山西省太原市第五中学2020届高三11月阶段性考试数学（文）试题 Word版含解析

2019-2020学年山西省太原五中高三（上）11月段考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 若，则

A. 1 B.  C. i D.

3. 下列结论错误的是

A. 命题“若p，则q”与命题“若，则”互为逆否命题
B. 命题p：，，命题q：，，则为真
C. 若为假命题，则p、q均为假命题
D. “若，则”的逆命题为真命题

A.  B.  C.  D.

5. 已知定义在R上的可导函数是偶函数，且满足 0'/>，，则不等式的解集为

A.  B.
C.  D.

6. 将函数的图象先向右平移个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到的图象，则，a的可能取值为

A.  B.  C.  D.

7. 已知等差数列的前n项和为，且，当取最大值时，n的值为

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

8. 已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且，则

A.  B.  C.  D.

10. 在中，若，记，，，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

11. 设不等式的解集为A，若，则实数a的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

12. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为
     

A.
B.
C.
D.

 

二、填空题（本大题共4小题）

13. 若，则______．
14. 已知正数a，b满足，则的最小值为______．
15. 设数列的通项公式为，且，数列的前n项和为，则______．
16. 已知函数，的解集为，若在上的值域与函数在上的值域相同，则实数a的取值范围为______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．
    求角A的大小；
    若的面积为，，求a．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知数列中，，
    求证：是等比数列，并求通项公式；
    数列满足，求数列的前n项和．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在三棱柱中，，，D为的中点，点C在平面内的射影在线段BD上．
    
    求证：平面CBD；
    若是正三角形，求三棱柱的体积．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知为偶函数，．
    求实数k的值；
    若时，函数的图象恒在图象的下方，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数，．
    求函数的单调区间；
    若不等式在时恒成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数，．
    求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
    若曲线C上的动点M到直线l的最大距离为，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知，，且．
    若恒成立，求m的取值范围；
    若 恒成立，求x的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：由A中不等式变形得：，
解得：或，即，
，，
，，
故选：B．
求出A中不等式的解集确定出A，进而求出A与B的交集，并集，A的补集，即可做出判断．
此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题考查复数的代数形式混合运算，是基础题．
利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．
【解答】
解：，
则
，
故选C．
3.【答案】D
 

【解析】解：对于A：因为命题“若p，则q”的逆否命题是命题“若，则”，所以命题“若p，则q”与命题“若，则”互为逆否命题；故正确．
对于B：命题p：，，为真命题，命题q：，，为假命题，则为真，故命题B为真命题．
对于C：若为假命题，则p、q均为假命题，正确；
对于D：“若，则”的逆命题为：“若，则，而当时，由，得，
所以“，则”的逆命题为假，故命题D不正确．
故选D．
写出A命题的逆否命题，即可判断A的正误；对于B，判断两个命题的真假即可判断正误；对于C直接判断即可；对于D命题的逆命题为“若，则”然后判断即可；
本题考查了命题的真假判断与应用，训练了特称命题的否定的格式，同时训练了复合命题真假的判断，有时利用反例判断．
4.【答案】C
 

【解析】【分析】
将原式分子第一项中的度数，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
【解答】

解：
．
故选：C．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：是定义在R上的可导函数偶函数，且满足 0'/>，当时， 0'/>，单调递增；当时，，单调递减；
又，；
不等式或；
或；
不等式的解集为：．
故选：D．
根据抽象函数的性质，由于 0'/>，当时， 0'/>，单调递增；当时，，单调递减；
由于是偶函数，，则；把不等式等价于或解得即可．
本题考查了抽象函数的性质，利用抽象函数的单调性解不等式，属于中档题．
6.【答案】D
 

【解析】解：函数的图象先向右平移个单位，
得到的图象，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，
得到的图象，
所以：
，
解得：，
故当时，．
故选：D．
直接利用正弦型函数的平移和伸缩变换求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的图象的平移和伸缩变换问题的应用．
7.【答案】B
 

【解析】解：由题意，不妨设，，则公差，其中，
因此，，即当时，取得最大值．
故选：B．
由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即可得出．
本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】B
 

【解析】解：由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，
，设等比数列的公比为q，
由等比数列的性质可得，即，
，解得，
又前3项之积，解得，
故选：B．
由已知数据和等比数列的性质可得q的值，由前3项之积为64可得，由通项公式可得
本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的性质，属中档题．
9.【答案】C
 

