况一目了然，从电流的流向也能很方便地看出。
二、几种常见的简化电路的方法
1．节点法
节点是指电路中两根导线的连接点。我们只要知道各个用电器相当于连接在哪些节点之间，就可以判断出用电器的连接方式。由于导线的电阻为零，不论导线有多长，只要其间没有电源、用电器等，导线两端的电势就相同，两端点可看成同一个点。利用节点法化简电路时，可结合电流的流向，将电路中的各节点依次标为，，，等，然后将各元件连在相对应的节点位置即可。同时，也要注意，若各电阻中通过同一电流，则这些电阻是串联的；若从某点起电流分开流过几个电阻后又汇合，则这些电阻是并联的。
例1 (上海第26届大同杯初赛)在如图8.129所示的电路中，电流表和的示数分别为和。若将电路中的某两个电阻的位置互换，电流表和的示数却不变，则电流表的示数可能为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 将电源正负极分别标记为，两点，由于电流表和导线电阻不计，将电路中其他各节点分别标记如图8.130(a)所示，显然，电阻，，为并联。结合电流方向为从节点流向节点，则电流表的读数等于通过，的电流之和，电流表的读数等于通过，的电流之和，即，。电流表读数为，等效电路图如图8.130(b)所示。当将电路中的某两个电阻的位置互换时，电流表和的示数却不变，由于三个电阻并联，说明互换的两个电阻必然阻值相等。若，则，故，选项B正确；若，则必然会有，与题给条件矛盾；若，则，，故，选项C正确。本题正确选项为BC。
例2 在下列情况下将如图8.131所示的电路简化：
(1)电键断开；
(2)电键闭合。
分析与解 当电键断开时，可将电键所在的导线去除，并将电阻所在的导线拉长，如图8.132所示，则明显可以看出，各个电阻的连接关系如图8.133所示。
(2)当电键闭合时，结合采用节点法，将各个节点标上字母，注意同一段导线两端电势相等，应标上同一个字母，如图8.134所示。由于电阻两端节点所标是同一个字母，说明两端电压为零，即没有电流通过，可将这一支路除去，其余电阻与节点间的关系如图8.135所示，显然，各个电阻之间的连接关系应如图8.136所示。
2．利用电路的对称性化简电路
一些电路虽然连接情况复杂，但是存在某种对称性，即电路中某些对称的节点的电势相同，这些节点之间即使用导线相连，导线上也没有电流，反过来，电路中的某些节点可以分成两个电势相同的节点，这并不会影响电路的连接方式，但却给我们简化电路带来了很大的方便。
例3 如图8.137所示，9个阻值为的电阻连成的电路，现在，两点间加上的电压，问：
(1)，间的总电阻为多少欧姆？
(2)流过直接接在，两点间的电阻上的电流为多少安？
分析与解 (1)观察可知，图8.137所示电路关于，连线对称，不妨将点分成如图8.138(a)所示的，两个点，则显然，两点电势相同，分开后并未影响到原电路电阻的连接情况，因此，可将电路简化为图8.138(b)所示的电路，则可求得间的总电阻为。
(2)直接接在，两点间的电阻就是在简也图8.138(b)中标记为的电阻，则通过它的电流为。
例4 (上海第29届大同杯初赛)在如图8.139所示的电阻网格中，，，，四根电阻丝的阻值均为，其余各电阻丝的阻值都相等，但阻值未知，测得，两点之间的总电阻为，若将，，，四根电阻丝皆换成阻值为的电阻丝，则两，点之间的总电阻为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 题中电阻网格关于连线有很好的对称性，可将点和点像图8.140(a)所示这样分开，则分开后并不影响原电阻的等效阻值，同时注意到，图8.140(a)中的点和点、点和点分别关于连线对称，因此点和点电势相等，点和点电势相等，即导线，无电流通过，可以去掉。电路可初步转化为8.140(b)所示。进一步观察，从图8.140(b)中已经能够看出各个电阻丝的连接关系了。将8.140(b)等效为8.140(c)所示电路，其中，，，，四点之间的电阻的阻值为，其余的电阻阻值均相同，设为，则由电阻的串并联知识可得，间的等效电阻满足
将，，，四根电阻丝皆换成阻值为的电阻丝后，，间的等效电阻满足：
由以上两式消去，可解得，即。选项A正确。
3．将立体电路转化为平面电路
