初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第2节 压强（含答案）

第二节  压强

一、压强的概念

压强是表示压力作用效果的物理量，用单位面积上物体受到的压力大小来表示，公式为，其中是受力面积。压强的单位为帕斯卡，符号“”。是压强的定义式，适用于固体、液体和气体的压强计算。

二、柱体对水平地面的压强

柱体是指横截面积处处相同的几何体，体积公式为。如图7.3所示为几种常见的柱体。

对于置于水平面上的柱体来说，柱体对水平地面的压力大小等于其重力大小，设柱体密度为，高为，底面积为，因此柱体对水平地面的压强，可见，柱体对水平地面的压强与柱体底面积无关。

例1  (上海第30届大同杯初赛)如图7.4所示，甲、乙两个完全相同的直角三棱劈放置在水平桌面上。三棱劈的密度均匀且底面为矩形，若分别沿两物体图中虚线将右上侧切掉和，且，则剩余部分对桌面的压强和的大小关系为(    )

A．  B．

C．  D．都有可能

分析与解  显然，三棱劈可看做底面为矩形的柱体的一半，三棱劈对地的压强等于等高的柱体压强的一半，即，因此与高度有关，切除之后乙的高度较大，因此本题正确选项为B。

例2  (上海第19届大同杯复赛)如图7.5所示，，两正方体叠置在一起放于水平桌面上，的密度为，的密度为，若它们的边长比为，对的压强与对桌面的压强之比，则________。若不断地缩小立方体的体积，但始终保持的形状为立方体，使，两立方体的边长的比值由1:1逐渐变为1:2，则压强的比值变化情况为________(提示：通过计算分析后，写出变化情况)。

分析与解  设，的边长分别为，，则，，因此，将代入得，则。

减小后，有

令，由基本不等式，可得

定值

当且仅当，即时，取最小值。当由1:1逐渐变为时，减小，当由逐渐变为1:2时，增大，因此先增大后减小。

三、液体的压强

液体由于受重力作用且具有流动性，液体对容器底部和侧壁均有压强，液体的压强公式为，其中是液体密度，是液体中某处的深度。液体内部同一深度的位置，向各个方向的压强均相等。

由液体压强公式可知，液体压强与深度成正比，我们可以得出深度为的液体，对侧壁压强的平均值为，即平均压强等于一半深度处的压强。若侧壁面积为，则侧壁受液体的压力为。值得一提的是，液体对侧壁压力的等效作用点却不在处。实际上，压力的等效作用点叫做“压心”，面我们用类比法来寻找压心的位置。

如图7.6所示，作一个与矩形挡板等底、等高的三角形，并让与共线。用一些距离为的等距平行线将矩形挡板分成个相同的小矩形，则这组平行线将分成个等高的梯形(最上面一个可视为上底为零的“特殊”梯形)。考察第个小矩形和小梯形，适当调节各个恒量的值，可使得各小梯形所受到的重力与对应的小矩形所受液体的压力相等，所以，矩形所受压力的压心位置与重心位置等高由三角形重心知识可得，重心到三角形顶点的距离等于边上中线长的，故水对矩形侧壁的压心与边的距离为。

例3  (上海第30届大同杯复赛)地震造成了很多堰塞湖，如图7.7所示，假设有一块立方体石块堵住了水的去路，设水的密度为，石块的质量为，石块的左右侧面为正方形，边长为，宽度为，石块与地面足够粗糙，不会滑动，水若能推倒石块，则石块的宽度应该满足的条件是(    )

A．  B．

C．  D．

分析与解  石块被推倒时，将绕图7.8中点转动。当水的深度等于石块高度时，石块最容易被推倒，此时水对石块侧面的平均压强为，水对石块侧壁的压力，考虑到压力的等效作用点距水底的距离为水的深度，则在能被推倒的情形下，应有，解得，选项正确。本题极易将处作为压力的等效作用点，导致得出错误答案。

