高中物理人教版 (新课标)选修34 单摆课后练习题

第2节　单摆

1．细线上端固定，下端系一个小球，如果忽略细线的伸缩和________，且线长比小球的________大得多，这样的装置叫做单摆．

2．单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧________方向的分力，在偏角很小的情况下，单摆摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总是指向________________，即F＝________.

3．单摆在偏角很小时做________运动，单摆的周期与摆球质量________，在振幅较小时与振幅________，与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________，即T＝________.

4．关于单摆，下列说法中正确的是(　　)

A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置

B．摆球受到的回复力是它的合力

C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比

5．当单摆的小球由最低点向最高点运动时(　　)

A．位移增大      B．振幅增大

C．势能增大      D．动能增大

图1

6．如图1所示，是一个单摆(θ<10°)，其周期为T，则下列说法正确的是(　　)

A．把摆球的质量增加一倍，其周期变小

B．摆角θ变小时，周期也变小

C．此摆由O→B运动的时间为

D．摆球在由B→O运动时，势能向动能转化

概念规律练

知识点一　单摆的回复力

1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是(　　)

A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零

2．关于单摆，下列说法中正确的是(　　)

A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力

B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度相等

C．摆球在运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置

D．摆球经过平衡位置时，加速度为零

知识点二　单摆的周期公式

3．有一单摆，其摆长l＝1.02 m，摆球的质量m＝0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：

(1)当地的重力加速度；

(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2 s)，摆长应怎样改变，改变多少．

4．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆长la与lb分别为(　　)

A．la＝2.5 m，lb＝0.9 m      B．la＝0.9 m，lb＝2.5 m

C．la＝2.4 m，lb＝4.0 m      D．la＝4.0 m，lb＝2.4 m

方法技巧练

一、单摆周期的求解方法

5．如图2所示，倾角为θ的光滑斜面上，将单摆上端固定在O点，平衡位置在O′点做简谐运动时，周期为________．

图2

6．细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子P，如图3所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是(　　)

图3

A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时单摆的周期小

B．摆球在左右两侧上升的最大高度一样

C．摆球在平衡的位置左右两侧走过的最大弧长相等

D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍

二、摆钟快慢的调整方法

7．将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1 h，那么实际上的时间应是______h．已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6.若要把此摆钟调准，应使摆长l0调节为________．

8．某一准确的摆钟，从北京移到南京，它是走快了还是慢了？应如何调整？

1．单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)

A．摆线质量不计

B．摆线长度不伸缩

C．摆球的直径比摆线长度短得多

D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动

2．下列有关单摆运动过程的受力说法，正确的是(　　)

A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C．单摆经过平衡位置时所受的合力为零

D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

3．影响单摆周期的因素有(　　)

A．振幅        B．摆长

C．重力加速度       D．摆球质量

4．如图4所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为(　　)

图4

A．2π   　　　　   B．2π

C．2π   　　　　  D．2π

5．将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，下列措施可行的是(　　)

A．将摆球的质量减半     B．振幅减半

C．摆长减半       D．摆长减为原来的

6．如图5所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，M≫m，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期为(　　)

图5

A．周期不变

B．先变大后变小

C．先变小后变大

D．逐渐变大

7．如图6所示，用绝缘细丝线悬吊着带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则(　　)

图6

A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同

B．当小球每次通过平衡位置时，速度大小相同

C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同

D．撤去磁场后，小球摆动周期变大

8．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是(　　)

A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大

B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小

C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大

D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大

9．一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1∶M2＝4∶1，半径之比为R1∶R2＝2∶1，则(　　)

A．T1∶T2＝1∶1      B．T1∶T2＝4∶1

C．T1∶T2＝2∶1      D．T1∶T2＝1∶2

10．如图7所示，光滑槽的半径R远大于小球运动的弧长．今有两个小球(视为质点)同时由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O远些，则它们第一次相遇的地点在(　　)

图7

A．O点

B．O点偏左

C．O点偏右

D．无法确定，因为两小球质量关系未定

11.一根摆长为2 m的单摆，在地球上某地摆动时，测得完成100次全振动所用的时间为284 s.

