2020-2021学年第十九章 一次函数综合与测试练习题

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人教版八年级数学下学期 第十九章 一次函数考点梳理

【考点1 函数的概念】
【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
【例1】（2020春•常德期末）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：
对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-1】（2019春•无棣县期末）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：A、C、D当x取值时，y有唯一的值对应，
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-2】（2019春•微山县期末）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（　　）
A．
x
1
2
3
4
y
2
6
8
10
B．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
10
C．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
8
D．
x
1
2
3
y
2
6
8
10
【分析】根据函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而判断得出即可．
【解答】解：选项ABC中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，故y是x的函数；
只有选项D中，x取1个值，y有2个值与其对应，故y不是x的函数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数的定义，正确掌握函数定义是解题关键．
【变式1-3】（2019秋•东海县期末）变量x、y有如下的关系，其中y是x的函数的是（　　）
A．y2＝8x B．|y|＝x C．y=1x D．x=12y4
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量进行分析即可．
【解答】解：A、y2＝8x，y不是x的函数，故此选项错误；
B、|y|＝x，y不是x的函数，故此选项错误；
C、y=1x，y是x的函数，故此选项正确；
D、x=12y4，y不是x的函数，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数概念，关键是对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
【考点2 函数自变量的取值范围】
【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例2】（2020春•海淀区校级期中）下列函数中，自变量取值范围错误的是（　　）
A．y=12x-1（x≠12） B．y=1-x（x≤1）
C．y＝x2﹣1（x为任意实数） D．y=1x-1（x≥1）
【分析】利用2x﹣1≠0可对A进行判断；利用1﹣x≥0可对B进行判断；利用x全体实数可对C进行判断；利用x﹣1＞0可对D进行判断．
【解答】解：y=12x-1的自变量的取值范围为x≠12；
y=1-x的自变量的取值范围为x≤1；
y＝x2﹣1的自变量的取值范围为x为任意实数；
y=1x-1的自变量的取值范围为x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．④于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
【变式2-1】（2020秋•长安区校级月考）在函数y=x+4+x﹣2中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣4 B．x≠0 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞﹣4且x≠0
【分析】根据二次根式有意义的条件、负整数指数幂列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+4≥0，x≠0，
解得，x≥﹣4且x≠0，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式2-2】（2020•黄石）函数y=1x-3+x-2的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2，且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x＞2，且x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得x≥2，且x≠3．
故选：A．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【变式2-3】（2020•阳新县模拟）函数y=11-3x+（x+2）0的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞13 B．x＜13 C．x＜13且x≠﹣2 D．x≠13
【分析】根据分母不为0、二次根式有意义的条件和零指数幂的意义得到1﹣3x＞0且x+2≠0，然后求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得1﹣3x＞0且x+2≠0，
所以x＜13且x≠﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
【考点3 函数图象的识别】
【方法点拨】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
【例3】（2020春•沙河口区期末）一天早上小明步行上学，他离开家后不远便发现有东西忘在了家里，马上以相同的速度回家去拿，到家后因事耽误一会，忙完后才离开，为了不迟到，小明跑步到了学校，则小明离学校的距离y与离家的时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和各个选项中函数图象可以判断哪个选项是正确的，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，小明步行上学时小明离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现有东西忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小明离学校的距离增大，到家后因事耽误一会，忙完后才离开，此时距离不变，小明跑步到了学校时小明离学校的距离减小直至为0．
故B选项符合，
故选：B．
【点评】此题考查函数图象，关键是根据题意得出距离先减小再增大，然后不变后减小为0进行判断．
【变式3-1】（2020春•武侯区期末）成都市双流新城公园是亚洲最大的城市湿地公园，周末小李在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，体息了一段时间，又原路返回b千米（b＜a），再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据前进时路程增加，休息时路程不变，返回时路程减少，再前进时路程增加，可得答案．
【解答】解：由题意，得
路程先增加，路程不变，路程减少，路程又增加，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，理解题意掌握路程与时间的关系是解题的关键，注意B图象中时间没变路程无法减少．
【变式3-2】（2020春•揭阳期中）小明观看了《中国诗闻大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．
【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，B，D不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式3-3】（2020春•文圣区期末）如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增函数，根据球的特征进行判断分析即可．
【解答】解：根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，
曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．解得此类试题时注意，如果水的体积随深度的增加而逐渐变快，对应图象是曲线从缓逐渐变陡．
【考点4 通过函数图象获取信息】
【方法点拨】理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
【例4】（2020春•长葛市期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（　　）

A．2个 B．4个 C．3个 D．5个
【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，根据此信息分别对5种说法分别进行判断．
【解答】解：观察图象，甲、乙到达目的地时离出发地的距离，所以（1）正确；
都为18千米，甲在0.5小时至1小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，所以（2）正确；
甲出发0.5小时后乙开始出发，说明（3）正确；
两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度，所以（4）不正确；
甲出发2.5小时后到达目的地，而乙在甲出发2小时后到达目的地，所以（5）不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
【变式4-1】（2020春•门头沟区期末）甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达的目的地；
③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确推断的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可．
【解答】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分钟，说法正确；
②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；
⑧甲在停留10分钟之后减慢了行走速度，说法错误；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式4-2】（2020春•莘县期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距100米．正确的有　 　（在横线上填写正确的序号）．

【分析】①根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；
②根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是500﹣300＝200米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；
③根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断该小题是否正确；
④根据图象，可以分别计算出x＝2和x＝6时，甲乙两人的距离，从而可以判断该小题是否正确．
【解答】解：由图象可得，
甲每分钟走：600÷6＝100（米），故①正确；
两分钟后乙每分钟走：（500﹣300）÷（6﹣2）＝200÷4＝50（米），故②正确；
乙到达B地用的时间为：2+（600﹣300）÷50＝2+300÷50＝2+6＝8（分钟），则甲比乙提前8﹣6＝2分钟达到B地，故③错误；
当x＝2时，甲乙相距300﹣100×2＝300﹣200＝100（米），当x＝6时，甲乙相距600﹣500＝100米，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式4-3】（2019春•九龙坡区校级期中）重庆实验外国语学校运动会期间，小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式，出发时小明发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢继续跑往操场，小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时入场式还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场．设小明和小欢两人相距s（米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，小明和小欢第一次相距80米后，再过　 　分钟两人再次相距80米．

