初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第1章第4节 相对运动（含答案）

第四节  相对运动

研究一个物体的运动时，总要选择一个参照物作为标准。很多问题中的参照物就是我们认为静止的地面。在一些问题中，我们也需要选择其他运动着的物体作为参照物，这样会使得解决问题更加方便快捷。

一、共线的两个物体的相对运动

在同一直线上运动的，两个物体，其相对运动又分为两种情况：

(1)如图3.51所示，若两者同向运动，其中物体相对于物体的运动速度，若为正，则离越来越远，反之，离越来越近。

(2)如图3.52所示，若两者反向运动，其中物体相对于物体的运动速度。

上述相对速度的计算也可以将表示，两物体速度的有向线段的起点画在同一点，则从的末端指向末端的有向线段就表示，如图3.53所示例子。

例1  一条船逆流而上航行，已知河水流速为，船在静水中的速度为。船行至靠近岸边的处时一只木箱子掉入水中，直至时间后被船员发现，于是船立即掉头寻找箱子，并于靠近岸边处将箱子捞起。不计船掉头所需的时间，河道笔直，求，之间的距离。

分析与解  船在静水中的速度并不是船相对于地面的速度，而是指船相对于河水的速度，下面我们分别以地面和河水为参照物，来求解这个问题。

(1)以地面为参照物。船逆流而上时对地速度为，掉头后顺流而下对地的速度为，木箱顺水漂流对地速度为，画出船及木箱的运动示意图如图3.54所示。从木箱掉落的处到处，船向上游前进了的距离，设从船掉头到追上木箱用时，则船追赶箱子向下游前进了距离。从木箱掉落到被捞起，木箱向下游移动的距离为，则有，解得，因此，之间的距离为。

(2)以河水为参照物。无论船向上游还是向下游行驶，相对于河水的速度大小总是，而相对于水，木箱保持静止，因此，船在木箱落水后时间返回，则一定又经过时间找到木箱，从船返回到找到木箱这个过程，船对地移动的距离即为。

由本题可以看出，选择合适的参照物往往可以使解决问题变得更简便，甚至使得看起来无从下手的问题也轻而易举就得到解决。如果参照物选择不当就会适得其反，需要同学们多总结、多思考。

例2  商场中有一自动扶梯，某顾客以相对扶梯的速度沿开动上行的扶梯走上楼时，数得走了级，当他用同样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时，数得走了级，已知自动扶梯向上、向下运行的速度大小恒为，问：，的比值为多少？静止时自动扶梯露出的级数为多少？

分析与解  人沿着扶梯上行时，人相对扶梯的速度为，则人对地的速度为，设扶梯露出的级数为，每一级长度为，则人上行的时间为，人“数得”的扶梯级数相当于是人相对扶梯走过的距离，因此有

                              ①

人沿着扶梯下行时，人对地的速度为，则人下行的时间为，因此

                            ②

联立①②两式可得

，

二、不共线的两个物体的相对运动

如图3.55所示，当两个物体速度方向不共线时，我们仍将表示，两物体速度的有向线段的起点画在同一点，则从的末端指向末端的有向线段就表示对的相对速度，自点画虚线平行于，则就是相对于的运动路线，即以为参照物时，的速度为，运动路线为直线。

例3  如图3.56所示，甲、乙两物体相距，甲在乙的正东方，某时刻甲以的速度向正北方向运动，同时乙以的速度向正东方向运动。

(1)以甲为参照物，乙向________运动。

(2)开始运动时，经过________时间甲和乙的距离最小。

分析与解  (1)如图3.57所示，将，起点画在乙物体上，则从末端指向末端的有向线段相即为乙相对于甲的速度。以乙初始位置为起点作平行于相的虚线，此虚线即为乙相对于甲的运动轨迹，可见，乙相对于甲的运动方向是东偏北。

(2)以甲为参照物，则认为甲静止在初始位置。自甲的初始位置向乙的相对运动轨迹作垂线，该垂线段的长度即为甲、乙间的最小距离，垂足与乙的初始距离记为，由几何关系可得，，则最短时间为。

