数学3.1回归分析的基本思想及其初步应用课后测评

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中，分别相同，则下列说法正确的是(　　)

A．l1与l2一定平行

B．l1与l2重合

C．l1与l2相交于点(，)

D．无法判断l1和l2是否相交

【解析】　回归直线一定过样本点的中心(，)，故C正确．

【答案】　C

2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：

哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？(　　)

A．甲　　　　B．乙　　　　C．丙　　　　D．丁

【解析】　相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．

【答案】　A

3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　)

【解析】　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．

【答案】　A

4．对于指数曲线y＝aebx，令U＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析后，可转化的形式为(　　)

A．U＝c＋bx  B．U＝b＋cx

C．y＝c＋bx  D．y＝b＋cx

【解析】　由y＝aebx得ln y＝ln(aebx)，∴ln y＝ln a＋

ln ebx，

∴ln y＝ln a＋bx，∴U＝c＋bx.故选A.

【答案】　A

5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：

则y对x的线性回归方程为(　　)

A.＝x－1  B.＝x＋1

C.＝88＋x  D.＝176

【解析】　设y对x的线性回归方程为＝x＋，

因为＝＝，＝176－×176＝88，所以y对x的线性回归方程为＝x＋88.

【答案】　C

二、填空题

6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q(，)如下表：

则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为________．

【解析】　丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q(，)最小．此时A，B两变量线性相关性更强．

【答案】　丁

7．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：

则从表中数据分析，________回归方程更好(即与实际数据更贴近)．

【解析】　可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为＝，而乙回归方程的数据准确率为＝.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些．

【答案】　甲

8．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元. 【导学号：97270060】

【解析】　∵x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，

∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.

【答案】　10.5

三、解答题

9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：

(1)求样本点的中心；

(2)画出散点图；

(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．

【解】　(1)＝6，≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)．

(2)散点图如下：

(3)因为＝≈4.75，＝－≈51.36，

所以＝4.75x＋51.36.

10．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：

(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；

(2)求y与x之间的回归方程．

【解】　(1)散点图如图所示：

(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则

由计算器算得，＝0.69x＋1.112，则有＝e0.69x＋1.112.

[能力提升]

1．(2016·青岛一中调研)某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如表：

显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为(　　)

A．y＝0.7x＋5.25   B．y＝－0.6x＋5.25

C．y＝－0.7x＋6.25   D．y＝－0.7x＋5.25

【解析】　由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.

考试次数的平均数为＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，

所减分数的平均数为＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，

即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D.

【答案】　D

2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

若x与y具有线性相关关系，则线性回归方程为________．

【解析】　iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，

＝＝4，

＝62＋82＋102＋122＝344，

＝＝＝0.7，

＝－＝4－0.7×9＝－2.3，

故线性回归方程为＝0.7x－2.3.

【答案】　＝0.7x－2.3

3．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：

由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的＝－2，样本中心点为(10,38)．

(1)表中数据m＝__________.

(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件．

【解析】　(1)由＝38，得m＝40.

(2)由＝－ ，得＝58，

故＝－2x＋58，

当x＝22时，＝14，

故三月中旬的销售量约为14件．

【答案】　(1)40　(2)14

4．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

图3­1­2

表中wi＝，w]＝wi.

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .

【解】　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．

由于＝＝＝68，

＝－ ＝563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，

因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.

(3)①由(2)知，当x＝49时，

年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，

年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.

所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.