高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课后测评

第三章章末检测

班级____　姓名____　考号____　分数____

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为(　　)

A．－  B.

C.      D．1

答案：B

解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝.

2．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于(　　)

A．－  B．－

C.       D.

答案：B

解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.

3．已知M＝，N＝，则(　　)

A．M＝N  B．M⊆N

C．N⊆M  D．M∩N＝∅

答案：B

解析：由cos2x＝1－2sin2x＝，得sinx＝±，故选B.

4．已知sin＝－，cos＝，则角θ终边所在象限是(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案：C

解析：∵sinθ＝2sincos＝－<0，cosθ＝cos2－sin2＝－<0，∴θ终边在第三象限．

5．函数f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

答案：D

解析：∵f(x)＝lg (sin2x－cos2x)＝lg (－cos2x)，∴－cos2x>0，∴cos2x<0，∴2kπ＋<2x<2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.

6．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为(　　)

A.  B．(0,0)

C.  D.

答案：C

解析：由条件得f(x)＝sin，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，故f(x)＝sin.将x＝－代入得函数值为0.

7．tan20°＋tan40°＋(tan20°＋tan40°)等于(　　)

A.  B．1

C.  D.

答案：C

解析：tan60°＝，

∴－tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，

∴tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.

8．关于x的方程sinx＋cosx－a＝0有实数解，则实数a的范围是(　　)

A．[－2,2]  B．(－2,2)

C．(－2,0)  D．(0,2)

答案：A

解析：sinx＋cosx－a＝0，∴a＝sinx＋cosx

＝2＝2sin，－1≤sin≤1，∴－2≤a≤2.

9．若α，β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于(　　)

A.         B.

C.或  D．－

答案：B

解析：cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，

∵α为锐角cosα＝ ＝，

∴sin(α＋β)＝＜sinα，∴α＋β＞.

∴cos(α＋β)＝－ ＝－，

∴cosβ＝－×＋×＝.

10．函数y＝sin＋cos的图象的一条对称轴方程为(　　)

A．x＝π   B．x＝π

C．x＝－π  D．x＝－

答案：C

解析：y＝sin＋cos＝2sin，

又f＝2sin

＝2sin＝－2，

∴x＝－π为函数的一条对称轴．

11．已知θ为第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于(　　)

A.  B．－

C.      D．－

答案：A

解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，知sin2θcos2θ＝，又θ为第三象限角，

∴sinθ·cosθ＝，sin2θ＝.

12．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2和g(x)＝cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为(　　)

A.  B.

C．2  D．3

答案：D

解析：f(x)＝1－cos＝1＋sin2x.

|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|1＋sin2a－cos2a|＝|2sin＋1|≤3.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．coscosπ的值是________．

答案：

解析：原式＝·2sincos·cos＝·2sincosπ＝sinπ＝.

14．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．

答案：－

解析：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝＋cosα，

∴2＋cos2α＝1，∴2cos2α＋cosα－＝0，

∴cosα＝，

∵α∈，∴cosα>0，

∴cosα＝，∴sinα＝＋cosα＝，

∴＝＝－(sinα＋cosα)＝－＝－.

15．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为________．

答案：

解析：∵cosα＝，α∈，

∴sinα＝，∴sin2α＝，cos2α＝－.

又cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝.

∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]

＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)

＝×＋×＝.

16．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于________．

答案：－

解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴cosθ＋sinθ＝0，∴tanθ＝－.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)已知＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．

解：∵＝＝3，∴tanα＝2，

∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，

∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.

18．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．

解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，

∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，

∴|a－b|＝

＝＝，

∴cos(α－β)＝.

19．(12分)已知函数f(x)＝－2 sin2x＋sin2x＋.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；

(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

解：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin2x

＝sin2x＋cos2x＝2sin，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.

(2)列表：

描点连线得图象，如图所示．

20．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.

(1)求sinθ和cosθ的值；

(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．

解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.

∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝.

∵θ∈，∴cosθ＝，sinθ＝.

(2)解法一：由sin(θ－φ)＝得，

sinθcosφ－cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ－，

∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2 cosφ＋＝1⇒5cos2φ－2 cosφ－＝0.

解得cosφ＝或cosφ＝－，

∵0<φ<，∴cosφ＝.

解法二：∵0<θ，φ<，∴－<θ－φ<.

所以cos(θ－φ)＝＝.

故cosφ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)

＝×＋×＝.

21．(12分)已知函数f(x)＝sinx＋cos(x－π)．

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

(2)若函数f(x)的图象过点，<α<，求f的值．

解：(1)由题意得，f(x)＝sinx＋cos(x－π)＝sinx－cosx＝2sin，因为－1≤sin≤1，所以函数f(x)的值域为[－2,2]，函数f(x)的周期为2π.

(2)因为函数f(x)过点，

所以f(α)＝⇒2sin＝⇒

sin＝，因为<α<，

所以0<α－<⇒cos>0⇒cos＝＝，

所以f＝2sinα＝2sin

＝2sincos＋2cossin⇒f＝.

22．(12分)在△ABC中，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB.

(1)若f(B)＝2，求角B；

(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)f(B)＝4cosB·＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB

＝sin2B＋cos2B＝2sin.

∵f(B)＝2，∴2sin＝2.

∵B是△ABC的内角，

∴2B＋＝，则B＝.

(2)若f(B)－m>2恒成立，

即2sin>2＋m恒成立．

∵0<B<π，∴<2B＋<π，

∴2sin∈[－2,2]，

∴2＋m<－2，即m<－4.