四、压强的变化问题

物体静止在水平面上时，对水平面的压强大小等于压力与受力面积的比值，由于物体对水平面压力的大小等于物重，因此压强可以表示为，当不变而压力变化了时，固体对水平面压强的变化量为。

是压强的定义式，对固体、液体和气体都适用；是由压强定义式推导出来的，适用于计算液体内部的压强，同时也适用于计算柱状固体对水平地面的压强，可见对液体和柱状物体，当液体或柱体的高度变化了时，柱体对接触面的压强变化量为。

同样多的水盛于不同形状的容器中，对容器的压力压强却不一定相同，液体对容器底部的压力也不一定等于液体的重力。当液体对容器底部的压力等于液体所受重力大小时(一般是圆柱形容器且容器内只有液体)，可用来计算液体对容器底部的压强。

在处理液体压强变化的问题时，要灵活应用和这两个公式。

压强变化问题多是立方体问题和圆柱形容器内的液体问题。

例4  甲、乙两个实心立方体分别放在水平地面上，它们对水平地面的压强相等，如图7.9所示。则：

(1)甲、乙的密度关系是________。

(2)若将甲、乙两个立方体分别沿竖直方向截去厚度相等的部分，则两者对地面的压强、的关系是________。

(3)若在甲、乙两个立方体上分别放置一个质量相等的铜块，则它们对地面压强、的大小关系是________。

(4)若将甲、乙两个立方体分别沿水平方向截去高度相等的部分，则两者对地面的压强、的关系是________。

分析与解  压强的变化有两个公式：和，本题要针对不同的问题选择合适的公式。

(1)由甲、乙对水平地面的压强相等，可得，由图可知，则。

(2)将甲、乙分别沿竖直方向截去厚度相等的部分，由于柱体压强，竖直截去部分厚度不会影响压强的大小，因此甲、乙对地面的压强不变，有。

(3)在甲、乙上分别放置一个质量相等的铜块时，、乙对地面的压力的增加量相等，等于铜块重力的大小。则，，由于因此，乙的压强增加较大，则有。

(4)将甲、乙分别沿水平方向截去高度相等的部分，则甲、乙压强的减少量分别为，，由于..，则，可见甲压强减小的较少，因此剩余部分的压强。

例5  (上海第30届大同杯初赛)如图7.10所示，底面积不同的柱状容器甲、乙分别盛有两种液体，液体对容器底部的压强，若要使两容器中的液体对容器底部的压强相等，一定可行的方法是在(    )

A．甲中抽取、乙中倒入相同高度的原有液体

B．乙中抽取、甲中倒入相同高度的原有液体

C．甲、乙中同时抽取相同高度的原有液体

D．甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体

分析与解  由，结合h，根据，可得。若在甲中抽取、乙中倒人相同高度的原有液体，则减小，增大，与不可能相等，选项错误。若在甲中倒入、乙中抽取相同高度的原有液体，则增大，减小，但存在一种可能，即甲中已经倒满时，仍小于，因此项并不能保证一定可行，选项错误。若在甲、乙中抽取相同高度的原有液体，则减小，减小，由，可知甲和乙压强的减少量，又初始时，因此可以假设抽取的高度等于，则减为零，而大于零，因此，在抽取的高度适当的时候，可以满足剩余液体对容器底部压强相等，选项正确。若在甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体，则甲和乙压强的增加量，因此更不会满足题意。本题正确选项为。

练习题

1．(上海第16届大同杯初赛)室温下两个容积相同的烧瓶用密封细管相连，右边烧瓶内装满水，左边烧瓶内充满空气，如图7.11所示。现将装置浸没在热水中，则气、液界面点向哪个方向移动？(    )

A．向右 B．向左 C．不动 D．无法确定

2．(上海第21届大同杯初赛)如图7.12所示，、乙两容器内盛有水，水对容器底部的压强分别为和。当水温从80℃降低到2℃时，和的变化情况是(    )

