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2021年中考数学压轴题专项训练 二次函数（含解析）
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这是一份2021年中考数学压轴题专项训练 二次函数（含解析），共26页。
2021年中考数学压轴题专项训练《二次函数》
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴，解得；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C（3，0），
∵点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在抛物线的对称轴x＝1上，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1，则y＝﹣1+3＝2，
∴P（1，2），
设平移后的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+4，
∵新抛物线经过点P，
∴2＝﹣（1﹣h）2+4，
解得h1＝1+，h2＝1﹣，
∴新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1﹣，4）．
2．如图a，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC的形状．并证明你的结论．
（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由．
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：
b＝1，c＝2，
故：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）四边形BC′AC为矩形．
抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴的另一个交点为：（﹣1，0）
由勾股定理求得：BC＝，AC＝2，又AB＝5，
由勾股定理的逆定理可得：△ABC直角三角形，
故∠BCA＝90°；
已知，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，
由旋转的性质可得：BC＝AC'，AC＝BC'
所以，四边形BC′AC为平行四边形，已证∠BCA＝90°，
∴四边形BC′AC为矩形；
（3）存在点D，
使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，
则点D与点C关于函数对称轴对称，
故：点D的坐标为（3，2）．
3．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．
（1）求m的值；
（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；
（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，
函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），
则AQ所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，
故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；
（3）不存在，理由：
△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°
①当点Q（2，﹣3）时，
则BQ的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，
联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣，），
此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；
②当点Q（﹣4，21）时，
同理可得：点P（﹣，），
此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；
综上，点P不存在．
4．如图，已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，与y轴交于点D（0，﹣3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE＝3：2．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点M为x轴上一点，求MD+MA的最小值．
解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0），
作EF⊥x轴于F，如图，
∵OD∥EF，
∴＝＝，
∴OF＝OA＝4，
∴E点的横坐标为4，
当x＝4时，y＝﹣x﹣3＝﹣5，
∴E点坐标为（4，﹣5），
把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），
在Rt△OAD中，AD＝＝3，
∵∠MAH＝∠DAO，
∴Rt△AMH∽Rt△ADO，
∴＝，即＝，
∴MH＝AM，
∵MD＝MD′，
∴MD+MA＝MD′+MH，
当点M、H、D′共线时，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此时MD+MA的值最小，
∵∠D′DH＝∠ADO，
∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，
∴＝，即＝，解得D′H＝，
∴MD+MA的最小值为．
5．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．
