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2021年安徽省铜陵市义安区中考数学一检试卷
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这是一份2021年安徽省铜陵市义安区中考数学一检试卷，共23页。试卷主要包含了选择题一律得0分，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年安徽省铜陵市义安区中考数学一检试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1．（4分）﹣2的倒数为（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．（4分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场成功发射“嫦娥五号”探测器，实现人类航天史上第一次在38万公里外的月球轨道上进行了无人交会对接，将数据38万公里用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×107米 B．38×107米 C．3.8×108米 D．0.38×109米
4．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，AD∥BC，则∠DAC大小为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．（4分）已知点A（a，b）和点B（a+1，b'）都在正比例函数y＝3x图象上，则b'﹣b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
6．（4分）如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移m个单位长度，使其与y＝﹣3x+6的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜2 D．m＞2
8．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（ ）
A．2 B．2 C． D．
9．（4分）如图，⊙O的弦AB与CD交于点E，点F在AB上，且FD∥BC，若∠AFD＝125°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
10．（4分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2021的面积是（ ）
A．505.5m2 B．505m2 C．504.5m2 D．506m2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）分解因式：ax2﹣4ay2＝ ．
12．（5分）如图，点A在函数y＝的图象上，AB⊥y轴于点B，S△AOB＝2.5，则k＝ ．
13．（5分）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝ ．
14．（5分）把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝，则BD＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，点E在AB边上，请用尺规作图法在AC边上求作一点F，使得FE＝FC．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（8分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
20．（10分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
六、（本题满分12分）
21．（12分）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：
频数
频率
体育
40
0.4
科技
25
a
艺术
b
0.15
其它
20
0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为 人，a＝ ，b＝ ．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
2021年安徽省铜陵市义安区中考数学一检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1．（4分）﹣2的倒数为（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：B．
2．（4分）“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】先数出单词的所有字母数，再让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．
【解答】解：“Probability”中共11个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有两种，
故其概率是；
故选：C．
3．（4分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场成功发射“嫦娥五号”探测器，实现人类航天史上第一次在38万公里外的月球轨道上进行了无人交会对接，将数据38万公里用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×107米 B．38×107米 C．3.8×108米 D．0.38×109米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：38万公里＝380000000米＝3.8×108米，
故选：C．
4．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，AD∥BC，则∠DAC大小为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据平行线的性质得出∠DAC＝∠C，即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C＝80°，
故选：D．
5．（4分）已知点A（a，b）和点B（a+1，b'）都在正比例函数y＝3x图象上，则b'﹣b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝3a，b′＝3（a+1），再将其代入（b'﹣b）中，即可求出结论．
【解答】解：∵点A（a，b）和点B（a+1，b'）都在正比例函数y＝3x图象上，
∴b＝3a，b′＝3（a+1），
∴b'﹣b＝3（a+1）﹣3a＝3．
故选：C．
6．（4分）如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，由AE＝5，DE∥BC知AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
7．（4分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移m个单位长度，使其与y＝﹣3x+6的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜2 D．m＞2
【分析】将直线y＝3x的图象向上平移m个单位可得：y＝3x+m，求出直线y＝3x+m，与直线y＝﹣3x+6的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：将直线y＝3x的图象向上平移m个单位可得：y＝3x+m
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：m＞6．
故选：B．
8．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【分析】过点A作AE⊥BC，求出AE，则可得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝2，AE＝2．
即边AD与BC之间的距离为2．
故选：B．
9．（4分）如图，⊙O的弦AB与CD交于点E，点F在AB上，且FD∥BC，若∠AFD＝125°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】先利用邻补角的定义计算出∠EFD＝55°，再根据平行线的性质得∠B＝∠EFD＝55°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数．
【解答】解：∵∠EFD+∠AFD＝180°，
∴∠EFD＝180°﹣125°＝55°，
∵FD∥BC，
∴∠B＝∠EFD＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°．
故选：B．