立体电路图是指电路中各电阻为空间结构，构成了某一立体图形，这类电路不容易看出电阻的连接方式，要将其沿某一方向“压扁”，使其变为平面电路，再结合对称性等，进行简化与等效。
例5 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图8.141所示的网络。已知每一个金属圆圈的电阻都是，试求图中，两点间的等效电阻。
分析与解 求解两点间的等效电阻，应把立体电阻网络先“压扁”，使之变为平面电阻网络。如图8.142(a)所示，由对称性可知，，为等势点，将电阻网络沿，连线方向压扁，使，重合为一个新的点，三维金属线圈成为一个在弧线所在平面内的平面网络，如图8.142(b)所示。容易看出，压扁后，与并联成为，与并联成为，与并联成为，与并联成为，由于原电路中每个圆周的电阻均为，则压扁后的，，，的电阻均为。图8.142(b)具有明显的对称性，可将点断开如图8.142(c)所示，则各段导线之间的连接关系一目了然，可画出如图8.142(d)所示的等效电路图，据此求出。
例6 如图8.143所示，12根长度相等、阻值均为的金属棒焊接成一个正方体框，试求：
(1)，两点之间的电阻值；
(2)，两点之间的电阻值。
分析与解 (1)先设法将立体电路转化为平面电路。若将，两点分别与电源的正、负极相连，根据电路的对称性，易得，两点为等势点，，两点为等势点。如图8.144(a)所示，可将，两点“捏”在一起成为一个新的节点，将，两点“捏”在一起成为一个新的节点，则原来的金属棒与，与，与，与以及与均为并联关系，如图8.144(b)所示。进而可得到简化后的平面电路如图8.144(c)所示，两根金属棒并联后的阻值为，容易得出间的总电阻为。
(2)求解，两点之间的电阻值时可以将四边形压到四边形之内，如图8.145(a)所示。假设，分别与电源的正、负极相连，则结合电路的对称性，可知，两点为等势点，，两点为等势点，因此金属棒，中不会有电流流过，可将这两根金属棒去除，如图8.145(b)所示，则容易看出电路最终简化为图8.145(c)所示的平面电路，可求得，两点之间的电阻值。
练习题
1．(上海第31届大同杯初赛)在如图8.146所示的电路中，总电流，，则下列对通过的电流的判断正确的是( )。
A．大小为，方向向右 B．大小为，方向向左
C．大小为，方向向右 D．大小为，方向向左
2．(上海第28届大同杯初赛)在如图8.147所示的电路中，电流表和的示数分别为和。若将，，中的某两个电阻互换，其他条件不变，发现电流表的示数不变。则通过的电流为( )。
A． B． C． D．
3．(上海第24届大同杯初赛)图8.148为复杂电路的一部分，电阻，，的阻值之比为1：2：3，通过这三个电阻的电流之比为4：1：2。则电流表，的示数之比为( )。
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
4．(上海第22届大同杯初赛)阻值都是的五个电阻连接如图8.149所示，则，之间的等效电阻值为( )。
A．0 B． C． D．
5．(上海第17届大同杯初赛)在图8.150所示电路中，电流表和电压表均为理想电表，则下列判断中正确的是( )。
A．，且最大，最小 B．，且最大，最小
C．，且最大，最小 D．，且最大，最小
6．(上海第16届大同杯初赛)图8.151所示为某复杂电路的一部分，电阻，，的阻值之比为1：2：3，则通过这三个电阻的电流之比有可能为( )。
A．3：2：1 B．6：3：2 C．4：2：1 D．1：4：3
7．图8.152所示为某电路中的一部分，已知，，，电流，，则通过电流表中的电流强度是( )。
A．，方向向左 B．，方向向右
C．，方向向右 D．，方向向左
8．(上海第22届大同杯初赛)，，，，，六根阻值均为的电阻线连接成如图8.153所示电路，则，之间的等效电阻为( )。
A． B． C． D．
9．(上海第15届大同杯初赛)图8.154为某均匀金属薄板，现测得接线柱，之间的电阻为。如果将该电阻板均匀地分成9块，并挖去其中一小块，则此时，之间的电阻变为( )。
A． B． C． D．
10．(上海第13届大同杯初赛)如图8.155所示，每个电阻都是，则，间的总电阻是( )。
A． B． C． D．
11．(上海第12届大同杯初赛)如图8.156所示，，则电键断开和闭合时，，间的电阻分别为( )。