（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠QAC＝∠BCO时，求Q点的坐标．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；
（2）直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，则点D（0，1），则CD＝2；
设点P（x，0），则点H（x， x+1）、点G（x，﹣x2﹣2x+3），
则GH＝CD＝2，即|x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2，
解得：x＝﹣或，
故点P（﹣，0）或（，0）或（，0）；
（3）设直线AQ′交y轴于点H，过点H作HM⊥AC交于点M，交AQ于点H′，
设：MH＝x＝MC，∠QAC＝∠BCO，则tan∠CAH＝，则AM＝3x，
故AC＝AM+CM＝4x＝3，解得：x＝，则CH＝x＝，
OH＝OC﹣CH＝，
故点H（0，），同理点H′（﹣，3），
由点AH坐标得，直线AH的表达式为：y＝（x+3）…②，
同理直线AH′的表达式为：y＝2（x+3）…③，
联立①②并解得：x＝﹣3（舍去）或；
联立①③并解得：x＝﹣3（舍去）或﹣1；
故点Q的坐标为：（，）或（﹣1，4）．
6．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）直接写出：b的值为 ﹣ ；c的值为 ﹣2 ；点A的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标 1 ．
解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，﹣2），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，c＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①，点A（﹣1，0）；
故答案为：﹣，﹣2，（﹣1，0）；
（2）①如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，
设点D（m， m2﹣m﹣2），点H（m， m﹣2），
则∠MDH＝∠OBC＝α，tan∠OBC＝＝tanα，则cos；
MD＝DHcos∠MDH＝（m﹣2﹣m2+m+2）＝（﹣m2+4m），
∵＜0，故DM有最大值；
设点M、D的坐标分别为：（s， s﹣2），（m，n），n＝m2﹣m﹣2；
②（Ⅰ）当∠CDM＝90°时，如图2左图，
过点M作x轴的平行线交过点D于x轴的垂线于点F，交y轴于点E，
则△MEC≌△DFM（AAS），
∴ME＝FD，MF＝CE，
即s﹣2＝2＝m﹣s，s＝s﹣2﹣n，
解得：s＝，
故点M（，﹣）；
（Ⅱ）当∠MDC＝90°时，如图2右图，
同理可得：s＝，
故点M（，﹣）；
（Ⅲ）当∠MCD＝90°时，
则直线CD的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，
联立①②并解得：x＝0或﹣1，
故点D（﹣1，0），不在线段BC的下方，舍去；
综上，点M坐标为：（，﹣）或（，﹣）．
7．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，
（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）a（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x1＝1，x2＝3，
则点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵△OCA∽△OBC，
∴＝，即＝，
解得，OC＝；
（2）在Rt△BOD中，点C是BD的中点，
∴BD＝2OC＝2，
由勾股定理得，OD＝＝＝，
∴点D的坐标为（0，﹣）
设直线BD的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，，
则直线BD的解析式为：y＝x﹣，
∵点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，﹣），点C是BD的中点，
∴点C的坐标为（，﹣），
∴﹣＝a（﹣1）（﹣3），
解得，a＝，
∴抛物线的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣x+2；
（3）作PG⊥OB交BD于G，
tan∠OBD＝＝，
∴∠OBD＝30°，
∵PF∥AB，
∴∠PFG＝∠OBD＝30°，
∴PF＝PG，
∵PE⊥BC，PF⊥PG，
∴∠EPG＝∠PFG＝30°，
∴PE＝PG，
∴PE+PF＝PG+PG＝PG，
设点P的坐标为（m， m2﹣m+2），点G的坐标为（m， m﹣），
∴PG＝m﹣﹣（m2﹣m+2）
＝﹣m2+3m﹣3
∴PE+PF＝PG
＝﹣3m2+m﹣
＝﹣3（m﹣）2+，
则PE+PF的最大值为．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；
（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．
解：（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），
抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），
﹣6a＝﹣3，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）设：CD＝m，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
则CH＝HD＝m，
tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝＝，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），
故点D（0，﹣6）；
（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；
