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2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
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这是一份2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
5．（3分）某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍
6．（3分）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
7．（3分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（ ）
A．80﹣2π B．80+4π C．80 D．80+6π
8．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
9．（3分）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（）
10．（3分）以下四个命题：①用换元法解分式方程﹣+＝1时，如果设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0；②如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a＝2rcos54°；③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④二次函数y＝ax2﹣2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a（y1﹣y2）＞0．其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：x2y﹣4y3＝ ．
12．（3分）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
13．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是6这个随机事件的概率为 ．
14．（3分）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
15．（3分）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为 ．
16．（3分）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）计算
（1）计算（1）÷（﹣）+×﹣（）﹣2
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3，y＝．
18．（6分）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．
19．（6分）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
20．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
21．（9分）镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况．
已知调查得到的数据如下：
1.9，1.3，1.7，1.4，1.6，1.5，2.7，2.1，1.5，0.9，2.6，2.0，2.1，1.0，1.8，2.2，2.4，3.2，1.3，2.8
为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：
0.4，﹣0.2，0.2，﹣0.1，0.1，0，1.2，0.6，0，﹣0.6，1.1，0.5，0.6，﹣0.5，0.3，0.7，0.9，1.7，﹣0.2，1.3
（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收人超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收人是1.89万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？
（2）已知小李算得第二组数的方差是S，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为（1.5+S）2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．
22．（6分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．
24．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（ ）
A． B． C． D．
【考点】11：正数和负数．菁优网版权所有
【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的．
【解答】解：由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：0.6，0.7，2.5，3.5，
绝对值最小的为0.6，最接近标准．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正数和负数，本题的解题关键是求出检测结果的绝对值，绝对值越小的数越接近标准．
2．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
4．（3分）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【考点】L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得OA＝1，AC⊥BD，然后由勾股定理求得OB的长，继而求得答案．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB＝＝＝2，
∴BD＝2OB＝4；
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
5．（3分）某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍
【考点】VD：折线统计图；W4：中位数；W6：极差．菁优网版权所有
【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．
【解答】解：A、从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长，正确；
B、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是本，正确；
C、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.8﹣15.5＝45.3本，正确；
D、2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的倍，错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．
6．（3分）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
【考点】C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】求出不等式﹣1≤2﹣x的解，求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解答】解：解不等式﹣1≤2﹣x得：x≤，
∵不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，
∴x＜，
∴＞，
解得：m＜﹣，
故选：C．
【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
7．（3分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（ ）
A．80﹣2π B．80+4π C．80 D．80+6π
【考点】I4：几何体的表面积；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，据此解答即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，
正方体表面积：4×4×2+4×3×4＝80，圆柱体侧面积2π×3＝6π，上下表面空心圆面积：2π，
∴这个几何体的表面积是：80+6π﹣2π＝80+4π，
