江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第六次周考数学（文）（A）试卷 Word版含答案

数学（文A）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知为虚数单位，复数满足，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2.已知全集，集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

3.如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为（　　）

A. 11  B. 10 C. 9         D. 8 

4.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（　　）

A.  B.          C.        D.   

5.一直线与平行四边形中的两边分别交于点，且交其对角线于点，若，则（　　）

A.  B.  C.  D. 5

6.下列命题错误的是（   ）

A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B. 若：，.则：，.

C. 若复合命题：“”为假命题，则，均为假命题

D. “”是“”的充分不必要条件

7.若.则（  ）

A.  B.  C.  D.

8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（   ）

A.  B.  C.    D.

9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（　　）

A. 1125里 B. 920里 C. 820里 D. 540里

10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是(    )

A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称

C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为

11.已知定义在上的奇函数满足：，且，若函数有且只有唯一的零点，则（    ）

A. 1 B. -1 C. -3 D. 3

12.已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（     ）

A. 4 B. 5 C.  D. 6

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数（且）恒过的定点坐标为______．

14.已知实数满足，则的最小值为______．

14.若曲线在点处的切线与圆相切，则__________.

16.已知函数，且，则实数的取值范围是（　　）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为，证明：.

18.为推进“千村百镇计划”，某新能源公司开展“电动新余绿色出行”活动，首批投放200台型新能源车到新余多个村镇，供当地村民免费试用三个月.试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）.最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：

（1）求40个样本数据的中位数；

（2）已知40个样本数据平均数，记与的较大值为.该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”.

① 请根据40个样本数据，完成下面列联表：

并根据列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？

② 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访.根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取2人进行二次试用，求这2人中至少有一位女性的概率是多少？

附：

19.如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.

（1）求证：平面⊥平面PAC.

（2）求三棱锥的体积.

20.在平面直角坐标系，已知椭圆的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点.

（1）求椭圆的标准方程：

（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

21.已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数存在两个极值点，并且恒成立，求实数a的取值范围．

以下为选做题：共10分请考生从第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.

22.已如直线的参数方程为（（为参数）.以原点为极点.轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程：

（2）若直线（，）与曲线相交于，两点，设线段的中点为，求的最大值.

23.已知函数．

（1）当时，解不等式．

（2）若存在满足，求实数的取值范围．

数学（文A）答案

一选择题：C B C A B     C A B D D    C D

二、填空题      13.    14. 2    14.            16. 

17.（1）由，，成等比数列，得，

即 ，又，

解得，，所以.

（2），

，

.

18.（1）由茎叶图知中位数，

（2）因为，，所以.

①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，根据题意得列联表：

可得：，

所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关.

②由①知从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，

抽出女性2名，男性6名.

记抽出的2名女性为；，；记抽出的6名男性为：，，，，，

从这8人中随机抽取2人进行二次试用的情况有：

，共有28种：

其中2人中至少一名女性的情况有：

，共有13种：

所以2人中至少一名女性的概率是：

19.（1）证明：在三棱锥中，, , 

  又

 又

（2）

由已知，∥

20.解：（1）由题意知，解得；从而，

所以椭圆的标准方程为：.

（2）令，则，或者，.

当，时，：当，时，，

所以，满足题意的定直线只能是.

下面证明点恒在直线上.设，，由于垂直于轴，

所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上.

由得，

，∴，.

∴，即.

∴点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点，所以存在一条定直线使得点恒在直线上.

21.（Ⅰ）函数的定义域为，．

当时，，函数在单调递增；

当时，方程的两根，，且，，则当时，，单调递增；

当，，单调递减．

综上：当时，函数在单调递增；

当时，时，单调递增；当时，单调递减．

（Ⅱ），，

∵函数存在两个极值点，，

∴，则，．

∴

恒成立，即恒成立，

即∵，∴

令，则，令

，

∴，∴在单调递增．

∴．

∴在单调递增，，则．

22.试题分析：（Ⅰ）利用求极坐标方程即可；

（Ⅱ）设、，则，联立和即可.

试题解析：

（I）曲线C的普通方程为，

由，得；

（II）解法1：联立和，

得，

设、，则，

由， 得，

当时，|OM|取最大值．

23.（1）时，

∴的解集为；

（2）若存在满足等价于有解，

∵，∴，解得，

实数的取值范围是（0，4）．