平移后抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3﹣h，
当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；
当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，
即﹣3＝9﹣h，解得：h＝15，
故3≤h≤15．
9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的对称轴为直线l，将直线l绕着点P（0，2）顺时针旋转∠α的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点
（1）若∠α＝45°，求直线AB的函数表达式；
（2）若点p将线段分成2：3的两部分，求点A的坐标
（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线l∥x轴，点M是直线l上一点，且位于y轴左侧，当以P，B，Q为顶点的三角形与△PAM相似时，求M的坐标．
解：（1）∵∠α＝45°，则直线的表达式为：y＝x+b，
将（0，2）代入上式并解得：b＝2，
故直线AB的表达式为：y＝x+2；
（2）①AP：PB＝2：3，
设A（﹣2a，4a2）B（3a，9a2），
，
解得：，（舍去），
∴；
②AP：PB＝3：2，
设A（﹣3a，9a2），B（2a，4a2），
，
解得：，（舍去），
∴，
综上或；
（3）∠MPA＝45°，∠QPB≠45°A（﹣1，1），B（2，4），
①∠QBP＝45°时，
此时B，Q关于y轴对称，
△PBQ为等腰直角三角形，
∴M1（﹣1，2）M2（﹣2，2），
②∠BQP＝45°时，
此时Q（﹣2，4）满足，左侧还有Q'也满足，
∵BQP＝∠BQ'P，
∴Q'，B，P，Q四点共圆，则圆心为BQ中点D（0，4）；
设Q'（x，x2），（x＜0），
Q'D＝BD，
∴（x﹣0）2+（x2﹣4）2＝22（x2﹣4）（x2﹣3）＝0，
∵x＜0且不与Q重合，
∴，
∴，Q'P＝2，
∵Q'P＝DQ'＝DP＝2，
∴△DPQ'为正三角形，
则，
过P作PE⊥BQ'，
则，，
∴，
当△Q'BP～△PMA时，
，，
则，
故点；
当△Q'PB～△PMA时，
，，
则，
故点；
综上点M的坐标：（﹣1，2），（﹣2，2），，．
10．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，＝0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4（m＞0）图象的顶点．
（1）求二次函数y1的函数关系式；
（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G的坐标及△FHG的面积；
（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由．
解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1＝a（x﹣1）2﹣4，
将E（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
∴y1＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）设G[a，0.6（a+1）]，代入函数关系式，得，（a﹣1）2﹣4＝0.6（a+1），
解得a1＝3.6，a2＝﹣1（舍去），
所以点G坐标为（3.6，2.76）．
由x2﹣2x﹣3＝0知x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0）、B（3，0），
则AH＝4.6，GH＝2.76，
∴S△FHG＝×4.6×2.76＝6.348；
（3）∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴当x＝﹣1时，y＝0，
∴直线y＝mx+m过点A，
延长QH，交x轴于点R，
由平行线的性质得，QR⊥x轴．
∵FH∥x轴，
∴∠QPH＝∠QAR，
∴∠PHQ＝∠ARQ＝90°，
∴△AQR∽△PHQ，
∴＝＝0.6，
设Q[n，0.6（n+1）]，
代入y＝mx+m中，得mn+m＝0.6（n+1），
整理，得：m（n+1）＝0.6（n+1），
∵n+1≠0，
∴m＝0.6．
四边形CDPQ为平行四边形，
理由如下：
连接CD，并延长交x轴于点S，过点D作DK⊥x轴于点K，延长KD，过点C作CT垂直KD延长线，垂足为T，
∵y2＝（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4，
∴点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，
∴＝＝0.6，
∴tan∠KSD＝tan∠QAR，
∴∠KSD＝∠QAR，
∴AQ∥CS，即CD∥PQ．
∵AQ∥CS，
由抛物线平移的性质可得，CT＝PH，DT＝QH，
∴PQ＝CD，
∴四边形CDPQ为平行四边形．
11．如图，点P是二次函数y＝﹣+1图象上的任意一点，点B（1，0）在x轴上．
（1）以点P为圆心，BP长为半径作⊙P．
①直线l经过点C（0，2）且与x轴平行，判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由．
②若⊙P与y轴相切，求出点P坐标；
（2）P1、P2、P3是这条抛物线上的三点，若线段BP1、BP2、BP3的长满足，则称P2是P1、P3的和谐点，记做T（P1，P3）．已知P1、P3的横坐标分别是2，6，直接写出T（P1，P3）的坐标 （1，﹣） ．
解：（1）①⊙P与直线相切．
过P作PQ⊥直线，垂足为Q，设P（m，n）．
则PB2＝（m﹣1）2+n2，PQ2＝（2﹣n）2
∵，即：（m﹣1）2＝4﹣4n，
∴PB2＝（m﹣1）2+n2＝4﹣4n+n2＝（2﹣n）2＝PQ2
∴PB＝PQ，
∴⊙P与直线相切；
②当⊙P与y轴相切时PD＝PB＝PQ
∴|m|＝2﹣n，即：n＝2±m
