2020年12月份江南十校2021届高三第二次联考理科数学试卷
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数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x2＜4，x∈N}，B＝{-1，1，2，3}，则A∩B＝ （ ）
A．{1} B．{0，1} C．{-1，1} D．{0，1，2，3}
2．已知x，y满足，则z＝y-x的最小值是 （ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
3．函数在[0，π]的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3-a5+a8＝6，则S11＝ （ ）
A．55 B．66 C．110 D．132
5．直线l：kx-y-3k+1＝0与圆C：(x-1)2+(y-2)2＝5的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
6．如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 （ ）
A． B．8-π C． D．
7．曲线y＝2x2-4x-1的一条切线l与直线x+4y-3＝0垂直，则切线l的方程为 （ ）
A．4x-y-9＝0 B．x+4y-9＝0 C．4x-y-7＝0 D．x+4y-7＝0
8．已知函数，则函数y＝f(x)的大致图象为 （ ）
A． B．
C． D．
9．在△ABC中，D是BC的中点，已知，，，则△ABC的面积为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，点A，B分别是右顶点和上顶点，点M是线段AB上的动点，则的取值范围是 （ ）
A．[-2，2] B． C．[0，2] D．
11．已知四面体A-BCD所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，若AB＝2，∠BCD＝120°，BC＝CD＝1，则球O的表面积为 （ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
12．已知有两个不同的零点，则k的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．(-1，0)
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
13．已知向量，，如果向量与垂直，则λ的值为________．
14．设a＝log32，，，将a，b，c按从小到大的顺序排列为________．
15．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(-2，0)，B(2，4)，其欧拉线的方程为x-y＝0，则△ABC的外接圆方程为________．
16．数列是首项为1，公比为q的等比数列，且a1，a3，a5也成等比数列，则q的值为________．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数f(x)＝|x-m|，h(x)＝|x-2|+|x+3|．
（1）若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数m的值；
（2）若关于x的方程x2+6x+h(t)＝0有解，求实数t的取值范围．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c＝2，求b的取值范围．
19．数列{an}满足a1＝1，(an+1-a1)(an+a1)＝-1．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：．
20．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，DA⊥AB，DC⊥BC，∠ABC＝45°，．
（1）若DA＝DC，求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若PA＝AD，PA+AB＝4，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PA的长．
21．已知椭圆C：的离心率为，点A，B分别是左、右顶点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，△PAB面积的最大值为12．
（1）求椭圆方程；
（2）直线AP，BP分别交y轴于M，N，求的值．
22．已知函数f(x)＝xln(x-a)-2x，a∈R
（1）当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
（2）若a≥0，证明：f(x)＜ex-1．
江南十校2021届高三第二次联考
理科数学参考答案
1．A 【解析】A＝{0，1}，因此A∩B＝{1}，故选A．
2．B 【解析】可行域为三角形，三个顶点分别为(0，2)，(2，0)，(4，0)，最优解为(4，0)，可使目标函数取得最小值，最小值为-4，故选B．
3．C 【解析】令∴，又∵x∈[0，π]，故选C．