参照物的合理选取以及两物体间相对速度的关系这类问题在竞赛中经常出现，也是考生失分较为严重的试题，下面我们再举几个例子，希望读者能够熟练掌握这种方法。

例4  如图3.58所示，船从港口出发去拦截正以速度沿直线航行的船，与所在航线的垂直距离为，船起航时，与的距离为，若忽略起动的时间，并认为一起航就做匀速运动，为使船能以最小速率拦截到船，下列说法正确的是(    )。

A．船应以方向运动

B．船应以方向运动

C．船的最小速率为

D．船的最小速率为

分析与解  以为参照物，则可视为静止，若拦截到，则相对于的运动轨迹必为连线，即对的相对速度的方向应由指向。将船的速度画在上，以的末端为起点作连线的平行线如图3.59所示，则该平行线的方向即为的方向，应由点指向相的末端，，，三者构成一个三角形。当取不同值时，亦随之变化。当，相互垂直时，可知取得最小值。根据图3.59三角形相似的关系，可得，可得船最小速度为，C选项正确。以地面为参照物，船的运动方向为最小速度的方向，该方向与交于点，因此船应以方向运动。本题正确选项为C。

例5  (上海第30届大同杯初赛)如图3.60所示，实验室内有一宽度的跑道。假设有一连串半径的机器人在跑道上沿一直线鱼贯驶过，速度均为，相邻机器人中心之间的距离为。某智能机器人(不考虑大小)用最小的速度沿一直线匀速安全穿越此跑道(不与任何机器人相撞)的时间为(    )。

A． B． C． D．

分析与解  以圆形机器人为参照物，则智能机器人按照如图3.61所示的路径(与前后两个圆形机器人相切)穿越跑道所用速度可以取得最小值。设智能机器人相对于圆形机器人的速度为，的方向即为方向，则智能机器人的速度与垂直时，智能机器人速度取最小值。，，围成一个直角三角形，如图3.61所示。由相似三角形关系，可得，解得，又，可得，因此最短时间。本题正确选项为D。

例6  (上海第29届大同杯初赛)轮船以恒定速度沿直线航行，由于风速的影响，轮船旗杆上的服役旗飘动的方向与轮船航行过程中所沿的直线之间往往会存在一个夹角。若船速为，夹角为；若船速为(航向不变)，夹角为，假设风速的大小和方向始终保持不变，则风速的大小可能为(    )。

A． B． C． D．

分析与解  旗子飘动的方向，实际是以船为参照物，风对船的相对速度方向。本题存在两种可能。

(1)如图3.62(a)所示，船速为时，旗子飘动方向与航速夹角朝船的斜后方，即此时风对船的相对速度的方向与船速夹角斜向后方，当船速为时旗子飘动方向与航速夹角朝船的斜后方，即此时风对船的相对速度方向与船速夹角斜向后方，根据如图3.62(a)所示速度三角形，结合几何关系可得风速。

(2)如图3.62(b)所示，船速为时，旗子飘动方向与航速夹角朝船的斜前方，即此时风对船的相对速度方向与船速夹角斜向前方，当船速为时旗子飘动方向与航速夹角朝船的斜后方，即此时风对船的相对速度方向与船速夹角斜向后方，根据如图3.62(b)所示速度三角形，结合几何关系可得风速。本题正确选项为AD。

例7  下雨时，雨滴均匀竖直下落，某人在雨中前进同样的路程，第一次步行，第二次跑步前进，问：此人头顶和身体侧面哪一次淋雨较多？

分析与解  针对题述问题，假设如下：雨滴下落速度，方向竖直向下，空中单位体积内雨滴数为，人头顶面积为，人身体侧面(迎着雨的一面)的面积为，人前进的速度为，前进路程为。下面分析对头顶和身体侧面淋雨多少的影响。

将人视为如图3.63所示的长方体，当人以速度前进时，以人为参照物，雨滴是倾斜着下落的，雨滴相对于人的速度记为，与竖直方向的夹角满足。人以速度前进路程时，淋雨时间。以人为参照物，人头顶有效的淋雨面积为垂直于的投影面积，因此头顶总的淋雨量为Q，由于，将代入，可得，可见，越大，人头部淋雨越少。人身体侧面有效淋雨面积为，因此侧面总的淋雨量为，将代入并考虑到，得，可见，身体侧面的淋雨量与前进速度无关。