代入（m﹣1）2＝4﹣4n
得：m2﹣6m+5＝0或m2+2m+5＝0．
解得：m1＝1，m2＝5．
∴P（1，1）或P（5，﹣3）；
（2）∵，则BP2＝（BP1+BP2），
P1、P3的横坐标分别是2，6，则点P1、P2的坐标分别为：（2，）、（6，﹣），
BP2＝（BP1+BP2）＝（+）＝，
设点P2的坐标为：（m，n），n＝﹣（m﹣1）2+1，
则（m﹣1）2+（n）2＝（）2，
解得：m＝1±，
故点P2的坐标，即T（P1，P3）的坐标为：或．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．
（1）解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
可得，，
∴；
（2）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），
①四边形CMNB是平行四边形时，，∴x＝﹣2，
∴；
②四边形CNBM时平行四边形时，，∴x＝2，
∴M（2，2）；
③四边形CNNB时平行四边形时，，∴x＝4，
∴；
综上所述：M（2，2）或或；
（3）解法一：过点B作BH平行于y轴交PC的延长线与H点．
∵BH∥OC
∴∠OCB＝∠HBC
又∠OCB＝∠BCP
∴∠PCB＝∠HBC
∴HC＝HB
又OC⊥OB
∴HB⊥OB
故可设H（3，m），即HB＝HC＝m
过点H作HN垂直y轴于N
在Rt△HCN中，则m2＝32+（m﹣2）2
解得
∴
由点C、P的坐标可得，设直线CP的解析式为；
故
解得x1＝0（舍去），
即点P到y轴的距离是
解法二、过点B作CP的垂线，垂足为M，过点M作x轴的平行线交y轴于点N，再过点B作DN的垂线，垂足为D，（以下简写）
可得△BOC≌△BMC
得BM＝BC＝3，OC＝CM＝2
设点M（m，n）
得BD＝n，CN＝n﹣2，MN＝m，MD＝3﹣m
可证△BDM∽△MNC
所以
得
解得，
则
同解法一直线CP的解析式
故
解得x1＝0（舍去），
即点P到y轴的距离是
13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线OA及抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，并与直线OA交于点C，当△PCO为等腰三角形时，求D的坐标；
（3）设P关于对称轴的点为Q，抛物线的顶点为M，探索是否存在一点P，使得△PQM的面积为，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）设直线OA的解析式为y1＝kx，
把点A坐标（3，3）代入得：k＝1，
直线OA的解析式为y＝x；
再设y2＝ax（x﹣4），
把点A坐标（3，3）代入得：a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+4x，
∴直线OA的解析式为y＝x，二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x．
（2）设D的横坐标为m，则P的坐标为（m，﹣m2+4m），
∵P为直线OA上方抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜3．
此时仅有OC＝PC，，
∴，解得，
∴；
（3）函数的解析式为y＝﹣x2+4x，
∴对称轴为x＝2，顶点M（2，4），
设P（n，﹣n2+4n），
则Q（4﹣n，﹣n2+4n），M到直线PQ的距离为4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，
要使△PQM的面积为，
则，即，
解得：或，
∴或．
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）如图1，若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．
①点A的坐标为（ ﹣5 ， 0 ），点B的坐标为（ ﹣1 ， 0 ）；
②求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
解：（1）①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4，
∴点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（﹣1，0），
故答案为：﹣5；0﹣1；0；
②∵抛物线经过（﹣5，0），（﹣1，0），
∴，
解得，，
则抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）如图2，作PD⊥OC于D，
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴PD＝OC＝OD，
设点P的坐标为（a，a），
设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a，
∵抛物线经过原点，
∴﹣（0﹣a）2+a＝0，
解得，a1＝0（不合题意），a2＝1，
∴△OCP是等腰直角三角形时，点P的坐标为（1，1）．
15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）∵二次函数过A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵二次函数过C点（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+3）（0﹣1），
解得，a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3
即二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点P作x轴的垂线交AC于点G，设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点P在第三象限，
∴PG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴＝＝＝，
