还剩26页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第2章第4节 有固定转动轴的物体的平衡（含答案）
展开
这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第2章第4节 有固定转动轴的物体的平衡（含答案），共29页。教案主要包含了转动轴与力矩，有固定转动轴的物体的平衡条件，平衡综合问题等内容，欢迎下载使用。
第四节 有固定转动轴的物体的平衡
我们学习过杠杆的概念，杠杆就是在力的作用下可以绕固定点转动的一根硬棒。在这一节，我们将加以延伸，得到更一般情况下物体处于转动平衡的条件。
一、转动轴与力矩
日常生活中我们可以见到许多转动的物体，比如，开门或者关门时，门绕着门轴做圆周运动，电风扇转动时，叶片上各个点都做圆周运动，圆周的中心在同一条直线上。像这样物体在转动时，各点做圆周运动的圆心的连线叫做转轴。例如，地球的转轴就是地轴。地球、门、电风扇都在做定轴转动，即绕着固定轴转动。
力使物体转动的效果不仅与力的大小有关，还与转轴到力的作用线的距离有关。从转轴到力的作用线的垂直距离叫做力臂。在纸面内作图时，转轴往往与纸面垂直，与纸面有一个交点，而力往往在纸面内，因此力臂实际上是该交点(即通常所说的支点)到力的作用线的距离，如图4.173所示。
力和力臂的乘积叫做力对转轴的力矩，力矩用表示，表达式为，其单位为“牛•米”，符号为“”。力矩是表示力对物体转动作用大小的物理量。我们学过的“动力乘以动力臂”“阻力乘以阻力臂”实际上都是指力矩。显然，若力的作用线通过转轴，则该力的力矩为零，对物体没有转动效果。
二、有固定转动轴的物体的平衡条件
当有一定大小和形状的物体处于静止状态，或绕某一点匀速转动时，我们就说该物体处于平衡状态。
作用在物体上的力，当力矩不为零时，力就会对物体有转动效果。在纸面内，我们可以把力使杠杆转动的方向分为顺时针和逆时针方向，例如图4.173所示，力对物体的转动效果是顺时针方向，力对物体的转动效果是逆时针方向，这两个力使物体的转动方向是相反的。
结合杠杆的平衡条件不难得知，有固定转动轴的物体的平衡条件，是使物体向逆吋针转动的力矩之和，等于使物体向顺时针转动的力矩之和，写成表达式即，或写成的形式。
值得一提的是，对于处于平衡状态的物体，由于它所受的各个力的合力必为零，因此选取任何位置作为支点，物体所受到的力对该支点的力矩都是平衡的。处理问题时，我们也常常选取合适的支点来列出平衡方程，从而使得解决问题更简便。同时，我们还常常将力矩平衡与共点力平衡相结合，列出平衡方程组来求解未知量。
下面分类举出具体的例子，供读者学习参考。
1．巧取转动轴
对于静止的物体，不仅满足共点力平衡，同时对任意转动轴也都满足力矩平衡。因此我们在分析物体的力矩平衡时，可以选择一些力的交点作为转轴，使这些力的力矩为零，从而使解决问题变得简便。
例1 (上海第24届大同杯初赛)如图4.174所示，三根长度均为的轻绳分别连接于，两点，，两端悬挂在水平天花板上，相距为。现在点悬挂一个质量为的重物，为使绳保持水平，在点应施加的最小作用力为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 本题可以先分析点的受力情况，得出细线拉力大小恒定，然后分析点受力情况，画出力的动态三角形，也可以求解拉力的最小值(请读者尝试)。现在我们不妨延长，交于点，如图4.175所示。将视为一个杠杆，选取点为转轴，则细线，的拉力力矩为零。物体通过细线对点的拉力大小为，由几何关系可知为等边三角形，的力臂为，拉力的力臂的最大值即为的长度，等于，因此的最小值满足，可得，本题正确选项为C。
例2 如图4.176所示，长为的轻绳一端固定在倾角为的粗糙斜面上，另一端系着半径为、质量为的均匀球顶部，绳子恰与圆球相切，且绳子水平。求：绳子对球的拉力、斜面对球的支持力以及斜面对球的静摩擦力。
分析与解 如图4.177所示，画出球体所受各个力的示意图。其中静摩擦力沿斜面向上，可以选点为转轴，如果沿斜面向下的话，球不会平衡。同时，选为转轴，发现重力与支持力的力矩为零，而绳子拉力与摩擦力的力臂均为球的半径，因此可得。再选绳子与斜面的交点为转轴，则绳子拉力与摩擦力的力矩为零。重力与支持力的力臂分别为，，而，因此可得。接下来将支持力、摩擦力沿水平、竖直方向上分解，在竖直方向上有，将代入，解得。综上所述，可知，。
2．力的最小值问题
我们在前面的章节里讨论了利用力平衡时的动态三角形求解力最小值的问题，下面介绍利用力矩平衡来求解最小力的问题。当某一个力的力矩大小为恒定值时，若使得取最小值，只需要力臂取最大值即可。因此问题的关键就是找到最长的力臂。
例3 如图4.178所示，为质量均匀的等边直杆，总质量为，端由铰链与墙相连，当处于竖直、处于水平静止状态时，施加在端的作用力至少为________，最小力的方向为________。
分析与解 由于，，杆的重力及重力力臂不变，因此要使杠杆平衡时作用在点的力最小，只需使力的力臂最大即可，连接转轴与力的作用点，则的长度就是力最长的力臂，最小的力即作用在点且与垂直斜向上，如图4.179所示。设，杆的长度均为，则有，解得。
例4 (上海第21届大同杯复赛)如图4.180所示，重力为的物体挂在水平横杆的右端点。水平横杆左端有一可转动的固定轴，轻杆长为。轻绳的端可固定在杆上的任一点，绳的端可固定在竖直墙面上的任一点，绳长为，轻杆始终保持水平。则当间的距离为________时，绳的拉力取得最小值，最小值为________。
分析与解 先找出绳的拉力的力臂，如图4.181所示，由勾股定理可求得，，则以点为转轴，有。
套近乎用不等式知识，当，时，有，可得。因此，当且仅当，即时(对应的)，不等式取等号。则，解得，因此绳的拉力最小值为。
3．转动物体的动态平衡问题
转动物体的动态平衡分为两种，一种是缓慢转动，此种情况下物体不仅处于力矩平衡，同时也处于共点力平衡。另一种是物体匀速转动，这种情况下只适用于力矩平衡。
例5 如图4.182所示，一根均匀直棒，端用光滑铰链固定于顶板上，端搁在一块表面粗糖的水平板上，滑动摩擦系数，且一开始，现设板向上运动而棒匀速转动，则关于木板对棒的弹力，下列说法正确的是( )
A．逐渐变大 B．先变大后变小
C．先变小后变大 D．逐渐变小
分析与解 棒匀速转动过程中，受三个力：重力、板对棒的弹力和滑动摩擦力，由于棒的端相对于板向左滑动，因此的方向水平向右，如图4.183所示。由于棒匀速转动，上述三个力的力矩和为零，有，结合，代入上式，整理得，由题意，，且一开始，则。随着木棒转动，逐渐减小，逐渐减小，逐渐增大。因此逐渐增大。本题正确选项为D。
例6 如图4.184所示，均匀光滑直棒一端铰于地面，另一端搁在一个立方体上，杯与水平面间的夹角为左右。现将立方体缓慢向左推，则棒对立方体的压力大小将( )。
A．逐渐增大 B．遂渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
分析与解 如图4.185所示，不妨以棒为研究对象，杆受重力和立方体对杆的弹力作用，其中弹力垂直于棒斜向上。当立方体缓慢向左推时，杆缓慢转动，重力与弹力力矩平衡。不妨设立方体高为，杆长为，则力的力臂为，则，解得，结合倍角公式，得，当时，，可见，当由左右逐渐增大到时，变大；当时，取得最大值；当由左右逐渐增大到接近时，减小。因此，本题正确选项为C。
4．轻杆问题分析
轻杆是指质量忽略不计的杆(未必是直杆)。当轻杆可以绕其一端自由转动时，要维持轻杆的平衡，轻杆另一端受到的力必沿着所在直线的方向，否则轻杆不可能平衡，如图4.186所示。
例7 如图4.187所示，为匀质杆，其重力为，与竖直墙面成角；为支撑的水平轻杆，，，三处均用铰链连接且位于同一竖直平面内。则杆对端铰链的作用力的方向为________，该力的大小为________。(，)
分析与解 由于杆为轻杆，且端可以自由转动，因此平衡时其端受力方向必然由指向，因此杆对杆的反作用力沿着方向，即水平向打开，如图4.188所示。以点为转轴，设杆长为，对杆应用力矩平衡，有，解得。
例8 (上海第30届大同杯初赛)如图4.189所示，光滑轻质细杆，处在同一竖直平面内，处用铰接连接，，处用铰链铰于水平地面上，杆与水平面夹角为。一质量为的小球穿在杆上，对小球施加一个水平向左的恒力使其静止在杆中点处，杆恰好竖直，则( )。
A．的大小为
B．小球对杆的作用力大小为
C．杆对杆的作用力大小为
D．地面对杆的作用力大小为
分析与解 画出小球的受力情况如图4.190所示，将小球所受各力沿平行于斜面和垂直于斜面的方向正交分解，平行于斜面方向有，解得，在垂直于斜面上方有。由于两杆均为轻杆，因此杆所受压力必沿着向下，杆对杆的弹力必沿着向上，杆受到小球对其的压力垂直于杆斜向下，杆受力如图4.191所示。以点为转轴，设杆长为，则对杆有，解得。同样以杆为研究对象，如图4.192所示，设地面对杆的水平、竖直作用力分别为，，则水平方向有，竖直方向有，因此地面对杆的作用力大小。综上所述，本题正确选项为BCD。
5．物体的平衡与稳定
如图4.193所示，平放和竖放的砖都处于平衡状态，但是竖放的砖与平放的砖相比较容易倒下，可见它们的稳定程度不同，我们把物体稳定平衡的程度叫做稳度。
竖放的砖稳度小，平放的砖稳度大。由图可知其原因是：竖放砖的底面积小，重心高，当其偏离一个小角度时，重力的作用线很容易超出底面的四条边之外，容易向外侧倒下，而平放的砖底面积大，重心低，当偏离平衡位置一个小角度时，重方的作用线不容易超出底面的四条边之外，不容易向外侧倒下，可见，增大物体的稳度可以分别采用增大底面积和降低重心高度，或者同时采用增大底面积和阵低重心高度的方法。
例9 (上海第27届大同杯复赛)有一个“不倒翁”，形状可以简化成由半径为的半球与顶角为的圆锥体组成，如图1以所示，它的重心在对称轴上。为了使“不倒翁”在任意位置都能恢复竖直状态，则该“不倒翁”的重心到半球体的球心的距离必须大于( )。
A．0 B．
C． D．