三、合运动与分运动，速度的分解

物体在做某种运动时，有时根据需要，我们可以将物体的运动视为两个运动的合成，例如沿与水平方向成夹角斜向上飞行的飞机，其速度大小为，则内物体前进。内物体沿水平方向前进，竖直向上升高了。因此我们可以说，飞机同时参与了两个分运动：水平方向速度为的匀速直线运动和竖直方向速度为的匀速直线运动。其中飞机的速度通常叫做合速度和叫做它的分速度，如图3.64所示。合速度与分速度满足平行四边形定则，即以分速度为邻边画一个平行四边形，则两邻边所夹的对角线就是合速度。当然，图3.64所示的平行四边形恰为矩形，这仅是一种特殊情况。

例8  降落伞在下落一定时间以后的运动是匀速的。设无风时某跳伞员着地的速度是。现有正东风，风速大小是，跳伞员将以多大的速度着地？

分析与解  无风时，跳伞员在下落过程，由于空气阻力的作用，最终会匀速运动。当有正东风时，运动员最终的运动可以视为竖直向下的和水平向西的匀速直线运动的合成，由于风速水平，运动员竖直向下的运动仍与无风时相同，而水平方向的分运动速度与风速相同。如图3.65所示，则落地速度，速度与竖直方向夹角满足，斜向下偏西。

物理竞赛试题中，有一类求解杆交点速度的问题——相交杆交点移动速度问题，下面通过例题给出这类问题的解答。

所谓“相交杆”，即两个细杆交于一点，当其中一杆运动或者两杆均运动时，两杆的交点也可能会随之而移动。这里之所以说两杆交点是“可能”会移动，是因为有时候杆移动，交点未必移动。例如，图3.66(a)所示的两个细杆，交于点，若杆沿着所在直线方向运动，则交点的位置不改变，同理，若杆沿着所在直线的方向运动，两杆交点位置亦不会改变。可见，某一杆运动时，沿着自身所在直线方向的速度不会引起交点的移动。当某一杆运动速度不沿着自身所在直线方向时，我们可以把它的速度分解为沿着自身所在直线方向和沿着对方所在直线方向的分速度，若对方静止，则沿着对方所在直线方向的分速度，即为交点的移动速度。例如，如图3.66(b)所示，杆的速度为，杆静止，则可以用下列方向求得交点的移动速度：将杆的速度分解为沿着方向的分速度和沿着方向的分速度，则即为交点移动的分速度。若杆运动的同时，杆也具有速度，则我们也要把杆的速度分解为沿着方向的分速度和沿着方向的分速度，于是交点的移动速度即为与的合速度。

例9  (上海第30届大同杯初赛)如图3.67所示，在同一平面上的，两杆分别以相同的转动周期绕，两轴顺时针匀速转动，当两杆转动到如图所示的位置时，，此时两杆交点的速度为。若杆变为逆时针匀速转动，不改变两杆的转动周期，当两杆恰好也转动到如图所示的位置时，两杆交点的速度为。则关于和关系的判断正确的是(    )。

A．大小相等，方向不同 B．大小不等，方向相同

C．大小、方向都相同 D．大小、方向都不同

分析与解  当，两杆分别绕，两轴顺时针匀速转动时，如图3.68所示，杆上和杆上的点转动的速度均为，方向垂直于杆，将其分解为沿杆和沿杆的两个分速度，因为(假设杆不动)沿杆的速度不引起交点的变化，所以只考虑沿杆的速度分量，该分量大小为。同理，把杆上点转动的速度分解为沿杆及沿杆方向的分速度，只考虑沿杆的速度分量，则。，两速度夹角为，两者合成后即为此时的速度大小，方向水平向右。

当杆绕轴顺时针匀速转动，杆绕轴逆时针匀速转动时，同样可求得的速度大小为，方向竖直向下。本题正确选项为D。

练习题

1．一船往返于甲、乙两码头之间，船在静水中的速度为，水速为，且，则船往返一次的平均速度为(    )。

A． B． C． D．

2．(上海第25届大同杯初赛)小轿车匀速行驶在公路上，坐在副驾驶位置的小青观察到轿车速度盘的指针始终在位置处，在超越相邻车道上同向匀速行驶的另一辆普通轿车的过程中，小青发现该轿车通过自己的时间恰好为，则该轿车的车速范围为(    )。