【分析】由题意小欢的速度为40米/分钟，小明的速度为80米/分钟，设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米，则：80x﹣40x＝80，解得x＝2分钟，推出小欢一共走了40×（2+2）＝160（米），由此即可解决问题．
【解答】解：由题意小欢的速度为40米/分钟，小明的速度为80米/分钟，
设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米，
则有：80x﹣40x＝80，
∴x＝2，
此时小欢一共走了40×（2+2）＝160（米），
（600﹣160﹣80）÷40＝9（分）．
即小明和小欢第一次相距80米后，再过9分钟两人再次相距80米．
故答案为：9
【点评】本题考查一次函数的应用，路程，速度，时间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【考点5 动点问题的函数图象】
【例5】（2020春•青岛期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（　　）

A．12 B．24 C．20 D．48
【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
【解答】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB＝6，
当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC＝4，
∴长方形ABCD的面积为：AB•BC＝6×4＝24．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
【变式5-1】（2020春•芝罘区期末）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的周长是（　　）

A．13 B．17 C．18 D．26
【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周长．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，
∴AB＝5，BC＝4，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝18．
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出AB、BC的长度是解决问题的关键．
【变式5-2】（2020•河南二模）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（　　）

A．7 B．6 C．132 D．112
【分析】①当点P在点D时，y=12AB×AD=12×a×a＝8，解得：a＝4，②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，③当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD，即可求解．
【解答】解：设正方形的边长为a，
①当点P在点D时，y=12AB×AD=12×a×a＝8，解得：a＝4，
②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，
③当x＝7时，如下图所示：

