2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．y＝±3x
2．（4分）若复数z满足z+（5﹣6i）＝3，则z的虚部是（　　）
A．﹣2i B．6i C．1 D．6
3．（4分）已知向量，分别是直线l1、l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是（　　）
A．x＝2，y＝4 B．x＝4，y＝3 C．x＝1，y＝3 D．x＝6，y＝2
4．（4分）在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（　　）
①⇒m⊥α；②⇒α⊥β；③⇒m∥n；④⇒m∥n．
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
6．（4分）已知O﹣ABC为空间四面体，P为底面ABC上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（　　）
A．x+y+z＝1 B．x+y+z＝0 C．x+y+z＝﹣1 D．
7．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（　　）
A． B．（6，8） C． D．（6，10）
8．（4分）已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且∠F1PF2＝，若椭圆C1离心率记为e1，双曲线C2离心率记为e2，则27e12+e22的最小值为（　　）
A．25 B．100 C．9 D．36
9．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面正方形ABCD的中心，点P是底面ABCD所在平面内的一个动点，且满足∠MC1P＝30°，则动点P的轨迹为（　　）

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
10．（4分）已知椭圆C的方程为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线和AB于点P和M，若3|AB|＝4|PM|，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．
11．（6分）复数z1＝1+i，z2＝3﹣2i，则|z1|＝　 　，＝　 　．
12．（6分）（1）方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围为　 　；
（2）若双曲线C：的焦点坐标为（0，±5），则实数a的值为　 　．
13．（6分）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为　 　cm2，体积为　 　cm3．

14．（6分）已知过点A（﹣3，0），且斜率为k的动直线l与抛物线C：x2＝2y相交于B，C两点，则k的取值范围为　 　；若N为抛物线C上一动点，M为线段AN中点，则点M的轨迹方程为　 　．
15．（4分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值是　 　．
16．（4分）若平面向量，为单位向量，，空间向量满足，，，则对任意的实数t1，t2，的最小值是　 　．
17．（4分）已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且AQ⊥BQ，则直线l过定点　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知命题p：若复数z满足|z﹣3+4i|+|z+3﹣4i|＝2a，则复数z在复平面上对应点的轨迹为椭圆．命题q：函数f（x）＝﹣x2+x+a在[﹣2，2]上存在零点．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．





19．（15分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC，点M在线段PB上，且2PM＝MB．
（1）试在线段PC上找一点N，使BC∥平面AMN，并说明理由；
（2）试求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．






20．（15分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1．AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线的准线上，O为坐标原点．
（1）求p的值；
（2）连接MA，MF，MB，分别将其斜率记为k1，k，k2，试问是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．









21．（15分）在Rt△ABC中，∠A＝60°，以BC为边在平面ABC内作如图所示的等边△BCD，E为BC边上一点，且EC＝2BE，F为线段AC上的点，现沿BF将△ABF折起，使A点到达位置A'，且A'点在平面BCD内的射影恰为E点．

（1）求证：DF⊥A'B；
（2）求二面角B﹣A'D﹣C的平面角的余弦值．

















22．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，椭圆，A为椭圆的上顶点．过原点的直线与圆O交于点M，N两点，且点M在第一象限，直线AM与椭圆C的另一交点为P，直线AN与椭圆C的另一交点为Q．
（1）若|AP|＝2|AM|，求直线AM的斜率；
（2）设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．


