2020年中考数学复习微专题《二次函数的图象与性质》靶向专题提升练习

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《二次函数的图象与性质》靶向专题提升练习

1.抛物线y=2(x+3)2+1的顶点坐标是 (　　)

A.(3,1)  B.(3,-1)      C.(-3,1)  D.(-3,-1)

2.将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位,再向左平移1个单位,所得抛物线的解析式是(　　)

A.y=x2-2x-1  B.y=x2+2x-1         C.y=x2-2      D.y=x2+2

3.对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是(　　)

A.图象开口向下                B.图象的对称轴是直线x=-1

C.x>1时,y随x的增大而减小    D.x<1时,y随x的增大而减小

4.方程x2+4x-1=0的根可视为函数y=x+4的图象与函数y=的图象交点的横坐标,那么用此方法可推断出:当m取任意正实数时,方程x3+mx-1=0的实根x0一定在(　　)范围内.

A.-1<x0<0   B.0<x0<1        C.1<x0<2   D.2<x0<3

5. 已知一次函数y=x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

6.函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过点(-1,0),(m,0),且1<m<2,当x<-1时,y随x增大而减小,下列结论:①abc> 0;②a+b<0;③若点A(-3,y1),B(3,y2)在抛物线上,则y1<y2;④a(m-1)+b=0;⑤c≤-1时,则b2-4ac≤4a.其中结论正确的有(　　)个

A.5    B.4    C.3    D.2

7. 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为              (　　)

A.3或6   B.1或6   C.1或3   D.4或6

8.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1,且过点(,0),有下列结论:①abc>0;②a-2b+4c=0;③25a-10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a-b≥m(am-b);其中所有正确的结论有              (　　)

A.2个   B.3个   C.4个     D.5个

9.如图,与抛物线y=x2-2x-3关于直线x=2成轴对称的函数表达式为____________. 

10. 若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为________. 

11.已知:二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是________.  

12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上.过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1,则A′C的长为________. 

13. 如图,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为________. 

14.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),(2,-3).

(1)求抛物线的表达式.

(2)求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标.

15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-4mx(m≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).

(1)求点A,B的坐标及抛物线的对称轴.

(2)过点B的直线l与y轴交于点C,且tan∠ACB=2,直接写出直线l的表达式.

(3)如果点P(x1,n)和点Q(x2,n)在函数y=mx2-4mx(m≠0)的图象上,PQ=2a且x1>x2,求+ax2-6a+2的值.

16. 设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).

(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.

(2)若该二次函数图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.

(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.

17. 如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.

(1)求a,b的值.

(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围.

18. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.

(1)求此抛物线的表达式.

(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积.

(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.

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《二次函数的图象与性质》靶向专题提升练习（答案版）

1.抛物线y=2(x+3)2+1的顶点坐标是 (　　)

A.(3,1)  B.(3,-1)      C.(-3,1)  D.(-3,-1)

【解析】选C.由y=2(x+3)2+1,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(-3,1).

2.将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位,再向左平移1个单位,所得抛物线的解析式是(　　)

A.y=x2-2x-1  B.y=x2+2x-1         C.y=x2-2      D.y=x2+2

【解析】选C.根据题意y=x2-2x+1=(x-1)2向下平移2个单位,再向左平移1个单位,得y=(x-1+1)2-2,y=x2-2.

3.对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是(　　)

A.图象开口向下                B.图象的对称轴是直线x=-1

C.x>1时,y随x的增大而减小    D.x<1时,y随x的增大而减小

【解析】选D.二次函数y=2(x+1)(x-3)可化为y=2(x-1)2-8的形式,

∵此二次函数中a=2>0,

∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,

∴当x>1时,y随x的增大而增大,当x<1时,y随x的增大而减小.

4.方程x2+4x-1=0的根可视为函数y=x+4的图象与函数y=的图象交点的横坐标,那么用此方法可推断出:当m取任意正实数时,方程x3+mx-1=0的实根x0一定在(　　)范围内.

A.-1<x0<0   B.0<x0<1        C.1<x0<2   D.2<x0<3

【解析】选B.由题意可得,方程x3+mx-1=0的根可以看作是函数y=x2+m的图象与函数y=的图象交点的横坐标,∵m>0,∴当x=1时,y>1,根据反比例函数的性质,可得x<1,所以根据图象,可以得到其交点的横坐标在0到1之间.

