2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§2.3　分式方程

这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§2.3　分式方程，共21页。

考点一　分式方程及其解法
1.(2020四川成都,8,3分)已知x=2是分式方程 + =1的解,那么实数k的值为 (　　)A.3　    B.4　    C.5　    D.6
2.(2019四川成都,7,3分)分式方程 + =1的解为 (　　)A.x=-1　    B.x=1　    C.x=2　    D.x=-2
答案    A　原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)≠0,所以x=-1是原分式方 程的解,故选A.
3.(2018湖北荆州,5,3分)解分式方程 -3= 时,去分母可得(　　)A.1-3(x-2)=4　     B.1-3(x-2)=-4C.-1-3(2-x)=-4　    D.1-3(2-x)=4
4.(2020内蒙古包头,14,3分)分式方程 + =1的解是　　　    .
5.(2020内蒙古呼和浩特,13,3分)分式 与 的最简公分母是　　　    ,方程 - =1的解是    　　    .
答案    x(x-2);x=-4
6.(2019黑龙江齐齐哈尔,14,3分)关于x的分式方程 - =3的解为非负数,则a的取值范围为　　　    　　    .
答案    a≤4且a≠3
思路分析　先解关于x的分式方程,求得x的值,再依据“解为非负数,分母不为0”建立不等式组求a的取 值范围.
7.(2020陕西,16,5分)解分式方程: - =1.
易错警示　解分式方程一定要检验.可将整式方程的根代入最简公分母进行检验,也可代入各分母进行 检验.
考点二　分式方程的应用
1.(2020云南昆明,12,4分)某校举行“停课不停学,名师陪你在家学”活动,计划投资8 000元建设几间直 播教室,为了保证教学质量,实际每间建设费用增加了20%,并比原计划多建设了一间直播教室,总投资追 加了4 000元,根据题意,原计划每间直播教室的建设费用是 (　　)A.1 600元　    B.1 800元C.2 000元　    D.2 400元
2.(2020广西北部湾经济区,10,3分)甲、乙两地相距600 km,提速前动车的速度为v km/h,提速后动车的速 度是提速前的1.2倍,提速后行车时间比提速前减少20 min,则可列方程为 (　　)A. - = 　    B. = - C. -20= 　    D. = -20
3.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙两船从相距300 km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行18 0 km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6 km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h,则 求两船在静水中的速度可列方程为 (　　)A. = 　    B. = C. = 　    D. = 
4.(2019江西,11,3分)斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明 程度.如图,某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11 秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍,求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速 度是x米/秒,根据题意列方程得:　　　　    . 
5.(2020云南,18,6分)某地响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展 “美化绿色城市”活动,绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域.实际施工中,由于采用了新技术, 实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍,所以比原计划提前4 年完成了上述绿化升级改造任务,实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米?
思路分析　分别表示出原计划和实际的绿化升级改造所需要的时间,根据它们的时间差列出方程,解方 程.
6.(2019吉林长春,17,6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天 加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.
思路分析　设原计划每天加工这种彩灯的数量为x套,则实际每天加工1.2x套.根据“原计划加工的天数- 实际加工的天数=5”列出方程求解.
易错警示　此类问题容易出错的地方是不能从题目中找出等量关系,不能建立方程.此外,解分式方程不 注意检验也是易犯的错误.
7.(2019云南,18,6分)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学 校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教 育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均 速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均 速度.
易错警示    解分式方程的应用题时要对结果进行检验.
1.(2020黑龙江齐齐哈尔,7,3分)若关于x的分式方程 = +5的解为正数,则m的取值范围为 (　　)A.m<-10　     B.m≤-10C.m≥-10且m≠-6　    D.m>-10且m≠-6
2.(2018湖南张家界,2,3分)若关于x的分式方程 =1的解为x=2,则m的值为 (　　)A.5　    B.4　    C.3　    D.2
3.(2018四川成都,8,3分)分式方程 + =1的解是 (　　)A.x=1　    B.x=-1　    C.x=3　    D.x=-3
4.(2018甘肃兰州A卷,10,4分)关于x的分式方程 =1的解为负数,则a的取值范围为 (　　)A.a>1　     B.a<1C.a<1且a≠-2　    D.a>1且a≠2
答案    D　去分母得2x+a=x+1,解得x=1-a.∵分式的分母不为0,∴x+1=1-a+1≠0,解得a≠2.∵方程的解为负数,∴1-a<0,∴a>1.∴a的取值范围是a>1且a≠2.故选D.
