初中数学北师大版七年级下册第四章 三角形综合与测试优秀同步达标检测题

2020-2021学年北师大版七年级下册数学第四章《三角形》分层训练达标卷

一、单选题

1．下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ）

A．3cm、5cm、8cm B．5cm、6cm、12cm

C．5cm、5cm、10cm D．7cm、 10cm、15cm

2．下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，点 C，D 在线段 AB 的同侧，如果∠CAB＝∠DBA，那么下列条件中不能判定△ABD≌△BAC 的是（ 　 ）

A．∠D＝∠C B．∠CAD＝∠DBC C．AD＝BC D．BD＝AC

4．用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，，， ，，，CE的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（    ）

A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4

7．如图，为了测量池塘两侧两点间的距离，在地面上找一点，连接，使，然后在的延长线上确定点，使得到，通过测量的长，得的长，则的理由是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在中，，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

9．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(      )

A．a＋c B．b＋c

C．a＋b－c D．a－b＋c

10．如图在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F，②2∠BEF＝∠BAF+∠C，③∠F＝∠BAC﹣∠C，④∠BED＝∠ABE+∠C，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④

11．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）

A．105° B．110° C．100° D．120°

12．如图，D为的外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交BA的延长线于F，则下列结论：

①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

13．己知一个三角形的两条边长度分别是4、8，则第三边x的范围是____．

14．如图，点在同一条直线上，已知，若不增加任何字母和辅助线，要使还需要添加的一个条件是_______________________．

15．如图，有一个池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接达到点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长度就是A，B的距离，这是根据全等三角形判定______证明______全等______，从而得出的长就是A，B的距离．

16．如图，已知，点E为CD上一点，AE，BE分别平分，．若，，则四边形ABCD的面积是________．

17．如图，在中，平分，于点，已知的面积为，则阴影部分的面积为_____．

18．如图，，垂足分别为，若，则的长为________________________．

19．如图，在四边形中，，，连接，，平分．若是边上一动点，则长的最小值为______．

三、解答题

20．如图，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：∠CDB=∠DCA．

21．如图：已知．点A、F、E、C在同一直线上，AE＝CF，BE = DF，BE∥DF，求证：△ABE≌△CDF

22．如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接．

（1）求证：≌；

（2）求证：；

（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由．

23．如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ．

（1）求证：≌；

（2）若CD＝10，求的面积．

24．如图所示，，，三点在同一直线上，且．

（1）求证：；

（2）当满足什么条件时，？

25．已知为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，，点D在直线BC上，连接CE．

（1）若点D在线段BC上，如图1，求证：；

（2）若D在CB延长线上，如图2，若D在BC延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；

（3）若，，则BC的长为________．

26．如图（1）AB=9cm，AC⊥AB，AC=BD=7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的速度与点P的速度相等，当t=1时．

①求证：△ACP≌△BPQ；

②判断此时PC和PQ的位置关系，并证明；

（2）将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”，改为“∠CAB=∠DBA=70°”，得到图（2），其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，请问是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等?若存在，求出相应的x和t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D

解：根据三角形的三边关系，得

A、3+5=8，不能组成三角形，故此选项不符合题意；

B、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项不符合题意；

C、5+5=10，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；

D、7+10＞15，能组成三角形，故此选项符合题意．

2．C

解：只有C选项与图1形状、大小都相同．

故答案为C．

3．C

解：A、添加条件∠D＝∠C，还有已知条件∠CAB＝∠DBA，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；

B、∵∠CAB＝∠DBA，∠CAD＝∠DBC，

∴∠DAB＝∠CBA，

还有已知条件∠CAB＝∠DBA，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；

C、添加条件AD＝BC，还有已知条件∠CAB＝∠DBA，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本选项正确；

D、添加条件BD＝AC，还有已知条件∠CAB＝∠DBA，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；

4．A

解：由作法得OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，
所以可根据“SSS”证明△COD≌△C'O'D'．
故选：A．