(1)求当地的重力加速度g；

(2)将该单摆拿到月球上去，已知月球的重力加速度是1.60 m/s2，单摆振动的周期是多少？

12. 摆长为l的单摆在平衡位置O的左右做摆角小于5°的简谐运动，当摆球经过平衡位置O(O在A点正上方)向右运动的同时，另一个以速度v在光滑水平面运动的小滑块，恰好经过A点向右运动，如图8所示，小滑块与竖直挡板P碰撞后以原来的速率返回，略去碰撞所用时间，试问：

图8

(1)A、P间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回A点时，摆球也同时到达O点且向左运动？

(2)AP间的最小距离是多少？

第2节　单摆

答案

课前预习练

1．质量　直径

2．切线　正比　平衡位置　－kx

3．简谐　无关　无关　正比　反比　2π

4．A　[本题主要考查单摆的受力和回复力，根据回复力的定义选项A正确；单摆的回复力除指明在最高点外都不是摆球受力的合力，但不管在哪个位置均可认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，所以选项B错误；经过平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因悬线方向上要受向心力，选项C错误；综上可知，选项D错误．]

5．AC

6．CD　[该题实际上考查了单摆周期的决定因素，根据单摆的固有周期我们可以知道固有周期与振幅、摆球的质量无关，θ角变小，只是振幅变小，故A、B选项错误．摆球由O→B运动的过程是个全振动，所以运动时间为，故C正确．摆球在运动的过程中机械能是守恒的，所以由B→O运动时，重力势能减小，动能增加，故D正确．]

课堂探究练

1．C　[单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为mv2/l，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零．故应选C.]

2．B　[摆球运动的回复力是摆球重力沿切线方向的分力，所以A错；摆球经过同一点受力情况不变，所以加速度相等，B对；摆球在运动过程中，不但有回复加速度还有做圆周运动的向心加速度，所以C、D错．]

点评　要理解回复力和向心力都是按效果命名的，一定要清楚它们的来源，回复力是沿振动方向上的合力而不是物体受到的合力．单摆的回复力是摆球重力的切向分力．

3．(1)9.79 m/s2　(2)其摆长要缩短　缩短0.027 m

解析　(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2π ，由此可得g＝4π2l/T2，只要求出T值代入即可．

因为T＝＝ s≈2.027 s.

所以g＝4π2l/T2＝(4×3.142×1.02)/2.0272 m/s2

≈9.79 m/s2.

(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有

＝，

故有l0＝＝ m≈0.993 m.

其摆长要缩短

Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m.

点评　当在摆角小于10°时，单摆的运动是简谐运动，周期为T＝2π ，由公式可知只要测得周期T和摆长l就可计算当地的重力加速度；单摆的周期与振幅无关，与摆球的质量无关，在g不变的情况下，改变周期需改变摆长．

4．B　[该题考查的是单摆的周期公式．设两个单摆的周期分别为Ta和Tb，由题意10Ta＝6Tb，得Ta∶Tb＝6∶10.

根据单摆周期公式T＝2π，可知l＝T2，由此得la∶lb＝T∶T＝36∶100.则

la＝×1.6＝0.9 m，

lb＝×1.6＝2.5 m．显见选项B正确．]

点评　根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出周期关系，再利用周期公式求出摆长．

5．2π

解析　摆球静止在平衡位置O′时，绳上的拉力为F拉＝mgsin θ，所以g′＝＝gsin θ.

故周期为T＝2π .