A．变小，不变 B．不变，变小

C．和均变小 D．和均不变

3．(上海第29届大同杯初赛)质量相等的甲、乙两个均匀实心正方体物块放在水平地面上，密度关系是，当在甲、乙两物块上分别放重为，的物体或分别施加竖直向上的力，(，均小于物块重力)时，甲、乙两物块对水平地面的压强相等，则与，与的大小关系是(    )

A．， B．，

C．， D．，

4．(上海第29届大同杯初赛)一根两端开口的细玻璃管竖直插入水银槽内，再注入高度为的某种液柱，结果使管内水银面下降了。如果水银密度为，则该液体密度为(    )

A． B． C． D．

5．(上海第29届大同杯初赛)如图7.13所示在两个底面积不同的圆柱形容器和()内分别盛有甲、乙两种液体，甲的液面低于乙的液面，此时两液体对各自容器底部的压强恰好相等。若容器足够高，并在两容器中同时倒入或同时抽出各自适量的液体，最终使得两液体对各自容器底部的压力相等，下列说法中正确的是(    )

A．倒入的液体体积可能等于 B．倒入的液体高度一定大于

C．抽出的液体体积可能小于 D．抽出的液体高度一定等于

6．(上海第28届大同杯初赛)如图7.14所示两端开口的形管中充满水，，两端开口处均用手指堵住，若同时松开手指，则(    )

A．只有水从端流出 B．只有水从端流出

C．，两端同时有水流出 D．，两端都没有水流出

7．(上海第17届大同杯初赛)如图7.15所示，，是两个不同的实心圆柱体，其中的高度小于，的底面积大于，而它们对地面的压强正好相等，则下列判断正确的是(    )

A．因为的高度比较小，所以的密度大

B．因为的质量比较大，所以的密度大

C．因为的底面比较大，所以的密度小

D．因为的体积比较大，所以的密度小

8．(上海第28届大同杯初赛)如图7.16所示，均匀圆柱体甲和盛有液体乙的圆柱形容器放置在水平地面上，甲、乙质量相等。现沿水平方向切去部分甲并从容器中抽取部分乙后，甲对地面的压强小于乙对容器底部的压强，若甲、乙剩余部分的体积分别是，，则(    )

A．可能等于  B．可能大于

C．一定大于  D．一定小于

9．(上海第26届大同杯初赛)如图7.17所示质量分布均匀的甲、乙两个实心正方体放置在水平地面上，它们对地面的压强相同。若要使甲对地面的压强比乙大，下列做法中正确的是(    )

A．沿竖直方向切去相同的体积 B．沿竖直方向切去相同的厚度

C．沿水平方向切去相同的质量 D．沿水平方向切去相同的体积

10．(上海第25届大同杯初赛)如图7.18所示，于水平桌面上的一个密闭的圆锥形容器内装满了重力为的某种液体。已知圆锥形容器的容积公式为，其中，分别为容器的底面半径和高，则容器内的液体对容器侧面的压力大小为(    )

A． B． C． D．0

11．(上海第20届大同杯初赛)如图7.19所示，通器左端试管横截面的半径为，右端试管横截面的半径为。左、右水面的高度分别为和。那么打开开关后，右管水面能够上升到距离底部的最大高度为(    )

A． B． C． D．

12．(上海第13届大同杯初赛)如图7.20所示容器重为，放在水平面上，容器内盛有重为的液体，若用表示容器对桌面的压力，表示液体对容器底的压力，则和应满足(    )

A．， B．，

C．， D．，

13．(上海第10届大同杯初赛)如图7.21所示，某密闭容器内盛有一部分水，如图所示位置时，水对底部压强为，水对底部压力为。当把容器倒置放在桌面上时(    )

A．增大，减小  B．增大，增大

C．减小，不变  D．减小，减小

14.如图7.22所示，圆柱形容器内注人某种液体，深度为，容器底的半径为。如果液体对侧壁的压力等于对容器底部的压力，那么为(    )