2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．y＝±3x
【解答】解：由双曲线x2﹣＝1方程可得渐近线方程为：y＝x，
故选：B．
2．（4分）若复数z满足z+（5﹣6i）＝3，则z的虚部是（　　）
A．﹣2i B．6i C．1 D．6
【解答】解：因为z+（5﹣6i）＝3，
所以z＝3﹣（5﹣6i）＝﹣2+6i，
所以z的虚部是6．
故选：D．
3．（4分）已知向量，分别是直线l1、l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是（　　）
A．x＝2，y＝4 B．x＝4，y＝3 C．x＝1，y＝3 D．x＝6，y＝2
【解答】解：因为向量，分别是直线l1、l2的方向向量，且l1⊥l2，
所以，所以4×（﹣7）+4x+5y＝0，解得4x+5y＝28，
当x＝2，y＝4时，等式成立，故选项A正确；
当x＝4，y＝3；x＝1，y＝3；x＝6，y＝2时，等式不成立，故选项B，C，D不正确．
故选：A．
4．（4分）在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：在直线与双曲线位置关系中，
“公共点只有一个”包含两种情况：一种是直线与双曲线相切；一种是直线与双曲线的渐近线平行，
故“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件．
故选：C．
5．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（　　）
①⇒m⊥α；②⇒α⊥β；③⇒m∥n；④⇒m∥n．
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：
对于①，⇒m与α相交、平行或m⊂α，故①错误；
对于②，由面面垂直的判定定理得⇒α⊥β，故②正确；
对于③，由线面垂直的性质定理得：⇒m∥n，故③正确；
对于④，⇒m与n平行或异面，故④错误．
故选：C．
6．（4分）已知O﹣ABC为空间四面体，P为底面ABC上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（　　）
A．x+y+z＝1 B．x+y+z＝0 C．x+y+z＝﹣1 D．
【解答】解：因为，且，
所以，
故，
因为P，A，B，C四点共面，
所以，
故x+y+z＝0．
故选：B．
7．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（　　）
A． B．（6，8） C． D．（6，10）
【解答】解：如图，由双曲线，得a2＝1，b2＝4，
∴c＝＝＝．
不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，
把x＝代入，得y＝±4，即|PF2|＝4，
此时|PF1|＝|PF2|+2＝4+2＝6，则|PF1|+|PF2|＝10；
由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝20，
又|PF1|﹣|PF2|＝2，①
两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4，
∴|PF1||PF2|＝8，②
联立①②解得：|PF1|＝4，|PF2|＝2，
此时|PF1|+|PF2|＝6．
∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（6，10）．
故选：D．

8．（4分）已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且∠F1PF2＝，若椭圆C1离心率记为e1，双曲线C2离心率记为e2，则27e12+e22的最小值为（　　）
A．25 B．100 C．9 D．36
【解答】解：设椭圆的方程为：，双曲线的方程为：，
由定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
所以|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：
4c（acos，
即4c，
所以27e＝＝
＝
＝，当且仅当时取等号，
此时27e12+e22的最小值为25，
故选：A．
9．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面正方形ABCD的中心，点P是底面ABCD所在平面内的一个动点，且满足∠MC1P＝30°，则动点P的轨迹为（　　）

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
【解答】解：以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，C1（0，1，1），设P（x，y，0），则，，
而∠MC1P＝30°，所以|cos＜＞|＝＝，
化简整理得7x2+7y2+2xy﹣6x﹣12y＝0，
因为B2﹣4AC＝4﹣4×49＜0，所以上式表示椭圆，即点P的轨迹为椭圆．
故选：D．

10．（4分）已知椭圆C的方程为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线和AB于点P和M，若3|AB|＝4|PM|，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得直线的方程为：y＝x﹣c，代入椭圆方程可得：
（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x，
所以x，易知x，
所以|AB|＝＝，
|PM|＝＝，
又3|AB|＝4|PM|，
所以3×，化简可得：，
故选：B．
二、填空题：本大题共7题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．
11．（6分）复数z1＝1+i，z2＝3﹣2i，则|z1|＝　　，＝　　．
【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝3﹣2i，
∴|z1|＝，＝＝＝，
故答案为：；．
12．（6分）（1）方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围为　（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）　；
（2）若双曲线C：的焦点坐标为（0，±5），则实数a的值为　﹣11　．
【解答】解：（1）∵方程表示的曲线是双曲线，
∴（a+1）（4﹣a）＜0，
解得a＜﹣1或a＞4．
故答案是：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）；
（2）∵双曲线C：的焦点坐标为（0，±5），
∴（4﹣a）﹣（a+1）＝52，
解得a＝﹣11．
故答案是：﹣11．
13．（6分）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为　36　cm2，体积为　12　cm3．