此时，PC＝1，PD＝7﹣4＝3，
当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD）＝4×4-12（4×1+1×3+4×3）=132，
故选：C．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
【变式5-3】（2020春•自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（6，0），C（0，4）点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，连接OP、CP，设点P运动的时间为t秒，△CPO的面积为S，下列图象能表示t与S之间函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】根据动点运动的起点位置、关键转折点，结合排除法，可得答案．
【解答】解：∵动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，△CPO的面积为S
∴当t＝0时，OP＝0，故S＝0
∴选项C、D错误；
当t＝3时，点P和点A重合，
∴当点P在从点A运动到点B的过程中，S的值不变，均为12，故排除A，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合及正确运用排除法，是解题的关键．
【考点6 一次函数的定义】
【方法点拨】一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
【例6】（2020秋•长清区校级月考）下列函数中，是一次函数的是　 　，是正比例函数的是　 　．（填序号）
（1）y=-x2；（2）y=-2x；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x-12；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．
【分析】根据一次函数与正比例函数的定义解答即可．
【解答】解：（1）y=-x2是一次函数，也是正比例函数；（2）y=-2x是反比例函数；（3）y＝3﹣5x是一次函数；（4）y＝﹣5x2是二次函数；（5）y＝6x-12是一次函数；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2＝﹣4x是正比例函数，也是一次函数；（7）y＝x﹣6是一次函数．
故答案为：（1）（3）（5）（6）（7）；（1）（6）
【点评】本题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数与正比例函数的定义及关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
【变式6-1】（2019春•偃师市期中）已知函数y＝（m+b）x+m﹣2，当m　 　时，是一次函数；当m　 　时，是正比例函数．
【分析】根据一次函数和正比例函数的定义作答．
【解答】解：由题意知，当m+b≠0，即m≠﹣b时，函数y＝（m+b）x+m﹣2是一次函数；
当当m+b≠0且m﹣2＝0，即m≠﹣b且m＝2时，函数y＝（m+b）x+m﹣2是正比例函数；
故答案是：≠﹣b；≠﹣b且m＝2．
【点评】本题主要考查一次函数与正比例函数之间的联系，正比例函数是一次函数的特殊情况．
【变式6-2】（2020春•金山区期中）若函数y＝（m﹣2）xm2-3+2是一次函数，那么m＝　 　．
【分析】根据一次函数的定义，列出关于m的方程和不等式进行求解即可．
【解答】解：由题意得，m2﹣3＝1且m﹣2≠0，
解得：m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式6-3】（2020春•丛台区校级期中）函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+5是y关于x的一次函数，则m＝　﹣2　．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的值．
【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，
由|m|﹣1＝1，解得：m＝﹣2或2，
又m﹣2≠0，m≠2，
则m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
【考点7 一次函数的图象】
【方法点拨】一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【例7】（2020春•九龙坡区校级期末）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝kbx+k的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据函数y＝kx+b的图象确定k，b的取值范围，即可确定函数y＝kbx+k的大致图象．
【解答】解：由函数y＝kx+b的图象可知k＜0、b＞0，
∴kb＜0，
∴函数y＝kbx+k的图象经过第二、三、四象限；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【变式7-1】（2020春•孝义市期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．
【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，
正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；
（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项．
故选：C．
【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【变式7-2】（2020秋•西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【解答】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），
∴﹣a＞0，﹣c＜0，
∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
【变式7-3】（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，直线l1：y＝ax+b和l2：y＝﹣bx+a在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据各选项中的函数图象判断出a、b异号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置，即可得解．
【解答】解：∵直线l1：经过第一、三象限，
∴a＞0，
又∵该直线与y轴交于负半轴，
∴b＜0．
∴﹣b0，
∴直线l2经过第一、二、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象，一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，一次函数图象经过第一三象限，k＜0时，一次函数图象经过第二四象限，b＞0时与y轴正半轴相交，b＜0时与y轴负半轴相交．
【考点8 一次函数的性质】
【例8】（2020秋•句容市月考）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1，当m为何值时，
（1）y随x的增大而增大？
（2）图象经过第一、二、四象限？
（3）图象与y轴的交点在x轴的上方？
（4）经过直角坐标系原点？此时图象经过那个象限？
【分析】（1）由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质即可得出1﹣2m＞0，解之即可得出结论；
（2）由一次函数图象经过第一、二、四象限，利用一次函数图象与系数的关系即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（4）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出此时一次函数图象经过的象限．
【解答】解：（1）∵y随x的增大而增大，
∴1﹣2m＞0，
∴m＜12，
∴当m＜12时，y随x的增大而增大；
（2）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、四象限，
∴1-2m＜0m+1＞0，
解得：m＞12，
∴当m＞12时，一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、四象限；
（3）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴1-2m≠0m+1＞0，
解得：m＞﹣1且m≠12，
∴当m＞﹣1且m≠12时，一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象与y轴的交点在x轴的上方；
（4）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过直角坐标系原点，
∴1-2m≠0m+1=0，
解得：m＝﹣1，
∴1﹣2m＝3＞0，
∴当m＝﹣1时，一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过原点，此时图象经过第一、三象限．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质、一次函数的定义以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用一次函数的性质找出1﹣2m＞0；（2）利用一次函数图象与系数的关系找出关于m的一元一次不等式组；（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元一次不等式；（4）利用一次函数图象上点的坐标特征求出m值．
【变式8-1】（2020秋•吴江区期末）已知关于x的一次函数y＝mx+4m﹣2．
（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围；
（3）不论m取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标．
【分析】（1）直接把（0，0）代入求出m的值即可；
（2）根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可；
（3）把一次函数解析式化为关于m的一元一次方程，根据方程有无数解解答．
【解答】解：（1）∵这个函数的图象经过原点，
∴当x＝0时，y＝0，即4m﹣2＝0，
解得m=12；
（2）∵这个函数的图象不经过第四象限，
∴m＞04m-2≥0，
解得，m≥12；
（3）一次函数y＝mx+4m﹣2变形为：m（x+4）＝y+2，
∵不论m取何实数这个函数的图象都过定点，
∴x+4＝0，y+2＝0，
解得，x＝﹣4，y＝﹣2，
则不论m取何实数这个函数的图象都过定点（﹣4，﹣2）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【变式8-2】（2020秋•南明区校级期中）已知一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）．求：
（1）m为何值时，y随x的增大而减小；
（2）m，n满足什么条件时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）m，n分别取何值时，函数图象经过原点；
（4）m，n满足什么条件时，函数图象不经过第二象限．
【分析】（1）由y随x的增大而减小利用一次函数的性质可得出6+3m＜0，解之即可得出结论；
（2）根据一次函数的定义结合一次函数图象与y轴的交点在x轴下方，即可分别得出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式以及关于n的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）根据一次函数的图象不经过第二象限利用一次函数图象与系数的关系，即可分别得出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y随x的增大而减小，
∴6+3m＜0，
∴m＜﹣2，
∴当m＜﹣2时，y随x的增大而减小；
（2）∵一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴6+3m≠0，n﹣4＜0，
∴m≠﹣2，n＜4．
∴当m≠﹣2、n＜4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）∵一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过原点，
∴6+3m≠0，n﹣4＝0，
∴m≠﹣2，n＝4．
∴当m≠﹣2、n＝4时，函数图象经过原点；
（4）∵一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象不经过第二象限，
∴一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限．
当一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过第一、三、四象限时，6+3m＞0，n﹣4＜0，
∴m＞﹣2，n＜4；
当一次函数 y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过第一、三象限时，6+3m＞0，n﹣4＝0，
∴m＞﹣2，n＝4．
综上所述：当m＞﹣2、n≤4时，函数图象不经过第二象限．
【点评】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义，解题的关键是：（1）利用一次函数的性质找出6+3m＜0；（2）根据题意，找出关于m、n的一元一次不等式；（3）根据题意，找出关于m的一元一次方程及关于n的一元一次不等式；（4）分一次函数图象经过第一、三、四象限或第一、三象限两种情况考虑．
【变式8-3】（2019秋•安徽月考）已知一次函数y＝（1﹣3m）x+m﹣4，若其函数值y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，求m的取值范围．
【分析】由数值y随着x的增大而减小可得出1﹣3m＜0，结合一次函数图象不经过第一象限（经过第二、四象限或者经过第二、三、四象限）可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：依题意，得：1-3m＜0m-4≤0，
解得：13＜m≤4．
∴m的取值范围为13＜m≤4．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限”和“k＜0，b＝0⇔y＝kx+b的图象在二、四象限”是解题的关键．
【考点9 一次函数图象上点的坐标特征】
【例9】（2020春•高州市期中）已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解．
【解答】解：∵已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，
∴当k＜0时，x越大，y越小，
∴选项A：不一定成立，
选项B：不一定成立，
选项C：不一定成立，
选项D：一定成立，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，本题的解题关键当k＜0，x越大，y越小．
【变式9-1】（2020春•老河口市期末）若正比例函数y＝（2﹣3m）x的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＞23 C．m＜23 D．m＜0
【分析】由条件可判断函数的增减性，可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∴2﹣3m＜0，
解得m＞23．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数的增减性，根据y随x的变化情况得出关于m的不等式是解题的关键．
【变式9-2】（2020春•黄陂区期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x1＜x3＜x2
【分析】根据k＝3＞0时，y随x的增大而增大，从而可知x1、x2、x3的大小．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣b中，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大；
∵点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1），
∴x1＜x2＜x3；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是当k＞0时，函数y随x的增大而增大．
【变式9-3】（2020春•青川县期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（2，﹣1）四点在直线y＝kx+4的图象上，且x1＞x2＞x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞2y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】根据待定系数法求得k，然后根据一次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵点D（2，﹣1）在直线y＝kx+4的图象上，
∴﹣1＝2k+4，
解得k=-52，
∵k＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞x3，
∴y3＞y2＞y1，
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【考点10 一次函数图象与几何变换】
【方法点拨】解决此类问题的关键是记住一次函数图象平移的口诀：上加下减，左加右减，并且一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是关键.
【例10】（2020•莲湖区模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．3
【分析】根据一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移k不变，可设平移后的函数解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，把点（﹣1，﹣2）代入即可求得n．
【解答】解：∵若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度，
∴平移后的函数解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，
∵函数解y＝﹣2x+6﹣n的图象经过点（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝﹣2×（﹣1）+6﹣n，
解得：n＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是解决问题的关键，
【变式10-1】（2020•陕西四模）直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，经过点A（﹣2，0）和y轴上的一点B，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，则b的值为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．1
【分析】由直线y＝kx+b+1经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，可得B点的坐标，根据三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，得到y＝kx+b+1，
∵直线y＝kx+b+1经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，
∴B（0，b+1），
∵△ABO的面积是：12×2×（b+1）＝4，
解得b＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上与几何变换，属于基础题，关键是表示出三角形的面积，然后求解．
【变式10-2】（2020春•碑林区校级期末）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（　　）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【分析】将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可得：y＝2x+m，求出直线y＝2x+m，与直线y＝﹣x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可得：y＝2x+m
联立两直线解析式得：y=2x+my=-x+4，
解得：x=4-m3y=8+m3，
即交点坐标为（4-m3，8+m3），
∵交点在第二象限，
∴4-m3＜08+m3＞0，
解得：m＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0．
【变式10-3】（2020•海淀区校级一模）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+8 C．y＝﹣2x﹣4 D．y＝﹣2x﹣8
【分析】由题意知，直线AB的k是﹣2，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的解析式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．
【解答】解：∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的，
∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其K不变）
∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0） ①
把点（m，n）代入①并整理，得
y＝﹣2x+（2m+n） ②
∵2m+n＝8 ③
把③代入②，解得y＝﹣2x+8，
即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．
故选：B．
【点评】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后，K不变这一性质，再根据题意中的已知条件，来确定用哪种方程来解答．
【考点11 一次函数解析式】
【方法点拨】待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【例11】（2019秋•建湖县期末）已知：y+4与x+3成正比例，且x＝﹣4时y＝﹣2；
（1）求y与x之间的函数表达式
（2）点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函数的图象上，比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据题意，设出函数关系式，把x＝﹣4，y＝﹣2代入求出待定系数，确定函数关系式；
（2）根据函数的增减性，做出判断即可．
【解答】解：（1）因为y+4与x+3成正比例，因此设y+4＝k（x+3）（k≠0），
把x＝﹣4，y＝﹣2代入得，﹣2+4＝k（﹣4+3），
解得，k＝﹣2，
∴y+4＝﹣2（x+3），
即：y＝﹣2x﹣10，
（2）由（1）知，y＝﹣2x+10，
∴k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵m＜m+1，
∴y1＞y2．
【点评】考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，把点的坐标代入是常用的方法．
【变式11-1】（2020春•赫山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+b（k≠0经过点A（﹣4，0），与y轴交于点B，如果△AOB的面积为4，求直线l的表达式．
【分析】先把A点坐标代入y＝kx+b得到b＝4k，则y＝kx+4k，所以B（0，4k），利用三角形面积公式得到12×4×|4k|＝4，解得k=12或-12，从而得到直线l的表达式．
【解答】解：把A（﹣4，0）代入y＝kx+b得﹣4k+b＝0，解得b＝4k，
∴y＝kx+4k，
当x＝0时，y＝kx+4k+4k，则B（0，4k），
∵△AOB的面积为4，
∴12×4×|4k|＝4，解得k=12或-12，
∴直线l的表达式为y=12x+2或y=-12x﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【变式11-2】（2020春•齐齐哈尔期末）某一次函数，当其自变量x的取值范围是﹣3≤x≤﹣1，它对应的函数值y的取值范围是4≤y≤6，求这个一次函数解析式？
【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x＝﹣3，y＝4；x＝﹣1，y＝6代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的增大而减小，把x＝﹣3，y＝6；x＝﹣1，y＝4代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
①当k＞0时，把x＝﹣3，y＝4；x＝﹣1，y＝6代入一次函数的解析式y＝kx+b，
得-3k+b=4-k+b=6，解得k=1b=7，
则这个函数的解析式是y＝x+7；
②当k＜0时，把x＝﹣3，y＝6；x＝﹣1，y＝4代入一次函数的解析式y＝kx+b，
得-3k+b=6-k+b=4，解得k=-1b=3，
则这个函数的解析式是y＝﹣x+3．
综上，所求一次函数解析式为：y＝x+7或y＝﹣x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，进行分类讨论是解题的关键．
【变式11-3】（2020春•桥东区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（　　）
A．y=-12x+2 B．y＝﹣2x+4
C．y=23x+16 D．y=-12x+2或y＝﹣2x+4
【分析】首先根据题意设A（x，0），B（0，y），再根据“OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，”可得方程组12xy=4x+y=6，再解出x、y的值，进而得到A、B两点坐标．然后再利用待定系数法求出一次函数解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．
∴设A（x，0），B（0，y），
∵OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，
∴12xy=4x+y=6，
解得：x=2y=4或x=4y=2，
∴A（2，0）、B（0，4）或A（4，0）、B（0，2），
当A（2，0）、B（0，4）时0=2k+bb=4，解得b=4k=-2，
当A（4，0）、B（0，2）时，0=4k+bb=2，解得k=-12b=2，
∴这个一次函数的解析式为y=-12x+2或y＝﹣2x+4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是根据题意计算出一次函数图象所经过的点的坐标．
【考点12 一次函数与一元一次方程】
【方法点拨】一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【例12】（2020春•香坊区期末）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为　 ．