分析与解 将“不倒翁”扳倒，使圆锥的侧面母线紧贴地面，如图4.195所示。若放倒后“不倒翁”恰能恢复竖直，则其重力的作用线(为重心)必恰好通过图中点，点为底部半球与地面的切点。根据几何关系，、在直角中，，则。当时，重力的作用线在支撑面以外，“不倒翁”必能恢复竖直状态，本题正确选项为D。
例10 如图4.196所示，一只圆柱形均质木块，上、下底面圆的直径为，高为。现将木块置于倾角为的粗糙斜面上，木块底部与斜面间的动摩擦因数为，已知木块重心在几何中心，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。试求出木块在斜面上既不滑动也不翻转的条件。
分析与解 木块不滑动的条件是重力沿斜面向下的分力不大于最大静摩擦力，即，解得。木块不翻转的条件是重力的作用线不能超出底面圆面积范围，当重力作用线恰通过底面圆边缘时，木块恰不翻倒，如图4.197所示，由几何关系，不翻倒的条件应为。可见，若要木块既不滑下又不翻到，需要同时满中上述两个式于(即小于与中较小的一个)。因此讨论如下：①若，需，②若，需。
三、平衡综合问题
当物体处于静止吋，不仅满足力矩平衡，同时也满足共点力平衡，在解决此类问题时，要根据需要列出不同的平衡方程。
例11 (上海第31届大同杯初赛)如图4.198所示，质量分布均匀的直杆置于水平地面上，现在端施加外力，缓慢抬起直杆直至竖直，端始终和地面之间保持相对静止，的方向始终和直杆垂直，则：
(1)该过程中直杆端受到的摩擦力的变化情况是( )。
A．保持不变 B．先减小后增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
(2)在缓慢抬起直杆的过程中，要确保直杆端始终和地面保持相对静止，直杆和地面之间的摩擦因数至少为( )。
A． B． C． D．
分析与解 (1)杆在外力作用下绕着底部端点缓慢转动，对杆受力分析，杆受拉力、重力以及地面对杆底部的支持力和静摩擦力。为了简便，以为转轴，则支持力与静摩擦力的力矩为零。拉力与重力力矩平衡。设杆长为，杆与地面的夹角为，如图4.199所示，则有，得
①
由几何关系，拉力与竖直方向的夹角等于，将拉力沿水平和竖直方向正交分解，对杆列出平衡方程。
竖直方向：
②
水平方向：
③
将①式代入③式，可得
④
结合三角公式，可得
⑤
可见，当，即时，取得最大值。因此正确选项为D。
(2)在缓慢抬起直杆的过程中，若直杆端始终不滑动，则对任一角度需满足最大静摩擦力，由于最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力，设动摩擦因数为，则最大静摩擦力，又，将代入，得
⑥
⑥式取等号，即解得
⑦
由于，因此，可见，要使得杆不滑动，动摩擦因数至少要为，选项C正确。
当然，本题第(2)问也可以采用三力交汇原理处理，应先将支持力与摩擦力合成为全反力，并设与支持力的夹角为，如图4.200所示，则有，当杆恰未滑动时，静摩擦力达到最大，，此时，的值也达到最大，即为摩擦角。只要在杆逐渐转动过程中，的值满足，杆即不会滑动。现使取最大值，延长全反力、重力、拉力的作用线交于点，并设杆的重心为，过作垂直于重力的作用线于，几何关系如图4.200所示。则，，，。因，可得，解得
因此同样可求得动摩擦因数至少为。
例12 如图4.201所示，直径为的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均匀、长度为的光滑杆搁置在半球碗上，碗的厚度不计。则杆平衡时：
(1)杆在点受到的弹力与杆受到的重力大小之比是多少？
(2)杆在碗内的部分与碗外部分的长度之比是多少？
分析与解 杆平衡后受三个力作用，重力、碗底对杆端的弹力、碗边緣对坏的弹力，由于杆处于平衡状态，这三个力必为共点力(即力的作用线交于一点)，但是本题用力矩平衡，结合共点力平衡来处理，较为简便。
(1)设碗端口的圆心为点，连接，，设杆与水平方向的夹角为，作出杆受到的三个力，其中指向圆心点，垂直于杆斜向上，如图4.202所示。由于待求的是。与重力的大小关系，因此不妨选取过且垂直于纸面的轴为转动轴(即通常所说的取为支点)，则重力与力矩平衡。结合几何关系，的力臂为，重力的力臂为，其中为杆长。则有，因此有。
(2)若要求解杆部分与部分的长度之比，则只要先求出角度，问题即可迎刃而解。接下来不妨考虑杆的受力平衡。将杆受到的力分别沿着杆方向、垂直于杆方向分解，在两个方向上列出平衡方程。
沿杆方向：
垂直于杆方向：
两式消去，得
将代入，并通分化简得，解得，另一解为负，舍去。因此
对于本题的第(2)小问，也可以利用三力交汇来处理，具体如下：延长杆所受三个力的作用线交于点，由于，必为直径，即点在图4.203所示的圆上。过作重力作用线的垂线，则点亦必在图4.203所示的圆上。因此的长度可以表示为。结合三角公式，可得，将，代入，亦可解得，因此可求得。
例13 如图4.204所示，是一根重为的均质细直杆，端靠在光滑的竖直墻璧上，端置于水平地面上，杆在竖直平面内。已知杆与地面之间的动摩擦因数为产，最大静靡檫力等于滑动摩擦力，杆身与地面的夹角为。求：
(1)杆受地面的支持力与摩擦力的大小。
(2)若杆不滑动，则应满足的条件。
分析与解 (1)画出杆所受各力如图4.205所示。由整体法，可知，，以点为支点应用力矩平衡，设杆长为，则有，解得，则。
(2)杆与地面的夹角越小，杆越容易滑动，当杆恰好不滑动时，取得最小值，此时杆所受摩擦力为最大静摩擦力。由(1)可知，，解得，可见，当时，杆不会滑动。
本题的第(2)问也可以采用三力交汇原理来处理，具体如下：在杆恰未滑动时，将与合成为全反力，设与竖直方向夹角为，则。将，，的作用线延长，必交于一点，设杆的重心为，重力作用线与地面交于点。如图4.206所示，则根据几何关系，有，，，又，即，也即，同样可得当时，杆不会滑动。
练习题
1．如图4.207所示，直杆可绕过点的水平轴自由转动，图中虚线与杆平行，杆的另一端点受到四个力，，，的作用，力的作用线与杆在同一竖直平面内，它们对转轴的力矩分别为，，，，则它们间的大小关系是( )。
A．
B．
C．
D．
2．(上海第10届大同杯复赛)如图4.208所示，要将一个半径为、重为的车轮滚上高为的台阶，需在轮的边缘加一个推力。若推力分别作用在，，三点时，其最小值分别为，，，则( )。
A． B．
C． D．
3．(上海箄19届大同杯初赛)如图4.209所示，七块完全相同的砖块按照图示的方式叠放起来，每块砖的长度均为，为保证砖块不倒下，6号砖块与7号砖块之间的距离将不超过( )。
A． B． C． D．
4．(上海第19届大同杯初赛)如图4.210所示，质量分布均匀的细杆水平放置，支座在杆重心的右侧，杆的右端被位于其上面的支座顶住。现在杆的左端处施加一个向下的作用力，则( )。
A．两处的弹力均增加，且
B．两处的弹力均增加，且
C．处的弹力减小，处的弹力增大，且
D．处的弹力增大，处的弹力减小，且
5．(上海第20届大同杯初赛)如图4.211所示是某汤勺示意图，由一细长柄与一半球构成，且与半球相切，切点为。已知半球的半径为，柄的长度为，现用一细线系住点，并将细线竖直悬挂，如果不计汤勺的质量，则汤勺内水的最大高度是( )。
A． B．
C． D．
6．(上海第20届大同杯初赛)如图4.212所示，将一根均匀的木棒放在支点上，由于，木棒不能保持水平，现在木棒右端截去与等长的一段并置于上，木棒恰好能平衡，则为( )。
A． B． C． D．
7．如图4.213所示，两根均匀直棒，用光滑的铰链铰于处，两杆的另外一端都用光滑铰链铰于墙上，棒呈水平状态，，，，箭头表示力的方向，则棒对棒的作用力的方向可能是( )。
A． B． C． D．
8．(上海第25届大同杯初赛)如图4.214所示，两根硬杆，用铰链连接于，，，整个装置处于静止状态。关于杆对杆作用力的方向正确的是( )。
A．若计杆的重力，而不计杆的重力时，由指向
B．若计杆的重力，而不计杆的重力时，由指向
C．若不计杆的重力，而计杆的重力时，由指向
D．若不计扞的重力，而计杆的重力时，由指向
9．(上海第26届大同杯初赛)如图4.215所示，密度均匀的细杆与轻杆用光滑铰链铰在点，，也用光滑的铰链铰于墙上，两杆长度相等，杆水平，杆与竖直方向成，此时杆与杆之间的作用力为。若将两杆的位置互换，杆与杆之间的作用力为，则为( )。
A． B． C． D．
10．如图4.216所示，用长为的细直杆连接的两个小球，，质量分别为和，被置于光滑的、半径为的半球面碗内。达到平衡时，半球面的球心与球的连线和竖直方向的夹角的正切值为( )。
A．1 B． C． D．
11．(上海第26届大同杯复赛)如图4.217所示，一根轻杆两端固定，两球，放置在光滑半球形碗中，在图示位置平衡，球与球心连线和竖直方向的夹角为，碗固定在长木板上，长木板可绕点转动，现对长木板的另一端施加外力，使其逆时针缓慢转动，在，两球均未脱离碗的过程中，球与球心连线和竖直方向的夹角的变化情况是( )。
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大后变小 D．保持不变
12．(上海第25届大同杯复赛)两个人共同搬一个质量分布均匀的木箱上楼梯，如图4.218所示。木箱长为，高为；楼梯和地面成，而且木箱与楼梯平行。如果两人手的用力方向都是竖直向上的，那么在下面的人对木箱施加的力与上面的人对木箱施加的力的比值是( )。
A． B． C． D．
13．如图4.219所示，物体放在粗糙平板上，平板一端铰接于地上，另一端加一竖直向上的力，使板的倾角缓慢增大，但物体与木板间仍无相对滑动，则下列物理量中逐渐增大的有( )。
A．板对物体的静摩擦力 B．物体对板的正压力
C．拉力 D．拉力的力矩
14．如图4.220所示，一质量为的金属球与一细杆连接在一起，细杆的另一端用铰链铰于墙上较低位置，球下面垫一木板，木板放在光滑水平地面上，球与板间的滑动摩擦因数为，下面说法中正确的有( )