【解析】解：中，，由余弦定理：，
且，，
整理得，．
，化简可得．
，，
故选：C．
首先由三角形面积公式得到，再由余弦定理，结合，得出，然后通过，求出结果即可．
本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．
10.【答案】C
 

【解析】解：如图，
作，则，
四边形AEDF是平行四边形，
，设的边AB上的高为，的边AC上的高为，则：，
，
，
．
故选：C．
可作出图形，然后作，从而得出四边形AEDF是平行四边形，并设的边AB上的高为，的边AC上的高为，从而可得出，进而得出，从而可求出，从而得出正确选项．
本题考查了向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．
11.【答案】A
 

【解析】解：设，
不等式的解集，
若，则，
即，解得，
若，则
即
，
综上，
故实数a的取值范围是，
故选：A．
利用不等式和函数之间的关系，设函数，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．
本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，利用二次函数是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．
12.【答案】C
 

【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，建立如图所示的空间直角坐标系，几何体的外接球的球心坐标为：，
0，，则，
可得，
外接球的半径为：．
该几何体外接球的表面积为：．
故选：C．
画出几何体的直观图，求出外接球的半径，然后求解即可．
本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，求解外接球的半径是解题的关键，是难题．
13.【答案】
 

【解析】解：，
．
故答案为：．
利用倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
14.【答案】
 

【解析】解：将等式两边同除以ab，得，，
当且仅当时，
即时，与联立得，，时，等号成立．
故答案为：．
将等式转化为，本题化为基本不等式的常见模型，“1”代换法的模型，接下来用“1”代换法做下去即可．
本题考查基本不等式的基本模型，是基础题．
15.【答案】
 

【解析】解：由，
可得，
则．
故答案为：．
求得，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．
16.【答案】
 

【解析】解：
，在上单调递增，在上单调递减；
在上的值域为；
根据题意有；
的解集为，则设，
当时，；
在上的值域与函数在上的值域相同；
即在上的值域为；
只需，即，得
故答案为：
讨论的单调性，得出在上的值域为，设，即在上的值域为则只需；
本题考查函数单调性，函数值域，数形结合思想，本题关键在于等价转化，属于难题．
17.【答案】解：，，
所以，
所以，，所以；
，，又，
所以
所以．
 

【解析】用正弦定理角化边，再用余弦定理求出A；根据面积公式求出bc，再用余弦定理求出a．
此题考查了余弦定理与正弦定理，解三角形，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，基础题．
18.【答案】解：数列中，，
则：，
所以：，
则：数列是以为首项，4为公比的等比数列．
故：．
数列满足，
所以：，
，
，
，
得：
，
，
故：．
 

【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式．
利用乘公比错位相减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19.【答案】证明：设点C在平面内的射影为E，
则，平面且平面，
平面，，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
故，故BD，
，平面CBD．
解：，
由得平面，是三棱锥的高，
是正三角形，，，
，
，
三棱柱的体积：
．
 

【解析】设点C在平面内的射影为E，推导出，，由此能证明平面CBD．
三棱柱的体积，由此能求出结果．
本题考查线面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.【答案】解：为偶函数，
，即，
；
由题意可得时，恒成立，
即，即恒成立，
所以恒成立，且，
即在恒成立，
因为在上单调递增，所以．
 

【解析】由偶函数性质可得，进而建立方程得解；
问题转化为在恒成立，构造函数，则，进而得解．
本题考查函数性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，难度不大．
21.【答案】解：，
若，，在递增，
若，令，解得：，
故在递增，在递减，
综上，若，在递增，
若，在递增，在递减；
不等式考核在恒成立，
令，，
，
若，，在递减，
故，
故不等式恒成立等价于，故，
故，
若，则，
当时，，
当时，，
故在递减，在递增，
故，不合题意，
若，当时，，
故在递增，
故，不合题意，
综上，．
 

【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；
不等式等价于在恒成立，令，，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，
转换为直角坐标方程为：，
整理得：，
直线l的参数方程为为参数，．
转换为直角坐标方程为：，
把转换为参数方程为：为参数，
由于：线C上的动点到直线l的最大距离为，
则：，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：舍去，
故：．
 

【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
直接利用点到直线的距离和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.【答案】解：，，且，
，当且仅当时“”成立，
由恒成立，故；
，，，，
故若恒成立，则，
当时，不等式化为，解得，
当，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，解得，
综上所述，x的取值范围为．
 

【解析】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
由题意利用基本不等式求得ab的最大值，可得m的范围．
利用基本不等式求得的最小值为9，可得恒成立，分类讨论、去掉绝对值，求得x的范围，综合可得结论．