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．
如图所示：

所以该几何体的表面积为S＝＝36．
．
故答案为：36；12．
14．（6分）已知过点A（﹣3，0），且斜率为k的动直线l与抛物线C：x2＝2y相交于B，C两点，则k的取值范围为　k＜﹣6或k＞0　；若N为抛物线C上一动点，M为线段AN中点，则点M的轨迹方程为　　．
【解答】解：依题意，设直线l的方程为y＝k（x+3），
联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣6k＝0，
因为直线与抛物线C：x2＝2y相交于B，C两点，
所以Δ＝4k2+24k＞0，解得k（k+6）＞0，
即k＜﹣6或k＞0；
设M（x，y），M为线段AN中点，A（﹣3，0），
则利用中点坐标公式得N（2x+3，2y），
又N为抛物线C上，故（2x+3）2＝2×2y，
即点M的轨迹方程为．
故答案为：k＜﹣6或k＞0；．
15．（4分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值是　　．
【解答】解：如图，＝，＝＝，
＝（）•（）
＝
＝2×2×cos60°+4+2×2×cos60°＝8，
||＝||＝＝＝＝2，
∴cos＜＞＝＝＝，
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值是．
故答案为：．

16．（4分）若平面向量，为单位向量，，空间向量满足，，，则对任意的实数t1，t2，的最小值是　6　．
【解答】解：2＝2+t122+t222﹣2t1•﹣2t2•+2t1t2•，
由题得 2＝2＝1，||＝8，•＝4，•＝5，
将条件代入可得，上式＝64+t12+t22﹣2t1×4﹣2t2×5+2t1t2×
＝64+t12+t22﹣8t1﹣10t2+t1t2＝（t1+）2+（t2﹣4）2+36≥36，
当且仅当t1＝2，t2＝4取等号，
故|﹣t1﹣t2|的最小值是6，
故答案为：6．
17．（4分）已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且AQ⊥BQ，则直线l过定点　　．
【解答】解：①若直线l的斜率不存在，则设直线l的方程为：x＝b，则可设点A（b，y1），B（b，﹣y1），
代入椭圆方程可得y，
则），），因为，
所以＝b＝b
＝，解得b＝或，
当b＝时显然Q与A，B中的一点重合，不符题意，所以直线l的方程为：x＝；
②当直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+b，与椭圆方程联立消去y可得：
（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x，
所以y，
y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝k＝，
由AQ⊥BQ可得，
即（x＝x+y1y2﹣（y1+y2）+1
＝＝0
化简可得：3b，
即（3b++1）（b+k﹣1）＝0，
当b+k﹣1＝0时，直线l的方程为：y＝k（x﹣）+1，此时直线l过定点（，1），不符题意，
所以3b+k+1＝0，即b＝﹣，
所以直线l的方程为：y＝k（x﹣）﹣，
此时直线恒过定点（），
综上，直线恒过定点（），
故答案为：（）．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知命题p：若复数z满足|z﹣3+4i|+|z+3﹣4i|＝2a，则复数z在复平面上对应点的轨迹为椭圆．命题q：函数f（x）＝﹣x2+x+a在[﹣2，2]上存在零点．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，在复平面上，定点3﹣4i与﹣3+4i距离为|（3﹣4i）﹣（﹣3+4i）|＝10，
z在复平面对应轨迹为椭圆，所以a满足，2a＞10⇒a＞5⇒a∈（5，+∞）；
（2）命题q真：x∈[﹣2，2]时，，
由命题p，q中有且只有一个真命题，得p与q一真一假．
若p真q假，则⇔a∈（6，+∞）；
若p假q真，则⇔；
所以．
19．（15分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC，点M在线段PB上，且2PM＝MB．
（1）试在线段PC上找一点N，使BC∥平面AMN，并说明理由；
（2）试求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：作PC上靠近P点的三等分点N，
∵M是PB上三等分点，
∴BC∥MN，
且BC⊄平面AMN，MN⊂平面AMN，
∴BC∥平面AMN．
（2）解：法一：取PB中点记为A'，
∵BC⊥平面PAB∴AA'⊥BC，
又∵△PAB为等腰三角形，∴AA'⊥PB，
∴AA'⊥平面PBC，
∴A'为A点在平面PBC上投影，
∴∠AMA'即为所求线面角，
在△AMA'中，，，∴，
∴．
法二：如图所示建系，设AB＝1，B（0，0，0），
A（﹣1，0，0），C（0，1，0），P（﹣1，0，1），
，，，，
设平面PBC法向量为，，不妨设x＝1，z＝1，可得，．

