山西省太原市2020届高三模拟考试（二）数学（理）试题 Word版含解析

这是一份山西省太原市2020届高三模拟考试（二）数学（理）试题 Word版含解析，共29页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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2020年高考（理科）数学二模试卷
一、选择题（共12小题）.
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先解不等式得到或，再根据即可得到答案.
【详解】因为或，，
所以，，，
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于简单题.
2.已知是实数，是纯虚数，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可知：，
为纯虚数，则：，据此可知.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】，
，
，故，
所以．
故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
4.下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.表示正整数除以正整数的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果.
【详解】
继续执行循环：
继续执行循环：
继续执行循环：
继续执行循环：
继续执行循环：
继续执行循环：
跳出循环，输出
故选：D
【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.
5.若是两个非零向量，且.则向量与夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设||=||=t，设向量与夹角为θ，由已知和 t2，计算出后，由向量数量积求出，由的范围可得结论．
【详解】根据题意，设||=||=t，则||=mt，再设向量与夹角为θ，
则有||2=（）222+2=m2t2，变形可得 t2，
则有||2=（）222﹣2•2t2﹣2（t2）=4t2﹣m2t2，变形可得||t，
则cosθ，
又由1≤m，则1，则有cosθ，
又由0≤θ≤π，则有θ，即θ的取值范围为[，]；
故选：C.
【点睛】本题考查求平面向量间的夹角，掌握平面向量数量积的定义是解题关键．
6.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断大小关系，可得结果.
【详解】由题可知：函数定义为

当时，
当时，
所以可知：原函数在递增，在递减
令，则
当时，
当时，
则在递减，且
在递增，
所以函数在定义域中，函数值均大于
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题.
7.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N人，让每人随机写出一对小于1的正实数a，b，再统计出a，b，1能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出0＜a＜1，0＜b＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解.
【详解】学校共有学生N人，每人随机写出一对小于1的正实数a，b，
得到N个实数对（a，b），
因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以N个实数对（a，b）都在边长为1的正方形AOBC内，
如图所示：

若a，b，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，
所以，，即a2+b2＞1，
所以N对实数对落在单位圆x2+y2=1外的有M对，
由几何概率的概率公式可得：，
所以π，
故选：B.
【点睛】本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.
8.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以0 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内

9.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）.若△MAB的面积为，则|AB|=( )
A. 2 B. 4 C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线l的方程为x=ty+1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB|，根据三角形的面积求出|y1﹣y2|=4，代入计算即可求解.
【详解】抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），
可设直线l的方程为x=ty+1，
代入抛物线方程，可得y2﹣4ty﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=4t，y1y2=﹣4，
则|AB|.|y1﹣y2| . .，
△MAB的面积为|MF|.|y1﹣y2|2|y1﹣y2|=4，
即4，解得t=±1，
则|AB| 8，
故选：D.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an.数列{bn}满足则数列{bn}的前100项和T100为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知求出，归纳猜测出，再用数学归纳法证明猜测对于成立，进而求出数列{bn}通项公式，用裂项相消法，即可求出结论.
【详解】∵，∴当n=1时，有a1，解得a1；
当n=2时，可解得a2，故猜想：an，
下面利用数学归纳法证明猜想：
①当n=1，2时，由以上知道an显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有ak成立，此时
Sk成立，
那么当n=k+1时，
有，
解得ak+1，这说明当n=k+1时也成立.
由①②知：an.∵，
∴，
∴数列{bn}的前100项和

.
故选：C.
【点睛】本题考查数学归纳法证明数列通项公式，以及裂项相消法求数列的前项和，考查计算求解能力，属于中档题.
11.对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时,.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先得到，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为，作出函数的图象，如图所示：

所以，的值城为，①错误；
函数的最小正周期是，③错误；
当且仅当时，函数取得最大值，②正确；
当且仅当时，，④正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数与余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.
12.三棱锥P﹣ABC中.AB⊥BC，△PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知作出图象，找出二面角的平面角，设出AB，BC，AC的长，即可求出三棱锥的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC长度的字母表示），再设出球心O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC的长度，则三棱锥体积的最大值可求.
【详解】如图所示，过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作ED⊥AC交AC于点D，连接PD，
则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角，即有cos∠PDE，
易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，
∴D为AC中点，
设AB=a，BC=b，ACc，
则PE=PDsin∠PDEc，
故三棱锥P﹣ABC的体积为：Vab，
当且仅当a=b时，体积最大，此时B、D、E共线.
设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，
由已知，4πR2=8π，得R.
过点O作OF⊥PE于F，则四边形ODEF为矩形，
则OD＝EF，ED=OF=PDcos∠PDE，PE，
在Rt△PFO中，（）2，解得c＝2.
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为：.
故选：D.