5. 已知一次函数y=x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

【解析】选A.观察函数图象可知:<0,c>0,

∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=->0,与y轴的交点在y轴正半轴.

6.函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过点(-1,0),(m,0),且1<m<2,当x<-1时,y随x增大而减小,下列结论:①abc> 0;②a+b<0;③若点A(-3,y1),B(3,y2)在抛物线上,则y1<y2;④a(m-1)+b=0;⑤c≤-1时,则b2-4ac≤4a.其中结论正确的有(　　)个

A.5    B.4    C.3    D.2

【解析】选D.如图,

∵抛物线开口向上,∴a>0,

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴b<0,

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,

∴c<0,∴abc>0,所以①的结论正确;

∵抛物线过点(-1,0)和(m,0),且1<m<2,

∴0<-<,

∴+=>0,

∴a+b>0,所以②的结论错误;

∵点A(-3,y1)到对称轴的距离比点B(3,y2)到对称轴的距离远,

∴y1>y2,所以③的结论错误;

∵抛物线过点(-1,0),(m,0),

∴a-b+c=0,am2+bm+c=0,

∴am2-a+bm+b=0,

a(m+1)(m-1)+b(m+1)=0,

∴a(m-1)+b=0,

所以④的结论正确;

∵<c,而c≤-1,

∴<-1,

∴b2-4ac>4a,所以⑤的结论错误.

7. 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为              (　　)

A.3或6   B.1或6   C.1或3   D.4或6

【解析】选B.当h<2时,有-(2-h)2=-1,

解得:h1=1,h2=3(舍去);当2≤h≤5时,y=-(x-h)2的最大值为0,不符合题意;

当h>5时,有-(5-h)2=-1,

解得:h3=4(舍去),h4=6.综上所述:h的值为1或6.

8.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1,且过点(,0),有下列结论:①abc>0;②a-2b+4c=0;③25a-10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a-b≥m(am-b);其中所有正确的结论有              (　　)

A.2个   B.3个   C.4个     D.5个

【解析】选B.由抛物线的开口向下可得a<0,

根据抛物线的对称轴在y轴左边可得a,b同号,所以b<0,

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得c>0,

∴abc>0,故①正确;

直线x=-1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,所以-=-1,可得b=2a,

a-2b+4c=a-4a+4c=-3a+4c,

∵a<0,

∴-3a>0,

∴-3a+4c>0,

即a-2b+4c>0,故②错误;

∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1.且过点(,0),

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-,0),

当x=-时,y=0,即a(-)2-b+c=0,

整理得25a-10b+4c=0,故③正确;

∵b=2a,a+b+c<0,

∴b+b+c<0,

即3b+2c<0,故④错误;

∵x=-1时,函数值最大,

∴a-b+c≥m2a-mb+c,

∴a-b≥m(am-b),所以⑤正确.

9.如图,与抛物线y=x2-2x-3关于直线x=2成轴对称的函数表达式为____________. 

【解析】y=x2-2x-3的顶点是(1,-4),

(1,-4)关于x=2的对称点是(3,-4),

y=x2-2x-3关于直线x=2成轴对称的函数表达式为y=(x-3)2-4.

答案:y=(x-3)2-4

10. 若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为________. 

【解析】∵函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,

∴Δ=22-4×1×(-m)=0,

解得:m=-1.

答案:-1

11.已知:二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是________.  

【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c经过(0,3),(2,3)两点,∴对称轴x==1,

∴点(-1,0)关于对称轴的对称点为(3,0),

因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是(3,0).

答案:(3,0)

12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上.过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1,则A′C的长为________. 

【解析】设A′C交y轴于点D,∵A′横坐标为1,∴A′D=1.∵点A关于点B的对称点为A′,∴OA=A′D=1,

∴A(-1,0). 把A(-1,0)代入y=x2+mx得0=(-1)2+m·(-1),∴m=1,∴抛物线解析式为y=x2+x.把x=1代入上式得y=2,∴A′(1,2).∵A′C∥x轴,∴点C的纵坐标为2,把y=2代入y=x2+x得x2+x=2,解得x=-2或x=1,∴C(-2,2),∴A′C=1-(-2)

=3.

