期末模拟测试-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一、二册）（解析版）

期末模拟测试

-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一、二册）

一、单选题(共60分)

1．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别在和时,利用二次函数的性质求出值域,然后求并集可得答案.

【解答】当时,在上递增,在上递减,

所以时,函数取得最大值,时,函数取得最小值,

此时的值域为,

当时,在上递增,

所以时,函数取得最小值,时,函数取得最大值0,

此时函数的值域为,

综上所述:函数的值域为.

故选:B

【点评】本题考查了求分段函数的值域,分段求值域再求并集是解题关键,属于基础题.

2．过双曲线右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．（1，） B．（，） C．（+1，） D．（1，+1）

【答案】B

【解析】试题分析：由题意可得双曲线的渐近线斜率的范围为：

，

∴双曲线离心率的取值范围为

考点：双曲线的简单性质

3．设，向量，且，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据，由解得，再根据，由解得即可.

【解答】∵，

∴，

解得，

又，

所以，

解得，

所以，

故选：A．

【点评】本题主要考查空间向量的共线和垂直的应用，属于基础题.

4．在中三条边，，成等差数列,且，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质、余弦定理，求出，再结合即可求解.

【解答】由题意可得：

由余弦定理可得：

即 ，解得：

所以

故选B.

【点评】本题主要考查了等差数列的性质、余弦定理以及三角形面积公式，属于基础题.

5．下列结论正确的是（    ）

A．命题“若，则”为假命题

B．命题“若，则”的否命题为假命题

C．命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题

【答案】D

【分析】根据不等式性质,可判断A;根据集合关系及否命题定义,可判断B;根据方程有实数根的条件,即可判断C;逆否命题与原命题真假一致,所以判断原命题的真假即可判断D.

【解答】对于A,由不等式性质”不等式两边同时加上或减去同一个数,不等号方向不变”可知A为真命题,所以A错误;

对于B,命题的否命题为 “若,则”,根据集合关系可知命题为真命题,所以B错误;

对于C,逆命题为 “若方程有实根,则”,根据方程有实数根,,可得,所以为假命题,C错误;

对于D,当时,不等式成立所以命题为真命题.而逆否命题与原命题真假一致,所以逆否命题也为真命题,所以D正确.

故选:D

【点评】本题考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题间的关系,命题真假的判断,属于基础题．

6．直线被圆截得的弦长为（ ）

A． B．2 C． D．1

【答案】B

【分析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长.

【解答】由可知圆心为,半径为,

所以圆心到直线的距离为,

由勾股定理可得弦长为.

故选:B

【点评】本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.

7．已知数列的通项公式，前项和为，若，则的最大值是（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】B

【分析】由题意可得当最大时，取得最大值，令，解出不等式可得，求出即可得解.

【解答】根据题意，数列的通项公式是，

其前项和是，有，

即当最大时，取得最大值；

若，且，解得，

即当时，的值为非负，

当，时，，

此时取得最大值10.

故选：B.

【点评】本题考查了数列和一元二次不等式的综合应用，属于基础题.

8．(本题5分)椭圆的焦点为，，点M在椭圆上，且，则M到y轴的距离为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】设，代入椭圆方程；根据及向量垂直的坐标关系，可得解方程组即可求得的值，进而可得M到y轴的距离.

【解答】设，点M在椭圆上，

所以

椭圆的焦点为，，

则，，

所以，，

由，

可得，

化简可得

联立可解得，

故M到y轴的距离为，

故选：C.

【点评】本题考查了点与椭圆的位置关系，平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

9．(本题5分)若正实数x，y，满足，则的最小值是（    ）

A．1 B．3 C．9 D．18

【答案】C

【分析】将所给等式变形后可得，并根据正实数x，y可求得的范围；将代入，变形后以分离常数形式构造基本不等式，即可求得最小值.

【解答】正实数x，y，满足，

变形可得，

由x，y是正实数可得，解得.

所以

当且仅当时，即时取等号，

所以的最小值为9.