【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出方程的解即可．
【解答】解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3），
∴﹣2m＝3，
解得：m=-32，
则关于x的方程kx+b+2x＝0可以变形为kx+b＝﹣2x，
由图象得：kx+b＝﹣2x的解为x=-32．
故答案为x=-32
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定方程的解．
【变式12-1】（2019秋•常州期末）如图，已知一次函数y＝kx﹣b与y=13x的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（k-13）x＝b的解x＝　 　．

【分析】把A（a，1）代入y=13x求出a，根据A点的横坐标，即可求出答案．
【解答】解：把A（a，1）代入y=13x得：1=13a，
解得a＝3，
∴A（3，1），
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b=13x的解为3，
∴关于x的方程（k-13）x＝b的解为x＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．
【变式12-2】（2020•吴江区二模）若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+3＝0的解为（　　）
A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝5
【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系可得kx+3＝0的解是x＝﹣2，进而可得x﹣5＝﹣2，然后可得x的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），
∴kx+3＝0的解是x＝﹣2，
∴x﹣5＝﹣2，
则x＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【变式12-3】（2020•南安市校级自主招生）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4
【分析】首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的x值，则由直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），可得交点横坐标为x=bm-a=2；其次，通过解一元一次方程ax﹣b＝mx，得x=-bm-a，则x=-bm-a=-2，即可得解．
【解答】解：∵y=ax+by=mx，
∴ax+b＝mx，
解得x=bm-a，
∵直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），
∴bm-a=2，
由ax﹣b＝mx，得x=-bm-a，
∴x=-bm-a=-2，
∴关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为：x＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是明确题意，掌握一次函数的图象与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解．
【考点13 一次函数与一元一次不等式】
【方法点拨】一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【例13】（2020春•寿光市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（　　）