A．  B．

C．  D．

3．(上海第27届大同杯初赛)匀速前进的队伍长为，通信员以恒定速度从队尾走到队首，然后保持速度大小不变再回到队尾，此时队伍走过的路程为。则通信员走过的路程为(    )。

A． B． C． D．

4．(上海第20届大同杯初赛)小明乘坐索道到山上游玩，每隔能遇见6部缆车，已知索道单程距离为，缆车的速度保持为，则整个索道上的缆车总数为(    )。

A．150部 B．180部 C．210部 D．240部

5．某商场的自动扶梯在内，可以把站在扶梯上的顾客送到二楼。如果扶梯不动，人走上去需要，那么，当人沿着开动的自动扶梯走上去时，需要的时间为(    )。

A． B． C． D．

6．(上海第20届大同杯初赛)由于受到水平方向风力的影响，使得原先竖直下落的雨滴斜向下方匀速下落，则(    )。

A．风速越大，雨滴下落时间会越短 B．风速越大，雨滴下落时间会越长

C．风速越大，雨滴着地速度会越大 D．风速越大，雨滴着地速度会越小

7．(上海第23届大同杯初赛)某人骑车向正东方向行驶，看到插在车上的小旗向正南方向飘动，假设风速保持不变，骑车人沿正南方向行驶时，小旗的飘动方向不可能是(    )。

A．正东方向 B．正北方向 C．东偏南方向 D．东偏北方向

8．(上海第22届大同杯初赛)轿车以的速度匀速行驶，车前窗倾斜角为，车前窗和车顶部面积相同，雨滴竖直落下的速度为，则车窗和车顶部承受的雨量之比为(    )。

A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．1：1

9．(上海第22届大同杯初赛)如图3.69所示，某一实验室内有一宽度为的跑道，假设有一连串玩具车沿着同一直线以相同的速度鱼贯驶过，玩具车的宽度为，前、后两车间的间距为。某智能机器人用最小的速度沿一直线匀速安全穿过此跑道，则智能机器人要穿越跑道的时间为(    )。

A．  B．

C．  D．

10．(上海第21届大同杯初赛)长度为的油轮在大海中匀速直线行驶，小汽艇从油轮的船尾匀速驶向船头再返回船尾，速度始终保持为，所用时间为，则油轮的速度为________。

11．如图3.70所示，两根细直硬杆，分别沿与各自垂直的方向以，的速率运动，并保持两杆始终垂直。此时两杆交点的运动速度大小________。

12．(上海第23届大同杯初赛)如图3.71所示，，两点相距，，两点相距，与相互垂直。甲以的速度由点向点运动，乙以的速度同时由点向点运动。经过________，甲、乙之间的距离最近；经过________，甲、乙所处位置与点构成的三角形和可能相似。

13．(上海第21届大同杯复赛)以速度竖直下落的雨滴，落在水平匀速行驶的汽车驾驶室的挡风玻璃和顶棚上。驾驶室的挡风玻璃和水平顶棚均可视为平面，且面积都是；挡风玻璃和水平面成角，如图3.72所示。当司机观察到雨点垂直打在挡风玻璃上时，汽车行驶的速度为________；落在挡风玻璃和顶棚上的雨水量之比为________。

14．(上海第20届大同杯复赛)如图3.73所示，在竖直平面内，长为的直杆的端紧靠在竖直的墙面上，端可以沿水平地面运动，现使端匀速向右运动，从杆与竖直墙面的夹角为时开始，到杆与竖直墙面的夹角为时结束，此过程中直杆的中点经过的路程为________(精确到)，端运动的速度大小________(选填“增大“不变”或“减小”)。

参考答案

1．C。设两地间距离为s，则船顺水航行时的速度为，用时，逆水航行时的速度为，用时，则往返一次的平均速度为。

2．B。小轿车的长度大约为，小青所坐轿车的速度，以小青所坐轿车为参照物，则相邻车道轿车的相对速度大小为，因此该车的速度为，选项B正确。

3．C。设通信员速度为，队伍速度为，以队伍为参照物，通信员从队尾走到队首过程中的相对速度为，通信员从队首回到队尾过程中的相对速度为，设队伍长为，则通信员来回的时间可表示为，此时间内队伍前进距离，代入数据可得，因此通信员通过的路程为，本题正确选项为C。