A．， B．， C．， D．，
12．(上海第10届大同杯初赛)如图8.157所示，将一个阻值为的电阻丝围成一个等边三角形，，，分别为三条边的中点，它们与，，三个顶点共同构成6个接线柱，其中，接线柱用导线连接，从而构成一电阻器。则利用该电阻器可获得不同的电阻值(不包括零电阻)，其最大值和最小值分别是( )。
A．， B．， C．， D．，
13．图8.158中有一个半径为、总电阻为的均匀导体圆环，环上放置两根平行直导线，，直导线电阻不计，直导线间的距离等于圆的半径。现将直导线，在环上自由移动，移动过程中导线始终保持相互平行，距离仍为，并始终与导体环有良好接触，则，间电阻的最小值与最大值分别是( )。
A．， B．， C．， D．，
14．(上海第8届大同杯复赛)如图8.159所示，把6个阻值均为的相同电阻连接成一个正六边形的电阻器，这个六边形的每个顶点都有一个接线柱，其中1，4接线柱用导线相连接。则利用这个电阻器可获得的不同电阻值(不包括)的总个数和最大电阻值分别是( )。
A．2个， B．3个，
C．4个， D．5个，
15．在如图8.160所示的电路中，各个电阻的阻值已标出，则端点，间的等效电阻为________。
16．(上海第24届大同杯复赛)在图8.161(a)所示的电阻网络中，每一个电阻的阻值均为。某同学用如图8.161(b)所示的装置去测量网络中任意两节点之间的电流。设电源的电压恒为，则最大电流为________，最小电流为________。
17．(上海第17届大同杯复赛)将电阻丝制成半径大小不同的两个圆环和一个正方形，按图8.162所示的方法连接，若各接触点都导电良好，大圆环的总电阻等于，现用导线在，两点间连接电压为的电源，此时电路中的电功率为，则，两点间的电阻等于________；若用导线截面直径为原电阻丝两倍的电阻丝替换大圆环上，间1/4圆环电阻丝，则电路中的电功率将变为________。
18．(上海第9届大同杯复赛)在如图8.163所示的电路图中，已知，，，，则电路的总电阻________，消耗的电功率与消耗的电功率之比为________。
19．(上海第5届大同杯复赛)如图8.164所示，已知，，安培表，示数分别为和。若，间的电压一定，且安培表的电阻不计，则两端的电压为________。
20．在图8.165所示的电路中，电压表都相同，第一个电压表的示数，第一个电流表的示数为，第二个电流表的示数，则所有电压表的示数之和为________。
21．如图8.166所示，电路中共有100个电阻，其中：，，，则电路中，间总电阻为________，若在，间加的电压，则流过电阻的电流为________。
22．(上海第11届大同杯复赛)在如图8.167所示的电路中，为，和为，，间的电压为。则，间的总电阻为________，电阻消耗的电功率为________。
23．(上海第26届大同杯复赛)如图8.168所示，六个电阻完全相同，阻值都是，将电压为的电源接在，两点之间，则，两点间的电阻的功率为________；若将电源接在线路中的，两点，则________(选填“”“”“”“”“”“”或“所有电阻”)中无电流流过。
24．12根阻值均为的电阻丝连接成如图8.169所示的电路，问：
(1)，间的总电阻是多少？
(2)，间的总电阻是多少？
(3)，间的总电阻是多少？
25．由12根完全相同的电阻丝组成如图8.170所示的“田”字形电路。每根电阻丝的阻值均为，试求：
(1)，两点间的电阻值；
(2)，两点间的电阻值；
(3)，两点间的电阻值。
26．(上海第25届大同杯复赛)在如图8.171所示的电路中，电源电压，；为电键；其他8个电阻中有一个未知阻值，设为。剩下的7个电阻的阻值均为。若闭合电键以后，电源的总功率为，则的阻值为多少？通过中的电流为多少？
参考答案
1．D。提示：沿着电流方向电势降低，且同一导线两端的电势相等，可知右端的电势髙于左端的电势，通过的电流反向向左。三个电阻为并联关系，根据并联分流可得的电流为总电流的，即。
2．AB。略，可参孝本节例1的解法。
3．B。设通过的电流方向向右，由于两端电压等于，两端电压之和，根据题给数据关系，可知通过的电流方向向左，通过的电流方向向上，则的示数为，的示数为，故，的示数之比为。