A．用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力
B．用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力
C．用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力
D．用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力
15．(上海第26届大同杯初赛)如图4.221所示，均匀木棒水平搁在一个圆柱体上，两者的接触点为，且。当圆柱体围绕其固定中心轴顺时针方向转动时，与棒的右端紧靠着的木板恰能沿光滑竖直墙面匀速下滑。若木棒与圆柱体之间、木棒与木板之间的动摩擦因数相同，则该动摩擦因数为( )。
A． B． C． D．
16．(上海第26届大同杯初赛)质量分别为和、长度分别为和的两根均勾细棒的一端相互连在一起，构成一直角形细棒，放在粗糙的水平桌面上，两棒与桌面间的动摩擦因数相同。现在两棒连接端处施加一水平外力使棒做匀速直线运动，的方向如图4.222所示，则以下判断中正确的是( )。
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
17．如图4.223所示，是一质量为的均质细直杆，端靠在光滑的竖直墙壁上，端置于粗糙水平地面上，杆身与竖直方向的夹角为，杆在图示位置处于静止状态，则( )
A．增大，杆可能滑动
B．减小，杆可能滑动
C．设变化为时杆开始滑动，则杆与地面的动摩擦因数
D．设变化为时杆开始滑动，则杆与地面的动摩擦因数
18．(上海第29届大同杯初赛)如图4.224所示，直径为的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均匀、长度为的光滑杆搁置在半球碗上，碗的厚度不计，平衡时杆受到的重力与杆在点受到的弹力大小之比为( )。
A． B． C． D．
19．如图4.225所示，直径为的半球形容器固定在水平面上，容器的端口水平。一根密度分布均匀、长度为的光滑杆搁置在水平面上。容器的厚度不计，杆平衡时容器内的段与容器外的段的长度之比为( )。
A． B． C． D．
20．(上海第31届大同杯初赛)杆秤的示意图如图4.226所示，下列说法中正确的是( )
A．只有秤杆粗细均匀，杆秤刻度才均匀
B．无论秤杆密度分布是否均匀，杆秤刻度都均匀
C．用提纽比用提纽称量大
D．换用大称量的提纽后，所有刻度示数均会以相同倍率增大
21．(上海第24届大同杯初赛)如图4.227所示，光滑均匀细棒可以绕光滑的水平轴在竖直平面内转动，细杆也可以绕光滑的水平轴在竖直平面内转动，棒搁在点上并与杆在同一竖直平面内，，在同一水平面，且。现推动杆使棒绕点沿逆时针方向缓慢转动，从图示实线位置转到虛线位置的过程中，杆对棒的作用力( )。
A．减小 B．不变 C．增大 D．先减小后增大
22．如图4.228所示，用两块长都为的相同砖块叠放在桌面边缘，为使砖块突出桌面边缘的距离最大且不翻倒，则上面的第一块砖突出下面的第二块砖的距离为________，下面第二块砖突出桌面边缘的距离为________。
23．如图4.229所示，为质量均匀的等边活动曲尺，质量为，端由铰链与墙相连，处也由铰链相连，摩擦不计。当处于竖直、处于水平静止状态时，施加在端的作用力的大小为________，方向为________；杆对杆的作用力大小为________，方向为________。
24．如图4.230所示，半径为的圆轮放在台阶边上，现在圆轮的边缘处施加力使轮缓慢地滚上台阶，轮与台阶的接触点为，要使力最小，则力的作用点应为________，方向为________；在使圆轮滚动过程中的力矩的方向是________(选填“顺时针”或“逆时针”)的，若轮的质量为，台阶的高，则力的大小至少应为________。
25．如图4.231所示，重力为、半径为的均匀球，用细线悬挂在形直角支架的点，形支架的边长为，边竖直且光滑，支架重力不计，处有固定转动轴。为使它们保持平衡，则在点所加最小力为________，方向________，此时轴受到的压力大小为________。
26．(上海第24届大同杯初赛)图4.232(a)为一把杆秤的示意图，是秤杆的悬点，使用该秤最多能称量的重物。小王用一个相同的秤砣系在原来的秤砣下面，采用“双秤砣法”去称量的重物时，秤上的示数为，如图4.232(b)所示。那么当只挂一个秤砣时，该秤零刻度线的位置应该在________(选填“点”“点的右侧”或“点的左侧”)，若采用“双秤砣法”，则利用该秤最多能称量________的重物。
27．(上海第23届大同杯初赛)如图4.233所示，粗细相同、密度均匀的细棒做成“”形，其中与垂直，长为，长为，整根细棒的重力是，并放在固定的圆筒内，圆筒内侧面和底面均光滑，圆筒横截面的直径为。平衡时细棒正好处于经过圆筒直径的竖直平面内。此时细棒对圆筒底面的压力大小为________；细棒端对圆筒侧面的压力为________。
28．(上海第22届大同杯初赛)如图4.234所示，杆长为，端用铰链铰于竖直墙面，杆中处有一制动闸，为，闸厚为，轮子的半径为，闸与轮间的动摩擦因数为0.5。当飞轮顺时针转动时，要对轮施加的力矩(力力臂)才能使轮减速从而制动，若杆与闸的重力不计，则在杆的端需加垂直于杆的力的大小为________。
29．如图4.235所示是一个简易的吊钩装置，它是由四根长度不一的刚性轻杆，，，铰接而成，端通过固定转动轴连接在墙上，端可以在光滑的水平地面上左右自由移动，表示的长度，表示的长度，表示的长度，表示的长度，忽略吊钩到点的距离，四边形为一个平行四边形，若吊钩上不管挂上多重的物体，吊钩装置在水平面上的不同位置时都能处于平衡状态，则，，和必须满足的关系是________；吊钩装置处于平衡状态时，端受到的地面作用力的方向为________。
30．(上海第19届大同杯复赛)如图4.236所示，在一根长为、质量为的细金属杆(质量分布不均匀)的端施加一个与杆垂直的拉力，使杆静止在图示位置，已知杆与地面成角，地面对杆的静摩擦力为，地面对杆的支持力大小为，则杆的重心距端的距离为________，的大小为________。
31．如图4.237为悬挂街灯的支架示意图，横梁的质量为，重心在其中点。直角杆处重力不计，两端用铰链连接。已知，，，横梁处悬挂灯的质量为，则直角杆对横梁的力矩为________，直角杆对横梁的作用力大小为________。(取)
32．如图4.238所示，形轻杆通过铰链与地面连接，，作用于点的竖直向上的拉力能保证杆始终保持水平。一质量为的物体以足够大的速度在杆上从距点处向右运动，物体与杆之间的动摩擦因数与离开点的距离成反比：。已知重力加速度为，则物体运动到离开点的距离________时，拉力达到最小，此时________。
33．(上海第18届大同杯复赛)某同学用一根粗细均匀的铁棒，将一个边长为的正方形的重物箱撬起一个很小的角度(如图4.239所示，图中的角度已被放大)。已知：铁棒单位长度受到的重力为；重物箱受到的重力为。现将铁棒的一端插入箱底，在另一端施加一个向上的力撬动重物箱。如果插入的长度为箱宽的，并保持该长度不变，当选用的铁棒长度满足什么条件时，施加的力最小？此最小的力为多大？
34．(上海第19届大同杯复赛)小强为课题研究小组提供了一把家中收藏的旧杆秤。杆秤的刻度模糊不淸，秤砣遗失，只有和的刻度清晰可辨。小组成员对杆秤的外形进行了测量，测量结果如图4.240所示。请根据以上情况，判断该杆秤的重心(不包括秤砣)应该在提纽的哪一侧，并求出秤砣的质量。
35．(上海第24届大同杯复赛)现有粗细、材质相同的三根圆木，其中两根的长度相等，另一很的长度等于圆木直径。将两根相同的长圆木各以其一端置于不计摩擦的尖棱上，在两长圆木之间靠摩擦力夹住较短的圆木，在长圆木的下面用一根不计质量的绳子将它们连起来，绳的两端系在钉入长圆木的钉上，如图4.241所示。已知圆木的直径为，圆木的质量为，圆木的轴心到绳的距离为，绳子能承受的最大拉力为。为保持绳子不断裂，则两根长圆木的长度不能超过多少？
36．(上海第24届大同杯复赛)重力为，长度、高度、宽度分别为，和的匀质长方体，其表面光滑，静止在水平面上，并被一个小木桩抵住，如图4.242(a)所示。
(1)无风情况下，地面的支持力为多大？
(2)当有风与水平方向成角斜向上吹到长方体的一个面上时，如图4.242(b)所示，风在长方体光滑侧面产生的压力为，则力要多大才能将长方体翘起？
(3)实验表明，风在光滑平面上会产生垂直于平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。现让风从长方体左上方吹来，风向与水平方向成角，如图4.242(c)所示。当大于某个值时，无论风速多大，都不能使长方体翘起，请通过计算确定的值。
37．(上海第28届大同杯复赛)如图4.243(a)所示，一根质量分布均匀的细直硬杆长度为，质量为，在杆的最左端与距右端的处立两个相同的支撑物，将细杆水平支起。
(1)求处与处的支持力与。
(2)在杆的最右端处再加上一个同样的支撑物，如图4.243(b)所示。假设支撑物均由相同的弹性材料制成，当它们受到挤压时会产生微小的形变，其竖直方向上发生的微小形变弓弹力成正比，则，，三处的支持力，与分别为多少？
参考答案
1．B。将各力分解成沿杆方向和垂直于杆方向的两个力，只比较垂直于杆方向分力的力矩即可。
2．A。由于阻力和阻力臂恒定，要推力最小，就需要推力臂最大。各推力的最大力臂，，分别为支点到，，的距离，由几何关系，因此。
3．A。1处于平衡状态，则1对2的压力应为；当1放在2的边缘上时距离最大。2处于杠杆平衡状态，设2露出的长度为，则2下方的支点(即4的右边缘)距2的重心在处，由杠杆平衡条件，可知，解得。设4露出的部分长为，则4下方的支点(即6的右边缘)距4的重心，4右边缘受到的压力为，则由杠杆平衡条件，可知，解得。则6，7之间的最大距离为。