答案:3

13. 如图,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为________. 

【解析】连接AC,交对称轴于点P,

则此时PC+PB最小,∵点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,∴DE=PC,DF=PB,

∵抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,∴0=x2+2x-3,

解得:x1=-3,x2=1,

x=0时,y=-3,故CO=3,AO=3,可得:AC=AP+PC=PB+PC=3,

故DE+DF的最小值为.

答案:

14.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),(2,-3).

(1)求抛物线的表达式.

(2)求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标.

【解析】(1)把(0,-3),(2,-3)代入y=x2+bx+c

得

解得

所以抛物线解析式为y=x2-2x-3.

(2)因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

所以抛物线的顶点坐标为(1,-4),

当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).

15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-4mx(m≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).

(1)求点A,B的坐标及抛物线的对称轴.

(2)过点B的直线l与y轴交于点C,且tan∠ACB=2,直接写出直线l的表达式.

(3)如果点P(x1,n)和点Q(x2,n)在函数y=mx2-4mx(m≠0)的图象上,PQ=2a且x1>x2,求+ax2-6a+2的值.

【解析】(1)当y=mx2-4mx=mx(x-4)=0时,x1=0,x2=4,

∵点A在点B的左侧,

∴A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0),抛物线对称轴为直线x=-=2.

(2)设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0).当点C在y轴正半轴上时,点C的坐标为(0,2),将B(4,0)、C(0,2)代入y=kx+b中,解得此时直线l的表达式为y=-x+2;当点C在y轴负半轴时,点C的坐标为(0,-2),将B(4,0)、C(0,-2)代入y=kx+b中,

解得

此时直线l的表达式为y=x-2.

综上所述:直线l的表达式为y=-x+2或y=x-2.

(3)∵点P(x1,n)和点Q(x2,n)在函数y=mx2-4mx(m≠0)的图象上,

∴点P与点Q关于对称轴x=2对称.

∵PQ=2a,x1>x2,

∴x1=2+a,x2=2-a,

∴+ax2-6a+2=(2+a)2+a(2-a)-6a+2=6.

16. 设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).

(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.

(2)若该二次函数图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.

(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.

【解析】(1)由题意Δ=b2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0,

∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个.

(2)当x=1时,y=a+b-(a+b)=0,

∴二次函数图象不经过点C,

把点A(-1,4),B(0,-1)分别代入得

解得

∴二次函数的解析式为y=3x2-2x-1.

(3)当x=2时m=4a+2b-(a+b)=3a+b>0①,

∵a+b<0.∴-a-b>0②,

①②相加得:2a>0,

∴a>0.

17. 如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.

(1)求a,b的值.

(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围.

【解析】(1)将x=2代入y=2x,得:y=4,

∴点M(2,4),由题意,得:

∴

(2)如图,过点P作PH⊥x轴于点H,

∵点P的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x2+4x,∴PH=-m2+4m,∵B(2,0),

∴OB=2,∴S=OB·PH.

=×2×(-m2+4m)=-m2+4m,

∴K==-m+4,由题意得A(4,0),

∵M(2,4),∴2<m<4,

∵K随着m的增大而减小,

∴0<K<2.

18. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.

(1)求此抛物线的表达式.

(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积.

(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.

【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx-5交x轴于点

B(-5,0)和点C(1,0),∴解得

∴此抛物线的表达式是y=x2+4x-5.

(2)∵抛物线y=x2+4x-5交y轴于点A,

∴点A的坐标为(0,-5),

∵AD∥x轴,点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,

∴点E的纵坐标是5,点E到AD的距离是10,

当y=-5时,-5=x2+4x-5,得x=0或x=-4,

∴点D的坐标为(-4,-5),

∴AD=4,∴△EAD的面积是:=20.

(3)设点P的坐标为(p,p2+4p-5),如图所示,

设过点A(0,-5),点B(-5,0)的直线AB的函数解析式为y=mx+n,

得即直线AB的函数解析式为y=-x-5,当x=p时,y=-p-5,

∵OB=5,

∴△ABP的面积是:S=·5=,

∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,

∴-5<p<0,

∴当p=-时,S取得最大值,此时S=,点P的坐标是,

即点P的坐标是时,△ABP的面积最大,此时△ABP的面积是.