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初中数学青岛版九年级下册第5章 对函数的再探索5.4二次函数的图像与性质评课ppt课件
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这是一份初中数学青岛版九年级下册第5章 对函数的再探索5.4二次函数的图像与性质评课ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了直线x-3，直线x1，直线x3，yax2，上下平移，左右平移，填写下表等内容，欢迎下载使用。
1.会画y=a(x-h)2+k的图象；2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解 y=a(x-h)2+k的性质.
函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
在同一坐标系中作出二次函数y=3x²和 y=3(x-1)²的图象．
画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记做直线x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．
抛物线 与抛物线 有什么关系？
可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ．
二次函数y = x²，y = (x+1)2和y = (x+1)21的图象有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
【例1】画出函数y= (x+1)²1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y= x²经过怎样的变换可以得到抛物线y=- (x+1)²-1？
二次函数y=- (x+1)2-1的图象可以看作是抛物线y=- x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向下平移1个单位后得到的.
二次函数y= (x+1)21的图象和抛物线y= x²，y= (x+1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1).
顶点是(-1,-1).
开口向下,当x=-1时y有最大值，且最大值是 -1.
y=- (x+1)²-1
y=2(x-1)2+1
观察这三个图象是如何平移的.
1.在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象. 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系? 它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1).
顶点分别是(1,2)和(1,-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.
开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值= 2(或最大值=-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
抛物线y＝a(x-h)2的性质
（1）对称轴是直线x＝_________
（2）顶点坐标是___________
(3)当a>0时，开口向上，最 ____ 点是顶点;在对称轴的左侧y随x的增大而_______；在对称轴的右侧y随x的增大而________
（4）当a<0时，开口向下，最 ____ 点是顶点;在对称轴的左侧y随x的增大而_________;在对称轴的右侧y随x的增大而___________
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
开口 对称轴 顶点坐标
直线x=0 (Y轴)
【规律方法】二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象.y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体向左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体向上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移；当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关.抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.
课堂练习1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 向 ( )平移2个单位得到。2.已知s= –(x+1)2，当x为 时，s取最 值 为 。3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解析式是( )y=(x+1)2 B. y= –(x+1)2C.y=(x–1)2 D. y= –(x–1)2
1、函数y=2x2的图象是______线，开口向____，对称轴是_____，顶点坐标是_______，当x=___时，函数有最____值为____；在对称轴左侧， y随x的增大而_______，在对称轴右侧， y随x的增大而_______。
2、函数y=-2x2+4的图象开口向____，对称轴是_____，顶点坐标是_______，当x=____时，函数有最____值为____；当x<0时，y随x的增大而_______，当x>0时， y随x的增大而_______。
3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴是____________，顶点坐标是________，当x=____时，函数有最____值为____；当x_____时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的增大而减小。
4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到。
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
如何来求与坐标轴的交点？
求y=x2+2x-8与坐标轴的交点。
点（1，3）是顶点，知道h=1，k=3，求出a就可以了!
【例 2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
点（3，0）在抛物线上，求a没问题.
解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）是顶点，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），∵点（3，0）在抛物线上，∴0=a(3-1)2 +3， ∴a=-0.75， ∴y=-0.75(x-1)2 +3(0≤x≤3),当x=0时，y=2.25，即水管应长2.25m.
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
1.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解析：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则 y=[800-10(x-30)]·x =-10x2+1 100x
=-10(x-55)2+30 250
∴当x=55时，y最大=30 250
答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大营业额30 250元
1．如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为( )
A．－3 B．1 C．5 D．8
【解析】选D.当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标的最大值．
2.如图，两条抛物线y1= - x2+1、y2=- x2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）A．8 B．6 C．10 D．4
3.某广场有一喷水池，水从地面喷出．如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A．4米 B．3米C．2米D．1米
【解析】选A. 抛物线的顶点坐标（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.
