高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积同步测试题

第25课时　平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角

1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算．

2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直．

3．能运用数量积的坐标求出两个向量夹角的余弦值．

1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

2．若有向线段，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|＝；若＝(x，y)，则||＝.

3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

4．两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求两向量的夹角θ的公式为

cosθ＝.

一、选择题

1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是(　　)

A．±2   B．0

C．－2  D．2

答案：B

解析：由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.

2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为(　　)

A.     B．3

C．－  D．－3

答案：D

解析：向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.

3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为(　　)

A．－  B．0

C．3    D.

答案：C

解析：∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.

4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为(　　)

A．直角三角形  B．锐角三角形

C．钝角三角形  D．不等边三角形

答案：C

解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，

∴＝(1,1)，＝(－4,3)，

cosA＝＝＝－＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．

5．若向量a＝(x＋1,2) 和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝(　　)

A.  B.

C.   D.

答案：C

解析：由题意得，－(x＋1)－2×1＝0

得x＝－3.故a＋b＝(－1,1)．

∴|a＋b|＝＝

6．如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝(　　)

A．－  B.

C．－  D.

答案：A

解析：因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.

由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，

所以p·(b－a)

＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)

＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)

＝－(|a|2＋|b|2－2a·b)

＝－(1＋1－0)

＝－.

二、填空题

7．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.

答案：

解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.

8．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则·＝________.

答案：

解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，

∴，

即，

解得，∴·＝4x＝.

9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________．

答案：

解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2<0⇒(log2x＋1)(log2x－2)<0，所以－1<log2x<2，所以<x<4.

三、解答题

10．已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，

∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．

∵⊥，

∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，

即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.

∴＝(2,1)或＝.

∴存在M(2,1)或M满足题意．

11．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－<α<.

(1)若a⊥b，求α；

(2)求|a＋b|的最大值．

解：(1)由已知，得a·b＝0，

即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.

∵－<α<，∴α＝－.

(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋2sin.

∵－<α<，

∴－<α＋<，∴－<sin≤1，即1<|a＋b|2≤3＋2，∴1<|a＋b|≤1＋，

即|a＋b|的最大值为1＋.

12．若a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)

A．[0，]  B．[0，)

C．[1,2]  D．[，2]

答案：D

解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2

＝2＋2cosθ＝2(1＋cosθ)

∵θ∈，∴cosθ∈[0,1]．

∴2≤2(1＋cosθ)≤4.

∴≤|a＋b|≤2.

13．已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．

解：由题知，|a|＝2，|b|＝1，

a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.

由x⊥y得，[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，

即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0，

∴－k|a|2＋(t3－3t)b2＝0.

∵|a|＝2，|b|＝1，∴k＝.

∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.

即当t＝－2时，有最小值－.