4．C。提示：采用节点法，用同一个字母标记相同电势的节点，则可知最左边两个电阻并联，最右边两个电阻并联，这两个并联部分串联起来后，再与中间的电阻并联。
5．C。提示:理想电流表可视为导线，理想电压表可视为断路，各点间的阻值，，，。
6．D。提示：根据电阻间的电压关系，可得或。
7．A。设通过的电流为，方向向下，则，的电压之和等于的电压，有，且通过电流表的电流的方向应向右，有，解得，，可见实际上方向向上，的方向向左。
8．A。提示：设，两点分别接电源的正负极，则，两点为等势点，，之间没有电流通过，可将其除去。
9．B。提示：将原来的整块金属竖直方向均匀分成三大块，这三大块串联成为原来的整块金属，则每一大块的电阻为。每大块又由三个小块并联而成，因此每个小块的电阻为，当某一大块被拿去一个小块之后，该大块剩余部分的电阻为，这样，，之间的电阻变为。
10．B。提示：本题各电阻的连接方式是：三个电阻并联后，再与靠近电源的那个电阻串联。
11．C。提示：电键闭合时，，之间被短路，电阻为零；电键打开时，三个电阻并联。
12．A。提示：，间的电阻最小，，间的电阻最大。
13．D。提示：，导线外侧的圆弧没有电流，，两点间的电阻等于，两导线之间的两段圆弧并联后的阻值。当，导线有一根与圆弧相切时，最大；当，两导线关于圆心对称时，最小。
14．A。提示：3与5，2与6连接时，总电阻均为；1与2，2与3，3与4，4与5，5与6，6与1连接时，总电阻均为。
15．3。提示:对角线上两个的电阻中没有电流通过，可以去掉。
16．，。提示：该电路为三角形对称电路，各节点间的电阻只有四种情况，如图8.172所示，，，，，则最大电流为，最小电流为。
17．20，4.5。，两点间的电阻。设大圆上，两点间的电阻为，则，再设其余部分的总电阻为，有，解得。用导线截面直径为原电阻丝两倍的电阻丝替换大圆环上，间1/4圆环电阻丝后，大圆上，两点间的电阻变为，则，两点间的总电阻满足，解得。电路中的电功率变为。
18．13.5，1：1。提示：电阻与并联，电阻与并联，这两部分串联后，再与电阻并联。
19．50。提示，，，，四个电阻并联，由于，的读数也等于，的电流之和，则通过的电流等于与的读数之和，即，所以两端电压为。
20．304。设各电流表的读数分别为，电压表的读数分别为，电压表的内阻设为，则有，，，，以上各式相加，可得各个电压表示数之和为，由于，因此可得。
21．4，。提示：不难求得两端的总电阻为，则。两端的电压为，两端电压为，两端电压为，两端电压为……依次类推，两端电压为，则通过的电流为。
22．10，2.5。略。
23．，。提示：等效电路图如图8.173所示，可见，电路关于连线对称，则，两点电势相同，电阻没有电流通过。电阻与串联后接在两端，则两端电压为，消耗的功率为。
24．(1)根据图8.174(a)所示的电路的对称性，将其像图8.174(b)那样从点断开，则最终的等效电路如图8.174(c)所示，可求得，间的总阻值为。
(2)将，两点接电源时，根据对称性，，，三点电势相同，可将，两根电阻丝除去，如图8.175(a)所示。再将点像图8.175(b)所示那样断开，最终得到图8.175(c)所示的等效电路，可求得，间的总阻值为。
(3)，两点接电源时，可将图8.176(a)所示电路从点断开，转化为图8.176(b)所示电路，这样即可得到图8.176(c)所示等效电路，则，间的总阻值为。
25．(1)若，两点接电源，则，，三点电势相同，可将电阻丝，除去，因此图8.177(a)所示电路即转化为图8.177(b)所示电路，最终等效电路如图8.177(c)所示。可求得，两点间的电阻值为。
(2)若，两点接电源，则仍可将电阻丝，除去，电路图最终化为图8.178(c)所示，可求得，两点间的电阻值为。
(3)若，两点接电源，则可将节点如图8.179(b)所示那样断开，从而电路最终转化为图8.179(c)所示，可求得，两点间的电阻值为。
26．如图8.180(a)所示，先计算，两点间的电阻值，用圈圈起来的三个节点电势相同，可以收缩为一个点，收缩后，间的等效电路如图8.180(b)所示。容易算出，间的电阻为。由电源电压为，输出功率为，根据，则可得，求得，也不难求得通过的电流为。
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