A．1:1 B．1:2 C．2:1 D．

15．(上海第17届大同杯初赛)“纳米”是长度单位之一，符号为“”，且。纳米技术是以的尺度为研究对象的前沿科学，目前我国在这方面的研究已跻身世界前列，已知我国研制成的碳纳米管的强度(单位面积能承受的最大拉力)是钢的100倍，而碳纳米管的密度仅为钢的1/6，假设有两根同样粗细的细绳，一根由碳纳米管制成，一根由钢管制成，将它们分别在地面附近竖直悬挂起来，则它们能承受自身重力而不断裂时的最大长度之比为(    )

A．600:1 B．3600:1 C．100:6 D．100:1

16．(上海第23届大同杯初赛)图7.23是一个足够长、细均匀的形管，先从端注入密度为的液体，再从端注入密度为、长度为的液柱，平衡时左右两管的液面高度差为.现再从端注密度为的液体，且，要使左右两管的液面等高，则注入的液柱长度为(    )

A． B． C． D．

17．(上海第13届大同杯初赛)如图7.24所示，轻质薄片刚要脱落，若水的密度为，则油的密度是(    )

A．  B．

C．  D．无法确定，因横截面积不知

18．(上海第29届大同杯复赛)如图7.25所示，一个足够长的两端开口的形管内装着水银，形管左管横截面积为，右管横截面积为.将水缓慢灌入形管左管，平衡后在水和水银面的交界处液体产生的压强大小为________，形管右管水银面高度上升了________.

19.血管变细是“高血压”发病的诱因之一。为研究这一问题，我们可做一些简化和假设：设血液通过一定长度血管时受到的阻力与血液流速成正比，即(其中与血管粗细无关)，为维持血液匀速流动，在这血管两端需要有一定的压强差。设血管内径为时所需的压强差为，当血管内径减为时，为了维持在相同时间内流过同样多的血液，此时血液的流速是原来的________倍；血管两端的压强差必须变为原来的________倍。

20．(上海第22届大同杯复赛)图7.26所示为一种水闸，闸门的底部与铰轴相连，厚度不计的闸门高为、宽为。为一根不计质量的杆，端通过铰链与闸门相连，端通过铰链与地面相连杆与地面成60°角，端距离地面高为。已知水的密度为，试求杆对闸门的作用力。

参考答案

1．B。装置浸没在热水中时，水和空气温度都升高水是液体，比气体难压缩得多，所以在水和空气都有膨胀趋势的情况下，水将向左压缩气体，点左移。

2．B。设容器底面积为，液体密度为，深度为，则液体对容器底部的压强为，液体对容器底部的压力，考虑到恰为底面积为、高为的圆柱体的体积，因此液体对容器底部的压力大小，等于以容器底为底面积、以液体深度为高的圆柱形“液柱”所受到的重力，当然，由于容器形状未必是柱形，因此液体对容器底部压力不一定等于液体重力。考虑到甲、乙两容器，由于甲为圆柱形容器，因此甲液体对底部压力大小始终等于甲液体重力。乙容器在降温时，高度下降，其所对应的“液柱”体积减小，液体对容器底部压力减小。选项正确。

3．D。由甲、乙质量相同，而，则可知甲的边长较小，即，易知。在甲、乙上方放置重物时，甲、乙对地面的压强均增加，当时，显然有，则，，可得。若对甲、乙分别施加竖直向上的力，使得，显然此时甲对地面的压力小于乙对地面的压力，由于两者原来质量相同，因此，选项正确。

4．B。注入高度为的液柱后，设液柱密度为，管内外液体在分界面处压强相等，则有，解得。

5．C。由于甲、乙液体对容器底部压强相等，可得，再由，可得甲、乙对液体底部压力。若倒入的液体体积，则甲增加的质量多，甲对容器底部的压力大，选项错误；若倒入的液体高度大于，同样是甲对容器底部压力增加得多，选项错误；当抽取液体时，由于甲液体密度较大，因此抽取较小的体积时，抽取的质量也可能大于乙，从而最终剩余液体质量相同，选项正确，选项错误。