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的表面积，熟练掌握三视图是解题的关键．
8．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣1、x1•x2＝﹣3，将代数式x23﹣4x12+17进行转化后得出（x2﹣1）（x22+x+1）﹣4x12+18，再代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x2+x＝3，
∴x23﹣4x12+17＝x23﹣1﹣4x12+18＝（x2﹣1）（x22+x+1）﹣4x12+18＝（﹣1﹣x1﹣1）×4﹣4x12+18＝﹣8﹣4x1﹣4x12+18＝﹣8﹣4（x12+x1）+18＝10﹣4×3＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
9．（3分）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（）
【考点】D5：坐标与图形性质；LE：正方形的性质；R4：中心对称．菁优网版权所有
【分析】连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），则OE＝AF＝，DE＝OF＝2，D（，﹣2），因为B、D关于原点对称，所以B（﹣，2）．
【解答】解：如图，连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，
易证△AFO≌△OED（AAS），
∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，
∴D（，﹣2），
∵B、D关于原点对称，
∴B（﹣，2），
故选：B．
【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题的关键．
10．（3分）以下四个命题：①用换元法解分式方程﹣+＝1时，如果设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0；②如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a＝2rcos54°；③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④二次函数y＝ax2﹣2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a（y1﹣y2）＞0．其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】①利用换元法代入并化简；
②作OF⊥BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长；
③这个圆锥母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•r＝，然后解关于R的方程即可；
④根据二次函数图象的性质判断．
【解答】解：①设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0，故正确；
②作OF⊥BC．
∵∠COF＝72°÷2＝36°，
∴CF＝r•sin36°，
∴CB＝2rsin36°，即a＝2rsin36°＝2rcos54°．
故正确；
③设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，
根据题意得2π•r＝，
则R：r＝2：1．
由π•（）2h＝得到h＝．
所以h2+r2＝R2，即（）2+R2＝R2，则R＝
即它的母线长是．
故正确；
④二次函数y＝ax2﹣2ax+1的对称轴是x＝1，若a＜0时，如图：
当x1＜x2＜1时，y1＜y2
此时|x1﹣1|＞|x2﹣1|，y1＜y2，
所以a（y1﹣y2）＜0．
故错误．
综上所述，正确的命题的个数为3个．
故选：C．
【点评】考查了命题与定理．考查了换元法解分式方程，弧长的计算，二次函数图象的性质，解直角三角形等知识，需要对相关知识有一个系统的掌握．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：x2y﹣4y3＝ y（x﹣2y）（x+2y） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．
故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（3分）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ①② ．
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确．
【解答】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是6这个随机事件的概率为 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出至少有一枚骰子的点数是6的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图所示：
共有36种等可能的结果数，其中至少有一枚骰子的点数是6的结果数为11，
所以至少有一枚骰子的点数是6的概率＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．（3分）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3 ．
【考点】84：一元一次方程的定义．菁优网版权所有
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴当m＝1时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝2；
当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；
当2m﹣1＝0，即m＝时，方程为﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
15．（3分）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为 ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG∽△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．
【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AB＝BC＝CDA＝，
又∵CE＝，△EFC∽△EAB，
∴，
即：F是CD的中点，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，
∠BCF＝∠HDF＝90°
∴△BCF≌△HDF （AAS），
∴DH＝BC＝，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG
∴△HDG∽△BEG，
∴，
在Rt△ABH中，BH＝，
∴BG＝，
故答案为：
【点评】考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质以及勾股定理等知识的综合应用，转化思想方法的应用和画出相应的图形则显得尤为重要．
16．（3分）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是 ﹣6＜b＜6 ．
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE：配方法的应用．菁优网版权所有
【分析】将已知转化为对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，利用△＜0即可求解；
【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，
∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
∴△＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0，
∴﹣6＜b＜6；
故答案为﹣6＜b＜6；
【点评】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次不等式值的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）计算
（1）计算（1）÷（﹣）+×﹣（）﹣2
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3，y＝．
