人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积精品同步训练题

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

课后篇巩固提升

基础巩固

1.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为(　　)

A.1 B. C. D.

答案D

解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R,

V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=3∶4,故选D.

2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　)

A.4 B.8 C.8 D.8

答案B

解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴x=2R=2,

∴x=,∴S正=6x2=6×=8.

3.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析设正方体的棱长为a,球的半径为R,由6a2=4πR2得.

4.

(2015全国Ⅰ高考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)

A.14斛 B.22斛

C.36斛 D.66斛

答案B

解析设底面圆半径为R,米堆高为h.

∵米堆底部弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=.

∴体积V=·πR2h=×π××5.

∵π≈3,∴V≈(尺3).

∴堆放的米约为≈22(斛).

5.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(　　)

A.π B.4π C.4π D.6π

答案B

解析如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,

则OO'=,O'M=1,

∴OM=,即球的半径为,∴V=π()3=4π.

6.圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为(　　)

A.18π B.9(1+2)π

C.9π D.9(1+)π

答案D

解析∵圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,

∴h=2r,又圆锥的体积V=18π,

即πr2h==18π,解得r=3.

∴h=6,母线长为l==3,

则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×3+π×32=9(1+)π.

7.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为(　　)

A.21π B.42π C.84π D.84

答案C

解析如图,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.∵正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,AM==2,OM=3,球半径R=OA=,该棱柱外接球的表面积为S=4π×()2=84π.

8.

圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是　　　　　. 

答案4

解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.

9.

如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为　　　　　. 

答案

解析作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=.

10.已知一个圆柱的轴截面为正方形,其侧面积为S1,与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为S2,则的值为　　　　　. 

答案

解析设圆柱的底面圆的半径为r,则高为2r,则圆锥母线长为r,所以S1=2πr×2r=4πr2,S2=π×r×r=πr2,所以.

11.圆柱的体积为π,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的体积为　　　　　. 

答案

解析设圆柱的高为h,∵圆柱体积为π,底面半径为,∴π××h=π,解得h=1,

设球半径为R,则(2R)2=()2+12,即4R2=4,解得R=1,∴球的体积为πR3=π.

12.一个球内切于底面半径为,高为3的圆锥内,则内切球半径是　　　　　;内切球与该圆锥的体积之比为　　　　　. 

答案1　

解析设球的半径为r,则对圆锥轴截面运用等面积法可得×2×3=(2+2×2)r,∴r=1,内切球与该圆锥的体积之比为.

13.如图,一个几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成,且圆柱的高与底面半径相等.若圆柱与圆锥的侧面积相等,则圆锥与圆柱的高之比为　　　　　. 

答案

解析设圆柱和圆锥的底面半径为R,则圆柱的高h1=R,圆锥的母线长为l,因为圆柱与圆锥的侧面积相等,所以2πR×R=πR×l,解得l=2R,得圆锥的高为h2=R,所以圆锥与圆柱的高之比为.

14.(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为　　　　. 

答案

解析由底面边长为,可得OC=1.

设M为VC的中点,O1M=OC=,

O1O=VO,

VO==2,∴O1O=1.

V柱=π·O1M2·O1O=π×2×1=.

15.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.

16.

如图所示,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.

解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,∴,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×=(2+2)π.

能力提升

1.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)(　　)

A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸

答案A

解析作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.

即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,

∴GE==10(寸).

即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸),

∴平均降雨量是=3(寸),即平均降雨量是3寸.

2.

如图所示,半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的表面积为　　　　　,体积为　　　　　. 

答案πR2　πR3

解析如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,

又∠BAC=30°,AB=2R,

∴AC=R,BC=R,CO1=R,∴=π×R×R=πR2,=π×R×R=πR2,

∴S几何体表=S球+πR2,

∴旋转所得到的几何体的表面积为πR2.

又V球=πR3,

∴V几何体=V球-()=πR3-×AB×π×CπR3-πR3.

3.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.

解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.

连接CO1,CE,如图.

则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.

∵AB=3,∴O1C=3.

在Rt△SO1C中,SC=2,

∴SO1=.

在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,∴SE==4.∴球半径R=2.∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.