4．B。杆处于平衡状态，画出杆受力情况如图4.244所示，以点为支点，可知在点施加竖直向下的力后，使杆逆时针转动趋势的力矩增加，则增大；同理再以点为支点，则增大。接着取为支点，则，增加的力矩应等大反向，即，因为，则，选项B正确。
5．B。汤勺内水恰不流出时，水的高度最大。如图4.245所示，由于汤勺质量不计，水和汤勺平衡时，水的重心必在悬点的正下方，即点为水面的中心，水的重心在的延长线上；过点作水面的垂线，垂足设为，则由几何知识可知点必在圆上，由于为的中点，且，则与圆直径的交点必为半球的球心。与相似，可得，则，水的深度为。
6．A。设段长度为，段长度为，木棒单位长度的质量为，则将部分截去长度并叠放在原来的上后，部分的总重力为，剩余部分的总重力为；由于两段木棒的重心在它们各自的中心，由杠杆平衡条件可得，即，解得。
7．A。对的作用力要能够使得处于力矩平衡，同时对的反作用力也要能使得处于力矩平衡。
8．C。可自由转动的轻杆受力一定沿轻杆方向，而可自由转动的重杆需考虑其力矩平衡，受力不一定沿杆。因此，若仅杆为轻杆，则杆对杆作用力的方向一定由指向；若仅杆为轻杆，则杆对杆作用力的方向一定由指向。
9．A。设杆的重力为，杆长为。设调换前、后杆受杆的拉力分别为，，由于杆为轻杆，因此，均沿杆方向，如图4.246所示，则有，，可得，选项A正确。
10．B。由几何关系可知与垂直。将，两小球和杆视为一个整体，两球除了受重力以外，还分别受碗底对它们的弹力，的作用，如图4.247所示。由于，指向球心，为方便起见，不妨取为转轴，并设连线与竖直方向的夹角为，则有，解得，本题正确选项为B。
11．D。，两球可在半球形碗内自由滑动，以碗的球心为支点，由于两球所受碗底的支持力均过碗的球心，当两球静止时，两球整体的重心一定在碗的球心的正下方，而整体重心到球的距离不会变化，因此不会变化。
12．B。如图4.248所示，设上面的人用力为，下面的人用力为，取箱子的重心为支点，，对应的力臂分别为和，则有。连接箱子侧面的对角线，则由勾股定理可得，与夹角满足，易得，，注意到与水平方向夹角为，则有
又，所以，因此。
13．A。先对物体进行受力分析，物体受三个力，重力、板对物体的支持力和静摩擦力。则易得，随着增大，减小增大。再以板为研究对象，板受拉力和物体对其的作用力，注意由于物体受力平衡，板对物体的作用力应等于与的合力，与物体重力等大反向，因此物体对板的作用力，竖直向下，如图4.249所示。设物体距离板底端为，板长为，则有，解得，可见为定值。本题正确选项为A。
14．BC。本题要注意的是，将木板向右拉出和向左拉出时，球所受滑动摩擦力的方向是不同的。木板向右拉出时，球受力如图4.250所示，设重力、支持力的力臂为，摩擦力的力臂为，则有，故，拉力。木板向左拉出时，如图4.251所示，有，因此拉力。本题正确选项为BC。
15．C。画出木棒与圆柱体受力情况如图4.252所示，其中点为木棒的重心，则，对木板有，又，，以为支点，结合，可得，由以上各式可得，，，选项C正确。
16．AC。将两杆视为一个整体，由题意，该整体必沿拉力的方向做匀速直线运动，因此画出两杆所受滑动摩擦力，如图4.253所示。滑动摩擦力的作用点在杆的中心，则，。将两杆视为一个绕点转动的杠杆，设拉力的方向与两杆的夹角分别为和，显然，则，由力矩平衡，得，结合以上各式得，选项AC正确。
17．AC。如图4.254所示，画出杆的受力情况。杆受力平衡，则水平方向有，竖直方向有，且。杆同时处于力矩平衡，取为支点，设杆长为，有，解得，综合以上各式有，可见越大，所需静摩擦力越大，杆越容易滑动。若时杆恰滑动，则有。
18．A。提示：参考例11的解法。
19．C。提示：参考例11的解法。
20．BC。设所称量的物体质量为，杆秤的质量为，秤砣的质量为，力臂分别为，，，则根据力矩平衡条件有。可见，与是一次函数关系，杆秤的刻度都是均匀的，与秤杆是否粗细均匀无关，选项B正确。用提纽时，较小，，较大，由于，相同，因此较大。则用提纽时比用提纽时的称量大，C项正确。
21．B。如图4.255所示，记杆对棒的作用力为，垂直于棒斜向上。设，的长度为，棒的长度为，所受重力为，棒与水平面的夹角为，取为转轴，则力的力臂为，对棒应用力矩平衡，有，解得，大小为定值，因此本题正确选项为B。
22．，。显然，要使得上面的砖块不掉下，其突出下面的第二块砖的距离最大为，否则上面砖块就要翻倒。设下面砖块突出桌面的距离为，画出两块砖所受重力如图4.256所示，取桌面边缘为转轴，将两砖视为一个整体，则整体不从桌面翻倒的条件为，解得。
23．，竖直向上；，沿杆竖直向上。由于杆与墙、杆与杆之间均用铰链连接，因此两杆均可以自由转动。如图4.257(a)所示，分析杆，若要保持其竖直，则作用在点的拉力必须竖直向上，否则杆将绕着端转动。再将两杆视为一个整体，如图4.257(b)所示，取为转动轴，设两杆长为，则，解得。再以杆为研究对象，易得杆对杆的作用力沿杆竖直向上，设为，则有，解得。
24．作用于延长线与轮的交点处，垂直于方向；顺时针；。圆轮缓慢滚上台阶的过程中，实际上圆轮是绕着点顺时针转动的，力克服的是重力的力矩。如图4.258所示，过点作重力作用线的垂线，则。圆轮刚离开地面时，重力的力矩为，由，得当力的力臂最大时，力才能取得最小值。结合圆的几何性质，圆上两点间的最大距离即为圆的直径，囡此当力的作用点为延长线与圆的交点，且力垂直于时，力最小，此时。当时，，因此。
25．，竖直向下，。以为转轴，则为使系统保持平衡，作用在点的力应力臂最大，即力垂直于向下。如图4.259所示，将球、直角杆视为一个整体，则有，解得。地面作用在轴上的力应竖直向上，，由作用力和反作用力的规律，轴对地面的压力为，方向竖直向下。
26．点右侧；11。设，物体重力的力臂为，秤砣重力为，力臂为，设枰的重心在点右侧，秤重力的力矩为，则用单秤砣称量的重物时，有
①
当用双秤砣去称量的物体时，读数仍为，说明秤砣位置不变，有
②
由，可得
③
由③可知，，因此秤的重心在点左侧。当秤上没有挂物体时，秤砣应在点右侧某位置使得枰水平平衡，该位置即为秤的零刻度线。
秤砣移动到秤杆最右端时，称量值最大。设此时秤蛇重力的力臂为，则单秤砣达到最大称量时，有
④
双枰砣达到最大称量时，有
⑤
由，可得
⑥
由③⑥式，可解得。
27．；。分析，的受力情况如图4.260所示，其中圆筒底面对点的支持力未画出。易得，所受重力分别为，。将视为一个整体，则有，圆筒底面对点的支持力大小等于杆的总重力。设杆与圆筒底部夹角为，则由几何关系得，即，结合，解得，。以点为转轴，对整个杆应用力矩平衡，有
则可解得。
28．4400。要使轮受到的力矩，制动闸作用在轮上的滑动摩擦力，则轮作用在制动闸底部的滑动摩擦力，方向水平向右，对杆由力矩平衡，有，解得。
29．；竖直向上。本题较为简单的解法是取杆、杆为研究对象，利用杆所受到的三个力共点，结合几何知识求解。如图4.261所示，杆受重物的拉力、杆的支持力、杆的作用力的作用，当系统平衡时，这三个力的作用线必共点，设交于点。对杆，由于处水平面光滑，则地面对的支持力竖直向上，因此可得墙壁对的作用力竖直向下，杆受杆的反作用力为，杆受杆的支持力为，这三个力的作用线交于点。由于与等大反向，因此，，三点共线。结合几何知识可得与相似，因此。又与相似，因此。因此有，即。
30．0.75，6。画出杆的受力情况如图4.262所示，将拉力分解，则由杆静止，水平方向上有，解得，竖直方向上有，则。取点为支点，则拉力与重力力矩平衡，设重心到点的距离为，则有，解得。
31．150，150。直角杆为轻杆，则其对横梁施加的力必沿着方向，如图4.263所示。横梁平衡，则直角杆对横梁的力矩等于横梁重力与吊灯重力对点的力矩之和，有，解得。
32．，。轻杆受物料对其施加的压力和滑动摩擦力的作用，如图4.264所示，其中，。以为转轴，则有，代入数据，可得，由基本不等式，当且仅当，时，即时，取得最小值。
33．当时，。箱子刚被抬起时，可认为箱子底部仍然水平，箱子左端紧压地面，右端紧压铁棒，因此箱子对铁棒的压力大小为，方向竖直向下。接下来以铁棒为研究对象，取铁棒与地面的接触点为支点，并设铁棒长为，则铁棒重力为，由于箱子刚被抬起时，铁棒与水平地面夹角认为是0，铁棒仍处于水平状态，则铁棒重力的力臂等于铁棒长度的一半，即，则由杠杆平衡条件，有，解得，结合基本不等式，有，当且仅当，即时，力取得最小值。
34．以提纽为支点，设被测物体质量为，被测物体重力的力臂为，设秤砣质量为，秤砣在秤杆上的位置距提纽为，再设秤杆的质量为，重心距离提纽为，则由杠杆的平衡条件，得，解得；可见，秤蛇在秤杆上的位置与被测物体质量之间是一次函数关系，即秤杆上的刻度是均匀的，结合图4.240的条件可知，秤砣在秤杆上每移动，被测物体的质量变化，因此，当秤钩上不挂物体时，枰砣应在提纽右侧距离提纽处，结合杠杆平衡条件，可知秤杆的重心一定在提纽左侧。由，可知该函数的斜率，代入数据可得，解得。
35．分别研究左边的圆木与中间的圆木，当绳子的拉力达到最大值时，作出它们的受力情况如图4.265所示。则对中间的圆木有；对左边的圆木有。设左端圆木的质量为，则，即，则以圆木左端尖棱为支点，有。将上述各物理量关系代入，可得，解得的最大值为。
36．(1)。
(2)，即。
(3)风在侧面产生的压力为；风在顶面产生的压力为。
当时，长方体将不会被翘起，即
由于可以取足够大，为使上式对任意大的都成立，必须有，即，。
37．(1)由杆在竖直方向受力平衡，则有。设杆长为，取点为转轴，则有，解得，。
(2)杆同样在竖直方向上处于平衡状态，有，如图4.266所示，设，，处支撑物的形变量分别为，，，则由几何关系，易得，结合弹力与形变量成正比，有，再以为转轴，得。由以上各式可解得，，。
第四节 有固定转动轴的物体的平衡
我们学习过杠杆的概念，杠杆就是在力的作用下可以绕固定点转动的一根硬棒。在这一节，我们将加以延伸，得到更一般情况下物体处于转动平衡的条件。
一、转动轴与力矩
日常生活中我们可以见到许多转动的物体，比如，开门或者关门时，门绕着门轴做圆周运动，电风扇转动时，叶片上各个点都做圆周运动，圆周的中心在同一条直线上。像这样物体在转动时，各点做圆周运动的圆心的连线叫做转轴。例如，地球的转轴就是地轴。地球、门、电风扇都在做定轴转动，即绕着固定轴转动。
