中考数学压轴题专项训练11开放探究含解析

开放探究

1．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”．如图1，在△ABC中，PA=PB，则点P叫做△ABC的“中垂心”．

（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有________（举一个例子即可）；

（2）应用：如图2；在△ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作图痕迹，不写画法）

（3）探究：①如图3，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长．

②如图4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由．

【解析】解：（1）根据题意，若点C为△ABC的“中垂心”

可得CA=CB

∴△ABC为等腰三角形

故答案为：等腰三角形（答案不唯一）；

（2）分别作出BC和AB的垂直平分线，交于点P

根据垂直平分线的性质可得PA=PB=PC

∴点P即为所求；

（3）①∵∠C=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=90°－∠ABC=30°

∴AB=2BC

设BC=x，则AB=2x

∵BC2＋AC2=AB2

∴x2＋（）2=（2x）2

解得：x=4或-4（不符合实际，舍去）

∴BC=4，AB=8

∵P在AC边上，∠C=90°

∴PB＞PC，即不存在“中垂心”P，使PB=PC

若PA=PB，如下图所示

设PA=PB=a，则PC=AC－PA=－a

∵PC2＋BC2=BP2

∴（－a）2＋42=a2

解得：a=

即PA=；

若PA=PC，如下图所示

则点P为AC的中点

∴PA==

综上：PA=或；

②理由如下

延长AP交BC于D

根据三角形的三边关系可得：AC＋CD＞AD，DP＋DB＞PB

∴AC＋CD＋DP＋DB＞AD＋PB

∴AC＋（CD＋DB）＋DP＞PA＋DP＋PB

∴AC＋BC＞PA＋PB

∵PA=PB

∴AC+BC2AP

2．如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，连结、.

（1）若为等边三角形，试探究与有何数量关系？证明你的结论；

（2）若为等边三角形，当的值为多少时，？

（3）当不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立，并说明理由.

【解析】解 （1），证明如下：

∵为等边的中线，∴，即，∵，∴，即，由旋转的性质得到，，∴，∴.

（2）或240.

当时，由为等边三角形，得到，∴，∴；

当时，，∴.

（3）不成立，添加的条件为理由如下：

∵，，∴，即.∵，∴，即.由旋转的性质得到，，∴，∴.

3．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．

（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=     ；

（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．

【解析】（1）∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
∵∠BDE=120°，
∴∠ABC=60°，
∵DF⊥BF，
∴∠BFD=90°，
∴DF=BF•tan60°，
∵∠CDF∠BDE=60°，∠DFC=90°，
∴CF=DF•tan60°，

∴BC=BF+CF=1+3=4；
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．
理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，

，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∵∠FDG∠BDE，
∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH∠BDE，
∴∠GDF=∠GDH，

在△DGF和△DGH中，

，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=EG+HE=EG+BF，
∴FG=BF+EG；
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．
理由：在射线EA上截取EH，使得EH=BF．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，

在△DBF和△DEH中，

，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∴∠BDE=∠FDH，
∵∠FDG∠BDE∠FDH，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，

