江苏省连云港市2020-2021学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省连云港市2020-2021学年高一上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（　　）
A．∃x∉R，x2+2x+1＞0 B．∃x∈R，x2+2x+1＜0
C．∀x∉R，x2+2x+1＞0 D．∀x∈R，x2+2x+1＞0
2．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0}
3．cos（﹣）＝（　　）
A． B． C． D．
4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（　　）
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：
x
1
2
3
4
5
8
y
0.5
1.5
2.08
2.5
2.82
3.5
在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx C．y＝a+logbx D．y＝a+
7．函数f（x）＝•sinx的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sinx+1）|≤1的解集为（　　）
A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}
B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}
C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}
D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}
二、选择题（共4小题）.
9．下列结论正确的是（　　）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2
C．若a＞b＞0，则＞ D．若a＜|b|，则a2＜b2
10．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（　　）
A．lgx+lgy＝lg（x+y） B．lg＝lgx﹣lgy
C．logxnym＝logxy D．lgx＝
11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　）

A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2
12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（　　）
A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）
B．f（x）在定义域上为奇函数
C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0
D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）
三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）
13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝　 　．
14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是　 　．
15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是　 　．
16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•ekt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝　 　；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为　 　．
（参考数据：log52≈0.43）
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．
18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣asinx﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．
21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．

22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．
（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；
（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．


参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（　　）
A．∃x∉R，x2+2x+1＞0 B．∃x∈R，x2+2x+1＜0
C．∀x∉R，x2+2x+1＞0 D．∀x∈R，x2+2x+1＞0
解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x2+2x+1＞0，
故选：D．
2．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0}
解：∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，
∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．
故选：B．
3．cos（﹣）＝（　　）
A． B． C． D．
解：cos（﹣）＝cos＝cos（2）＝cos＝．
故选：D．
4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（　　）
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
解：设同时爱好这两项的人最少有a人，
作出韦恩图：

∵某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，
∴22﹣a+a+28﹣a＝45，
解得a＝5．
故选：B．
5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
解：∵30.2＞30＝1，log30.3＜log31＝0，0＜0.30.2＜0.30＝1，
∴b＜c＜a．
故选：D．
6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：
x
1
2
3
4
5
8
y
0.5
1.5
2.08
2.5
2.82
3.5
在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx C．y＝a+logbx D．y＝a+
解：由表格中数据作出散点图：

由图可知，y是关于x的增函数，且递增的比较缓慢，
故选：C．
7．函数f（x）＝•sinx的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sinx）＝•sinx＝f（x），
则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，
由f（x）＝0得x＝0或sinx＝0，即x＝π是右侧第一个零点，
当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除B，
故选：A．
8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sinx+1）|≤1的解集为（　　）
A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}
B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}
C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}
D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}
解：由已知得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，
则不等式|f（2sinx+1）|≤1，即﹣1≤f（2sinx+1）≤1，即f（0）≤f（2sinx+1）≤f（3），
又因为函数f（x）是定义在R上的增函数，
所以0≤2sinx+1≤3，即﹣≤sinx≤1，
结合正弦函数的图象，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．
故选：D．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
9．下列结论正确的是（　　）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2
C．若a＞b＞0，则＞ D．若a＜|b|，则a2＜b2
解：对于A：若c＞0时，不等式成立，当c＜0时，不等式不成立，故A错误；
对于B：由于a＞|b|，则a2＞b2，故B正确；
对于C：由于a＞b＞0，则＞，故C正确；
对于D：当a＝﹣5，b＝1时，不等式不成立，故D错误；
故选：BC．
10．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（　　）
A．lgx+lgy＝lg（x+y） B．lg＝lgx﹣lgy
C．logxnym＝logxy D．lgx＝
解：由x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，得：
对于A，lgx+lgy＝lg（xy）≠lg（x+y），故A错误；
对于B，lg＝lgx﹣lgy，故B正确；
对于C，logxnym＝＝＝logxy，故C正确；
对于D，lgx＝lgx＝，故D正确．
故选：BCD．
11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　）