力使物体转动的效果不仅与力的大小有关，还与转轴到力的作用线的距离有关。从转轴到力的作用线的垂直距离叫做力臂。在纸面内作图时，转轴往往与纸面垂直，与纸面有一个交点，而力往往在纸面内，因此力臂实际上是该交点(即通常所说的支点)到力的作用线的距离，如图4.173所示。
力和力臂的乘积叫做力对转轴的力矩，力矩用表示，表达式为，其单位为“牛•米”，符号为“”。力矩是表示力对物体转动作用大小的物理量。我们学过的“动力乘以动力臂”“阻力乘以阻力臂”实际上都是指力矩。显然，若力的作用线通过转轴，则该力的力矩为零，对物体没有转动效果。
二、有固定转动轴的物体的平衡条件
当有一定大小和形状的物体处于静止状态，或绕某一点匀速转动时，我们就说该物体处于平衡状态。
作用在物体上的力，当力矩不为零时，力就会对物体有转动效果。在纸面内，我们可以把力使杠杆转动的方向分为顺时针和逆时针方向，例如图4.173所示，力对物体的转动效果是顺时针方向，力对物体的转动效果是逆时针方向，这两个力使物体的转动方向是相反的。
结合杠杆的平衡条件不难得知，有固定转动轴的物体的平衡条件，是使物体向逆吋针转动的力矩之和，等于使物体向顺时针转动的力矩之和，写成表达式即，或写成的形式。
值得一提的是，对于处于平衡状态的物体，由于它所受的各个力的合力必为零，因此选取任何位置作为支点，物体所受到的力对该支点的力矩都是平衡的。处理问题时，我们也常常选取合适的支点来列出平衡方程，从而使得解决问题更简便。同时，我们还常常将力矩平衡与共点力平衡相结合，列出平衡方程组来求解未知量。
下面分类举出具体的例子，供读者学习参考。
1．巧取转动轴
对于静止的物体，不仅满足共点力平衡，同时对任意转动轴也都满足力矩平衡。因此我们在分析物体的力矩平衡时，可以选择一些力的交点作为转轴，使这些力的力矩为零，从而使解决问题变得简便。
例1 (上海第24届大同杯初赛)如图4.174所示，三根长度均为的轻绳分别连接于，两点，，两端悬挂在水平天花板上，相距为。现在点悬挂一个质量为的重物，为使绳保持水平，在点应施加的最小作用力为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 本题可以先分析点的受力情况，得出细线拉力大小恒定，然后分析点受力情况，画出力的动态三角形，也可以求解拉力的最小值(请读者尝试)。现在我们不妨延长，交于点，如图4.175所示。将视为一个杠杆，选取点为转轴，则细线，的拉力力矩为零。物体通过细线对点的拉力大小为，由几何关系可知为等边三角形，的力臂为，拉力的力臂的最大值即为的长度，等于，因此的最小值满足，可得，本题正确选项为C。
例2 如图4.176所示，长为的轻绳一端固定在倾角为的粗糙斜面上，另一端系着半径为、质量为的均匀球顶部，绳子恰与圆球相切，且绳子水平。求：绳子对球的拉力、斜面对球的支持力以及斜面对球的静摩擦力。
分析与解 如图4.177所示，画出球体所受各个力的示意图。其中静摩擦力沿斜面向上，可以选点为转轴，如果沿斜面向下的话，球不会平衡。同时，选为转轴，发现重力与支持力的力矩为零，而绳子拉力与摩擦力的力臂均为球的半径，因此可得。再选绳子与斜面的交点为转轴，则绳子拉力与摩擦力的力矩为零。重力与支持力的力臂分别为，，而，因此可得。接下来将支持力、摩擦力沿水平、竖直方向上分解，在竖直方向上有，将代入，解得。综上所述，可知，。
2．力的最小值问题
我们在前面的章节里讨论了利用力平衡时的动态三角形求解力最小值的问题，下面介绍利用力矩平衡来求解最小力的问题。当某一个力的力矩大小为恒定值时，若使得取最小值，只需要力臂取最大值即可。因此问题的关键就是找到最长的力臂。
例3 如图4.178所示，为质量均匀的等边直杆，总质量为，端由铰链与墙相连，当处于竖直、处于水平静止状态时，施加在端的作用力至少为________，最小力的方向为________。
分析与解 由于，，杆的重力及重力力臂不变，因此要使杠杆平衡时作用在点的力最小，只需使力的力臂最大即可，连接转轴与力的作用点，则的长度就是力最长的力臂，最小的力即作用在点且与垂直斜向上，如图4.179所示。设，杆的长度均为，则有，解得。
例4 (上海第21届大同杯复赛)如图4.180所示，重力为的物体挂在水平横杆的右端点。水平横杆左端有一可转动的固定轴，轻杆长为。轻绳的端可固定在杆上的任一点，绳的端可固定在竖直墙面上的任一点，绳长为，轻杆始终保持水平。则当间的距离为________时，绳的拉力取得最小值，最小值为________。
分析与解 先找出绳的拉力的力臂，如图4.181所示，由勾股定理可求得，，则以点为转轴，有。
套近乎用不等式知识，当，时，有，可得。因此，当且仅当，即时(对应的)，不等式取等号。则，解得，因此绳的拉力最小值为。
3．转动物体的动态平衡问题
转动物体的动态平衡分为两种，一种是缓慢转动，此种情况下物体不仅处于力矩平衡，同时也处于共点力平衡。另一种是物体匀速转动，这种情况下只适用于力矩平衡。
例5 如图4.182所示，一根均匀直棒，端用光滑铰链固定于顶板上，端搁在一块表面粗糖的水平板上，滑动摩擦系数，且一开始，现设板向上运动而棒匀速转动，则关于木板对棒的弹力，下列说法正确的是( )
A．逐渐变大 B．先变大后变小
C．先变小后变大 D．逐渐变小
分析与解 棒匀速转动过程中，受三个力：重力、板对棒的弹力和滑动摩擦力，由于棒的端相对于板向左滑动，因此的方向水平向右，如图4.183所示。由于棒匀速转动，上述三个力的力矩和为零，有，结合，代入上式，整理得，由题意，，且一开始，则。随着木棒转动，逐渐减小，逐渐减小，逐渐增大。因此逐渐增大。本题正确选项为D。
例6 如图4.184所示，均匀光滑直棒一端铰于地面，另一端搁在一个立方体上，杯与水平面间的夹角为左右。现将立方体缓慢向左推，则棒对立方体的压力大小将( )。
A．逐渐增大 B．遂渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
分析与解 如图4.185所示，不妨以棒为研究对象，杆受重力和立方体对杆的弹力作用，其中弹力垂直于棒斜向上。当立方体缓慢向左推时，杆缓慢转动，重力与弹力力矩平衡。不妨设立方体高为，杆长为，则力的力臂为，则，解得，结合倍角公式，得，当时，，可见，当由左右逐渐增大到时，变大；当时，取得最大值；当由左右逐渐增大到接近时，减小。因此，本题正确选项为C。
4．轻杆问题分析
轻杆是指质量忽略不计的杆(未必是直杆)。当轻杆可以绕其一端自由转动时，要维持轻杆的平衡，轻杆另一端受到的力必沿着所在直线的方向，否则轻杆不可能平衡，如图4.186所示。
例7 如图4.187所示，为匀质杆，其重力为，与竖直墙面成角；为支撑的水平轻杆，，，三处均用铰链连接且位于同一竖直平面内。则杆对端铰链的作用力的方向为________，该力的大小为________。(，)
分析与解 由于杆为轻杆，且端可以自由转动，因此平衡时其端受力方向必然由指向，因此杆对杆的反作用力沿着方向，即水平向打开，如图4.188所示。以点为转轴，设杆长为，对杆应用力矩平衡，有，解得。
例8 (上海第30届大同杯初赛)如图4.189所示，光滑轻质细杆，处在同一竖直平面内，处用铰接连接，，处用铰链铰于水平地面上，杆与水平面夹角为。一质量为的小球穿在杆上，对小球施加一个水平向左的恒力使其静止在杆中点处，杆恰好竖直，则( )。
A．的大小为
B．小球对杆的作用力大小为
C．杆对杆的作用力大小为
D．地面对杆的作用力大小为
分析与解 画出小球的受力情况如图4.190所示，将小球所受各力沿平行于斜面和垂直于斜面的方向正交分解，平行于斜面方向有，解得，在垂直于斜面上方有。由于两杆均为轻杆，因此杆所受压力必沿着向下，杆对杆的弹力必沿着向上，杆受到小球对其的压力垂直于杆斜向下，杆受力如图4.191所示。以点为转轴，设杆长为，则对杆有，解得。同样以杆为研究对象，如图4.192所示，设地面对杆的水平、竖直作用力分别为，，则水平方向有，竖直方向有，因此地面对杆的作用力大小。综上所述，本题正确选项为BCD。
5．物体的平衡与稳定
如图4.193所示，平放和竖放的砖都处于平衡状态，但是竖放的砖与平放的砖相比较容易倒下，可见它们的稳定程度不同，我们把物体稳定平衡的程度叫做稳度。
竖放的砖稳度小，平放的砖稳度大。由图可知其原因是：竖放砖的底面积小，重心高，当其偏离一个小角度时，重力的作用线很容易超出底面的四条边之外，容易向外侧倒下，而平放的砖底面积大，重心低，当偏离平衡位置一个小角度时，重方的作用线不容易超出底面的四条边之外，不容易向外侧倒下，可见，增大物体的稳度可以分别采用增大底面积和降低重心高度，或者同时采用增大底面积和阵低重心高度的方法。
例9 (上海第27届大同杯复赛)有一个“不倒翁”，形状可以简化成由半径为的半球与顶角为的圆锥体组成，如图1以所示，它的重心在对称轴上。为了使“不倒翁”在任意位置都能恢复竖直状态，则该“不倒翁”的重心到半球体的球心的距离必须大于( )。
A．0 B．
C． D．
分析与解 将“不倒翁”扳倒，使圆锥的侧面母线紧贴地面，如图4.195所示。若放倒后“不倒翁”恰能恢复竖直，则其重力的作用线(为重心)必恰好通过图中点，点为底部半球与地面的切点。根据几何关系，、在直角中，，则。当时，重力的作用线在支撑面以外，“不倒翁”必能恢复竖直状态，本题正确选项为D。
例10 如图4.196所示，一只圆柱形均质木块，上、下底面圆的直径为，高为。现将木块置于倾角为的粗糙斜面上，木块底部与斜面间的动摩擦因数为，已知木块重心在几何中心，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。试求出木块在斜面上既不滑动也不翻转的条件。
分析与解 木块不滑动的条件是重力沿斜面向下的分力不大于最大静摩擦力，即，解得。木块不翻转的条件是重力的作用线不能超出底面圆面积范围，当重力作用线恰通过底面圆边缘时，木块恰不翻倒，如图4.197所示，由几何关系，不翻倒的条件应为。可见，若要木块既不滑下又不翻到，需要同时满中上述两个式于(即小于与中较小的一个)。因此讨论如下：①若，需，②若，需。