故选：C.

【点评】本题考查了由等量关系求最值，基本不等式求最值的应用，分离常数方法的应用，属于中档题.

10．(本题5分)已知实数x，y满足约束条件，若使目标函数（）取得最小值的最优解有无数个，则实数a的值为（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】C

【分析】由题意画出不等式组表示的可行域，根据最优解有无数个，所以目标函数的斜率与可行域边界的直线重合，结合图形即可求解.

【解答】根据不等式组，画出可行域如下图所示：

目标函数（），变形为

当斜率时，最小值有无数个最优解，

解得，

故选：C.

【点评】本题考查了线性规划的综合应用，根据最优解求参数的值，属于中档题.

11．(本题5分)如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得、、的数量积，并用表示出和，结合空间向量数量积的定义求得，再求得和，即可由向量的夹角公式求得异面直线与所成角的余弦值.

【解答】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，

则，，.

，，

所以

而，

，

所以，

故选：D.

【点评】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.

12．(本题5分)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，，，，为椭圆的顶点，F为右焦点，延长与交于点P，若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的长半轴为短半轴为，半焦距为.根据向量的坐标运算表示出，.由为锐角，结合向量数量积的坐标运算，即可求得，转化为离心率的不等式，解不等式并结合椭圆离心率的范围即可求解.

【解答】设椭圆的长半轴为短半轴为，半焦距为.

为与的夹角，而，

，

由为锐角，

则，

即，又因为，

则，

不等式两边同时除以可得，

解得或，

又因为，

所以，

即该椭圆的离心率的取值范围为，

故选：B.

【点评】本题考查了椭圆的几何性质简单应用，平面向量的坐标表示，平面向量夹角运算，离心率取值范围的求法，属于中档题.

二、填空题(共20分)

13．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是________.

【答案】2

【分析】首先根据已知条件得到，从而得到在椭圆内，即可得到直线与椭圆的交点个数.

【解答】由题知：圆心到直线的距离

，整理得：.

在以为圆心，为半径的圆内，

又因为椭圆，，，

所以在椭圆内，

所以过点的直线与椭圆有个交点.

故答案为：

【点评】本题主要考查直线与椭圆，点与椭圆的位置关系，同时考查直线与圆的位置关系，属于简单题.

14．(本题5分)设坐标原点为O，过抛物线焦点的直线交于A、B两点，则等于______

【答案】

【分析】当斜率存在时，设出直线方程和两个交点，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理表示出，进而求得.根据平面向量数量积的坐标表示，求得即可；当斜率不存在时，易得两个交点坐标，可得的值.

【解答】抛物线，则焦点坐标为.

当斜率存在时，设直线方程为，交点.

则，化简可得.

则

所以

，

当斜率不存在时，易得两个交点坐标为，

则也成立

所以.

故答案为：.

【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系及综合应用，平面向量数量积的坐标表示及运算，属于中档题.

15．(本题5分)如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为______.

【答案】

【分析】取中点，连接，可证明平面，则即为与平面所成角.由线段关系即可求得的正弦值.

【解答】取中点，连接，如下图所示：

正三棱柱，，

则，

因为平面，

平面，所以

而，则平面，

则即为与平面所成角.

因为，

所以

故答案为：.

【点评】本题考查了直线与平面夹角的求法，找到直线与平面夹角是解决问题的关键，属于中档题.

16．已知,定义:表示不小于的最小整数.如等，若,则正实数的取值范围是_____

【答案】

【分析】首先求得的取值范围，然后对的范围进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【解答】由于，所以，由于为正实数，所以.

当时，，不符合题意.

当时，，，不符合题意.

当时，，解得.

故答案为：

【点评】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题(共70分)

17．的内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）若，，平分线交于点，求的长.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据正弦定理，将条件中的边化为角的表达式，结合的内角范围即可求得.

（2）由三角形面积公式分别表示出、、的面积，由即可求得的长.

【解答】（1）由条件及正弦定理得.

因为，

所以，

.