【考点】6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂；76：分母有理化；79：二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：（1）（1）÷（﹣）+×﹣（）﹣2
＝﹣×+﹣（1﹣）2
＝﹣2+6﹣4+2
＝2；
（2）（+）÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝3，y＝时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则、实数的混合运算法则是解题的关键．
18．（6分）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．
【考点】KS：勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，
∴∠A+∠B＜∠C；
（2）如图，过点A作MN∥BC，
∵MN∥BC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于180°；
（3）∵＝，
∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，
∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．
19．（6分）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【分析】首先把方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，然后变形为x2﹣x＝17，然后利用配方法解方程．
【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，
x2﹣x＝17，
x2﹣x+＝17+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝230km．
CD＝AB＝230km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝23°，
∴BD＝＝（km）．
∴AB＝BD+AD＝230+（km）．
答：公路AB的长为（230+）km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
21．（9分）镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况．
已知调查得到的数据如下：
1.9，1.3，1.7，1.4，1.6，1.5，2.7，2.1，1.5，0.9，2.6，2.0，2.1，1.0，1.8，2.2，2.4，3.2，1.3，2.8
为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：
0.4，﹣0.2，0.2，﹣0.1，0.1，0，1.2，0.6，0，﹣0.6，1.1，0.5，0.6，﹣0.5，0.3，0.7，0.9，1.7，﹣0.2，1.3
（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收人超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收人是1.89万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？
（2）已知小李算得第二组数的方差是S，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为（1.5+S）2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．
【考点】V5：用样本估计总体；W1：算术平均数；W4：中位数；W7：方差．菁优网版权所有
【分析】（1）计算出第二组数据的平均数，则把这个平均数加上1.5得到得到这20户家庭的平均年收入；用这20户家庭的平均年收入乘以130可估计全村年收入；用样本中家庭年收人超过1.5万元的百分比表示全村家庭年收人超过1.5万元的百分比，利用中位数的意义判断某家庭过去一年的收人是1.89万元，该家庭的收入情况在全村处于什么水平；
（2）利用方差的意义可判断小王的结果错误，然后根据方差公式计算第二组的方差即可．
【解答】解：（1）第二组数据的平均数为（0.4﹣0.2+0.2﹣0.1+0.1+0+1.2+0.6+0﹣0.6+1.1+0.5+0.6﹣0.5+0.3+0.7+0.9+1.7﹣0.2+1.3）＝0.4，
所以这20户家庭的平均年收入＝1.5+0.4＝1.9（万），
130×1.9＝247，
估计全村年收入为247万；
全村家庭年收人超过1.5万元的百分比为×100%＝65%；
某家庭过去一年的收人是1.89万元，则该家庭的收入情况在全村处于中下游；
（2）小王的结果不正确．
第一组数据的方差和第二组数据的方差一样．
它们的方差＝[（0.4﹣0.4）2+（﹣0.2﹣0.4）2+（0.2﹣0.4）2+…+（1.3﹣0.4）2]＝0.34．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了样本估计整体．
22．（6分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
【考点】8A：一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；
（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解．
【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．
（2）由（1）及题意得：
化简得
①+②得2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得x＝37
∴小王的实际行车时间为37分钟，小张的实际行车时间为18分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据已知条件求出矩形的边长，得A点坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数的性质比较y1与y2的大小；
（2）用待定系数求得一次函数的解析式，再求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标便可根据函数图象的位置关系求得不等式的解集．
【解答】解：（1）根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝，
∵点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有y1＞y2；
当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜﹣时，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝﹣时，y1＝y2，若﹣a＜a+1，即﹣＜a＜0时，y1＞y2；
当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有y1＜y2；
综上，当a＜﹣1时，y1＞y2；当﹣1＜a＜﹣时，y1＜y2；当a＝﹣时，y1＝y2；当﹣＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，y1＜y2．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），
∴，解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
解方程组，得，，
∴一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，矩形的性质，勾股定理，第（1）题的关键是求出矩形的边长，难点是分情况讨论y1与y2的大小．第（2）关键是观察函数图象的位置与自变量的取值范围的关系．
24．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；MC：切线的性质；MI：三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
⊙O的面积：12π＝（AB）2π，
则AB＝4，∠CAB＝30°，
∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝2π，
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，