【点睛】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的展开式中，的系数为，则正实数_____．
【答案】
【解析】
【分析】
，然后利用展开式的通项公式研究．
【详解】解：∵，
故原式展开式中，含的项为，
令，得，或（舍去），
故答案：．
【点睛】本题主要考查二项展开式通项公式的应用，属于基础题．
14.已知双曲线的左右顶点分别为，，点是双曲线上一点，若为等腰三角形，，则双曲线的离心率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，由已知条件求出，代入双曲线方程得到，再求离心率即可.
【详解】如图所示：

过点做轴，垂足为.
因为为等腰三角形，所以，
又因为，所以.
，，故.
因为点在双曲线上，
所以，即.
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.
15.已知数列{an}满足（n∈N*），且a2=6，则{an}的通项公式为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意令n=1可得a1，当时，转化条件可得，进而可得，即可得解.
【详解】因为数列{an}满足（n∈N*），所以，
①当n=1时，即a1=1，
②当时，由可得，
∴数列从第二项开始是常数列，
又，∴，
∴，
又满足上式，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的通项公式，考查了构造新数列的能力与运算求解能力，合理构造新数列是解题的关键，同时要注意n的取值范围，属于中档题.
16.改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是_____.
参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974
【答案】②④
【解析】
【分析】
利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案．
【详解】解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，
故，
∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误；
②若8：02出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，
故当满足P（Z≤41）时，江先生乘坐公交不会迟到；
若8：02出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，
故当满足P（Z≤48）时，江先生乘坐地铁不会迟到，
此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确；
③若8：06出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘坐公交不会迟到；
若8：06出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，
此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误；
④若8：12出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘坐公交不会迟到，
而；
若8：12出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，
由，
∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且△ABC外接圆的半径为1.
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理和题设条件，化简可得 ，即，
由余弦定理求得，即可求得角C；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，求得，再利用三角形的面积公式，即可求得面积的最大值.
【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，
可得，，，
又由，可得，
整理得 ，即，
由余弦定理可得，
又因为，所以.
（Ⅱ）由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得，
可得，当且仅当时等号成立，
可得，当且仅当时等号成立，
即面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．
18.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，四边形ACFE为梯形，EF//AC，点E在平面ABCD上的射影为OA的中点，AE与平面ABCD所成角为45°.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取AO中点H，连结EH，则EH⊥BD，又AC⊥BD，由此可证；
（Ⅱ）以H为原点，HA为x轴，在平面ABCD中过H作AC的垂线为y轴，HE为z轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知，∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，再根据平面的法向量的夹角即可求出答案．
详解】（Ⅰ）证：取AO中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD，

∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD，
又菱形ABCD中，AC⊥BD，且EH∩AC=H，
EH，AC在平面EACF内，
∴BD⊥平面EACF，
∴BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，
∴以H为原点，HA为x轴，在平面ABCD中过H作AC的垂线为y轴，HE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH=45°，
∵AB=4，∴AO=2，AH，EH，
∴H（0，0，0），A（，0，0），D（，﹣2，0），O（，0，0），E（0，0，），
平面ABCD的法向量（0，0，1），
（﹣2，0，0），（），
∵EFAC，∴（﹣2λ，0，0），
设平面DEF的法向量（x，y，z），
则，取y，得（0，，﹣2），
∴，
∴平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值为．
【点睛】本题主要考查线面垂直的证明和二面角的求法，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题．
19.已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程.
【答案】（Ⅰ）y2=1；（Ⅱ）x﹣y0或x+y0.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b=1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a2=3，即得椭圆方程；
（Ⅱ）先设直线l方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F1F2|为底边长求△ABF2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF2面积最大值，进而确定直线l的方程.
【详解】（Ⅰ）直线x+y=1与y轴的交于（0，1）点，∴b=1，
设直线x+y=1与椭圆C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2，y1+y2，
∴1，1，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）=0，
∴，
∴ 1，
解得a2=3，
∴椭圆C的方程为y2=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（，0），F2（，0），设A（x3，y3），B（x4，y4），
可设直线l的方程x=my，将直线l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y2﹣2my﹣1=0，
则y3+y4，y3y4，
|y3﹣y4|，
∴|F1F2||y3﹣y4|||y3﹣y4|，
当且仅当，即m=±1，△ABF2面积最大，
即直线l的方程为x﹣y0或x+y0.
【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.
20.为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图.