方法总结　单摆周期公式T＝2π，在一些情况中会有一些变化，l为悬点到质心的距离，g有时不是重力加速度，而要找出某些情景中的等效重力加速度g′.等效重力加速度的计算方法：用单摆静止时摆线上的张力除以摆球的质量．

6．AB　[有钉子时，摆球往返一次的时间为

T′＝(2π ＋2π )<2π ，A对．

摆球运动时，无能量损失，机械能守恒，因此在左右两侧上升的最大高度相同，B对．

如图所示，设摆球在平衡位置右侧的最大摆角为α，左侧的最大摆角为β，摆球在左右两侧上升的最大高度一样，这两处位于同一水平方向，取平衡位置为零势能位置，由mg·(1－cos α)＝mgl(1－cos β)解得＝2，显然α≠2β，D错．

＝α，＝lβ，α≠2β，所以≠，C错，故选A、B.]

方法总结　在周期公式T＝2π中，要明白这个l的含义，它并不一定代表绳长，它是指摆动物体重心距悬点的距离，即物体做圆周运动的半径．

7. 　

解析　设在地球上校准的摆钟周期为T0，实际时间为t0；在月球上周期为T1，指示时间为t1.由于指示时间t与振动次数N成正比，即t∝N；一定时间内全振动次数N与振动周期T成反比，即N∝；由单摆周期公式可知T∝，由以上推知t∝ ，则有＝ ，所求实际时间为t0＝t1＝ h．要把它调准，需将摆长调为l0/6.

方法总结　在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给定时间内全振动的次数多，周期小，钟面上显示的时间快．走时慢的摆钟，在给定时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间慢．因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期Ts即t显＝N·Ts，所以在同一时间内，钟面显示时间之比等于摆动次数之比，在同一显示时间下真实时间之比等于摆动周期之比．

8．变慢了，把摆长缩短．

解析　单摆周期公式T＝2π，由于北京和南京的重力加速度g北、g南不相等，

且g北>g南，因此周期不相等．

因为g北>g南，所以T北＝2π<T南＝2π

说明了振动一次时间的变长了，所以在南京摆钟变慢了．为使该摆钟在南京走时准确，必须将摆长缩短．

方法总结　要抓住摆钟变快、变慢的根本原因是g的变化，是不可再改变的，只有调节摆长．若发现变快，实际上是周期变短了，反之，若发现变慢，实际上是周期变长了，然后再作出相应的调节．

课后巩固练

1．ABC

2．B　[单摆运动是在一段圆弧上的运动，因此单摆运动过程中不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合力不为零，故选项C错误．]

3．BC

4．D　[这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π 计算，但注意此处的l与题中的绳长不同，公式中的l是指质点到悬点(等效悬点)的距离，即做圆周运动的半径．此题中单摆的等效摆长为lsin α，代入周期公式，可得T＝2π ，故选D.]

5．D

6．B　[在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，摆的重心逐渐下降，即摆长逐渐变大，当沙子流到一定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期先变大后变小，故答案选B.]

7．AB　[洛伦兹力总是与速度方向垂直，因此不参与提供回复力，所以对周期及动能无影响．]

8．D　[在最大位移处，雨滴落到摆球上，质量增大，同时摆球获得初速度，故振幅增大，但摆球质量不影响周期，周期不变．选项D正确．]

9．A　[由T＝2π 及GM＝gR2，得T＝2π ∝ ，所以＝，代入数据得T1∶T2＝1∶1，选A正确．]

10．A　[由于半径R远大于运动的弧长，所以小球做简谐运动，其周期都为T＝2π，与位移的大小无关，故同时到达O点，A正确．]

11．(1)9.78 m/s2　(2)7.02 s

解析　(1)周期T＝ s＝2.84 s.

g＝＝ m/s2≈9.78 m/s2.

(2)T′＝2π ＝2×3.14×  s≈7.02 s.

12．(1)A、P间的距离满足 (n＝0,1,2…)

(2)

解析　(1)小滑块做匀速直线运动的往返时间为t1，t1＝，单摆做简谐运动回到O点且向左运动所需时间为t2，t2＝＋nT(n＝0,1,2…)，其中T＝2π ，由题意可知t1＝t2，所以＝＋nT，即x＝(＋n)T＝(2n＋1)T＝(2n＋1)·2π ＝(n＝0,1,2…)．

(2)n＝0时，AP间的距离最小，xmin＝ .