A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【分析】由一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b+3＜0的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），
∴x＝4时，kx+b＝﹣3，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式kx+b+3＜0的解集是x＞4．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式13-1】（2020•徐州一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则不等式kx﹣x＜a﹣b的解集是（　　）

A．x＜3 B．x＞3 C．x＜a+b D．x＞a﹣b
【分析】利用函数图象，写出直线y1在直线y2下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：结合图象，当x＞3时，y1＜y2，即kx+b＜x+a，
所以不等式kx﹣x＜a﹣b的解集为x＞3．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
【变式13-2】（2019秋•南浔区期末）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（　　）

A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
【分析】先根据一次函数的性质得到a＞0，再把A（4，0）代入y＝ax+b得b＝﹣4a，把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝﹣2a，把B（2，n）代入y＝mx得m＝﹣a，则不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，然后解不等式组即可．
【解答】解：直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，则a＞0，
把A（4，0）代入y＝ax+b得4a+b＝0，则b＝﹣4a，
把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝2a+b＝2a﹣4a＝﹣2a，
把B（2，n）代入y＝mx得n＝2m，则m＝﹣a，
不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，
解得﹣4＜x＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式13-3】（2020春•东昌府区期末）如图所示，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【分析】先确定直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），再结合函数图象写出﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，然后找出其整数解即可．
【解答】解：当y＝0时，nx+4n＝0，解得x＝﹣4，则直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），
∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴当﹣4＜x＜﹣2时，﹣x+m＞nx+4n＞0，
即﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，
∴﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

【考点14 一次函数的应用（方案选择问题）】
【例14】（2019秋•宿松县校级期末）2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．
（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．
（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．

【分析】（1）根据收费标准写出函数表达式；
（2）利用（1）中的函数表达式，代入相关的x的值；
（3）利用（2）中的结论进行解答．
【解答】解：（1）根据题意知，y1=40(0≤x≤50)0.1x+40(x＞50)．
y2＝0.2x（x≥0）；

（2）当0≤x≤50时，y1＝40＞y2，选择方案二合算；
当x＞50时：
①y1＞y2，即0.1x+45＞0.2x，
解得x＜450，选择方案二合算；
②y1＝y2，即0.1x+40＝0.2x，
解得x＝400，选择两种方案一样合算；
③y1＜y2，即0.1x+40＜0.2x，
解得x＞450，选择方案一合算．
综上所述，当通话时间小于400分钟，选择方案二合算；当通话时间为400分钟，选择两种方案一样合算；当通话时间大于400分钟，选择方案一合算；

（3）由于500＞400，所以小明的爸爸选用通讯收费方案一合算．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，解题的关键是掌握两种不同的收费标准．
【变式14-1】（2020春•河北期末）甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克40元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（x＞10）千克，在甲采摘园所需总费用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元．
（1）求y1、y2关于x的函数解析式；
（2）当采摘多少千克草莓时，在甲、乙两采摘园所需费用相同？如果你是游客你会如何选择采摘园？
【分析】（1）根据题意，可以写出y1、y2关于x的函数解析式；
（2）根据题意，可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝50+40x×0.6＝24x+50，
y2＝40×10+（x﹣10）×40×0.5＝20x+200，
即y1关于x的函数解析式是y1＝24x+50，y2关于x的函数解析式是y2＝20x+200；
（2）当24x+50＝20x+200时，得x＝37.5，即当采摘量等于37.5千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；
当24x+50＞20x+200时，得x＞37.5，即当采摘量超过37.5千克时，选择乙采摘园；
当24x+50＜20x+200时，得x＜37.5，即当采摘量超过10千克且少于37.5千克时，选择甲采摘园；
由上可得，当采摘量等于37.5千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；当采摘量超过37.5千克时，选择乙采摘园；当采摘量超过10千克且少于37.5千克时，选择甲采摘园．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式14-2】（2020•陕西四模）习近平在决战决胜脱贫攻坚座谈会上强调：坚决克服新冠肺炎疫情影响，坚决夺取脱贫攻坚战全面胜利.2020年是脱贫攻坚战最后一年，收官之年又遭遇疫情影响，各项工作任务更重，要求更高．某地的苹果产业成为该地农民打赢脱贫攻坚战的利器，已知该地有甲、乙两个苹果园，盛产的苹果品质相同，现两个苹果园推出了不同的销售方案，甲苹果园：不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg；乙苹果园：一次购买数量不超过50kg时，价格均为7元/kg，超过50kg，则超出部分的价格按5元/kg计．设某水果店在同一个苹果园一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（1）设在甲苹果园花费y1元，在乙苹果园花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数关系式；
（2）若该水果店计划用360元来购进苹果，则它在甲、乙哪个苹果园中购买苹果的数量较多？
【分析】（1）根据题意，可以分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以分别求得该水果店计划用360元在两个苹果园购买的苹果数量，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝6x，
当0＜x≤50，y2＝7x，
当x＞50时，y2＝50×7+（x﹣50）×5＝5x+100，
即y1关于x的函数关系式是y1＝6x，y2关于x的函数关系式是y2=7x(0＜x≤50)5x+100(x＞50)；
（2）当y1＝360时，360＝6x，
解得，x＝60；
当y2＝360时，
∵360＞50×7，
∴360＝5x+100，
解得，x＝52；
∵60＞52，
∴该水果店在甲苹果园中购买苹果的数量较多，
答：该水果店在甲苹果园中购买苹果的数量较多．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式14-3】（2020春•陆川县期末）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在九洲江堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：