10．（4分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2021的面积是（ ）
A．505.5m2 B．505m2 C．504.5m2 D．506m2
【分析】由题意知OA4n＝2n，由2020÷4＝505，推出A2A2021＝+1＝1011，A2A2021∥x轴，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意知OA4n＝2n，
∵2020÷4＝505，
∴A2A2019＝+1＝1011，A2A2021∥x轴，
则△OA2A2021的面积是×1×1011＝505.5（m2），
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）分解因式：ax2﹣4ay2＝ a（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】观察原式ax2﹣4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：ax2﹣4ay2
＝a（x2﹣4y2）
＝a（x+2y）（x﹣2y）．
12．（5分）如图，点A在函数y＝的图象上，AB⊥y轴于点B，S△AOB＝2.5，则k＝ ﹣5 ．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得|k|＝2.5，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：根据题意得S△AOB＝|k|，
|k|＝2.5，
而k＜0，
所以k＝﹣5．
故答案为﹣5．
13．（5分）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝ 72° ．
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP＝∠COQ，结合图形计算即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB＝∠BOC＝72°，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OCB＝54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP＝∠QOC，
∵∠POQ＝∠BOP+∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ＝∠BOC＝72°．
故答案为：72°．
14．（5分）把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝，则BD＝ 1+ ．
【分析】过点A作AF⊥BC于F，先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝BC＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，
∴BD＝BF+DF＝1+，
故答案为：1+．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当a＝时，
原式＝
＝
＝5﹣﹣2
＝3﹣．
16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
【分析】设城中有x户人家，根据鹿的总数是100列出方程并解答．
【解答】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+＝100
解得x＝75．
答：城中有75户人家．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，点E在AB边上，请用尺规作图法在AC边上求作一点F，使得FE＝FC．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作CE的垂直平分线交AC于F点．
【解答】解：如图，点F为所作．
18．（8分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OCtan∠COB＝5．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可．
【解答】解：（1）第6个等式为：，
故答案为：；
（2）
证明：∵右边＝＝左边．
∴等式成立，
故答案为：．
20．（10分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ＝GJ＝BC＝x．构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝7米，AD＝BE＝1.5米，
在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，
∴HE＝DE＝7米．
∴BH＝EH+BE＝8.5米．
（2）作HJ⊥CG于J．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ＝GJ＝BC＝x．
在Rt△EFG中，tan60°＝，
∴＝，
∴x＝（+1），
∴GF＝x≈16.45
∴CG＝CF+FG＝1.5+16.45≈18.0米．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：
频数
频率
体育
40
0.4
科技
25
a
艺术
b
0.15
其它
20
0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为 100 人，a＝ 0.25 ，b＝ 15 ．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？
【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”求解可得；
（2）根据频数分布表即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．
【解答】解：（1）总人数为40÷0.4＝100人，
a＝25÷100＝0.25、b＝100×0.15＝15，
故答案为：100、0.25、15；
（2）补全条形图如下：
（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15＝90人．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．
（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x＝87时商场可获得最大利润．
（3）由w＝500推出x2﹣180x+7700＝0解出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得
解得k＝﹣1，b＝120．
所求一次函数的表达式为y＝﹣x+120．
（2）W＝（x﹣60）•（﹣x+120）
＝﹣x2+180x﹣7200
＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴当x＝87时，W＝﹣（87﹣90）2+900＝891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，
整理得，x2﹣180x+7700≤0，
而方程x2﹣180x+7700＝0的解为 x1＝70，x2＝110．
即x1＝70，x2＝110时利润为500元，而函数y＝﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
【分析】（1）证明△AOE≌△COD（AAS），由全等三角形的性质得出CD＝AE，OD＝OE，则可得出结论；
（2）①过点A作AE∥DC交BD于点E，由（1）得出∠ABE＝∠AEB，由折叠的性质可得出∠ABD'＝∠BAE，则BD'∥AE，可得出结论；
②过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，证明△ADE∽△BCD，得出，根据AE＝CD，DE＝2OD可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，
又∵OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，
由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，
∴∠ABD'＝∠ABD，
∴∠ABD'＝∠BAE，
∴BD'∥AE，
又∵AE∥CD
∴BD'∥CD．
②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，
∵AD'∥BC，
∴∠D'AB＝∠ABC，
由翻折可知∠D'AB＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠DAB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABD，
∴∠ABC﹣∠EAB＝∠DAB﹣∠ABD，