6．B。手指移开后，端压强等于大气压强，而端压强等于大气压强加上，间竖直高度的水产生的压强，因此水会从端流出，而空气从端进入管内，选项正确。

7．A。提示：根据圆柱体对水平地面的压强公式，可知压强相同时柱体高度越小，密度越大。

8．D。由图7.16可知，甲的体积较小，因此。水平切去一部分甲并抽取部分乙后，，考虑到，因此两者剩余部分质量，结合，可知剩余部分体积一定小于，选项正确。

9．CD。竖直切不会改变甲、乙对地面的压强选项错误。甲、乙原来对地面压强相同，而甲底面积较大，当两者水平切去相同质量时，甲压强减小得较少，甲剩余部分对地面的压强大于乙，选项正确。由题易知甲的密度小于乙两者水平切去相同体积时，甲切去的质量较小，亦能得出选项正确。

10．B。液体对圆锥底面的压强，圆锥底面受到的液体压力，圆锥容器内液体重力，可见。取液体为研究对象，整个液体应受重力，圆锥底面对液体的支持力大小为，因此容器侧面对液体的作用力应竖直向下，大小为，由作用力和反作用力的知识可知，液体对容器侧面的压力大小为，方向竖直向上。

11．B。不考虑机械能损失，打开开关之前水的重力势能等于右管水面上升到最高时的重力势能(此时水柱速度为零)。设水的密度为，打开开关之前，水的重力势能表示为，打开开关，右管达到的最大高度设为，由于水的总体积为，则左管水面高度为，故此时水的重力势能为，结合，解得。

12．D。结合练习题2的解答过程，液体对容器底部的压力大小等于以容器底为底面积、以液体深度为高的圆柱形“液柱”所受到的重力，显然这个“液柱”比容器中水的体积要大，因此液体对容器底部的压力大于容器中液体重力；容器底部对桌面的压力等于容器重力与液体重力之和。

13．A。提示：比较练习题12所作的“液柱与实际水的体积关系可知，容器倒置前，水对容器底部的压力大于水的重力，倒置后，水对容器底部的压力小于水的重力，可知变小；倒置后水的深度增加，水对容器底部的压强增大。

14．A。水对侧壁的平均压强，等于一半深度处的压强，即，侧壁面积，因此水对侧壁的压力，液体对容器底部的压力，若，显然有。

15．A。取横截面积均为的钢丝和碳纳米管，设它们所能承受的最大长度分别为和，密度分别为和，单位面积的最大承受力分别为和，则，同理，因此，可得。

16．A。注入密度为的液体平衡后，对液体底部所在的水平面，由连通器原理，有，可得。设从端注入的液体长度为，则右端，液柱的分界面与左端液体底端的高度差为，同样由连通器原理，有，将密度关系代人，解得。

17．B。薄片脱落时，油和水在薄片处产生的压强相同，即，解得。

18.，。设左、右两管横截面积分别为，，则水对液面交界处的压强为。设左端水银面下降，右端水银面上升，则右端水银在左端水银面处产生的压强和水在该处产生的压强相等，有，又，解得，。

19.；。在时间内流过血管的血液体积为，血管内径减小后，时间内流过的血液体积仍相同，则，得。血液匀速流动时，血液两端所受压力差等于阻力，即，则，解得，则血管变细后压强差之比。

20.以水闸为研究对象，如图7.27所示，由于杆为轻杆，且两端均与铰链相连，因此杆端对水闸的作用力必沿方向，取点为转轴，由几何关系，的力臂为.水闸还受到水的压力的作用，水对水闸的平均压强为，水闸受压面积为，因此，考虑到水对矩形侧壁的压力等效作用点在水深的处，即的力臂为，根据有固定转动轴物体的平衡条件，有，代解得。