甲林场
乙林场
购树苗数量
销售单价
购树苗数量
销售单价
不超过1000棵时
4元棵
不超过2000棵时
4元棵
超过1000棵的部分
3.8元棵
超过2000棵的部分
3.6元棵
购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元），y乙（元）．
（1）该村需要购买1800棵白杨树苗，如果都在甲林场购买所需费用为　 　元，如果都在乙林场购买所需费用为　 　元；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出购买1800棵白杨树苗时，在两家林场的花费；
（2）根据题意和表格中的数据，可以分别写出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法，可以得到应该选择到哪家林场购买树苗合算．
【解答】解：（1）由题意可得，
当购买1800棵白杨树苗时，
在甲林场需要花费：1000×4+（1800﹣1000）×3.8＝7040（元），
在乙林场需要花费：1800×4＝7200（元），
故答案为：7040，7200；
（2）由题意可得，
当0≤x≤1000时，y甲＝4x，y乙＝4x，
当1000＜x≤2000时，y甲＝1000×4+（x﹣1000）×3.8＝3.8x+200，y乙＝4x，
当x＞2000时，y甲＝1000×4+（x﹣1000）×3.8＝3.8x+200，y乙＝2000×4+（x﹣2000）×3.6＝3.6x+800，
由上可得，y甲=4x(0≤x≤1000且x为整数)3.8x+200(x＞1000且x为整数)；
y乙=4x(0≤x≤2000且x为整数)3.6x+800(x＞2000且x为整数)；
（3）①当0≤x≤1000时，两家林场单价一样，因此到两林场购买所需要费用都一样；
②当1000＜x≤2000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，故当1 000＜x≤2 000时，到甲林场购买合算；
③当x＞2000时，y甲＝3.8x+200，y乙＝3.6x+800，y甲﹣y乙＝3.8x+200﹣（3.6x+800）＝0.2x﹣600，
当y甲＝y乙时，0.2x﹣600＝0，解得x＝3000．
∴当x＝3000时，到两林场购买所需要费用都一样；
当y甲＜y乙时，0.2x﹣600＜0，解得x＜3000．
∴当2000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；
当y甲＞y乙时，0.2x﹣600＞0，解得x＞3000，
∴当x＞3000时，到乙林场购买合算；
综上所述，当0≤x≤1000或x＝3000时，到两林场购买所需要费用都一样；当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；当x＞3000时，到乙林场购买合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的思想解答．
【考点15 一次函数的应用（最大利润问题）】
【例15】（2020春•裕华区校级期末）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，获利情况如表格所示．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台（能够全部售出），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
型号
每台获利（元）
A型
120
B型
140
（1）求y与x的关系式；
（2）若B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，则该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
（3）因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的关系式；
（2）根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大；
（3）根据题意，可以写出销售总利润与x、m的关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，
即y与x的函数关系式为y＝﹣20x+14000；
（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100﹣x≤3x，
解得，x≥25，
∵y＝﹣20x+14000，k＝﹣20，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y取得最大值，此时100﹣x＝75，
答：商店购进A型、B型电脑分别为25台、75台时，才能使销售利润最大；
（3）由题意可得，
y＝（120+m）x+140（100﹣x）＝（120+m﹣140）x+14000＝（m﹣20）x+14000，
∵因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，
∴m＞0且m﹣20＜0，
解得，0＜m＜20，
即m的取值范围是0＜m＜20．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式15-1】（2020春•樊城区校级月考）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值．
【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
【解答】解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；

（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥1003，
∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；