∴∠DBC＝∠DAE，
∵AE∥DC，
∴∠AED＝∠CDB，
∴△ADE∽△BCD，
∴，
由①知AE＝CD，OD＝EO，
∴DE＝2OD，
∴CD2＝2OD•BD．
2021年安徽省铜陵市义安区中考数学一检试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1．（4分）﹣2的倒数为（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．（4分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场成功发射“嫦娥五号”探测器，实现人类航天史上第一次在38万公里外的月球轨道上进行了无人交会对接，将数据38万公里用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×107米 B．38×107米 C．3.8×108米 D．0.38×109米
4．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，AD∥BC，则∠DAC大小为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．（4分）已知点A（a，b）和点B（a+1，b'）都在正比例函数y＝3x图象上，则b'﹣b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
6．（4分）如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移m个单位长度，使其与y＝﹣3x+6的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜2 D．m＞2
8．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（ ）
A．2 B．2 C． D．
9．（4分）如图，⊙O的弦AB与CD交于点E，点F在AB上，且FD∥BC，若∠AFD＝125°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
10．（4分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2021的面积是（ ）
A．505.5m2 B．505m2 C．504.5m2 D．506m2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）分解因式：ax2﹣4ay2＝ ．
12．（5分）如图，点A在函数y＝的图象上，AB⊥y轴于点B，S△AOB＝2.5，则k＝ ．
13．（5分）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝ ．
14．（5分）把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝，则BD＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，点E在AB边上，请用尺规作图法在AC边上求作一点F，使得FE＝FC．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（8分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
20．（10分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
六、（本题满分12分）
21．（12分）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：
频数
频率
体育
40
0.4
科技
25
a
艺术
b
0.15
其它
20
0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为 人，a＝ ，b＝ ．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
2021年安徽省铜陵市义安区中考数学一检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1．（4分）﹣2的倒数为（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：B．
2．（4分）“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】先数出单词的所有字母数，再让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．
【解答】解：“Probability”中共11个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有两种，
故其概率是；
故选：C．
3．（4分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场成功发射“嫦娥五号”探测器，实现人类航天史上第一次在38万公里外的月球轨道上进行了无人交会对接，将数据38万公里用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×107米 B．38×107米 C．3.8×108米 D．0.38×109米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：38万公里＝380000000米＝3.8×108米，
故选：C．
4．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，AD∥BC，则∠DAC大小为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据平行线的性质得出∠DAC＝∠C，即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C＝80°，
故选：D．
5．（4分）已知点A（a，b）和点B（a+1，b'）都在正比例函数y＝3x图象上，则b'﹣b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝3a，b′＝3（a+1），再将其代入（b'﹣b）中，即可求出结论．
【解答】解：∵点A（a，b）和点B（a+1，b'）都在正比例函数y＝3x图象上，
∴b＝3a，b′＝3（a+1），
∴b'﹣b＝3（a+1）﹣3a＝3．
故选：C．
6．（4分）如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，由AE＝5，DE∥BC知AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
7．（4分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移m个单位长度，使其与y＝﹣3x+6的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜2 D．m＞2
【分析】将直线y＝3x的图象向上平移m个单位可得：y＝3x+m，求出直线y＝3x+m，与直线y＝﹣3x+6的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：将直线y＝3x的图象向上平移m个单位可得：y＝3x+m
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：m＞6．
故选：B．
8．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【分析】过点A作AE⊥BC，求出AE，则可得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝2，AE＝2．
即边AD与BC之间的距离为2．
故选：B．
9．（4分）如图，⊙O的弦AB与CD交于点E，点F在AB上，且FD∥BC，若∠AFD＝125°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】先利用邻补角的定义计算出∠EFD＝55°，再根据平行线的性质得∠B＝∠EFD＝55°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数．
【解答】解：∵∠EFD+∠AFD＝180°，
∴∠EFD＝180°﹣125°＝55°，
∵FD∥BC，
∴∠B＝∠EFD＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°．
故选：B．
10．（4分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2021的面积是（ ）
A．505.5m2 B．505m2 C．504.5m2 D．506m2