∴当时，，点P（﹣，﹣）．，
即S的最大值是，此时点P的坐标是（﹣，﹣）．
2021年中考数学压轴题专项训练《二次函数》
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴，解得；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C（3，0），
∵点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在抛物线的对称轴x＝1上，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1，则y＝﹣1+3＝2，
∴P（1，2），
设平移后的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+4，
∵新抛物线经过点P，
∴2＝﹣（1﹣h）2+4，
解得h1＝1+，h2＝1﹣，
∴新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1﹣，4）．
2．如图a，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC的形状．并证明你的结论．
（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由．
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：
b＝1，c＝2，
故：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）四边形BC′AC为矩形．
抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴的另一个交点为：（﹣1，0）
由勾股定理求得：BC＝，AC＝2，又AB＝5，
由勾股定理的逆定理可得：△ABC直角三角形，
故∠BCA＝90°；
已知，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，
由旋转的性质可得：BC＝AC'，AC＝BC'
所以，四边形BC′AC为平行四边形，已证∠BCA＝90°，
∴四边形BC′AC为矩形；
（3）存在点D，
使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，
则点D与点C关于函数对称轴对称，
故：点D的坐标为（3，2）．
3．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．
（1）求m的值；
（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；
（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，
函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），
则AQ所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，
故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；
（3）不存在，理由：
△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°
①当点Q（2，﹣3）时，
则BQ的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，
联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣，），
此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；
②当点Q（﹣4，21）时，
同理可得：点P（﹣，），
此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；
综上，点P不存在．
4．如图，已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，与y轴交于点D（0，﹣3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE＝3：2．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点M为x轴上一点，求MD+MA的最小值．
解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0），
作EF⊥x轴于F，如图，
∵OD∥EF，
∴＝＝，
∴OF＝OA＝4，
∴E点的横坐标为4，
当x＝4时，y＝﹣x﹣3＝﹣5，
∴E点坐标为（4，﹣5），
把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），
在Rt△OAD中，AD＝＝3，
∵∠MAH＝∠DAO，
∴Rt△AMH∽Rt△ADO，
∴＝，即＝，
∴MH＝AM，
∵MD＝MD′，
∴MD+MA＝MD′+MH，
当点M、H、D′共线时，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此时MD+MA的值最小，
∵∠D′DH＝∠ADO，
∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，
∴＝，即＝，解得D′H＝，
∴MD+MA的最小值为．
5．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．
（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠QAC＝∠BCO时，求Q点的坐标．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；
（2）直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，则点D（0，1），则CD＝2；