4.已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值【解析】选C．因为图象顶点的纵坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．
5.把抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向右平移100个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是______
【解析】先由平移规律求出新抛物线的解析式为y= -（x-100）2+2，然后求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，利用坐标轴上两点间距离公式即可求得距离.
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
1.会画y=a(x-h)2+k的图象；2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解 y=a(x-h)2+k的性质.
函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
在同一坐标系中作出二次函数y=3x²和 y=3(x-1)²的图象．
画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记做直线x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．
抛物线 与抛物线 有什么关系？
可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ．
二次函数y = x²，y = (x+1)2和y = (x+1)21的图象有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
【例1】画出函数y= (x+1)²1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y= x²经过怎样的变换可以得到抛物线y=- (x+1)²-1？
二次函数y=- (x+1)2-1的图象可以看作是抛物线y=- x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向下平移1个单位后得到的.
二次函数y= (x+1)21的图象和抛物线y= x²，y= (x+1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1).
顶点是(-1,-1).
开口向下,当x=-1时y有最大值，且最大值是 -1.
y=- (x+1)²-1
y=2(x-1)2+1
观察这三个图象是如何平移的.
1.在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象. 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系? 它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1).
顶点分别是(1,2)和(1,-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.
开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值= 2(或最大值=-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
抛物线y＝a(x-h)2的性质
（1）对称轴是直线x＝_________
（2）顶点坐标是___________
(3)当a>0时，开口向上，最 ____ 点是顶点;在对称轴的左侧y随x的增大而_______；在对称轴的右侧y随x的增大而________
（4）当a<0时，开口向下，最 ____ 点是顶点;在对称轴的左侧y随x的增大而_________;在对称轴的右侧y随x的增大而___________
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
开口 对称轴 顶点坐标
直线x=0 (Y轴)
【规律方法】二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象.y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体向左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体向上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移；当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关.抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.
课堂练习1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 向 ( )平移2个单位得到。2.已知s= –(x+1)2，当x为 时，s取最 值 为 。3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解析式是( )y=(x+1)2 B. y= –(x+1)2C.y=(x–1)2 D. y= –(x–1)2
1、函数y=2x2的图象是______线，开口向____，对称轴是_____，顶点坐标是_______，当x=___时，函数有最____值为____；在对称轴左侧， y随x的增大而_______，在对称轴右侧， y随x的增大而_______。
2、函数y=-2x2+4的图象开口向____，对称轴是_____，顶点坐标是_______，当x=____时，函数有最____值为____；当x<0时，y随x的增大而_______，当x>0时， y随x的增大而_______。
3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴是____________，顶点坐标是________，当x=____时，函数有最____值为____；当x_____时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的增大而减小。
4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到。
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
如何来求与坐标轴的交点？
求y=x2+2x-8与坐标轴的交点。
点（1，3）是顶点，知道h=1，k=3，求出a就可以了!
【例 2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
点（3，0）在抛物线上，求a没问题.
解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）是顶点，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），∵点（3，0）在抛物线上，∴0=a(3-1)2 +3， ∴a=-0.75， ∴y=-0.75(x-1)2 +3(0≤x≤3),当x=0时，y=2.25，即水管应长2.25m.
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
1.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解析：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则 y=[800-10(x-30)]·x =-10x2+1 100x
=-10(x-55)2+30 250
∴当x=55时，y最大=30 250
答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大营业额30 250元
1．如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为( )
A．－3 B．1 C．5 D．8
【解析】选D.当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标的最大值．
2.如图，两条抛物线y1= - x2+1、y2=- x2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）A．8 B．6 C．10 D．4
3.某广场有一喷水池，水从地面喷出．如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A．4米 B．3米C．2米D．1米
【解析】选A. 抛物线的顶点坐标（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.
4.已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值【解析】选C．因为图象顶点的纵坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．
5.把抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向右平移100个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是______
【解析】先由平移规律求出新抛物线的解析式为y= -（x-100）2+2，然后求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，利用坐标轴上两点间距离公式即可求得距离.
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
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