4．B 【解析】由a3-a5+a8＝6得：a6＝6，，故选B．
5．D 【解析】直线l：kx-y-k+1＝0恒过圆C：(x-1)2+(y-2)2＝5上的一定点(3，1)，故选D．
6．C 【解析】该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱．计算可得，故选C．
7．A 【解析】与直线x+4y-8＝0垂直的直线l的斜率为4，y′＝4x-4，所以，切点为(2，-1)．切线为y+1＝4(x-2)，即4x-y-9＝0．故选A．
8．C 【解析】f(x)是奇函数，排除B、D，当时，f(x)＞0，排除A．故选C．
9．D 【解析】设AB＝c，BC＝a，在△ABC中，a2+c2-2accos B＝8，在△ABD中，，解得a＝4，c＝2，∴．故选D．
10．B 【解析】F1(-2，0)，F2(2，0)，设M(x0，y0)，则，，∴，表示点M(x0，y0)与坐标原点O的距离，最大值为，最小值为，∴，从而，∴的取值范围是，故选B．
11．C 【解析】，设球O的半径为R，三角形BCD的外接圆半径为r，则
，r＝1，，所以球O的表面积为S＝4πR2＝8π．故选C．
12．A 【解析】因为一次函数至多有一个零点，所以有两种情况：①一次函数没有零点，二次函数有两个零点，即2x2+kx-1＝0在(1，3)上有两个零点x1，x2，这与矛盾，不符合题意．②分段函数的两段各有一个零点，0＜x1＜1，1＜x2＜3（x1＝1不适合），由于f(0)＝1，必有f(1)＝k+1＜0，f(3)＝3k+17＞0，∴．故选A．
二、填空题
13．-1 【解析】，2(4+2λ)(3-λ)＝0，λ＝-1．
14．a＜b＜c 【解析】，，∴a＜b，，，∴b＜c，故a＜b＜c．
15．(x-1)2+(y-1)2＝10 【解析】线段AB的垂直平分线方程为x+y-2＝0，与欧拉线的方程联立，得圆心坐标为D(1，1)，线段AB的长度为半径．故△ABC的外接圆方程为(x-1)2+(y-1)2＝10．
16．±1 【解析】，，，．∵a1，a3，a5成等比数列，∴，得(a1q)2＝a1·a1q6，q4＝1，q＝±1．
三、解答题
17．解：（1）由|x-m|≤3，解得m-3≤x≤m+3． 所以，解得m＝2；
（2）， 关于x的方程x2+6x+h(t)＝0有解， 即有Δ＝36-4h(t)≥0，∴h(t)≤9． h(t)≤9可等价转化为或或， 即-5≤t＜-3或-3≤t≤2或2＜t≤4． 所以实数t的取值范围为[-5，4]．
18．解：（1）
，∴，．∴．即：． 角B是在△ABC中内角，所以或（舍），即；
（2）由余弦定理得b2＝a2+c2-2accos B＝a2+c2-ac＝(a+c)2-3ac＝4-3ac， 由
，b2≥1，⇒b≥1， 又a+c＞b，∴1≤b＜2．
19．解：（1）由(an+1-a1)(an+a1)＝-1，⇒an+1an+an+1-an＝0， ，∴成等差数列，首项为1，公差为1， ，∴；
（2） Sn＝b1+b2+…+bn ．
20．解：（1）∵DA⊥AB，DC⊥BC，DA＝DC，BD是公共边，
∴△DAB≌△DCB．∴∠BDA＝∠BDC．∴BD⊥AC． 由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD， 又PA∩AC＝A∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）∵AD，AB，AP两两垂直，∴可如图建立空间直角坐标系A-xyz 设PA＝a，则B(0，4-a，0)，D(a，0，0)，C(2，2-a，0)，P(0，0，a)， ，． 设平面PBC的法向量 取x＝a，得，
．
直线PD与平面PBC所成的角为30°，， 解得或a＝4（舍）， 所以PA的长为．
21．解：（1）由条件得，解得a＝4，b＝3， 所以椭圆方程为；
（2）设P(x0，y0)，由题意直线PA、PB的斜率均存在， 则PA： ① PB： ②∴，， 则．
因为P在椭圆上，所以有 ． 所以：．
22．解：（1）当a＝1时，f(x)＝xln(x-1)-2x，定义域为(1，+∞)， ， 记，， 当1＜x＜2时g′(x)＜0，当x＞2时g′(x)＞0，∴g(x)的极小值也就是最小值为g(2)＝0．∴g(x)≥0，即f′(x)≥0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增；
（2）x-a＞0，a≥0，∴x＞a＞0，x-a＜x⇒ln(x-a)＜ln x⇒xln(x-a)＜xln x． 要证明f(x)＜ex-1，只要证明xln(x-a)-2x＜ex-1， 即证xln(x-a)＜ex+2x-1． 因而只要证明xln x＜ex+2x-1即可． 当0＜x≤1时，xln x≤0，而ex+2x-1＞e0+2·0-1＝0，∴xln x＜ex+2x-1成立． 当x＞1时，设h(x)＝ex+2x-1-xln x(x＞1)， h′(x)＝ex+2-ln x-1＝ex-ln x+1，记u(x)＝ex-ln x+1(x＞1)， ，因为x＞1，所以u′(x)＞e-1＞0，u(x)在(1，+∞)上单调递增． u(x)＞u(1)＝e+1＞0，即h′(x)＞0，所以h(x)在(1，+∞)上单调递增． h(x)＞h(1)＝e+1＞0， 即h(x)＝ex+2x-1-xln x＞0 所以当x＞1时，xln x＜ex+2x-1成立． 综上可知若a≥0，f(x)＜ex-1．