因为，

因此.

（2）的面积为.

的面积为.

的面积为.

因为

所以

解得.

【点评】本题考查了正弦定理边角转化的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.

18．已知，且，圆，点，是圆上的动点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹为曲线.

（1）讨论曲线的形状，并求其方程；

（2）若，且面积的最大值为，直线过点且不垂直于坐标轴，与曲线交于，点关于轴的对称点为．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（1）当时，曲线是椭圆,其方程为；当时曲线是双曲线,其方程为；（2）证明详见解析，定点坐标.

【分析】（1）分点在圆内和点在圆外两种情况讨论，两者都可以利用圆锥曲线的定义得到相应的曲线方程.

（2）设，，则直线与轴交点的横坐标为，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简后可得为定值，从而可证直线过定点.

【解答】当时，点在圆内，，

故曲线是以为焦点，以为长轴长的椭圆，其方程为.

当时，点在圆外，，

曲线是以为焦点，以为实轴长的双曲线，其方程为.

综上，当时，曲线是椭圆,其方程为；当时曲线是双曲线,其方程为；

  （2）由面积有最大值为知，曲线只可能是椭圆，

由椭圆几何性质知，当位于短轴端点时其面积有最大值，因，

故其短半轴长为，又因焦距为2，

故曲线的方程为.

设，，则，

联立，消去得：，

，

直线，

由椭圆的对称性知，若直线过定点，则该定点必在轴上，

故令得：，

所以直线过定点.

【点评】本题考查与圆锥曲线有关的轨迹方程以及椭圆中的定点问题，求轨迹方程时优先考虑动点是否满足常见曲线的定义，而定点定值等问题，需联立直线方程和椭圆方程，消去或后利用韦达定理化简目标代数式，本题属于中档题.

19．如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为，点是上的定点，、是上的两个动点，且线段的中点在线段上.

（1）抛物线的方程及的值；

（2）当点、分别在第一、四象限时，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义可求出的值，可得抛物线的方程，代入的坐标，可得的值；

（2）求得的坐标，设出直线的方程，代入抛物线的方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的范围，运用直线的斜率公式，化简整理配方，由二次函数的值域可得所求范围．

【解答】（1）抛物线的准线方程是，

所以，解得，所以抛物线的方程为.

又点在抛物线上，所以；

（2）由（1）知，，直线的方程为，故，即点.

由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，

由，消去，得，

设、，则，，

因为，所以，，

由，得，

所以，

因为，所以，，，

因此，的取值范围是.

【点评】本题考查利用定义求抛物线的方程，同时也考查直线斜率的乘积的范围，注意联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上.

（1）求证：平面PBE；

（2）若，试求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）证明，，即可证明平面

（2）分别求体积，利用，且底面积，可得的值．

【解答】（1）证明：由是的中点，，所以；

又底面是菱形，

所以，

又因为是的中点，

所以，

又，平面，平面，

所以平面．

（2）解：设四棱锥，的高分别为，．

所以，，

又因为，且底面积，

所以．

【点评】本题重点考查了空间中垂直关系的判定、空间中体积公式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

21．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点，是边长为的等边三角形，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论；

（2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.

【解答】（1）如图，取的中点，连接、，

是的中点，且，

由三棱柱的性质知且，

是的中点，且，

且，四边形是平行四边形，，

平面，平面，平面；

（2）由题可得，

在中，，，，

边上的高为，，

设点到平面的距离为，则，解得．

【点评】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

22．如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当点恰好为线段的中点时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）根据离心率为和弦长|AB|=列一个方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出的表达式，再求函数的最小值即得的最小值．

详解：（Ⅰ）由题意设，即椭圆，

设

由作差得，

又∵,即，

∴AB斜率．            

由．

消得，．

则．

解得，于是椭圆的方程为：．

（Ⅱ）设直线, 由消得，

．

于是．

∵

．  

同理可得．

∴，

, 当时取等号．

综上，的最小值为．             

【点评】本题的难点在求得之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.