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高中数学人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系极坐标系课前预习课件ppt
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这是一份高中数学人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系极坐标系课前预习课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了定点O，Mρθ，∠xOM，失误案例等内容，欢迎下载使用。
【自主预习】1.极坐标系(1)取极点:平面内取一个______.(2)作极轴:自极点引一条射线Ox.(3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).
2.点的极坐标(1)定义:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为_________.(2)意义:ρ=_____,即极点O与点M的距离(ρ≥0).θ=______,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角.
【即时小测】1.极坐标系中,下列与点(1,π)相同的点为 ( )A.(1,0)B.(2,π)C.(1,2016π)D.(1,2017π)
【解析】选D.点(1,π)的极径为1,极角为π,由终边相同的角的概念得,点(1,π)与点(1,2017π)相同.
2.点M的直角坐标是(-1, ),则点M的极点坐标为 ( )
【解析】选C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,则ρcsθ=x得:csθ=- ,结合点在第二象限得:θ= ,则点M的极坐标为
【知识探究】探究点 极坐标系1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同?
提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴.(2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是(ρ,θ).
2.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?
提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ)都有唯一确定的点与之对应,但是,对于给定一点M,可以有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应,所以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系.(2)如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外的任意一点都有唯一的极坐标(ρ,θ)与之对应,反之亦然.
【归纳总结】1.极坐标系的四要素①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极径,最终确定点的位置.
特别提醒:若已知点的极坐标(ρ,θ),则点是确定的,反之,若已知点,则其极坐标不确定.
类型一 极坐标系与点的极坐标【典例】在极坐标系中,点P 到极点的距离为________,点P 到极轴的距离为________.
【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离?提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化为三角函数计算.
【解析】因为在极坐标系中,点P ,ρ=2,θ= ,所以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin =1.答案:2 1
【方法技巧】确定点的极坐标的方法点P的极坐标的一般形式为(ρ,θ+2kπ),k∈Z,则(1)ρ为点P到极点的距离,是个定值.(2)极角为满足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对值较小的角.
【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示:①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z).其中,正确表示的序号为____________.
【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的极坐标为(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正确.答案:②③
2.如图,在极坐标系中,(1)作出以下各点:(2)求点E,F的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R).
【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是确定的.(2)由于点E的极径为4,在θ∈[0,2π)内,极角 又因为点的极坐标为(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R),
所以点E的极坐标为 同理,点F的极坐标为
类型二 极坐标系中两点间的距离【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点 求|AB|的值.
【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可得∠AOB为多少度?提示:∠AOB=90°.
【解析】因为 故∠AOB=90°,故
【延伸探究】1.本例已知条件不变,试求△AOB的面积.
【解析】因为 故∠AOB=90°,所以S△AOB=
2.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.
【解析】设线段AB中点M的极坐标为(ρ,θ),则 故线段AB中点M的极坐标为
【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式(1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角θ1的终边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}.如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除极点外,点与有序数对(ρ,θ)可以建立一一对应关系.
(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么两点间的距离公式 的两种特殊情形为:①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|;②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.
【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)在极坐标系中,两点 间的距离是 ( )A. B. C.6 D. 4
【解析】选B.|AB|=
2.在极坐标系中,若△ABC的三个顶点为 判断三角形的形状.
【解析】 所以△ABC是等边三角形.
自我纠错 已知距离求点的极坐标【典例】已知在极坐标系中,O为极点, B(ρ,θ),OA⊥OB,|AB|=5,ρ≥0,θ∈[0,2π),求点B的极坐标.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全面,导致确定极角时漏掉一种情况.正确解答过程如下:
【解析】由OA⊥OB,得 k∈Z,即 k∈Z,由θ∈[0,2π),得 由 得故ρ=4.所以点B的极坐标为
【自主预习】1.极坐标系(1)取极点:平面内取一个______.(2)作极轴:自极点引一条射线Ox.(3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).
2.点的极坐标(1)定义:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为_________.(2)意义:ρ=_____,即极点O与点M的距离(ρ≥0).θ=______,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角.
【即时小测】1.极坐标系中,下列与点(1,π)相同的点为 ( )A.(1,0)B.(2,π)C.(1,2016π)D.(1,2017π)
【解析】选D.点(1,π)的极径为1,极角为π,由终边相同的角的概念得,点(1,π)与点(1,2017π)相同.
2.点M的直角坐标是(-1, ),则点M的极点坐标为 ( )
【解析】选C.由ρ2=x2+y2,得ρ2=4,ρ=2,则ρcsθ=x得:csθ=- ,结合点在第二象限得:θ= ,则点M的极坐标为
【知识探究】探究点 极坐标系1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同?
提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴.(2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是(ρ,θ).
2.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?
提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ)都有唯一确定的点与之对应,但是,对于给定一点M,可以有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应,所以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系.(2)如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外的任意一点都有唯一的极坐标(ρ,θ)与之对应,反之亦然.
【归纳总结】1.极坐标系的四要素①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极径,最终确定点的位置.
特别提醒:若已知点的极坐标(ρ,θ),则点是确定的,反之,若已知点,则其极坐标不确定.
类型一 极坐标系与点的极坐标【典例】在极坐标系中,点P 到极点的距离为________,点P 到极轴的距离为________.
【解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离?提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化为三角函数计算.
【解析】因为在极坐标系中,点P ,ρ=2,θ= ,所以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin =1.答案:2 1
【方法技巧】确定点的极坐标的方法点P的极坐标的一般形式为(ρ,θ+2kπ),k∈Z,则(1)ρ为点P到极点的距离,是个定值.(2)极角为满足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不唯一,其中θ是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对值较小的角.
【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示:①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z).其中,正确表示的序号为____________.
【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的极坐标为(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正确.答案:②③
2.如图,在极坐标系中,(1)作出以下各点:(2)求点E,F的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R).
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所以点E的极坐标为 同理,点F的极坐标为
类型二 极坐标系中两点间的距离【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点 求|AB|的值.
【解题探究】根据点A,B在极坐标系中的位置关系,可得∠AOB为多少度?提示:∠AOB=90°.
【解析】因为 故∠AOB=90°,故
【延伸探究】1.本例已知条件不变,试求△AOB的面积.
【解析】因为 故∠AOB=90°,所以S△AOB=
2.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.
【解析】设线段AB中点M的极坐标为(ρ,θ),则 故线段AB中点M的极坐标为
【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式(1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角θ1的终边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}.如果限定ρ≥0,θ∈[0,2π),那么,除极点外,点与有序数对(ρ,θ)可以建立一一对应关系.
(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么两点间的距离公式 的两种特殊情形为:①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|;②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.
【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)在极坐标系中,两点 间的距离是 ( )A. B. C.6 D. 4
【解析】选B.|AB|=
2.在极坐标系中,若△ABC的三个顶点为 判断三角形的形状.
【解析】 所以△ABC是等边三角形.
自我纠错 已知距离求点的极坐标【典例】已知在极坐标系中,O为极点, B(ρ,θ),OA⊥OB,|AB|=5,ρ≥0,θ∈[0,2π),求点B的极坐标.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全面,导致确定极角时漏掉一种情况.正确解答过程如下:
【解析】由OA⊥OB,得 k∈Z,即 k∈Z,由θ∈[0,2π),得 由 得故ρ=4.所以点B的极坐标为
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