【分析】由题意知OA4n＝2n，由2020÷4＝505，推出A2A2021＝+1＝1011，A2A2021∥x轴，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意知OA4n＝2n，
∵2020÷4＝505，
∴A2A2019＝+1＝1011，A2A2021∥x轴，
则△OA2A2021的面积是×1×1011＝505.5（m2），
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）分解因式：ax2﹣4ay2＝ a（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】观察原式ax2﹣4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：ax2﹣4ay2
＝a（x2﹣4y2）
＝a（x+2y）（x﹣2y）．
12．（5分）如图，点A在函数y＝的图象上，AB⊥y轴于点B，S△AOB＝2.5，则k＝ ﹣5 ．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得|k|＝2.5，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：根据题意得S△AOB＝|k|，
|k|＝2.5，
而k＜0，
所以k＝﹣5．
故答案为﹣5．
13．（5分）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝ 72° ．
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP＝∠COQ，结合图形计算即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB＝∠BOC＝72°，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OCB＝54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP＝∠QOC，
∵∠POQ＝∠BOP+∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ＝∠BOC＝72°．
故答案为：72°．
14．（5分）把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝，则BD＝ 1+ ．
【分析】过点A作AF⊥BC于F，先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝BC＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，
∴BD＝BF+DF＝1+，
故答案为：1+．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当a＝时，
原式＝
＝
＝5﹣﹣2
＝3﹣．
16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
【分析】设城中有x户人家，根据鹿的总数是100列出方程并解答．
【解答】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+＝100
解得x＝75．
答：城中有75户人家．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，点E在AB边上，请用尺规作图法在AC边上求作一点F，使得FE＝FC．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作CE的垂直平分线交AC于F点．
【解答】解：如图，点F为所作．
18．（8分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OCtan∠COB＝5．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可．
【解答】解：（1）第6个等式为：，
故答案为：；
（2）
证明：∵右边＝＝左边．
∴等式成立，
故答案为：．
20．（10分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ＝GJ＝BC＝x．构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝7米，AD＝BE＝1.5米，
在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，
∴HE＝DE＝7米．
∴BH＝EH+BE＝8.5米．
（2）作HJ⊥CG于J．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ＝GJ＝BC＝x．
在Rt△EFG中，tan60°＝，
∴＝，
∴x＝（+1），
∴GF＝x≈16.45
∴CG＝CF+FG＝1.5+16.45≈18.0米．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：
频数
频率
体育
40
0.4
科技
25
a
艺术
b
0.15
其它
20
0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为 100 人，a＝ 0.25 ，b＝ 15 ．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？
【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”求解可得；
（2）根据频数分布表即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．
【解答】解：（1）总人数为40÷0.4＝100人，
a＝25÷100＝0.25、b＝100×0.15＝15，
故答案为：100、0.25、15；
（2）补全条形图如下：
（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15＝90人．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．
（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x＝87时商场可获得最大利润．
（3）由w＝500推出x2﹣180x+7700＝0解出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得
解得k＝﹣1，b＝120．
所求一次函数的表达式为y＝﹣x+120．
（2）W＝（x﹣60）•（﹣x+120）
＝﹣x2+180x﹣7200
＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴当x＝87时，W＝﹣（87﹣90）2+900＝891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，
整理得，x2﹣180x+7700≤0，
而方程x2﹣180x+7700＝0的解为 x1＝70，x2＝110．
即x1＝70，x2＝110时利润为500元，而函数y＝﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
【分析】（1）证明△AOE≌△COD（AAS），由全等三角形的性质得出CD＝AE，OD＝OE，则可得出结论；
（2）①过点A作AE∥DC交BD于点E，由（1）得出∠ABE＝∠AEB，由折叠的性质可得出∠ABD'＝∠BAE，则BD'∥AE，可得出结论；
②过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，证明△ADE∽△BCD，得出，根据AE＝CD，DE＝2OD可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，
又∵OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，
由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，
∴∠ABD'＝∠ABD，
∴∠ABD'＝∠BAE，
∴BD'∥AE，
又∵AE∥CD
∴BD'∥CD．
②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，
∵AD'∥BC，
∴∠D'AB＝∠ABC，
由翻折可知∠D'AB＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠DAB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABD，
∴∠ABC﹣∠EAB＝∠DAB﹣∠ABD，
∴∠DBC＝∠DAE，
∵AE∥DC，
∴∠AED＝∠CDB，
∴△ADE∽△BCD，
∴，
由①知AE＝CD，OD＝EO，
∴DE＝2OD，
∴CD2＝2OD•BD．
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