，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=HE-GE=BF-EG，
∴FG=BF=-EG．

4．如图，点的坐标为，点的坐标为，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点与交于点．

（1）求出的长度；

（2）求的面积；

（3）在平面上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）∵点的坐标为，点的坐标为，

∴OA＝16，OB＝12，

在RtAOB中，

，

∴AB＝20；

（2）如图，连接BC，

∵折叠，

∴AC＝BC，∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝10，

设AC＝BC＝x，则OC＝16－x，

在RtBOC中，，

∴，

解得，

∴，

∴在RtACD中，

∴

，

∴的面积为；

（3）如图1，当点P在第一象限，PB＝AB且∠PBA＝90°时，

过点P作PE⊥OB交y轴于点E，

则∠PEB＝∠AOB＝90°，

∴∠PBE＋∠BPE＝90°，

∵∠PBA＝90°，

∴∠PBE＋∠ABO＝90°，

∴∠BPE＝∠ABO，

∵∠PEB＝∠AOB，∠BPE＝∠ABO，PB＝AB，

∴PEB≌BOA，

∴PE＝OB＝12，BE＝OA＝16，

∴OE＝BE＋OB＝28，

∴点P的坐标为（12，28），

如图2，当点P在第三象限，PB＝AB且∠PBA＝90°时，

过点P作PF⊥OB交y轴于点F，

则∠PFB＝∠AOB＝90°，

∴∠PBF＋∠BPF＝90°，

∵∠PBA＝90°，

∴∠PBF＋∠ABO＝90°，

∴∠BPF＝∠ABO，

∵∠PFB＝∠AOB，∠BPF＝∠ABO，PB＝AB，

∴PFB≌BOA，

∴PF＝OB＝12，BF＝OA＝16，

∴OF＝BF－OB＝4，

∴点P的坐标为（－12，－4），

如图3，当点P在第一象限，PA＝AB且∠PAB＝90°时，

过点P作PG⊥OA交x轴于点G，

则∠PGA＝∠AOB＝90°，

∴∠PAG＋∠APG＝90°，

∵∠PAB＝90°，

∴∠PAG＋∠BAO＝90°，

∴∠APG＝∠BAO，

∵∠PGA＝∠AOB，∠APG＝∠BAO，PA＝AB，

∴PAG≌ABO，

∴PG＝OA＝16，AG＝OB＝12，

∴OG＝OA＋AG＝28，

∴点P的坐标为（28，16），

如图4，当点P在第四象限，PA＝AB且∠PAB＝90°时，

过点P作PH⊥OA交x轴于点H，

则∠PHA＝∠AOB＝90°，

∴∠PAH＋∠APG＝90°，

∵∠PAB＝90°，

∴∠PAH＋∠BAO＝90°，

∴∠APH＝∠BAO，

∵∠PHA＝∠AOB，∠APH＝∠BAO，PA＝AB，

∴PAH≌ABO，

∴PH＝OA＝16，AH＝OB＝12，

∴OH＝OA－AH＝4，

∴点P的坐标为（4，－16），

如图5，当点P在第四象限，PA＝PB且∠APB＝90°时，

过点P作PM⊥OB交y轴于点M，过点A作AN⊥PM，交MP的延长线于点N，

则∠PNA＝∠PMB＝90°，

∴∠PAN＋∠APN＝90°，

∵∠APB＝90°，

∴∠APN＋∠BPM＝90°，

∴∠PAN＝∠BPM，

∵∠PNA＝∠PMB，∠PAN＝∠BPM，PA＝PB，

∴PAN≌BPM，

∴PM＝AN，BM＝PN，

设PM＝AN＝a，

则PN＝BM＝12＋a，

∵MN＝OA＝16，

∴a＋12＋a＝16

解得a＝2，

∴PM＝2，OM＝AN＝2，

∴点P的坐标为（2，－2），

如图6，当点P在第一象限，PA＝PB且∠APB＝90°时，

过点P作PI⊥OB交y轴于点I，过点A作AJ⊥PI，交IP的延长线于点J，

则∠PJA＝∠PIB＝90°，

∴∠PAJ＋∠APJ＝90°，

∵∠APB＝90°，

∴∠APJ＋∠BPI＝90°，

∴∠PAJ＝∠BPI，

∵∠PJA＝∠PIB，∠PAJ＝∠BPI，PA＝PB，

∴PAJ≌BPI，

∴PI＝AJ，BI＝PJ，

设PI＝AJ＝b，

则PJ＝BI＝b－12，

∵IJ＝OA＝16，

∴b＋b－12＝16，

解得b＝14，

∴PI＝14，OI＝AJ＝14，

∴点P的坐标为（14，14），

综上所述，点P的坐标为（12，28），（－12，－4），（28，16），（4，－16），（2，－2），（14，14）．

5．已知，且自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图：

即如下规律：

… …；

（1）按上述分裂要求，       ，可分裂的最大奇数为       

（2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是：             ；

（3）用上面的规律求：

【解析】解：（1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数，

∴，

又，

所以可分裂的最大奇数为19；

故答案为=1+3+5+7+9，19；

（2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1，

∴可分裂的最大奇数为2n-1，

∴，

故答案为；

（3）由（2）得：

 =，

，

∴ =2n+1．

6．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）探究的度数；

（3）探究EF、DF、CF之间的关系．

【解析】解：（1）∵△ABC和△CDE都为等边三角形，

∴∠ACE=∠BCD=60°，AC=BC，CE=CD，

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD；

（2）延长AF到Q，使FQ=DF，连接DQ，

∵△ACE≌△BCD，

∴∠CAE=∠CBD，

又∵∠AEC=∠BEF，

∴∠AFB=∠ACB=60°．

∴∠DFQ=60°，

∴△DFQ是等边三角形，

∴∠FDQ=∠FQD=60°，DF=DQ，

∴∠CDF=∠EDQ，

在△CDF和△EDQ中

，

∴△CDF≌△EDQ，

∴∠CFD=∠DQF=60°；

（3）∵△CDF≌△EDQ，

 ∴CF=EQ，

∵EQ=DF+FQ=EF+DF，

∴CF=EF+DF．

7．（1）问题发现:如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD交于点M．①的值为　   　；②∠AMB的度数为　   　；

（2）类比探究 :如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．

（3）拓展延伸:在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

【解析】解：（1）①∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，
∴∠COA=∠DOB，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴=1，
故答案为：1；
②设AO与BD交于点E，
由①知，△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB+∠DBO=∠DEO，
∠AMB+∠CAO=∠DEO，
∴∠AOB=∠AMB=36°，
故答案为：36°；

（2）在△OAB和△OCD中，
∵∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，
∴tan30°=，
∵∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，
即∠DOB=∠COA，
∴△DOB∽△COA，
∴，
∠DBO=∠CAO，
∵∠DBO+∠OEB=90°，∠OEB=∠MEA，
∴∠CAO+∠MEA=90°，
∴∠AMB=90°，
∴=，∠AMB=90°；