（3）据题意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，
当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
【变式15-2】（2020•碑林区校级模拟）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：
品种
种植成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
设备成本（万元/亩）
A
1.5
3.5
0.2
B
2
4.3
0.3
设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种木耳种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（3.5﹣1.5﹣0.2）x+（4.3﹣2﹣0.3）×（3﹣x）＝﹣0.2x+6，
即y与x的函数关系式为y＝﹣0.2x+6；
（2）∵A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，
∴x≥1.5（3﹣x），
解得，x≥1.8，
∵y＝﹣0.2x+6，k＝﹣0.2，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1.8时，y取得最大值，此时y＝5.64，
答：种植A品种木耳种植1.8亩时利润最大，最大利润是5.64万元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式15-3】（2020春•永城市期末）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）①根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
②根据B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得该商场应怎样进货才能使销售总利润最大．
【解答】解：（1）设每台A型加湿器的销售利润为a元，每台B型加湿器的销售利润为b元，
10a+20b=250020a+10b=2000，得a=50b=100，
即每台A型加湿器的销售利润为50元，每台B型加湿器的销售利润为100元；
（2）①由题意可得，
y＝50x+100（100﹣x）＝﹣50x+10000，
即y关于x的函数关系式是y＝﹣50x+10000；
②∵B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得，x≥3313，
∵y＝﹣50x+10000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，此时100﹣x＝66，
答：商场购进34台A型加湿器和66台B型加湿器的销售总利润最大．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【考点16 一次函数的应用（调配问题）】
【例16】（2020春•南岗区校级月考）A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，如果从A城运往牛家村、红旗村运费分别是20元/吨与30元/吨，从B城运往牛家村、红旗村运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知牛家村需要220吨化肥，红旗村需要280吨化肥．
（1）如果设从A城运往牛家村x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）．
（2）如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
【分析】（1）设从A城运往牛家村x吨化肥，用含x的代数式分别表示出从A运往运往红旗村的肥料吨数，从B城运往牛家村化肥吨数，及从B城运往红旗村化肥吨数，然后根据：运费＝运输吨数×运输费用，即可得到所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以得到怎样调运花钱最少，然后再求出最少运费即可．
【解答】解：（1）∵从A城运往牛家村 x 吨化肥，
∴从A城运往红旗村（200﹣x）吨化肥，
从B城运往牛家村化肥（220﹣x）吨，则从B城运往红旗村280﹣（200﹣x）＝（80+x）吨，
∴y＝20x+30（200﹣x）+15（220﹣x）+22（80+x）＝﹣3x+11060（0≤x≤200）；
（2）由于y＝﹣3x+11060是一次函数，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x≤200，
∴当x＝200时，运费最少，最少运费是10460元，
∴当从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，从B城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元，
答：从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，从B城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
【变式16-1】（2020春•海勃湾区期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液广宁需要6吨，怀柔需要8吨，正好端州储备有10吨，四会储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往广宁和怀柔，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨）设从端州调运x吨到广宁．
起点\终点
广宁
怀柔
端州
60
100
四会
35
70
（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？
【分析】（1）设从端州调运x吨到广宁，则从端州调运（10﹣x）吨到怀柔，从四会调运（6﹣x）吨到广宁，从四会调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨到怀柔，根据总运费＝每吨的运费×运输重量，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）由从四会调运到广宁及从四会调运到怀柔消毒液的重量非负，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设从端州调运x吨到广宁，则从端州调运（10﹣x）吨到怀柔，从四会调运（6﹣x）吨到广宁，从四会调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨到怀柔，
依题意，得：y＝60x+100（10﹣x）+35（6﹣x）+70（x﹣2）＝﹣5x+1070．
（2）依题意，得：6-x≥0x-2≥0，
解得：2≤x≤6．
∵在一次函数y＝﹣5x+1070中，k＝﹣5＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x＝6时，y取得最小值，最小值＝﹣5×6+1070＝1040，
∴从端州调运6吨到广宁，从端州调运4吨到怀柔，从四会调运4吨到怀柔时，总运费最低，最低运费为1040元．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【变式16-2】（2020春•舒兰市期末）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援．当吉林市疫情严重时，急需大量医疗防护物资．现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t．现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t．现C市需要物资240t，D市需要物资260t．若设从A城往C市运xt．请回答下列问题：
（1）用含x的式子表示从A往D市运物资的数量为t，从B往C市运物资的数量为t，从B往D市运物资的数量为t（写化简后的式子）．
（2）求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？
【分析】（1）从A城往C市运xt．根据题意则可得运往D市（200﹣x）吨；从B运往C、D市的分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨；
（2）根据（1）中所求以及每吨运费从而可得出y与x大的函数关系；x可取0至200之间的任何数，利用函数增减性求出即可．
【解答】解：（1）用含x的式子表示从A往D市运 （ 200﹣x ）t，
从B往C市运 （240﹣x）t，
从B往 D市运 （60+x）t，
（2）设总运费为W元，则有
W＝20x+25（ 200﹣x ）+15（240﹣x）+24（60+x）
＝4x+10040，
∵0≤x≤200，W随x的增大而增大，
∴当x＝0时，W有最小值，
即从A往D调200t，从B往D调60t，从B往C调240t时，总运费最少为10040元．
【点评】此题主要考查了一次函数应用，根据已知得出A城和B城运往各地的物资吨数是解题关键．
【变式16-3】（2020春•防城港期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城．
终点
起点
甲城
乙城
A地
100
120
B地
110
95
（1）根据题意，应从B地调运　 　吨消毒液给甲城，从B地调运　 　吨消毒液给乙城；（结果请用含x的代数式表示）
（2）求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以解答本题；
（2）根据题意，可以得到y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）根据题意，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总运费最低的调运方案，然后计算出最低运费．
【解答】解：（1）由题意可得，
从A地调运x吨消毒液给甲城，则调运（10﹣x）吨消毒液给乙城，从B地调运（7﹣x）吨消毒液给甲城，调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨消毒液给乙城，
故答案为：（7﹣x），（x﹣2）；
（2）由题意可得，
y＝100x+120（10﹣x）+110（7﹣x）+95（x﹣2）＝﹣35x+1780，
∵x≤77-x≤5，
∴2≤x≤7，
即总运费y关于x的函数关系式是y＝﹣35x+1780（2≤x≤7）；
（3）∵y＝﹣35x+1780，
∴y随x的增大而减小，
∵2≤x≤7，
∴当x＝7时，y取得最小值，此时y＝1535，
即从A地调运7吨消毒液给甲城时，总运费最低，运费最低为1535元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【考点17 一次函数的应用（行程问题）】
【例17】（2020春•历下区期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）客车的速度是　 　千米/小时，出租车的速度是　 　千米小时；
（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式；
（3）求两车相遇的时间．

【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，列式进行计算即可得解；
（2）根据两函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）根据y1＝y2列等式，求出即可．
【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km，
所以，客车速度=60010=60（km/h），
出租车速度=6006=100（km/h），
故答案为：60，100；

（2）设客车的函数关系式为y1＝k1x，则10k1＝600，
解得k1＝60，
所以，y1＝60x（0≤x≤10），
设出租车的函数关系式为y2＝k2x+b，
则6k2+b=0b=600，
解得k2=-100b=600，
所以，y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；

（3）当出租车与客车相遇时，60x+100x＝600，
解得x=154．
所以两车相遇的时间为145小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的求法；主要根据待定系数法求一次函数解析式，根据图象准确获取信息是解题的关键．
【变式17-1】（2020春•海珠区期末）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？

【分析】（1）由图可知，甲、乙两同学登山过程中路程s与时间t都成正比例函数，分别设为S甲＝k1t，S乙＝k2t，用待定系数法可求解．
（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可；
②把y＝4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可．
【解答】解：（1）设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲＝k1t，S乙＝k2t
由题意，得2＝4k1，2＝6k2
∴k1=12，k2=13，
∴解析式分别为S甲=12t，S乙=13t；

（2）①当y＝4﹣0.75时，13t=4-0.75，
解得t=394，
∴点F（394，134），
甲到山顶所用时间为：4÷12=8（小时）
由题意可知，点D坐标为（9，4），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，
则：9k+b=4394k+b=134，解答k=-1b=13，
∴甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：4÷4÷13=12（小时），
当x＝12时，s＝﹣12+13＝1，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝3（千米）．
【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．
【变式17-2】（2020春•双流区期末）某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达最点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的图象如图所示：
（1）甲步行的速度为　 　米/分，乙步行时的速度为　 　米/分；
（2）分别写出甲游客从景点A出发步行到景点C和乙游客乘景区观光车时y与x之间的关系式；
（3）问乙出发多长时间与甲在途中相遇？

【分析】（1）由图象得相应的路程和时间，利用路程除以时间得速度；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）甲步行的速度为：5400÷90＝60（米/分）；
乙步行的速度为：（5400﹣3000）÷（90﹣60）＝80（米/分）．
故答案为：60，80；

（2）设甲的函数解析式为：y＝kx，将（90，5400）代入得k＝60，
∴y＝60x．
根据题意，设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（20，0），（30，3000）代入得：
20k+b=030k+b=3000，解得：k=300b=-6000，
∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣6000（20≤x≤30）；