三、平衡综合问题
当物体处于静止吋，不仅满足力矩平衡，同时也满足共点力平衡，在解决此类问题时，要根据需要列出不同的平衡方程。
例11 (上海第31届大同杯初赛)如图4.198所示，质量分布均匀的直杆置于水平地面上，现在端施加外力，缓慢抬起直杆直至竖直，端始终和地面之间保持相对静止，的方向始终和直杆垂直，则：
(1)该过程中直杆端受到的摩擦力的变化情况是( )。
A．保持不变 B．先减小后增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
(2)在缓慢抬起直杆的过程中，要确保直杆端始终和地面保持相对静止，直杆和地面之间的摩擦因数至少为( )。
A． B． C． D．
分析与解 (1)杆在外力作用下绕着底部端点缓慢转动，对杆受力分析，杆受拉力、重力以及地面对杆底部的支持力和静摩擦力。为了简便，以为转轴，则支持力与静摩擦力的力矩为零。拉力与重力力矩平衡。设杆长为，杆与地面的夹角为，如图4.199所示，则有，得
①
由几何关系，拉力与竖直方向的夹角等于，将拉力沿水平和竖直方向正交分解，对杆列出平衡方程。
竖直方向：
②
水平方向：
③
将①式代入③式，可得
④
结合三角公式，可得
⑤
可见，当，即时，取得最大值。因此正确选项为D。
(2)在缓慢抬起直杆的过程中，若直杆端始终不滑动，则对任一角度需满足最大静摩擦力，由于最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力，设动摩擦因数为，则最大静摩擦力，又，将代入，得
⑥
⑥式取等号，即解得
⑦
由于，因此，可见，要使得杆不滑动，动摩擦因数至少要为，选项C正确。
当然，本题第(2)问也可以采用三力交汇原理处理，应先将支持力与摩擦力合成为全反力，并设与支持力的夹角为，如图4.200所示，则有，当杆恰未滑动时，静摩擦力达到最大，，此时，的值也达到最大，即为摩擦角。只要在杆逐渐转动过程中，的值满足，杆即不会滑动。现使取最大值，延长全反力、重力、拉力的作用线交于点，并设杆的重心为，过作垂直于重力的作用线于，几何关系如图4.200所示。则，，，。因，可得，解得
因此同样可求得动摩擦因数至少为。
例12 如图4.201所示，直径为的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均匀、长度为的光滑杆搁置在半球碗上，碗的厚度不计。则杆平衡时：
(1)杆在点受到的弹力与杆受到的重力大小之比是多少？
(2)杆在碗内的部分与碗外部分的长度之比是多少？
分析与解 杆平衡后受三个力作用，重力、碗底对杆端的弹力、碗边緣对坏的弹力，由于杆处于平衡状态，这三个力必为共点力(即力的作用线交于一点)，但是本题用力矩平衡，结合共点力平衡来处理，较为简便。
(1)设碗端口的圆心为点，连接，，设杆与水平方向的夹角为，作出杆受到的三个力，其中指向圆心点，垂直于杆斜向上，如图4.202所示。由于待求的是。与重力的大小关系，因此不妨选取过且垂直于纸面的轴为转动轴(即通常所说的取为支点)，则重力与力矩平衡。结合几何关系，的力臂为，重力的力臂为，其中为杆长。则有，因此有。
(2)若要求解杆部分与部分的长度之比，则只要先求出角度，问题即可迎刃而解。接下来不妨考虑杆的受力平衡。将杆受到的力分别沿着杆方向、垂直于杆方向分解，在两个方向上列出平衡方程。
沿杆方向：
垂直于杆方向：
两式消去，得
将代入，并通分化简得，解得，另一解为负，舍去。因此
对于本题的第(2)小问，也可以利用三力交汇来处理，具体如下：延长杆所受三个力的作用线交于点，由于，必为直径，即点在图4.203所示的圆上。过作重力作用线的垂线，则点亦必在图4.203所示的圆上。因此的长度可以表示为。结合三角公式，可得，将，代入，亦可解得，因此可求得。
例13 如图4.204所示，是一根重为的均质细直杆，端靠在光滑的竖直墻璧上，端置于水平地面上，杆在竖直平面内。已知杆与地面之间的动摩擦因数为产，最大静靡檫力等于滑动摩擦力，杆身与地面的夹角为。求：
(1)杆受地面的支持力与摩擦力的大小。
(2)若杆不滑动，则应满足的条件。
分析与解 (1)画出杆所受各力如图4.205所示。由整体法，可知，，以点为支点应用力矩平衡，设杆长为，则有，解得，则。
(2)杆与地面的夹角越小，杆越容易滑动，当杆恰好不滑动时，取得最小值，此时杆所受摩擦力为最大静摩擦力。由(1)可知，，解得，可见，当时，杆不会滑动。
本题的第(2)问也可以采用三力交汇原理来处理，具体如下：在杆恰未滑动时，将与合成为全反力，设与竖直方向夹角为，则。将，，的作用线延长，必交于一点，设杆的重心为，重力作用线与地面交于点。如图4.206所示，则根据几何关系，有，，，又，即，也即，同样可得当时，杆不会滑动。
练习题
1．如图4.207所示，直杆可绕过点的水平轴自由转动，图中虚线与杆平行，杆的另一端点受到四个力，，，的作用，力的作用线与杆在同一竖直平面内，它们对转轴的力矩分别为，，，，则它们间的大小关系是( )。
A．
B．
C．
D．
2．(上海第10届大同杯复赛)如图4.208所示，要将一个半径为、重为的车轮滚上高为的台阶，需在轮的边缘加一个推力。若推力分别作用在，，三点时，其最小值分别为，，，则( )。
A． B．
C． D．
3．(上海箄19届大同杯初赛)如图4.209所示，七块完全相同的砖块按照图示的方式叠放起来，每块砖的长度均为，为保证砖块不倒下，6号砖块与7号砖块之间的距离将不超过( )。
A． B． C． D．
4．(上海第19届大同杯初赛)如图4.210所示，质量分布均匀的细杆水平放置，支座在杆重心的右侧，杆的右端被位于其上面的支座顶住。现在杆的左端处施加一个向下的作用力，则( )。
A．两处的弹力均增加，且
B．两处的弹力均增加，且
C．处的弹力减小，处的弹力增大，且
D．处的弹力增大，处的弹力减小，且
5．(上海第20届大同杯初赛)如图4.211所示是某汤勺示意图，由一细长柄与一半球构成，且与半球相切，切点为。已知半球的半径为，柄的长度为，现用一细线系住点，并将细线竖直悬挂，如果不计汤勺的质量，则汤勺内水的最大高度是( )。
A． B．
C． D．
6．(上海第20届大同杯初赛)如图4.212所示，将一根均匀的木棒放在支点上，由于，木棒不能保持水平，现在木棒右端截去与等长的一段并置于上，木棒恰好能平衡，则为( )。
A． B． C． D．
7．如图4.213所示，两根均匀直棒，用光滑的铰链铰于处，两杆的另外一端都用光滑铰链铰于墙上，棒呈水平状态，，，，箭头表示力的方向，则棒对棒的作用力的方向可能是( )。
A． B． C． D．
8．(上海第25届大同杯初赛)如图4.214所示，两根硬杆，用铰链连接于，，，整个装置处于静止状态。关于杆对杆作用力的方向正确的是( )。
A．若计杆的重力，而不计杆的重力时，由指向
B．若计杆的重力，而不计杆的重力时，由指向
C．若不计杆的重力，而计杆的重力时，由指向
D．若不计扞的重力，而计杆的重力时，由指向
9．(上海第26届大同杯初赛)如图4.215所示，密度均匀的细杆与轻杆用光滑铰链铰在点，，也用光滑的铰链铰于墙上，两杆长度相等，杆水平，杆与竖直方向成，此时杆与杆之间的作用力为。若将两杆的位置互换，杆与杆之间的作用力为，则为( )。
A． B． C． D．
10．如图4.216所示，用长为的细直杆连接的两个小球，，质量分别为和，被置于光滑的、半径为的半球面碗内。达到平衡时，半球面的球心与球的连线和竖直方向的夹角的正切值为( )。
A．1 B． C． D．
11．(上海第26届大同杯复赛)如图4.217所示，一根轻杆两端固定，两球，放置在光滑半球形碗中，在图示位置平衡，球与球心连线和竖直方向的夹角为，碗固定在长木板上，长木板可绕点转动，现对长木板的另一端施加外力，使其逆时针缓慢转动，在，两球均未脱离碗的过程中，球与球心连线和竖直方向的夹角的变化情况是( )。
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大后变小 D．保持不变
12．(上海第25届大同杯复赛)两个人共同搬一个质量分布均匀的木箱上楼梯，如图4.218所示。木箱长为，高为；楼梯和地面成，而且木箱与楼梯平行。如果两人手的用力方向都是竖直向上的，那么在下面的人对木箱施加的力与上面的人对木箱施加的力的比值是( )。
A． B． C． D．
13．如图4.219所示，物体放在粗糙平板上，平板一端铰接于地上，另一端加一竖直向上的力，使板的倾角缓慢增大，但物体与木板间仍无相对滑动，则下列物理量中逐渐增大的有( )。
A．板对物体的静摩擦力 B．物体对板的正压力
C．拉力 D．拉力的力矩
14．如图4.220所示，一质量为的金属球与一细杆连接在一起，细杆的另一端用铰链铰于墙上较低位置，球下面垫一木板，木板放在光滑水平地面上，球与板间的滑动摩擦因数为，下面说法中正确的有( )
A．用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力
B．用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力
C．用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力
D．用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力
15．(上海第26届大同杯初赛)如图4.221所示，均匀木棒水平搁在一个圆柱体上，两者的接触点为，且。当圆柱体围绕其固定中心轴顺时针方向转动时，与棒的右端紧靠着的木板恰能沿光滑竖直墙面匀速下滑。若木棒与圆柱体之间、木棒与木板之间的动摩擦因数相同，则该动摩擦因数为( )。
A． B． C． D．