设点P（x，0），则点H（x， x+1）、点G（x，﹣x2﹣2x+3），
则GH＝CD＝2，即|x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2，
解得：x＝﹣或，
故点P（﹣，0）或（，0）或（，0）；
（3）设直线AQ′交y轴于点H，过点H作HM⊥AC交于点M，交AQ于点H′，
设：MH＝x＝MC，∠QAC＝∠BCO，则tan∠CAH＝，则AM＝3x，
故AC＝AM+CM＝4x＝3，解得：x＝，则CH＝x＝，
OH＝OC﹣CH＝，
故点H（0，），同理点H′（﹣，3），
由点AH坐标得，直线AH的表达式为：y＝（x+3）…②，
同理直线AH′的表达式为：y＝2（x+3）…③，
联立①②并解得：x＝﹣3（舍去）或；
联立①③并解得：x＝﹣3（舍去）或﹣1；
故点Q的坐标为：（，）或（﹣1，4）．
6．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）直接写出：b的值为 ﹣ ；c的值为 ﹣2 ；点A的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标 1 ．
解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，﹣2），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，c＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①，点A（﹣1，0）；
故答案为：﹣，﹣2，（﹣1，0）；
（2）①如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，
设点D（m， m2﹣m﹣2），点H（m， m﹣2），
则∠MDH＝∠OBC＝α，tan∠OBC＝＝tanα，则cos；
MD＝DHcos∠MDH＝（m﹣2﹣m2+m+2）＝（﹣m2+4m），
∵＜0，故DM有最大值；
设点M、D的坐标分别为：（s， s﹣2），（m，n），n＝m2﹣m﹣2；
②（Ⅰ）当∠CDM＝90°时，如图2左图，
过点M作x轴的平行线交过点D于x轴的垂线于点F，交y轴于点E，
则△MEC≌△DFM（AAS），
∴ME＝FD，MF＝CE，
即s﹣2＝2＝m﹣s，s＝s﹣2﹣n，
解得：s＝，
故点M（，﹣）；
（Ⅱ）当∠MDC＝90°时，如图2右图，
同理可得：s＝，
故点M（，﹣）；
（Ⅲ）当∠MCD＝90°时，
则直线CD的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，
联立①②并解得：x＝0或﹣1，
故点D（﹣1，0），不在线段BC的下方，舍去；
综上，点M坐标为：（，﹣）或（，﹣）．
7．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，
（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）a（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x1＝1，x2＝3，
则点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵△OCA∽△OBC，
∴＝，即＝，
解得，OC＝；
（2）在Rt△BOD中，点C是BD的中点，
∴BD＝2OC＝2，
由勾股定理得，OD＝＝＝，
∴点D的坐标为（0，﹣）
设直线BD的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，，
则直线BD的解析式为：y＝x﹣，
∵点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，﹣），点C是BD的中点，
∴点C的坐标为（，﹣），
∴﹣＝a（﹣1）（﹣3），
解得，a＝，
∴抛物线的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣x+2；
（3）作PG⊥OB交BD于G，
tan∠OBD＝＝，
∴∠OBD＝30°，
∵PF∥AB，
∴∠PFG＝∠OBD＝30°，
∴PF＝PG，
∵PE⊥BC，PF⊥PG，
∴∠EPG＝∠PFG＝30°，
∴PE＝PG，
∴PE+PF＝PG+PG＝PG，
设点P的坐标为（m， m2﹣m+2），点G的坐标为（m， m﹣），
∴PG＝m﹣﹣（m2﹣m+2）
＝﹣m2+3m﹣3
∴PE+PF＝PG
＝﹣3m2+m﹣
＝﹣3（m﹣）2+，
则PE+PF的最大值为．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；
（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．
解：（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），
抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），
﹣6a＝﹣3，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）设：CD＝m，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
则CH＝HD＝m，
tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝＝，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），
故点D（0，﹣6）；
（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；
平移后抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3﹣h，
当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；
