高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例练习题

2.5.2　向量在物理中的应用举例

课时目标　经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．

1．力向量

力向量与前面学过的自由向量有区别．

(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．

(2)不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的．

2．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是________．

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．

(3)动量mν是______________．

(4)功即是力F与所产生位移s的________．

一、选择题

1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为(　　)

A．|F|·s              B．Fcos θ·s

C．Fsin θ·s           D．|F|cos θ·s

2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)

A．40 N        B．10 N        C．20N        D．10 N

3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　)

A．lg 2        B．lg 5        C．1        D．2

4．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)

A．6        B．2        C．2        D．2

5．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)

A．(－2,4)           B．(－30,25)

C．(10，－5)        D．(5，－10)

6．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　)

A．(9,1)        B．(1,9)        C．(9,0)        D．(0,9)

二、填空题

7．若＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为________．

8．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．

9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．

10. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

三、解答题

11. 如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．

12．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．

(1)求F1，F2分别对质点所做的功；

(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．

能力提升

13. 如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.

(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；

(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．

14．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e1＋2e2，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、Q0处，问当⊥时所需的时间t为多少？

用向量理论讨论物理中相关问题的步骤

一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．

2．5.2　向量在物理中的应用举例

答案

知识梳理

1．(1)大小　方向　(2)始点　作用点　作用点

2．(1)向量　(2)加、减　(3)数乘向量　(4)数量积

作业设计

1．D

2．B　[|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，

当θ＝ 120°，由平行四边形法则知：

|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．]

3．D　[F1＋F2＝(1,2lg 2)．

∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.]

4．C　[因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1＋F2|2＝|F1|2＋|F2|2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2.]

5．C　[设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，

则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5ν.

即(x＋10，y－10)＝(20，－15)⇒⇒.]

6．A　[f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，

设合力f的终点为P(x，y)，则

＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．]

7．5　[∵F1＋F2＝(0,5)，

∴|F1＋F2|＝＝5.]

8．10 J

解析　WG＝G·s＝|G|·|s|·cos 60°＝20×1×＝10 J.

9．4 km/h

解析　如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．

则v0＋v1表示船实际航行速度，

∵|v0|＝4，|v1|＝8，

∴解直角三角形|v0＋v1|＝＝4.

10．①③

解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.

∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．

∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．

11．解　

设A、B所受的力分别为f1、f2，

10 N的重力用f表示，则f1＋f2＝f，以重力的作用点C为f1、f2、f的始点，作右图，使＝f1，＝f2，＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.

∴||＝||·cos 30°＝10×＝5.

||＝||·cos 60°＝10×＝5.

∴在A处受力为5 N，在B处受力为5 N.

12．解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，

W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，

W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.

(2)W＝F·＝(F1＋F2)·

＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)

＝(9，－1)·(－13，－15)

＝9×(－13)＋(－1)×(－15)

＝－117＋15＝－102(J)．

∴合力F对质点所做的功为－102 J.

13．解　

(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，

当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．

(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥.

又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.

14．解　e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为(，)；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为(，)，如图．

依题意，||＝t，||＝t，

∴＝||(，)＝(t，t)，＝||(，)＝(3t,2t)，

由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，

∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)，

由于⊥，∴·＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.

∴当⊥时所需的时间为2 s.