根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品.
（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x∈[14，15]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验.已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元.检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿.现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；
（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备.已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件.乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是，，.若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据.应选购哪种设备？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）不对剩余产品进行逐一检验，理由见解析；（Ⅲ）应选购乙设备，理由见解析.
【解析】
【分析】
（I）利用频率分布直方图中的频率（概率）求出尺寸在的产品件数，及在的产品件数，得ξ的可能取值为0，1，2，分别计算出概率得概率分布列，由分布列计算出期望；
（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175，计算对剩余产品逐一检验和对剩余产品不检验需支付的费用，比较后可得；
（III）利用频率（概率）计算出两种方案的利润期望，比较可得．
【详解】（I）抽取的40件产品中，产品尺寸x∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]=18，
其中x∈[14，15]的产品件数为40×（0.075×1）=3，
∴ξ的可能取值为0，1，2，
∴P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），
∴ξ的分布列为：

∴Eξ＝012.
（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175，
若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用50×100=5000；
若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用50×10+200×90×0.175=3650，
∵5000＞3650，
故不对剩余产品进行逐一检验.
（III）设甲设备生产一件产品的利润为y1，乙设备生产一件产品的利润为y2，
则E（y1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415，
E（y2）=500400200420.
∵E（y1）＜E（y2）.
∴应选购乙设备.
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查随机变量的概率分布列和期望，考查期望的应用，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．
21.已知函数.
（Ⅰ）若函数有两个零点，求a的取值范围；
（Ⅱ）恒成立，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求导，对分类讨论，求出单调区间，结合零点存在性定理，即可求出结论；
（Ⅱ）分离参数转化为满足在上恒成立时，的取值范围，设，通过求导求出，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由已知得x＞0，.
①当a≥0时，，此时f（x）是增函数，故不存在两个零点；
②当a＜0时，由，得，
此时 时，，此时是增函数；
当 时， ，此时是减函数，
所以时，f（x）取得极大值，由f（x）有两个零点，
所以，解得.
又，所以f（x）在（0，）有唯一零点.
再取，
则.
所以f（x）在有唯一实数根，
所以a的取值范围是.
（Ⅱ）恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则.
令，则0
所以在上递增，而，
故存在使得，即.
∴.
令，，
所以在上递增，∴.
而时，，即，
所以在上递减；
时，，即，
故在上递增.
所以时，取得极小值，也是最小值，
，∴a≤1.
所以a的取值范围是.
【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点，以及恒成立和最值的关系，确定极值点满足的条件是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线与曲线C2交于O，P两点，射线与曲线C1交于点Q，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数t，即得曲线C1的普通方程. 由曲线C2的参数方程消去参数α，得曲线C2的普通方程，根据，即得曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C2的极坐标方程为，设点.曲线C1的普通方程化为极坐标方程得，则点.由，求出，即求的值.
【详解】（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t，得曲线C1直角坐标方程为：.
曲线C2的参数方程为（α为参数），消去参数α，
得直角坐标方程为，
根据，得曲线C2的极坐标方程为.
（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程为，设点.
由于直线C1的极坐标方程为，
可得点，
， .
|OP|＝4cos.
【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，属于中档题.
选修4-5：不等式选讲
23.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）每个式子通分后把1用代换后分子应用基本不等式可证结论；
（Ⅱ）变形，三个分式中分子提取出来并变为，即原不等式左边
，再用柯西不等式可证得结论．
【详解】证明：（Ⅰ），当且仅当“a=b=c”时取等号；
（Ⅱ）

，当且仅当“a=b=c”时取等号.
【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题．