5．A

解：∵，，，

∴BE=AC=4，BC=DE=3，

∴CE=BE-BC=4-3=1．

6．B

解：延长到，使，连接，则AE=2AD，

∵，，，

∴，

，

在中，，

即，

∴．

7．B

解：在△ACB和△ACD中，，

∴（SAS），

故选：B．

8．C

解：∵∠B=∠C，BD=CE，BF=CD，

∴△BFD≌△CDE，

∴∠BFD=∠EDC，

∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC，

∴∠B=∠EDF，

又∵∠B=∠C=，

∴∠EDF=，

9．C

解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°，

∴∠A＝∠C，

∵AB＝CD，

∴△ABF≌△CDE（AAS），

∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，

∵EF＝c，

∴AD＝AF＋DF＝a＋（b−c）＝a＋b−c．

10．D

解：①∵BD⊥FD，

∴∠FGD+∠F＝90°，

∵FH⊥BE，

∴∠BGH+∠DBE＝90°，

∵∠FGD＝∠BGH，

∴∠DBE＝∠F，故①正确；

②∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠BEF＝∠CBE+∠C，

∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，

∠BAF＝∠ABC+∠C，

∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确；

③∵∠ABD＝90°﹣∠BAC，

∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，

∵∠CBD＝90°﹣∠C，

∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，

由①得，∠DBE＝∠F，

∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，故③错误；

④∵∠BED＝∠EBC+∠C，

∵∠ABE＝∠EBC，

∴∠BED＝∠ABE+∠C，故④正确，

∴正确的有①②④，共三个，

11．C

解：如图延长C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，

∴∠ABE＝∠AB′E，

∵C′H∥EB′，

∴∠AHC′＝∠AB′E，

∴∠ABE＝∠AHC′，

∵△ADC≌△ADC′，

∴∠C′＝∠ACD，

∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，

∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，

∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，

∴∠C′AH＝120°，

∴∠C′＋∠AHC′＝60°，

∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，

12．D

∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB

∴DE＝DF

在Rt△CDE和Rt△BDF中

∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；

∴CE＝AF

在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

∴AE＝AF

∴CE＝AB＋AF＝AB＋AE，故②正确；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF

∴∠DBF＝∠DCE

∵∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O）

∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°

∠DBF＝∠DCE

∴∠DAE＝∠CBD，

∵∠DAE＝∠DAF，

∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；

13．

∵一个三角形有两条边长度分别是4、8，

∴第三边x的范围是：．

故答案为：．

14．∠A=∠D（答案不唯一，BC=EF或BF=CE）

解：∵，

∴①若添加∠A=∠D

在△ABC和△DEF中，

∴（SAS）；

②添加BC=EF

在△ABC和△DEF中，

∴（SSS）；

③添加BF=CE，则BF+FC=CE=FC，即BC=EF，

 在△ABC和△DEF中，

∴（SSS）；

AAS、HL．

15．SAS    △ABC    △DEC   

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE．

∴的长就是A，B的距离．

16．

解：如图，延长AE，BC交于点M，

AE平分，

，

，

，

又 BE平分，

，BE=BE，

，

，

，

，

，

，，

，

故答案为：．

17．

解：如图，延长交于，

平分，

，

，

，

在与中，

，

≌，

，

，，

阴影部分的面积．

18．3

解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠BCE=∠CAD，

在△CEB和△ADC中，，

∴△CEB≌△ADC（AAS）；

∴BE=CD，CE=AD=9．

∵DC=CE-DE，DE=6，

∴DC=9-6=3，

∴BE=3．

19．3

解：如图，过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，

由题意知在△BAD和△BED中，，

∴△BAD≌△BED，

∴ED=AD=3，

20．

证明：在△DAB和△CBA中

∴△DAB≌△CBA

∴AC=BD

在△DCB和△CDA中

∴△DCB≌△CDA

∴∠CDB=∠DCA．

21

解：∵BE∥DF，
∴∠DFE=∠FEB，
在△ABE与△CDF中，

∵，

∴△ABE≌△CDF（SAS）．

22．

（1）和是等边三角形；

，，，

，

即，

在与中

，

≌；

（2）≌，

；

，

，

；

（3），理由如下：

是等边三角形，点为的中点，

，，，

，

，

≌，

，

，

．

23

（1）∵，

∴，

∵∠A＝∠B＝90°，

在和中，

，

∴≌；

（2）∵≌，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴其斜边上的高为5，

∴．

24．

（1）证明：∵，

∴AE=BC，AC=DE，

又∵，

∴．

（2）若，则，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

即当满足为直角时，．

25．

证明：（1）、均是等腰直角三角形，

，，．

．

，

在和中

，

，

．

，

．

（2）如图2中，，理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，

即∠BAD=∠EAC，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴CD=BC+BD=BC+CE

即：．

如图3中，CE=BC+CD．理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

即∠BAD=∠CAE，

∴在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴BD=BC+CD，

即CE=BC+CD．

综上所述，若D在CB延长线上，如图2中，得到结论：，如图3，得到结论：．

（3）∵在图1、图2中：（已证），，

∴

∵在图3中：CE=BC+CD（已证），，

∴

即：14或6．

26．

解：（1）①△ACP与△BPQ全等，

理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，

则BP＝9﹣2＝7，

∴BP＝AC＝7，

又∵∠A＝∠B＝90°，

在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）；

②结论：PC⊥PQ，

证明：∵△ACP≌△BPQ，

∴∠ACP＝∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．

∴∠CPQ＝90°，

即PC⊥PQ；

（2）AP＝2t，BP＝9﹣2t，BQ＝xt

①若△ACP≌△BPQ

则AC＝BP＝7，AP＝BQ，

∴9﹣2t＝7，

解得：t＝1（s），则x＝2（cm/s）；

②若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BQ＝7，AP＝BP，

则，解得，t＝2.25（s），

∴xt＝7，解得， ，

故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝2.25s，cm/s时，△ACP与△BPQ全等．