A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2
解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜），
由题意，hmax＝6，hmin＝﹣2，
∴，解得，
∵T＝＝60，∴ω＝，则h＝4sin（+φ）+2．
当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ＝﹣，
又∵|φ|＜，∴φ＝﹣．
h＝，故D错误；
令h＝＝6，∴sin（）＝1，得t＝20秒，故A正确；
当t＝155秒时，h＝4sin（）+2＝4sin5π+2＝2米，故B正确；
当t＝50秒时，h＝4sin（）+2＝4sin+2＝﹣2，故C正确．
故选：ABC．
12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（　　）
A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）
B．f（x）在定义域上为奇函数
C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0
D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）
解：对于A，对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），
令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0，
再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，
所以f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0），故A正确；
对于B，令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x），
又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，故B错误；
对于C，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
若当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
所以当﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（﹣1）＝0，故C正确；
对于D，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＜＜1，
当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（）＜0，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
因为当0＜x＜1时，f（x）＜0，可得当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，
当x＜﹣1时，f（x）＞f（﹣1）＝0，当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，故D错误．
故选：AC．
三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）
13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝　﹣2　．
解：f（1）＝21+2＝4，
所以．
故答案为：﹣2．
14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是　[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．　．
解：由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，
可得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），
故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．
15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是　（0，）　．
解：若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，
则，解得：0＜a＜，
故答案为：（0，）．
16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•ekt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝　﹣　；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为　8　．
（参考数据：log52≈0.43）
解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，
∵P＝P0•ekt，∴（1﹣80%）P0＝P0•e4k，得0.2＝e4k，
即k＝﹣，
由0.25%P0＝P0•ekt，得0.0025＝﹣，
∴t＝＝4log5100＝8（1+log52）＝11.44．
故整数n的最小值为12﹣4＝8．
故答案为：；8．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．
解：sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α＝＝，
若选①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；
可得tan＝﹣，
原式＝＝﹣．
若选②tan（﹣α）＝，可得tanα＝，
原式＝＝﹣．
若选③3sinα+4cosα＝0，tanα＝﹣，
原式＝＝．
18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
解：A＝{x|log2（x﹣1）≤2}＝{x|log2（x﹣1）≤log24}＝{x|1＜x≤5}，B＝＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，
（1）若a＝1时，B＝[0，2]，A∪B＝[0，5]；
（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件，即B⊆A，
即，解得：2＜a≤4，
综上所述：a的取值范围（2，4]．
19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
解：（1）由题意得，y＝（6+）p﹣x﹣（10+2p），
把p＝3﹣代入得，y＝22﹣（0≤x≤10）；
（2）y＝24﹣（）≤24﹣2＝16，
当且仅当，即x＝2时取等号，
所以促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为16万元．
20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣asinx﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．
解：（1）根据题意：函数f（x）＝﹣2cos2x﹣asinx﹣a+1（a∈R），
令t＝sinx，（﹣1≤t≤1），
则g（t）＝2t2﹣at﹣a﹣1（﹣1≤t≤1），
①当时，即a≤﹣4，
f（a）＝，所以无解．
②当时，即﹣4＜a≤4，
f（a）＝，即a2+8a+12＝0，
所以a＝﹣2或a＝﹣6（舍去），
③当时，即a＞4时，
，所以a＝，（舍去），
综上所述：a＝﹣2．
（2）当a＝﹣2时，f（x）＝，
当sinx＝1时，即x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为5．
即当{x|x＝2k（k∈Z）}时，函数的最大值为5．
21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）根据题中函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得＝5﹣1，∴ω＝，
根据五点法作图，可得 ×1+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2cos（x+）．
（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
可得y＝2cos（x+）的图象；
再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x）＝2cos（x﹣）的图象，
若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，
即x∈[0，6]时，g（x）的最大值小于或等于m．
当x∈[0，6]时，x﹣∈[﹣，]，故当x﹣＝0时，g（x）取得最大值为2，
∴m≥2．
22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．
（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；
（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．
解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，
所以，
又因为y＝log2x在上为增函数，
所以，
所以在恒成立，
即对恒成立，
即3at2+3（a+1）t﹣1≥0对恒成立，
等价于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，
因为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在为增函数，
所以，
故，解得，
所以a的最小值为；
（2）方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，
即，
可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，
①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；
②当a﹣2≠0，即a≠2时，，
1°当，即时，符合题意；
2°当，即a≠﹣2且时，
要满足题意，则有或，解得；
综上可得，a的取值范围为．