16．(上海第26届大同杯初赛)质量分别为和、长度分别为和的两根均勾细棒的一端相互连在一起，构成一直角形细棒，放在粗糙的水平桌面上，两棒与桌面间的动摩擦因数相同。现在两棒连接端处施加一水平外力使棒做匀速直线运动，的方向如图4.222所示，则以下判断中正确的是( )。
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
17．如图4.223所示，是一质量为的均质细直杆，端靠在光滑的竖直墙壁上，端置于粗糙水平地面上，杆身与竖直方向的夹角为，杆在图示位置处于静止状态，则( )
A．增大，杆可能滑动
B．减小，杆可能滑动
C．设变化为时杆开始滑动，则杆与地面的动摩擦因数
D．设变化为时杆开始滑动，则杆与地面的动摩擦因数
18．(上海第29届大同杯初赛)如图4.224所示，直径为的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均匀、长度为的光滑杆搁置在半球碗上，碗的厚度不计，平衡时杆受到的重力与杆在点受到的弹力大小之比为( )。
A． B． C． D．
19．如图4.225所示，直径为的半球形容器固定在水平面上，容器的端口水平。一根密度分布均匀、长度为的光滑杆搁置在水平面上。容器的厚度不计，杆平衡时容器内的段与容器外的段的长度之比为( )。
A． B． C． D．
20．(上海第31届大同杯初赛)杆秤的示意图如图4.226所示，下列说法中正确的是( )
A．只有秤杆粗细均匀，杆秤刻度才均匀
B．无论秤杆密度分布是否均匀，杆秤刻度都均匀
C．用提纽比用提纽称量大
D．换用大称量的提纽后，所有刻度示数均会以相同倍率增大
21．(上海第24届大同杯初赛)如图4.227所示，光滑均匀细棒可以绕光滑的水平轴在竖直平面内转动，细杆也可以绕光滑的水平轴在竖直平面内转动，棒搁在点上并与杆在同一竖直平面内，，在同一水平面，且。现推动杆使棒绕点沿逆时针方向缓慢转动，从图示实线位置转到虛线位置的过程中，杆对棒的作用力( )。
A．减小 B．不变 C．增大 D．先减小后增大
22．如图4.228所示，用两块长都为的相同砖块叠放在桌面边缘，为使砖块突出桌面边缘的距离最大且不翻倒，则上面的第一块砖突出下面的第二块砖的距离为________，下面第二块砖突出桌面边缘的距离为________。
23．如图4.229所示，为质量均匀的等边活动曲尺，质量为，端由铰链与墙相连，处也由铰链相连，摩擦不计。当处于竖直、处于水平静止状态时，施加在端的作用力的大小为________，方向为________；杆对杆的作用力大小为________，方向为________。
24．如图4.230所示，半径为的圆轮放在台阶边上，现在圆轮的边缘处施加力使轮缓慢地滚上台阶，轮与台阶的接触点为，要使力最小，则力的作用点应为________，方向为________；在使圆轮滚动过程中的力矩的方向是________(选填“顺时针”或“逆时针”)的，若轮的质量为，台阶的高，则力的大小至少应为________。
25．如图4.231所示，重力为、半径为的均匀球，用细线悬挂在形直角支架的点，形支架的边长为，边竖直且光滑，支架重力不计，处有固定转动轴。为使它们保持平衡，则在点所加最小力为________，方向________，此时轴受到的压力大小为________。
26．(上海第24届大同杯初赛)图4.232(a)为一把杆秤的示意图，是秤杆的悬点，使用该秤最多能称量的重物。小王用一个相同的秤砣系在原来的秤砣下面，采用“双秤砣法”去称量的重物时，秤上的示数为，如图4.232(b)所示。那么当只挂一个秤砣时，该秤零刻度线的位置应该在________(选填“点”“点的右侧”或“点的左侧”)，若采用“双秤砣法”，则利用该秤最多能称量________的重物。
27．(上海第23届大同杯初赛)如图4.233所示，粗细相同、密度均匀的细棒做成“”形，其中与垂直，长为，长为，整根细棒的重力是，并放在固定的圆筒内，圆筒内侧面和底面均光滑，圆筒横截面的直径为。平衡时细棒正好处于经过圆筒直径的竖直平面内。此时细棒对圆筒底面的压力大小为________；细棒端对圆筒侧面的压力为________。
28．(上海第22届大同杯初赛)如图4.234所示，杆长为，端用铰链铰于竖直墙面，杆中处有一制动闸，为，闸厚为，轮子的半径为，闸与轮间的动摩擦因数为0.5。当飞轮顺时针转动时，要对轮施加的力矩(力力臂)才能使轮减速从而制动，若杆与闸的重力不计，则在杆的端需加垂直于杆的力的大小为________。
29．如图4.235所示是一个简易的吊钩装置，它是由四根长度不一的刚性轻杆，，，铰接而成，端通过固定转动轴连接在墙上，端可以在光滑的水平地面上左右自由移动，表示的长度，表示的长度，表示的长度，表示的长度，忽略吊钩到点的距离，四边形为一个平行四边形，若吊钩上不管挂上多重的物体，吊钩装置在水平面上的不同位置时都能处于平衡状态，则，，和必须满足的关系是________；吊钩装置处于平衡状态时，端受到的地面作用力的方向为________。
30．(上海第19届大同杯复赛)如图4.236所示，在一根长为、质量为的细金属杆(质量分布不均匀)的端施加一个与杆垂直的拉力，使杆静止在图示位置，已知杆与地面成角，地面对杆的静摩擦力为，地面对杆的支持力大小为，则杆的重心距端的距离为________，的大小为________。
31．如图4.237为悬挂街灯的支架示意图，横梁的质量为，重心在其中点。直角杆处重力不计，两端用铰链连接。已知，，，横梁处悬挂灯的质量为，则直角杆对横梁的力矩为________，直角杆对横梁的作用力大小为________。(取)
32．如图4.238所示，形轻杆通过铰链与地面连接，，作用于点的竖直向上的拉力能保证杆始终保持水平。一质量为的物体以足够大的速度在杆上从距点处向右运动，物体与杆之间的动摩擦因数与离开点的距离成反比：。已知重力加速度为，则物体运动到离开点的距离________时，拉力达到最小，此时________。
33．(上海第18届大同杯复赛)某同学用一根粗细均匀的铁棒，将一个边长为的正方形的重物箱撬起一个很小的角度(如图4.239所示，图中的角度已被放大)。已知：铁棒单位长度受到的重力为；重物箱受到的重力为。现将铁棒的一端插入箱底，在另一端施加一个向上的力撬动重物箱。如果插入的长度为箱宽的，并保持该长度不变，当选用的铁棒长度满足什么条件时，施加的力最小？此最小的力为多大？
34．(上海第19届大同杯复赛)小强为课题研究小组提供了一把家中收藏的旧杆秤。杆秤的刻度模糊不淸，秤砣遗失，只有和的刻度清晰可辨。小组成员对杆秤的外形进行了测量，测量结果如图4.240所示。请根据以上情况，判断该杆秤的重心(不包括秤砣)应该在提纽的哪一侧，并求出秤砣的质量。
35．(上海第24届大同杯复赛)现有粗细、材质相同的三根圆木，其中两根的长度相等，另一很的长度等于圆木直径。将两根相同的长圆木各以其一端置于不计摩擦的尖棱上，在两长圆木之间靠摩擦力夹住较短的圆木，在长圆木的下面用一根不计质量的绳子将它们连起来，绳的两端系在钉入长圆木的钉上，如图4.241所示。已知圆木的直径为，圆木的质量为，圆木的轴心到绳的距离为，绳子能承受的最大拉力为。为保持绳子不断裂，则两根长圆木的长度不能超过多少？
36．(上海第24届大同杯复赛)重力为，长度、高度、宽度分别为，和的匀质长方体，其表面光滑，静止在水平面上，并被一个小木桩抵住，如图4.242(a)所示。
(1)无风情况下，地面的支持力为多大？
(2)当有风与水平方向成角斜向上吹到长方体的一个面上时，如图4.242(b)所示，风在长方体光滑侧面产生的压力为，则力要多大才能将长方体翘起？
(3)实验表明，风在光滑平面上会产生垂直于平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。现让风从长方体左上方吹来，风向与水平方向成角，如图4.242(c)所示。当大于某个值时，无论风速多大，都不能使长方体翘起，请通过计算确定的值。
37．(上海第28届大同杯复赛)如图4.243(a)所示，一根质量分布均匀的细直硬杆长度为，质量为，在杆的最左端与距右端的处立两个相同的支撑物，将细杆水平支起。
(1)求处与处的支持力与。
(2)在杆的最右端处再加上一个同样的支撑物，如图4.243(b)所示。假设支撑物均由相同的弹性材料制成，当它们受到挤压时会产生微小的形变，其竖直方向上发生的微小形变弓弹力成正比，则，，三处的支持力，与分别为多少？
参考答案
1．B。将各力分解成沿杆方向和垂直于杆方向的两个力，只比较垂直于杆方向分力的力矩即可。
2．A。由于阻力和阻力臂恒定，要推力最小，就需要推力臂最大。各推力的最大力臂，，分别为支点到，，的距离，由几何关系，因此。
3．A。1处于平衡状态，则1对2的压力应为；当1放在2的边缘上时距离最大。2处于杠杆平衡状态，设2露出的长度为，则2下方的支点(即4的右边缘)距2的重心在处，由杠杆平衡条件，可知，解得。设4露出的部分长为，则4下方的支点(即6的右边缘)距4的重心，4右边缘受到的压力为，则由杠杆平衡条件，可知，解得。则6，7之间的最大距离为。
4．B。杆处于平衡状态，画出杆受力情况如图4.244所示，以点为支点，可知在点施加竖直向下的力后，使杆逆时针转动趋势的力矩增加，则增大；同理再以点为支点，则增大。接着取为支点，则，增加的力矩应等大反向，即，因为，则，选项B正确。
5．B。汤勺内水恰不流出时，水的高度最大。如图4.245所示，由于汤勺质量不计，水和汤勺平衡时，水的重心必在悬点的正下方，即点为水面的中心，水的重心在的延长线上；过点作水面的垂线，垂足设为，则由几何知识可知点必在圆上，由于为的中点，且，则与圆直径的交点必为半球的球心。与相似，可得，则，水的深度为。
6．A。设段长度为，段长度为，木棒单位长度的质量为，则将部分截去长度并叠放在原来的上后，部分的总重力为，剩余部分的总重力为；由于两段木棒的重心在它们各自的中心，由杠杆平衡条件可得，即，解得。
7．A。对的作用力要能够使得处于力矩平衡，同时对的反作用力也要能使得处于力矩平衡。