5.(2017重庆A卷,12,4分)若数a使关于x的分式方程 + =4的解为正数,且使关于y的不等式组 的解集为y<-2,则符合条件的所有整数a的和为 (　　)A.10　    B.12　    C.14　    D.16
答案    A　解分式方程 + =4得x= .∵分式方程的解为正数,∴ >0且 ≠1,∴a<6且a≠2. 解不等式①,得y<-2.解不等式②,得y≤a.∵不等式组的解集为y<-2,∴a≥-2,∴-2≤a<6且a≠2.∵a为整数,∴a=-2,-1,0,1,3,4,5,∴符合条件的所有整数a的和为10.故选A.
6.(2020山东潍坊,16,3分)若关于x的分式方程 = +1有增根,则m=　　　    .
思路分析　先解分式方程,用m表示x,增根就是使最简公分母为0的根,即可得解.
7.(2020江苏苏州,20,5分)解方程: +1= .
8.(2017陕西,16,5分)解方程: - =1.
解析　(x+3)2-2(x-3)=(x-3)(x+3), (2分)x2+6x+9-2x+6=x2-9,x=-6. (4分)经检验,x=-6是原方程的根. (5分)
1.(2020福建,8,4分)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几 株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每 株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株 椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (　　)A.3(x-1)= 　    B. =3C.3x-1= 　    D. =3
2.(2019广东广州,6,3分)甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间 与乙做150个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下列方程正确的是 (　　)A. = 　    B. = C. = 　    D. = 
思路分析　由于每小时甲比乙少做8个,所以当甲每小时做x个零件时,乙每小时做(x+8)个零件,根据甲做 120个零件所用的时间和乙做150个零件所用的时间相等列出方程.
3.(2019江苏苏州,6,3分)小明用15元买售价相同的软面笔记本,小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两 人的钱恰好用完).已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元,且小明和小丽买到相同数量的笔记本.设软 面笔记本每本售价为x元,根据题意可列出的方程为 (　　)A. = 　    B. = C. = 　    D. = 
4.(2018新疆,14,5分)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次 每支的进价是第一次进价的 倍,购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔每支的进价是　　　    元.
5.(2020吉林,17,5分)甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙 做60个所用的时间相等.求乙每小时做零件的个数.
思路分析　设乙每小时做x个零件,则甲每小时做(x+6)个零件,根据“时间=总工作量÷工作效率”和 “甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等”即可得出关于x的分式方程,解之并检验后得解.
6.(2019湖北黄冈,20,7分)为了对学生进行革命传统教育,红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生 从学校同时出发,步行4 000米到达烈士纪念馆.学校要求九(1)班提前到达目的地,做好活动的准备工作. 行走过程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍,结果比其他班提前10分钟到达.分别求九(1)班、 其他班步行的平均速度.
思路分析　可设其他班步行的平均速度,然后根据九(1)班比其他班提前10分钟到达建立等量关系.
7.(2018云南,18,6分)某社区积极响应正在开展的“创文活动”,组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一 些区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2 倍,并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时.乙工程队 每小时能完成多少平方米的绿化面积?
A组　2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟　分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
2.(2018贵州黔南州一模,10)解分式方程 + =4时,去分母后得 (　　)A.3-x=4(x-2)　     B.3+x=4(x-2)C.3(2-x)+x(x-2)=4　    D.3-x=4
答案    A　方程两边同乘(x-2),得3-x=4(x-2).故选A.
3.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,7)某工厂新引进一批电子产品,甲工人比乙工人每小时多搬运30件电 子产品,已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设 乙工人每小时搬运x件电子产品,则可列方程为 (　　)A. = 　    B. = C. = 　    D. = 
4.(2019四川绵阳涪城二诊,8)甲、乙两位同学做中国结,已知甲每小时比乙少做6个,甲做30个所用的时 间与乙做45个所用的时间相等,求甲每小时做中国结的个数.如果设甲每小时做x个,那么可列方程为 (　　)A. = 　    B. = C. = 　    D. = 
二、填空题(每小题3分,共9分)5.(2020广东广州一模,13)分式方程 =1的解是　　　    .
解析　方程的两边同乘x+1,得2=x+1,解得x=1.检验:把x=1代入x+1,得1+1=2≠0.∴原分式方程的解为x=1.
6.(2019辽宁沈阳模拟,14)分式方程 - =0的解是　　　    .
解析　去分母得x-5-10=0,解得x=15,经检验,x=15是分式方程的解.
7.(2019云南昆明五华模拟,11)当式子 - - 的值等于零时,x=　　　    .
三、解答题(共29分)8.(2020甘肃兰州一诊,19)解方程: -1=0.