故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定∠BMH＝30°＝∠BAC，进而求解．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式即求得k的值；把点A坐标代入二次函数解析式，且把a＝b代入，求得c＝﹣2a，所有二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，令y＝0即求得与x轴交点的坐标．
（2）由（1）得直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，两方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，求得其△＝（3a+2）2．由于a＞c，c＝﹣2a，求得a＞0，故△＝（3a+2）2＞0，方程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A还有另一个交点．
（3）由c＜a≤c+3和c＝﹣2a求得0＜a≤1，故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的大致图象．联立直线与抛物线解方程即求得点B坐标（用a表示）．将抛物线解析式配方求得顶点M和对称轴，求抛物线对称轴与直线交点N的坐标，点N纵坐标减去点M纵坐标得MN的长，进而能用含a的式子表示S△AMN与S△BMN，代入即写出S关于a的函数关系式．由0＜a≤1得到当a＝1时，S能有最大值，并能求出最大值．
【解答】解：（1）把点A（2，0）代入y＝kx+4得：2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点A（2，0），且a＝b
∴4a﹣2a+c＝0
解得：c＝﹣2a
∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a（a≠0）
当ax2﹣ax﹣2a＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1
∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．
（2）证明：由（1）得：直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a
整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0
∴△＝（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）＝a2﹣4a+4+8a2+16a＝9a2+12a+4＝（3a+2）2
∵a＞c，c＝﹣2a
∴a＞﹣2a
∴a＞0
∴3a+2＞0
∴△＝（3a+2）2＞0
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点
（3）∵c＜a≤c+3，c＝﹣2a
∴﹣2a＜a≤﹣2a+3
∴0＜a≤1，抛物线开口向上
∵ 整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0，且△＝（3a+2）2＞0
∴x＝
∴x1＝2（即点A横坐标），x2＝﹣1﹣
∴y2＝﹣2（﹣1﹣）+4＝+6
∴直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1﹣，）
∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣）2﹣a
∴顶点M（，﹣a），对称轴为直线x＝
∴抛物线对称轴与直线y＝﹣2x+4的交点N（，3）
∴如图，MN＝3﹣（﹣a）＝3+a
∴S＝S△AMN﹣S△BMN＝MN（xA﹣）﹣MN（﹣xB）＝（3+a）（2﹣）﹣（3+a）（+1+）＝（3+a）（﹣﹣）＝3a﹣+
∵0＜a≤1
∴0＜3a≤3，﹣≤﹣3
∴当a＝1时，3a＝3，﹣＝﹣3均取得最大值
∴S＝3a﹣+有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，不等式的应用．其中第（1）（2）题求解的结论是没有附加条件的，故在后续证明或计算时能直接使用．在没有图象的情况下考查二次函数和一次函数的相关性质，体现数形结合的应用，在解题时要根据题意画出大致图象再进行解题．
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日期：2019/7/29 11:40:03；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
5．（3分）某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍
6．（3分）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
7．（3分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（ ）
A．80﹣2π B．80+4π C．80 D．80+6π
8．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
9．（3分）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（）
10．（3分）以下四个命题：①用换元法解分式方程﹣+＝1时，如果设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0；②如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a＝2rcos54°；③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④二次函数y＝ax2﹣2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a（y1﹣y2）＞0．其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：x2y﹣4y3＝ ．
12．（3分）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
13．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是6这个随机事件的概率为 ．
14．（3分）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
15．（3分）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为 ．
16．（3分）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）计算
（1）计算（1）÷（﹣）+×﹣（）﹣2
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3，y＝．
18．（6分）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．
19．（6分）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
20．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
21．（9分）镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况．
已知调查得到的数据如下：
1.9，1.3，1.7，1.4，1.6，1.5，2.7，2.1，1.5，0.9，2.6，2.0，2.1，1.0，1.8，2.2，2.4，3.2，1.3，2.8
为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：
0.4，﹣0.2，0.2，﹣0.1，0.1，0，1.2，0.6，0，﹣0.6，1.1，0.5，0.6，﹣0.5，0.3，0.7，0.9，1.7，﹣0.2，1.3
（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收人超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收人是1.89万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？
（2）已知小李算得第二组数的方差是S，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为（1.5+S）2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．