4．B。小明相对于迎面而来的缆车的速度，小明每隔能遇见6部缆车，则每遇见一次缆车，因此缆车的间距为，所以，一条索道上的缆车数为，由于是双索道，因此缆车总数为180部，选项B正确。

5．B。设扶梯长为，人步行速度为，电梯运行速度为，则扶梯不动人走上去用时，人站在扶梯上被电梯送上楼用时，人沿着开动的自动扶梯走上用时。比较上述三个式子可得，因此。选项B正确。

6．C。有风时，雨滴参与了两个运动：水平方向和竖直向下速度为的匀速运动，雨滴实际的运动可以视为这两个分运动的合成，由于风速水平，运动员竖直向下的运动仍与无风时相同，因此下落时间和风速无关，而水平方向的分运动速度最终会与风速相同。如图3.74所示，落地速度，可见风速越大，落地速度越大。选项C正确。

7．B。当车速向东时，小旗向正南方向飘动，说明此时风相对于车的速度是正南方向，但是风对车的速度大小未知。画出如图3.75所示三个可能的风对车的相对速度，，，与之对应的风对地面的速度，，亦可画出。当车速向正南方向时，由于风对地面的速度有多种可能，风对车的相对速度亦有多种可能。如图3.76所示，若风对地面的速度分别为，，，则对应的风对车的速度分别为，，，即旗子的飘动方向可能为所指的东偏北方向、所指的正东方向、所指的东偏南方向，因此本题正确选项为B。

8．C。本题有两种解答：

(1)以车为参照物，则雨水参与了两个分运动：水平方向速度为的匀速直线运动和竖直方向速度为的匀速直线运动。将车窗的面积沿着两个分运动投影，投影面积分别为，，如图3.77所示，则，。投影面承受的雨量与投影面面积和垂直于投影面的雨水的速度的乘积成正比，且车窗承受雨量等于投影面，承受雨量之和。因此，车窗和车顶部承受的雨量之比

(2)同样以车为参照物，画出，以及雨对车的速度的三角形关系图如图3.78所示，设与水平方向夹角为，则

    ，

以车为参照物时相当于车不动，雨以的速度沿着图3.78所示的虚线落到车上。由于车窗和车顶部承受的雨量与它们垂直于方向的投影面积有关，求出它们投影面积，因此承受雨量之比

考虑到辅助角公式

有

综上所述，本题正确选项为C。

9．D。以玩具车为参照物，智能机器人若要以最小速度穿过此跑道，智能机器人相对于玩具车的运动路线应如图3.79所示的虚线，即智能机器人的相对速度方向为方向，画出速度三角形可知，只有当智能机器人对地速度与垂直时，方能使其取得最小速度。结合几何关系，可得之间的距离满足，得。又，得，因此，选项D正确。

10．54。设油轮长为，油轮速度为，小汽艇速度为，，取油轮为参照物，则汽艇从油轮的船尾匀速驶向船头的相对速度为，从船头再返回船尾的相对速度为，则往返所用时间，代入数据可解得。

11．。两杆的交点沿杆前进的速度为，沿杆前进的速度为，交点的实际速度为，的矢量和，即。

12．6；12或。求解甲、乙之间的距离何时最近，我们可以以乙为参照物(即认为乙静止不动)，如图3.80所示，将甲、乙的速度，的起点画在点，则由末端指向末端的有向线段即表示甲相对于乙运动的速度，由勾股定理知，过点作平行于，则直线即为甲相对于乙运动的轨迹。过点作垂直于，则的长度即为甲、乙之间的最短距离。由几何关系知与，，围成的三角形相似，可得，解得，因此经过时甲、乙相距最近。

设经过时间，甲、乙两物体分别运动至，位置，如图3.81所示，则，，，若此时与相似，则根据对应边成比例，有下列两种可能的比例式成立：或，即有或，代入数据可解得或。

13．，5：4。略，可参考练习题8的两种解法。

14．0.262，增大。如图3.82(a)所示，设墙角为点，则为直角三角形，为斜边上的中线，因此，在杆移动过程中，长度不变，点运动轨迹为以点为圆心、以为半径的。易得所对的圆心角为，因此的长度为。如图3.82(b)所示，由于杆长度不变，因此杆端，的速度，沿杆方向的分速度等大，设杆与竖直墙夹角为，则有，解得，由于不变，逐渐增大，因此逐渐增大。