当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，
即﹣3＝9﹣h，解得：h＝15，
故3≤h≤15．
9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的对称轴为直线l，将直线l绕着点P（0，2）顺时针旋转∠α的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点
（1）若∠α＝45°，求直线AB的函数表达式；
（2）若点p将线段分成2：3的两部分，求点A的坐标
（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线l∥x轴，点M是直线l上一点，且位于y轴左侧，当以P，B，Q为顶点的三角形与△PAM相似时，求M的坐标．
解：（1）∵∠α＝45°，则直线的表达式为：y＝x+b，
将（0，2）代入上式并解得：b＝2，
故直线AB的表达式为：y＝x+2；
（2）①AP：PB＝2：3，
设A（﹣2a，4a2）B（3a，9a2），
，
解得：，（舍去），
∴；
②AP：PB＝3：2，
设A（﹣3a，9a2），B（2a，4a2），
，
解得：，（舍去），
∴，
综上或；
（3）∠MPA＝45°，∠QPB≠45°A（﹣1，1），B（2，4），
①∠QBP＝45°时，
此时B，Q关于y轴对称，
△PBQ为等腰直角三角形，
∴M1（﹣1，2）M2（﹣2，2），
②∠BQP＝45°时，
此时Q（﹣2，4）满足，左侧还有Q'也满足，
∵BQP＝∠BQ'P，
∴Q'，B，P，Q四点共圆，则圆心为BQ中点D（0，4）；
设Q'（x，x2），（x＜0），
Q'D＝BD，
∴（x﹣0）2+（x2﹣4）2＝22（x2﹣4）（x2﹣3）＝0，
∵x＜0且不与Q重合，
∴，
∴，Q'P＝2，
∵Q'P＝DQ'＝DP＝2，
∴△DPQ'为正三角形，
则，
过P作PE⊥BQ'，
则，，
∴，
当△Q'BP～△PMA时，
，，
则，
故点；
当△Q'PB～△PMA时，
，，
则，
故点；
综上点M的坐标：（﹣1，2），（﹣2，2），，．
10．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，＝0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4（m＞0）图象的顶点．
（1）求二次函数y1的函数关系式；
（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G的坐标及△FHG的面积；
（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由．
解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1＝a（x﹣1）2﹣4，
将E（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
∴y1＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）设G[a，0.6（a+1）]，代入函数关系式，得，（a﹣1）2﹣4＝0.6（a+1），
解得a1＝3.6，a2＝﹣1（舍去），
所以点G坐标为（3.6，2.76）．
由x2﹣2x﹣3＝0知x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0）、B（3，0），
则AH＝4.6，GH＝2.76，
∴S△FHG＝×4.6×2.76＝6.348；
（3）∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴当x＝﹣1时，y＝0，
∴直线y＝mx+m过点A，
延长QH，交x轴于点R，
由平行线的性质得，QR⊥x轴．
∵FH∥x轴，
∴∠QPH＝∠QAR，
∴∠PHQ＝∠ARQ＝90°，
∴△AQR∽△PHQ，
∴＝＝0.6，
设Q[n，0.6（n+1）]，
代入y＝mx+m中，得mn+m＝0.6（n+1），
整理，得：m（n+1）＝0.6（n+1），
∵n+1≠0，
∴m＝0.6．
四边形CDPQ为平行四边形，
理由如下：
连接CD，并延长交x轴于点S，过点D作DK⊥x轴于点K，延长KD，过点C作CT垂直KD延长线，垂足为T，
∵y2＝（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4，
∴点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，
∴＝＝0.6，
∴tan∠KSD＝tan∠QAR，
∴∠KSD＝∠QAR，
∴AQ∥CS，即CD∥PQ．
∵AQ∥CS，
由抛物线平移的性质可得，CT＝PH，DT＝QH，
∴PQ＝CD，
∴四边形CDPQ为平行四边形．
11．如图，点P是二次函数y＝﹣+1图象上的任意一点，点B（1，0）在x轴上．
（1）以点P为圆心，BP长为半径作⊙P．
①直线l经过点C（0，2）且与x轴平行，判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由．
②若⊙P与y轴相切，求出点P坐标；
（2）P1、P2、P3是这条抛物线上的三点，若线段BP1、BP2、BP3的长满足，则称P2是P1、P3的和谐点，记做T（P1，P3）．已知P1、P3的横坐标分别是2，6，直接写出T（P1，P3）的坐标 （1，﹣） ．
解：（1）①⊙P与直线相切．
过P作PQ⊥直线，垂足为Q，设P（m，n）．
则PB2＝（m﹣1）2+n2，PQ2＝（2﹣n）2
∵，即：（m﹣1）2＝4﹣4n，
∴PB2＝（m﹣1）2+n2＝4﹣4n+n2＝（2﹣n）2＝PQ2
∴PB＝PQ，
∴⊙P与直线相切；
②当⊙P与y轴相切时PD＝PB＝PQ
∴|m|＝2﹣n，即：n＝2±m
代入（m﹣1）2＝4﹣4n
得：m2﹣6m+5＝0或m2+2m+5＝0．
解得：m1＝1，m2＝5．
∴P（1，1）或P（5，﹣3）；
（2）∵，则BP2＝（BP1+BP2），
P1、P3的横坐标分别是2，6，则点P1、P2的坐标分别为：（2，）、（6，﹣），