22．（6分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．
24．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（ ）
A． B． C． D．
【考点】11：正数和负数．菁优网版权所有
【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的．
【解答】解：由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：0.6，0.7，2.5，3.5，
绝对值最小的为0.6，最接近标准．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正数和负数，本题的解题关键是求出检测结果的绝对值，绝对值越小的数越接近标准．
2．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
4．（3分）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【考点】L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得OA＝1，AC⊥BD，然后由勾股定理求得OB的长，继而求得答案．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB＝＝＝2，
∴BD＝2OB＝4；
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
5．（3分）某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍
【考点】VD：折线统计图；W4：中位数；W6：极差．菁优网版权所有
【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．
【解答】解：A、从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长，正确；
B、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是本，正确；
C、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.8﹣15.5＝45.3本，正确；
D、2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的倍，错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．
6．（3分）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
【考点】C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】求出不等式﹣1≤2﹣x的解，求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解答】解：解不等式﹣1≤2﹣x得：x≤，
∵不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，
∴x＜，
∴＞，
解得：m＜﹣，
故选：C．
【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
7．（3分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（ ）
A．80﹣2π B．80+4π C．80 D．80+6π
【考点】I4：几何体的表面积；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，据此解答即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，
正方体表面积：4×4×2+4×3×4＝80，圆柱体侧面积2π×3＝6π，上下表面空心圆面积：2π，
∴这个几何体的表面积是：80+6π﹣2π＝80+4π，
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的表面积，熟练掌握三视图是解题的关键．
8．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣1、x1•x2＝﹣3，将代数式x23﹣4x12+17进行转化后得出（x2﹣1）（x22+x+1）﹣4x12+18，再代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x2+x＝3，
∴x23﹣4x12+17＝x23﹣1﹣4x12+18＝（x2﹣1）（x22+x+1）﹣4x12+18＝（﹣1﹣x1﹣1）×4﹣4x12+18＝﹣8﹣4x1﹣4x12+18＝﹣8﹣4（x12+x1）+18＝10﹣4×3＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
9．（3分）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（）
【考点】D5：坐标与图形性质；LE：正方形的性质；R4：中心对称．菁优网版权所有
【分析】连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），则OE＝AF＝，DE＝OF＝2，D（，﹣2），因为B、D关于原点对称，所以B（﹣，2）．
【解答】解：如图，连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，
易证△AFO≌△OED（AAS），
∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，
∴D（，﹣2），
∵B、D关于原点对称，
∴B（﹣，2），
故选：B．
【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题的关键．
10．（3分）以下四个命题：①用换元法解分式方程﹣+＝1时，如果设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0；②如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a＝2rcos54°；③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④二次函数y＝ax2﹣2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a（y1﹣y2）＞0．其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】①利用换元法代入并化简；
②作OF⊥BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长；
③这个圆锥母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•r＝，然后解关于R的方程即可；
④根据二次函数图象的性质判断．
【解答】解：①设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0，故正确；
②作OF⊥BC．
∵∠COF＝72°÷2＝36°，
∴CF＝r•sin36°，
∴CB＝2rsin36°，即a＝2rsin36°＝2rcos54°．
故正确；
③设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，
根据题意得2π•r＝，
则R：r＝2：1．
由π•（）2h＝得到h＝．
所以h2+r2＝R2，即（）2+R2＝R2，则R＝
即它的母线长是．
故正确；
④二次函数y＝ax2﹣2ax+1的对称轴是x＝1，若a＜0时，如图：
当x1＜x2＜1时，y1＜y2
此时|x1﹣1|＞|x2﹣1|，y1＜y2，
所以a（y1﹣y2）＜0．
故错误．
综上所述，正确的命题的个数为3个．
故选：C．
【点评】考查了命题与定理．考查了换元法解分式方程，弧长的计算，二次函数图象的性质，解直角三角形等知识，需要对相关知识有一个系统的掌握．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：x2y﹣4y3＝ y（x﹣2y）（x+2y） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．
故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（3分）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ①② ．