20．（15分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1．AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线的准线上，O为坐标原点．
（1）求p的值；
（2）连接MA，MF，MB，分别将其斜率记为k1，k，k2，试问是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线定义得，点A到准线的距离等于|AF|，
∴，则p＝2；
（2）设M（﹣1，t），A（x1，y1），B（x2，y2），
已知F（1，0），则，，，
联立直线与抛物线方程，得y2﹣4my﹣4＝0．
∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
，①
∴＝，
将①式代入，可得，
得，
故为定值2．
21．（15分）在Rt△ABC中，∠A＝60°，以BC为边在平面ABC内作如图所示的等边△BCD，E为BC边上一点，且EC＝2BE，F为线段AC上的点，现沿BF将△ABF折起，使A点到达位置A'，且A'点在平面BCD内的射影恰为E点．

（1）求证：DF⊥A'B；
（2）求二面角B﹣A'D﹣C的平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：由题意得，A'在平面BCD内射影恰为E点，则A'E⊥平面BCD，
设AB＝1，，
且折痕BF⊥AE，又∵，
∴．
∴AE为∠A的角平分线，∴△ABF为等边三角形，（2分）
∴AB＝AF＝FC＝1，F恰为AC边中点，（4分）
连接DF，交BC于点H，H恰为BC边中，
∵△ABF为等边三角形，∴DF⊥BC，
又∵A'E⊥DF，BC⊂平面A'BC，A'E⊂平面A'BC，∴DF⊥平面A'BC，
A'B⊂平面A'BC
∴DF⊥A'B．（6分）
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

H（0，0，0），D，C，B，F，
E，，（8分）
，，，（10分）
设平面BA'D法向量为＝（x，y，z），
，可取＝（，﹣，）；
平面A'DC法向量为＝（x，y，z），
，可取＝（1，，），（12分）
∴，（14分）
∴二面角B﹣A'D﹣C的平面角的余弦值为．（15分）
22．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，椭圆，A为椭圆的上顶点．过原点的直线与圆O交于点M，N两点，且点M在第一象限，直线AM与椭圆C的另一交点为P，直线AN与椭圆C的另一交点为Q．
（1）若|AP|＝2|AM|，求直线AM的斜率；
（2）设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．

【解答】解：（1）设直线AP的方程为y＝kx+2（k＜0），
联立直线与椭圆方程，消去y可得，（1+3k2）x2+12kx＝0，
所以得到，
联立直线与圆方程，消去y可得，（1+k2）x2+4kx＝0，
所以，
由|AP|＝2|AM|得，xP＝2xM，
故，解得，
因为k＜0，所以．
（2）由M与N关于原点对称，可得N点坐标，
所以，，，
所以，
同理可得，，
则有
＝
＝，
当且仅当，即k＝﹣1时取得等号，
所以的最大值为．
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日期：2022/1/5 13:05:33；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983