（3）①如图3-1，当点M在直线OB左侧时，
在Rt△OCD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，
在Rt△OAB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2，
由（2）知，∠AMB=90°，且=，
∴设BD=x，则AC=AM=x，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2=AB2，
∴（x）2+（x+2）2=（2）2，
解得，x1=3，x2=-4（舍去），
∴AC=AM=3；

②如图3-2，当点M在直线OB右侧时，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2=AB2，
∴（x）2+（x-2）2=（2）2，
解得，x1=4，x2=-3（舍去），
∴AC=AM=4，

综上所述，AC的长为3或4 ．

8．综合与实践

（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（     ）；（请填写全等判定的方法）

（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；

（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积．

（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；

【解析】（1）在和中，

，

故答案为：；

（2），，，，

由（1）得：，，

，，，，

.

（3）如图3，过作于，

由旋转得：，

，，

，；

（4），，，，

，，

在和中，

；

，

9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切于点，与轴相交于、两点.

（1）点、、的坐标分别是（    ，    ），（    ，    ），（    ，    ）.

（2）设经过、两点的抛物线的关系式为，它的顶点为，抛物线的对称轴与轴相交于点，求证：直线与相切.

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点（点在轴的上方），使是等腰三角形.如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.

【解析】（1），，.

提示：连结，则垂直于轴.∵点的坐标是，∴，.在中，，同理在中，，∴，，.

（2）把代入，解得，∴，.如图2，

连结，则，.

∵，∴，∴，

即，∴与相切.

（3）∵，，∴，.在中，.设，，如图3.

①当时，在中，，∴，，∵，∴，∴；

②当时，在中，，∴，，∵，∴，∴；

③当时，和重合，.

综上当、或时，是等腰三角形.

10．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β

（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；

（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；

（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

【解析】解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，

∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），

∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180°

∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，

∵α+β＝150°，

∴∠MBC+∠NDC＝150°，

（2）β﹣α＝90°

理由：如图1，连接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，

∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），

在△BCD中，在△BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，

在△BDG中，∠BGD＝45°，

∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，

∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，

∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°，

∴（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，

∴β﹣α＝90°，

（3）平行，

理由：如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，

∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），

∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，

∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，

∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β），

∵α＝β，

∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β，

∴∠CBE＝∠DHB，

∴BE∥DF．

11．在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“折转点”，称为点关于图形的“折转三角形”

（1）已知点，

①在点，，中，点关于点的“折转点”是______；

②点在直线上，若点是点关于线段的“折转点”，求点的横坐标的取值范围；

（2）的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出的取值范围．

【解析】（1）①根据“折转点”的定义，要使得的Q才是点O关于点A的“折转点”，

如图，根据各个点的坐标，

，，，则，

∴，是点O关于点A的“折转点”，

，，，则，

∴，点O关于点A的“折转点”，

∵，∴不是，

故答案是：，；

②如图，点为点关于线段的折转点，则在线段上存在点，使得，即在以为直径的圆上（不含，点），因此，当点在上运动时，所有可能的点组成的图形为：

以为圆心，半径为1的圆，和以为圆心，半径为2的圆及其之间的部分，（不含轴上的点）．直线与内圆交于，与外圆交于，线段即为直线上点可能的位置，

过点作轴于，连接，则，因为直线，，因此为等腰直角三角形，，由三线合一，知，为，即点横坐标为1，

同理可得，点横坐标为2，

∴点的横坐标取值范围是；

（2）根据题意，记线段EF上的点是Q，当上存在一点C，使的时候，则线段EF上存在点P关于的“折转点”，

∵“折转三角形”是等腰直角三角形，

∴Q点一定在线段PC的垂直平分线上，

∵点P、C都是圆上的点，线段PC是的弦，

∴圆心T也在线段PC的垂直平分线上，

∴T和Q是共线的，且它们之间的距离是固定的，

∵等腰直角三角形的底是2，

∴Q到线段PC的距离是1，

∵的半径是3，弦长PC是2，

∴根据垂径定理可以算出圆心T到线段PC的距离是，

∴，

根据直线求出、，

如图，当点Q在点F的位置上的时候，

①，，根据勾股定理求得，则；

②同上，则；

当点Q在点E的位置上的时候，

③，则；

④，则，

综上，t的范围是：或．

12．如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交与点，设运动时间为．

（1）当为何值时，四边形是平行四边形；

（2）设的面积为，求与的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的；

（4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上．

【解析】（1）当四边形是平行四边形时，，

又∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

即，

∴

（2）∵，

∴，

即，

∴，

∴，

∴，

，

梯形，

∴梯形

（3）由题意，

解得，

所以当或时，的面积为矩形面积的．

（4）当点在线段的垂直平分线上时，，

∴，

在中，，

在中，，

∴，

即

解得，（舍）

所以当时，点在线段的垂直平分线上．