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确．
【解答】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是6这个随机事件的概率为 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出至少有一枚骰子的点数是6的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图所示：
共有36种等可能的结果数，其中至少有一枚骰子的点数是6的结果数为11，
所以至少有一枚骰子的点数是6的概率＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．（3分）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3 ．
【考点】84：一元一次方程的定义．菁优网版权所有
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴当m＝1时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝2；
当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；
当2m﹣1＝0，即m＝时，方程为﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
15．（3分）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为 ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG∽△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．
【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AB＝BC＝CDA＝，
又∵CE＝，△EFC∽△EAB，
∴，
即：F是CD的中点，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，
∠BCF＝∠HDF＝90°
∴△BCF≌△HDF （AAS），
∴DH＝BC＝，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG
∴△HDG∽△BEG，
∴，
在Rt△ABH中，BH＝，
∴BG＝，
故答案为：
【点评】考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质以及勾股定理等知识的综合应用，转化思想方法的应用和画出相应的图形则显得尤为重要．
16．（3分）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是 ﹣6＜b＜6 ．
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE：配方法的应用．菁优网版权所有
【分析】将已知转化为对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，利用△＜0即可求解；
【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，
∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
∴△＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0，
∴﹣6＜b＜6；
故答案为﹣6＜b＜6；
【点评】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次不等式值的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）计算
（1）计算（1）÷（﹣）+×﹣（）﹣2
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3，y＝．
【考点】6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂；76：分母有理化；79：二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：（1）（1）÷（﹣）+×﹣（）﹣2
＝﹣×+﹣（1﹣）2
＝﹣2+6﹣4+2
＝2；
（2）（+）÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝3，y＝时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则、实数的混合运算法则是解题的关键．
18．（6分）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．
【考点】KS：勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，
∴∠A+∠B＜∠C；
（2）如图，过点A作MN∥BC，
∵MN∥BC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于180°；
（3）∵＝，
∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，
∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．
19．（6分）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【分析】首先把方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，然后变形为x2﹣x＝17，然后利用配方法解方程．
【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，
x2﹣x＝17，
x2﹣x+＝17+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝230km．
CD＝AB＝230km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝23°，
∴BD＝＝（km）．
∴AB＝BD+AD＝230+（km）．
答：公路AB的长为（230+）km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
21．（9分）镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况．
已知调查得到的数据如下：
1.9，1.3，1.7，1.4，1.6，1.5，2.7，2.1，1.5，0.9，2.6，2.0，2.1，1.0，1.8，2.2，2.4，3.2，1.3，2.8
为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：
0.4，﹣0.2，0.2，﹣0.1，0.1，0，1.2，0.6，0，﹣0.6，1.1，0.5，0.6，﹣0.5，0.3，0.7，0.9，1.7，﹣0.2，1.3
（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收人超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收人是1.89万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？
（2）已知小李算得第二组数的方差是S，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为（1.5+S）2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．
【考点】V5：用样本估计总体；W1：算术平均数；W4：中位数；W7：方差．菁优网版权所有
【分析】（1）计算出第二组数据的平均数，则把这个平均数加上1.5得到得到这20户家庭的平均年收入；用这20户家庭的平均年收入乘以130可估计全村年收入；用样本中家庭年收人超过1.5万元的百分比表示全村家庭年收人超过1.5万元的百分比，利用中位数的意义判断某家庭过去一年的收人是1.89万元，该家庭的收入情况在全村处于什么水平；
（2）利用方差的意义可判断小王的结果错误，然后根据方差公式计算第二组的方差即可．
【解答】解：（1）第二组数据的平均数为（0.4﹣0.2+0.2﹣0.1+0.1+0+1.2+0.6+0﹣0.6+1.1+0.5+0.6﹣0.5+0.3+0.7+0.9+1.7﹣0.2+1.3）＝0.4，
所以这20户家庭的平均年收入＝1.5+0.4＝1.9（万），