8．C。可自由转动的轻杆受力一定沿轻杆方向，而可自由转动的重杆需考虑其力矩平衡，受力不一定沿杆。因此，若仅杆为轻杆，则杆对杆作用力的方向一定由指向；若仅杆为轻杆，则杆对杆作用力的方向一定由指向。
9．A。设杆的重力为，杆长为。设调换前、后杆受杆的拉力分别为，，由于杆为轻杆，因此，均沿杆方向，如图4.246所示，则有，，可得，选项A正确。
10．B。由几何关系可知与垂直。将，两小球和杆视为一个整体，两球除了受重力以外，还分别受碗底对它们的弹力，的作用，如图4.247所示。由于，指向球心，为方便起见，不妨取为转轴，并设连线与竖直方向的夹角为，则有，解得，本题正确选项为B。
11．D。，两球可在半球形碗内自由滑动，以碗的球心为支点，由于两球所受碗底的支持力均过碗的球心，当两球静止时，两球整体的重心一定在碗的球心的正下方，而整体重心到球的距离不会变化，因此不会变化。
12．B。如图4.248所示，设上面的人用力为，下面的人用力为，取箱子的重心为支点，，对应的力臂分别为和，则有。连接箱子侧面的对角线，则由勾股定理可得，与夹角满足，易得，，注意到与水平方向夹角为，则有
又，所以，因此。
13．A。先对物体进行受力分析，物体受三个力，重力、板对物体的支持力和静摩擦力。则易得，随着增大，减小增大。再以板为研究对象，板受拉力和物体对其的作用力，注意由于物体受力平衡，板对物体的作用力应等于与的合力，与物体重力等大反向，因此物体对板的作用力，竖直向下，如图4.249所示。设物体距离板底端为，板长为，则有，解得，可见为定值。本题正确选项为A。
14．BC。本题要注意的是，将木板向右拉出和向左拉出时，球所受滑动摩擦力的方向是不同的。木板向右拉出时，球受力如图4.250所示，设重力、支持力的力臂为，摩擦力的力臂为，则有，故，拉力。木板向左拉出时，如图4.251所示，有，因此拉力。本题正确选项为BC。
15．C。画出木棒与圆柱体受力情况如图4.252所示，其中点为木棒的重心，则，对木板有，又，，以为支点，结合，可得，由以上各式可得，，，选项C正确。
16．AC。将两杆视为一个整体，由题意，该整体必沿拉力的方向做匀速直线运动，因此画出两杆所受滑动摩擦力，如图4.253所示。滑动摩擦力的作用点在杆的中心，则，。将两杆视为一个绕点转动的杠杆，设拉力的方向与两杆的夹角分别为和，显然，则，由力矩平衡，得，结合以上各式得，选项AC正确。
17．AC。如图4.254所示，画出杆的受力情况。杆受力平衡，则水平方向有，竖直方向有，且。杆同时处于力矩平衡，取为支点，设杆长为，有，解得，综合以上各式有，可见越大，所需静摩擦力越大，杆越容易滑动。若时杆恰滑动，则有。
18．A。提示：参考例11的解法。
19．C。提示：参考例11的解法。
20．BC。设所称量的物体质量为，杆秤的质量为，秤砣的质量为，力臂分别为，，，则根据力矩平衡条件有。可见，与是一次函数关系，杆秤的刻度都是均匀的，与秤杆是否粗细均匀无关，选项B正确。用提纽时，较小，，较大，由于，相同，因此较大。则用提纽时比用提纽时的称量大，C项正确。
21．B。如图4.255所示，记杆对棒的作用力为，垂直于棒斜向上。设，的长度为，棒的长度为，所受重力为，棒与水平面的夹角为，取为转轴，则力的力臂为，对棒应用力矩平衡，有，解得，大小为定值，因此本题正确选项为B。
22．，。显然，要使得上面的砖块不掉下，其突出下面的第二块砖的距离最大为，否则上面砖块就要翻倒。设下面砖块突出桌面的距离为，画出两块砖所受重力如图4.256所示，取桌面边缘为转轴，将两砖视为一个整体，则整体不从桌面翻倒的条件为，解得。
23．，竖直向上；，沿杆竖直向上。由于杆与墙、杆与杆之间均用铰链连接，因此两杆均可以自由转动。如图4.257(a)所示，分析杆，若要保持其竖直，则作用在点的拉力必须竖直向上，否则杆将绕着端转动。再将两杆视为一个整体，如图4.257(b)所示，取为转动轴，设两杆长为，则，解得。再以杆为研究对象，易得杆对杆的作用力沿杆竖直向上，设为，则有，解得。
24．作用于延长线与轮的交点处，垂直于方向；顺时针；。圆轮缓慢滚上台阶的过程中，实际上圆轮是绕着点顺时针转动的，力克服的是重力的力矩。如图4.258所示，过点作重力作用线的垂线，则。圆轮刚离开地面时，重力的力矩为，由，得当力的力臂最大时，力才能取得最小值。结合圆的几何性质，圆上两点间的最大距离即为圆的直径，囡此当力的作用点为延长线与圆的交点，且力垂直于时，力最小，此时。当时，，因此。
25．，竖直向下，。以为转轴，则为使系统保持平衡，作用在点的力应力臂最大，即力垂直于向下。如图4.259所示，将球、直角杆视为一个整体，则有，解得。地面作用在轴上的力应竖直向上，，由作用力和反作用力的规律，轴对地面的压力为，方向竖直向下。
26．点右侧；11。设，物体重力的力臂为，秤砣重力为，力臂为，设枰的重心在点右侧，秤重力的力矩为，则用单秤砣称量的重物时，有
①
当用双秤砣去称量的物体时，读数仍为，说明秤砣位置不变，有
②
由，可得
③
由③可知，，因此秤的重心在点左侧。当秤上没有挂物体时，秤砣应在点右侧某位置使得枰水平平衡，该位置即为秤的零刻度线。
秤砣移动到秤杆最右端时，称量值最大。设此时秤蛇重力的力臂为，则单秤砣达到最大称量时，有
④
双枰砣达到最大称量时，有
⑤
由，可得
⑥
由③⑥式，可解得。
27．；。分析，的受力情况如图4.260所示，其中圆筒底面对点的支持力未画出。易得，所受重力分别为，。将视为一个整体，则有，圆筒底面对点的支持力大小等于杆的总重力。设杆与圆筒底部夹角为，则由几何关系得，即，结合，解得，。以点为转轴，对整个杆应用力矩平衡，有
则可解得。
28．4400。要使轮受到的力矩，制动闸作用在轮上的滑动摩擦力，则轮作用在制动闸底部的滑动摩擦力，方向水平向右，对杆由力矩平衡，有，解得。
29．；竖直向上。本题较为简单的解法是取杆、杆为研究对象，利用杆所受到的三个力共点，结合几何知识求解。如图4.261所示，杆受重物的拉力、杆的支持力、杆的作用力的作用，当系统平衡时，这三个力的作用线必共点，设交于点。对杆，由于处水平面光滑，则地面对的支持力竖直向上，因此可得墙壁对的作用力竖直向下，杆受杆的反作用力为，杆受杆的支持力为，这三个力的作用线交于点。由于与等大反向，因此，，三点共线。结合几何知识可得与相似，因此。又与相似，因此。因此有，即。
30．0.75，6。画出杆的受力情况如图4.262所示，将拉力分解，则由杆静止，水平方向上有，解得，竖直方向上有，则。取点为支点，则拉力与重力力矩平衡，设重心到点的距离为，则有，解得。
31．150，150。直角杆为轻杆，则其对横梁施加的力必沿着方向，如图4.263所示。横梁平衡，则直角杆对横梁的力矩等于横梁重力与吊灯重力对点的力矩之和，有，解得。
32．，。轻杆受物料对其施加的压力和滑动摩擦力的作用，如图4.264所示，其中，。以为转轴，则有，代入数据，可得，由基本不等式，当且仅当，时，即时，取得最小值。
33．当时，。箱子刚被抬起时，可认为箱子底部仍然水平，箱子左端紧压地面，右端紧压铁棒，因此箱子对铁棒的压力大小为，方向竖直向下。接下来以铁棒为研究对象，取铁棒与地面的接触点为支点，并设铁棒长为，则铁棒重力为，由于箱子刚被抬起时，铁棒与水平地面夹角认为是0，铁棒仍处于水平状态，则铁棒重力的力臂等于铁棒长度的一半，即，则由杠杆平衡条件，有，解得，结合基本不等式，有，当且仅当，即时，力取得最小值。
34．以提纽为支点，设被测物体质量为，被测物体重力的力臂为，设秤砣质量为，秤砣在秤杆上的位置距提纽为，再设秤杆的质量为，重心距离提纽为，则由杠杆的平衡条件，得，解得；可见，秤蛇在秤杆上的位置与被测物体质量之间是一次函数关系，即秤杆上的刻度是均匀的，结合图4.240的条件可知，秤砣在秤杆上每移动，被测物体的质量变化，因此，当秤钩上不挂物体时，枰砣应在提纽右侧距离提纽处，结合杠杆平衡条件，可知秤杆的重心一定在提纽左侧。由，可知该函数的斜率，代入数据可得，解得。
35．分别研究左边的圆木与中间的圆木，当绳子的拉力达到最大值时，作出它们的受力情况如图4.265所示。则对中间的圆木有；对左边的圆木有。设左端圆木的质量为，则，即，则以圆木左端尖棱为支点，有。将上述各物理量关系代入，可得，解得的最大值为。
36．(1)。
(2)，即。
(3)风在侧面产生的压力为；风在顶面产生的压力为。
当时，长方体将不会被翘起，即
由于可以取足够大，为使上式对任意大的都成立，必须有，即，。
37．(1)由杆在竖直方向受力平衡，则有。设杆长为，取点为转轴，则有，解得，。
(2)杆同样在竖直方向上处于平衡状态，有，如图4.266所示，设，，处支撑物的形变量分别为，，，则由几何关系，易得，结合弹力与形变量成正比，有，再以为转轴，得。由以上各式可解得，，。
相关教案
初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第4节 浮力（含答案）： 这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第4节 浮力（含答案），共22页。教案主要包含了浮力的概念，浮力的计算，物体的浮沉条件等内容，欢迎下载使用。
初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第3节 气体压强（含答案）： 这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第3节 气体压强（含答案），共10页。教案主要包含了气体压强的产生及特点，大气压强，封闭气体压强的计算，气体压强与体积的关系等内容，欢迎下载使用。
初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第5节 浮力综合问题（含答案）： 这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第5节 浮力综合问题（含答案），共18页。教案主要包含了液面的升降问题，双层液体问题，浮力参与下的力矩平衡等内容，欢迎下载使用。