（3）由y=60xy=300x-6000得x＝25，即甲出发25分钟与乙第一次相遇，即乙发5分钟与乙第一次相遇；
在y＝60x中，令y＝3000得：x＝50，此时甲与乙第二次相遇．
∴乙发5分钟和30分钟与乙两次在途中相遇．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及行程问题的基本关系．本题难度中等．
【变式17-3】（2020•鸡西）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是　 　千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．

【分析】（1）利用图中信息解决问题即可．
（2）利用待定系数法解决问题即可．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意，甲的速度为4808=60千米/小时．乙的速度为80千米/小时，
48080=6（小时），4+6＝10（小时），
∴图中括号内的数为10．
故答案为：60．

（2）设线段MN所在直线的解析式为 y＝kt+b （ k≠0 ）．
把点M（4，0），N（10，480）代入y＝kt+b，
得：4k+b=010k+b=480，
解得：k=80b=-320．
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝80t﹣320．

（3）（480﹣460）＝20，
20÷60=13（小时），
或60t﹣480+80（t﹣4）＝460，
解得t＝9，
答：甲车出发13小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
【考点18 一次函数的综合应用】
【例18】（2020•河北模拟）如图，直线l1的解析式为y=12x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
【解答】解：（1）设l2的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：4k+b=0-k+b=5，解得k=-1b=4，
则函数的解析式是：y＝﹣x+4；

（2）在y=12x+1中令y＝0，
即y=12x+1＝0，解得：x＝﹣2，
则D的坐标是（﹣2，0）．
解方程组y=-x+4y=12x+1，解得x=2y=2，
则C的坐标是（2，2）．
则S△ADC=12×AD×yC=12×6×2＝6；

（3）存在，理由：
设C（2，2）关于y轴的对称点C′（2，﹣2），
连接BC′交x轴于点E，则点E为所求点，

△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′为最小，
设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则2m+n=-2-m+m=5，解得：m=-73n=83，
则直线的解析式是y=-73x+83，
令y＝0，则y=-73x+83=0，解得：x=87．
则E的坐标是（87，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及对称的性质，正确确定E的位置是本题的关键．
【变式18-1】（2020春•洛阳期末）如图，一次函数y1=54x+n与x轴交于点B，一次函数y2=-34x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，-74）．
（1）则点B的坐标为　 　，点C的坐标为　 　；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞125，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y＝0和x＝0，可得B、C点坐标；
（2）根据面积的和差，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分情况讨论，注意是在y轴的右侧，有三个符合条件的点M，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M的坐标．
【解答】解：（1）将D（1，-74）代入y=54x+n，解得n＝﹣3，
即y=54x﹣3，当y＝0时，54x﹣3＝0．
解得x=125，
即B点坐标为（125，0）；
将（1，-74）代入y=-34x+m，解得m＝﹣1，
即y=-34x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1．
即C点坐标为（0，﹣1）；
故答案为：（125，0），（0，﹣1）；

（2）如图1，

S△BDP=12（t-125）×|-74|=78t-2110，
当y＝0时，-34x﹣1＝0，解得x=-43，即E点坐标为（-43，0），
S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE=12（t+43）×74-12×（t+43）×|﹣1|=38t+12，
由△BDP和△CDP的面积相等，
得：78t-2110=38t+12，
解得t＝5.2；

（3）以CP为腰作等腰直角△CPM，有以下两种情况：
①如图2，当以点C为直角顶点，CP为腰时，

点M1在y轴的左侧，不符合题意，
过M2作M2A⊥y轴于A，
∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，
∴∠ACM2＝∠OPC，
∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，
∴△POC≌△CAM2（AAS），
∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，
∴M2（1，﹣6.2）；
②如图3，当以点P为直角顶点，CP为腰时，

过M4作M4E⊥x轴于E，
同理得△COP≌△PEM4，
∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，
∴M4（6.2，﹣5.2），
同理得M3（4.2，5.2）；
综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．
【点评】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t的方程是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出对应边相等是解题关键．
【变式18-2】（2020春•柳州期末）如图，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）直接写出点A的坐标　 　，点B的坐标　 　．
（2）求证△ABC是等腰直角三角形．
（3）若直线AC交x轴于点M，点P（-52，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）作CD⊥x轴于点D，证明△CDB≌△BOA（SAS）即可解决问题．
（3）求出点P的坐标，利用面积法求出BN的长即可解决问题．
【解答】（1）解：对于直线y＝2x+2，令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x＝﹣1，
∴A（0，2），B（﹣1，0）．
故答案为A（0，2），B（﹣1，0）．

（2）证明：作CD⊥x轴于点D，
由题意可得 CD＝1，OD＝3，OB＝1，OA＝2，
∴CD＝OB＝1，BD＝OA＝2，
∵∠CDB＝∠AOB＝90˚，
∴△CDB≌△BOA（SAS）
∴BC＝BA，∠CBD＝∠BAO，
∵∠ABO+∠BAO＝90˚，
∴∠ABO+∠CBD＝90˚，
即∠ABC＝90˚，
∴△ABC是等腰直角三角形．

（3）解：∵P（-52，k）在直线BC：y=-12x-12上，
∴P(-52，34)，
∵直线AC：y=13x+2交x轴于M，
∴M（﹣6，0），
∵S△BCM=12×5×1=52，
假设存在点N，使直线PN平分△BCM的面积，
则S△BPN=12⋅BN⋅34=12×52，
∴BN=103
∴ON＝BN+OB=103+1=133，
∴N(-133，0)．

【点评】本题考查属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式18-3】（2019秋•南浔区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．

（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；
（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．
【分析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k=-43，即可求解；
（2）证明△CDF≌△DEG（AAS），则CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，OG＝4+m，则E（4+m，m﹣3）；
（3）过点O作直线l的对称点O′，连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，即可求解．
【解答】解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，
得6k+8＝0，解得：k=-43，
∴y=-43x+8，
把x＝3代入，得y＝4，
∴C（3，4）；

（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，

∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，
∴△CDF≌△DEG（AAS）
∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，
∴OG＝4+m，
∴E（4+m，m﹣3）；

（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，
设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），
过点O作直线l的对称点O′，
∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），
连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，
OC是常数，
△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，
由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y=-114x+494
联立y=x-7y=-114x+494，
解得：x=7715y=-2815，
故：E(7715，-2815)．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大．