130×1.9＝247，
估计全村年收入为247万；
全村家庭年收人超过1.5万元的百分比为×100%＝65%；
某家庭过去一年的收人是1.89万元，则该家庭的收入情况在全村处于中下游；
（2）小王的结果不正确．
第一组数据的方差和第二组数据的方差一样．
它们的方差＝[（0.4﹣0.4）2+（﹣0.2﹣0.4）2+（0.2﹣0.4）2+…+（1.3﹣0.4）2]＝0.34．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了样本估计整体．
22．（6分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
【考点】8A：一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；
（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解．
【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．
（2）由（1）及题意得：
化简得
①+②得2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得x＝37
∴小王的实际行车时间为37分钟，小张的实际行车时间为18分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据已知条件求出矩形的边长，得A点坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数的性质比较y1与y2的大小；
（2）用待定系数求得一次函数的解析式，再求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标便可根据函数图象的位置关系求得不等式的解集．
【解答】解：（1）根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝，
∵点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有y1＞y2；
当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜﹣时，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝﹣时，y1＝y2，若﹣a＜a+1，即﹣＜a＜0时，y1＞y2；
当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有y1＜y2；
综上，当a＜﹣1时，y1＞y2；当﹣1＜a＜﹣时，y1＜y2；当a＝﹣时，y1＝y2；当﹣＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，y1＜y2．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），
∴，解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
解方程组，得，，
∴一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，矩形的性质，勾股定理，第（1）题的关键是求出矩形的边长，难点是分情况讨论y1与y2的大小．第（2）关键是观察函数图象的位置与自变量的取值范围的关系．
24．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；MC：切线的性质；MI：三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
⊙O的面积：12π＝（AB）2π，
则AB＝4，∠CAB＝30°，
∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝2π，
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，
故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定∠BMH＝30°＝∠BAC，进而求解．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式即求得k的值；把点A坐标代入二次函数解析式，且把a＝b代入，求得c＝﹣2a，所有二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，令y＝0即求得与x轴交点的坐标．
（2）由（1）得直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，两方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，求得其△＝（3a+2）2．由于a＞c，c＝﹣2a，求得a＞0，故△＝（3a+2）2＞0，方程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A还有另一个交点．
（3）由c＜a≤c+3和c＝﹣2a求得0＜a≤1，故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的大致图象．联立直线与抛物线解方程即求得点B坐标（用a表示）．将抛物线解析式配方求得顶点M和对称轴，求抛物线对称轴与直线交点N的坐标，点N纵坐标减去点M纵坐标得MN的长，进而能用含a的式子表示S△AMN与S△BMN，代入即写出S关于a的函数关系式．由0＜a≤1得到当a＝1时，S能有最大值，并能求出最大值．
【解答】解：（1）把点A（2，0）代入y＝kx+4得：2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点A（2，0），且a＝b
∴4a﹣2a+c＝0
解得：c＝﹣2a
∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a（a≠0）
当ax2﹣ax﹣2a＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1
∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．
（2）证明：由（1）得：直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a
整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0
∴△＝（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）＝a2﹣4a+4+8a2+16a＝9a2+12a+4＝（3a+2）2
∵a＞c，c＝﹣2a
∴a＞﹣2a
∴a＞0
∴3a+2＞0
∴△＝（3a+2）2＞0
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点
（3）∵c＜a≤c+3，c＝﹣2a
∴﹣2a＜a≤﹣2a+3
∴0＜a≤1，抛物线开口向上
∵ 整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0，且△＝（3a+2）2＞0
∴x＝
∴x1＝2（即点A横坐标），x2＝﹣1﹣
∴y2＝﹣2（﹣1﹣）+4＝+6
∴直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1﹣，）
∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣）2﹣a
∴顶点M（，﹣a），对称轴为直线x＝
∴抛物线对称轴与直线y＝﹣2x+4的交点N（，3）
∴如图，MN＝3﹣（﹣a）＝3+a
∴S＝S△AMN﹣S△BMN＝MN（xA﹣）﹣MN（﹣xB）＝（3+a）（2﹣）﹣（3+a）（+1+）＝（3+a）（﹣﹣）＝3a﹣+
∵0＜a≤1
∴0＜3a≤3，﹣≤﹣3
∴当a＝1时，3a＝3，﹣＝﹣3均取得最大值
∴S＝3a﹣+有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，不等式的应用．其中第（1）（2）题求解的结论是没有附加条件的，故在后续证明或计算时能直接使用．在没有图象的情况下考查二次函数和一次函数的相关性质，体现数形结合的应用，在解题时要根据题意画出大致图象再进行解题．
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日期：2019/7/29 11:40:03；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
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