BP2＝（BP1+BP2）＝（+）＝，
设点P2的坐标为：（m，n），n＝﹣（m﹣1）2+1，
则（m﹣1）2+（n）2＝（）2，
解得：m＝1±，
故点P2的坐标，即T（P1，P3）的坐标为：或．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．
（1）解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
可得，，
∴；
（2）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），
①四边形CMNB是平行四边形时，，∴x＝﹣2，
∴；
②四边形CNBM时平行四边形时，，∴x＝2，
∴M（2，2）；
③四边形CNNB时平行四边形时，，∴x＝4，
∴；
综上所述：M（2，2）或或；
（3）解法一：过点B作BH平行于y轴交PC的延长线与H点．
∵BH∥OC
∴∠OCB＝∠HBC
又∠OCB＝∠BCP
∴∠PCB＝∠HBC
∴HC＝HB
又OC⊥OB
∴HB⊥OB
故可设H（3，m），即HB＝HC＝m
过点H作HN垂直y轴于N
在Rt△HCN中，则m2＝32+（m﹣2）2
解得
∴
由点C、P的坐标可得，设直线CP的解析式为；
故
解得x1＝0（舍去），
即点P到y轴的距离是
解法二、过点B作CP的垂线，垂足为M，过点M作x轴的平行线交y轴于点N，再过点B作DN的垂线，垂足为D，（以下简写）
可得△BOC≌△BMC
得BM＝BC＝3，OC＝CM＝2
设点M（m，n）
得BD＝n，CN＝n﹣2，MN＝m，MD＝3﹣m
可证△BDM∽△MNC
所以
得
解得，
则
同解法一直线CP的解析式
故
解得x1＝0（舍去），
即点P到y轴的距离是
13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线OA及抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，并与直线OA交于点C，当△PCO为等腰三角形时，求D的坐标；
（3）设P关于对称轴的点为Q，抛物线的顶点为M，探索是否存在一点P，使得△PQM的面积为，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）设直线OA的解析式为y1＝kx，
把点A坐标（3，3）代入得：k＝1，
直线OA的解析式为y＝x；
再设y2＝ax（x﹣4），
把点A坐标（3，3）代入得：a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+4x，
∴直线OA的解析式为y＝x，二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x．
（2）设D的横坐标为m，则P的坐标为（m，﹣m2+4m），
∵P为直线OA上方抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜3．
此时仅有OC＝PC，，
∴，解得，
∴；
（3）函数的解析式为y＝﹣x2+4x，
∴对称轴为x＝2，顶点M（2，4），
设P（n，﹣n2+4n），
则Q（4﹣n，﹣n2+4n），M到直线PQ的距离为4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，
要使△PQM的面积为，
则，即，
解得：或，
∴或．
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）如图1，若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．
①点A的坐标为（ ﹣5 ， 0 ），点B的坐标为（ ﹣1 ， 0 ）；
②求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
解：（1）①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4，
∴点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（﹣1，0），
故答案为：﹣5；0﹣1；0；
②∵抛物线经过（﹣5，0），（﹣1，0），
∴，
解得，，
则抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）如图2，作PD⊥OC于D，
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴PD＝OC＝OD，
设点P的坐标为（a，a），
设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a，
∵抛物线经过原点，
∴﹣（0﹣a）2+a＝0，
解得，a1＝0（不合题意），a2＝1，
∴△OCP是等腰直角三角形时，点P的坐标为（1，1）．
15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）∵二次函数过A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵二次函数过C点（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+3）（0﹣1），
解得，a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3
即二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点P作x轴的垂线交AC于点G，设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点P在第三象限，
∴PG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴＝＝＝，
∴当时，，点P（﹣，﹣）．，
即S的最大值是，此时点P的坐标是（﹣，﹣）．
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