2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（二）数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【分析】根据并集与补集的概念求解即可

【详解】因为，，

所以或，

所以或．

故选：C．

2．设命题，则为

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

3．若，则点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】试题分析：，故点在第四象限.

【解析】1.三角函数值得符号；2，点在平面直角坐标系中所在象限.

4．函数的最大值是（    ）

A．7 B． C．9 D．

【答案】B

【分析】函数化简得，然后利用基本不等式求解即可

【详解】由题意可得函数的定义域为，则，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以函数的最大值是，

故选：B

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的图象，可得答案.

【详解】在同一直角坐标系中画出的图象如下：

所以．

故选：A．

6．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.

7．某种汽车安全行驶的稳定性系数随使用年数的变化规律是，其中是正常数．经检测，当时，，则当稳定性系数降为时，该种汽车已使用的年数为（    ）(结果精确到1，参考数据：，)

A．10年 B．11年 C．12年 D．13年

【答案】D

【分析】根据，当时，，得即可解决.

【详解】由，得，

令，得，

两边取常用对数，得

，

所以．

故选:D.

8．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是　　

①函数f（x）的最大值为1；    ②函数f（x）的最小值为0；

③方程有无数个根；     ④函数f（x）是增函数．

A．②③ B．①②③ C．② D．③④

【答案】A

【分析】本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．

【详解】画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．

由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；

函数f(x)的最小值为0，故②正确；

函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；

函数f(x)有增有减，故④不正确．

故答案为②③．

【点睛】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．

二、多选题

9．若，，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】取特殊值，可判断A、D项；根据不等式的性质可判断B、C项.

【详解】取，，则，，显然，但是，A项错误；

因为，所以，，又，所以有，即成立，B项正确；

显然，因为，所以有，即成立，C项正确；

取，则，D项错误.

故选：BC.

10．下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是（    ）

A．  B．

C．y＝x＋cos x D．y＝

【答案】AC

【分析】判定的单调性判断选项A；求得在(0，＋∞)上的减区间否定选项B；利用导函数判定y＝x＋cos x的单调性判断选项C；求得y＝的定义域否定选项D.

【详解】∵与为R上的增函数，∴为R上的增函数，故A正确；

由，

可得在(0，＋∞)上的减区间为，

则在(0，＋∞)上不单调递增.故B不正确；

对于选项C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x在R上为增函数，故C正确；

y＝的定义域为(－∞，－2][1，＋∞)，故D不正确．

故选：AC．

11．设函数，已知在内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有（    ）

A．函数在内没有零点

B．在内有且仅有1个零点

C．在上单调递增

D．的取值范围是

【答案】BCD

【分析】利用"五点法"画出草图，再结合图像逐项分析，即可判断.

【详解】如图，由函数的草图可知A选项不正确，B选项正确；

若函数在有且有2个零点，则，得，当时，

，此时函数单调递增，故CD正确.

故选：BCD

12．关于函数有如下四个命题，其中正确的是（    ）

A．的图象关于y轴对称 B．的图象关于原点对称

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点(π，0)对称

【答案】BCD

【分析】求得的奇偶性判断选项AB；利用与是否相等判断选项C；利用与是否相等判断选项D.

【详解】∵的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，

∴为奇函数，其图象关于原点对称.故A错误，B正确；

∵

∴，∴的图象关于直线对称，故C正确；

又

，

∴，

∴的图象关于点(π，0)对称，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．已知＝－5，那么tanα＝________.

【答案】－

【分析】由已知得＝－5，化简即得解.

【详解】易知cosα≠0，由＝－5，

得＝－5，

解得tanα＝－.

故答案为：－

【点睛】本题主要考查同角的商数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．方程的解为___________．

【答案】

【分析】根据对数的运算及性质可得，且，即可求解．

【详解】由得，且，，

即，所以，解得或，

检验：当，，不满足真数大于0，故舍去，

当，，

所以方程的解为：．

故答案为：

15．设，，则“”的充要条件是__________.

【答案】

【分析】根据充要条件的概念求解即可.

【详解】解：因为，，若，则，即；

若，则，

所以“”的充要条件是“”.

故答案为：

16．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟.(参考数据：ln 3≈1.1)

【答案】22

【分析】解方程50＝30＋(90－30)e－0.05t即得解.

【详解】解：由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，

∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，

∴e－0.05t＝，

∴－0.05t＝ln ，

∴0.05t＝ln 3，

∴t＝＝20×ln 3≈22.

故答案为：22

四、解答题

17．已知集合，集合．

(1)求；

(2)设，若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，或，

(2)

【分析】（1）根据集合的运算，画数轴解决即可；（2）根据集合的并集，画数轴解决即可.

【详解】（1）由题得，集合，集合

所以或，

所以.

（2）由（1）得或

由题得，，

因为，

所以，解得．

所以实数的取值范围是．

18．（1）已知，若是第二象限角，求的值；

（2）计算：．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）将平方求得，再求的值，根据角所在象限可得结果；

（2）直接利用指数与对数运算求解即可.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以．

又因为是第二象限角，所以，，所以．

（2）．

19．函数是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求函数在的解析式；

（2）当时，若，求实数m的值．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；

（2），有，解方程即可得解.

【详解】（1）令，则，

由，此时；

（2）由，，

所以，

解得或或（舍）.

20．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.

（1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；

（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算.

【答案】（1）5， ；（2）乙的购物比较经济合算 .

【分析】（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，再分别计算甲、乙的平均价格即可.

（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.

【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，                      

所以甲两次购买这种物品平均价格为，，

乙两次购买这种物品平均价格为，.

（2）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，

所以甲两次购买这种物品平均价格为，，

乙两次购买这种物品平均价格为，

，

所以乙的购物比较经济合算.

21．若不等式的解集是．

(1)解不等式；

(2)b为何值时，的解集为R．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可，

（2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围

【详解】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，

所以不等式化为，，

解得或，

所以不等式的解集为或

（2）由（1）可知的解集为R，

所以，解得，

所以的取值范围为

22．在①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，______.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的单调递增区间.

【答案】（1）选条件①②③任一个，均有；（2）选条件①②③任一个，函数在上的单调递增区间均为，.

【解析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为，得到；再选择一个条件求解出；

（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间.

【详解】解： 函数的图象相邻对称轴间的距离为，，，

.

方案一：选条件①

为奇函数，，

解得：，.

（1），，；

（2）由，，

得，，

令，得，令，得，

函数在上的单调递增区间为，；

方案二：选条件②

，，

，或，，

（1），，；

（2）由，，

得，，

令，得，令，得，

函数在上的单调递增区间为，；

方案三：选条件③

是函数的一个零点，，

，.

（1），，；

（2）由，，得，

令，得，令，得.

函数在上的单调递增区间为，

【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解的值，即要找出周期，求常见方法是代入一个点即可.