解析　去分母得1-2x+1=0,解得x=1,经检验,x=1是分式方程的解.
9.(2019吉林长春一模,15)小明解方程 + =3出现了错误,解答过程如下:方程两边都乘(x-2),得1-(1-x)=3(第一步),去括号,得1-1+x=3(第二步),移项,合并同类项,得x=3(第三步),检验:当x=3时,x-2≠0(第四步),所以x=3是原方程的解(第五步).(1)小明的解答过程是从第　　　    步开始出错的,原方程化为第一步的依据是　　　　　　　    ;(2)请写出此题正确的解答过程.
解析　(1)小明的解答过程是从第一步开始出错的.原方程化为第一步的依据是去分母(等式的基本性质).故答案为一,去分母(等式的基本性质).(2)方程两边都乘(x-2),得1-(1-x)=3(x-2),去括号,得1-1+x=3x-6,移项,合并同类项,得2x=6,解得x=3,经检验,x =3是原方程的解.故原方程的解为x=3.
10.(2020云南曲靖马龙一模,19)曲靖市某街道学苑社区开展爱心捐赠活动,并决定赠送一批阅读图书,用 于贫困学生的课外学习.据了解,科普书的单价比文学书的单价多8元,用12 000元购买科普书与用8 000 元购买文学书的本数相同,求这两类书籍的单价各是多少元.
11.(2019山西大同二模,20)大张高铁是连接晋北地区与京津冀地区的重要交通枢纽,也是大同市的“一 号工程”,大张高铁预计于2019年9月进行联调联试,并计划年底开通.大张高铁开通后,从大同至北京的 列车运行时间将比普通列车缩短4 小时,已知大同到北京全程约350千米,高铁列车的速度是普通列车速度的3.6倍,求从大同乘坐高铁到北京需要多长时间.
B组　2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟　分值:50分一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2019河北保定南市一模,10)关于x的分式方程 +3= 无解,m的值为 (　　)A.7　    B.-7　    C.1　    D.-1
答案    A　两边都乘(x-1),得7+3(x-1)=m,m=3x+4,由分式方程无解得该分式方程的增根是x=1,将x=1代入,得m=3×1+4=7.故选A.
3.(2019辽宁本溪模拟,7)五一江北水城文化旅游节期间,几名同学包租一辆面包车前去旅游,面包车的租 价为180元,出发时又增加了两名同学,结果每名同学比原来少摊了3元钱车费,设原来旅游的同学共x名, 则所列方程为 (　　)A. - =3　    B. - =3C. - =3　    D. - =3
4.(2020黑龙江绥化一模,13)若分式方程 =2+ 的解为正数,则a的取值范围是　　　　　    .
答案    a<8且a≠4
解析　去分母得x=2x-8+a,解得x=8-a.根据题意得8-a>0且8-a≠4,解得a<8且a≠4.
易错警示　本题易忽略x≠4的情况.
5.(2020辽宁鞍山铁东一模,14)现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展.据调查,某家小 型快递公司的分拣工小李和小江在分拣同一类物件时,小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个 物件所用的时间相同,已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每小时分拣x个物件,则可列方 程为　　　　　　    .
6.(2019黑龙江哈尔滨松北一模,17)帐篷厂原计划生产7 200顶帐篷,后来为了支援灾区,要求工厂生产的 帐篷比原计划多20%,并需要提前4天完成任务.已知实际生产时每天比原计划多生产720顶帐篷,设实际 每天生产x顶帐篷,根据题意可列方程为　　　　　　　    .
三、解答题(共32分)7.(2020吉林长春一模,17)今年初,新型冠状病毒侵袭湖北,武汉是重灾区,某爱心人士两次购买N95口罩 支援武汉,第一次花了500 000元,第二次花了770 000元,两次购买了同样的N95口罩,已知第二次购买的 口罩的单价是第一次的1.4倍,且比第一次多购进了10 000个,求该爱心人士第一次购买的口罩的单价.
8.(2020云南红河州开远模拟,18)为提高学生的阅读兴趣,某学校建立了共享书架,并购买了一批书籍.其 中购买A种图书花费了3 000元,购买B种图书花费了1 600元,A种图书的单价是B种图书单价的1.5倍,购买 A种图书的数量比B种图书的数量多20本,求A和B两种图书的单价分别为多少元.
9.(2019吉林长春宽城一模,17)在创建文明城市的进程中,某市为美化城市环境,计划种植树木6 000棵,由 于志愿者的加入,实际每天植树的棵数比原计划多20%,结果提前5天完成任务,求原计划每天植树的棵 数.