高三数学 导数专题复习 二十 判断或证明函数的单调性和单调区间
展开专题二十 函数的单调性问题
1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
- 利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.
一 函数的单调性
例题1 （2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
【解析】 (1)由函数的解析式可得：，
则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
例题2 （2019·天津高三期中（理））已知函数，.
（Ⅰ）若 ，求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性。
【解析】 (Ⅰ)由题意可得：，故，∴.
(Ⅱ)∵函数，其中a>1，
∴f(x)的定义域为(0,+∞)，，
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.
①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.
②若0<a−1<1，即1<a<2时，
由f′(x)<0得，a−1<x<1；由f′(x)>0得，0<x<a−1，或x>1.
故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增.
③若a−1>1，即a>2时，
由f′(x)<0得,1<x<a−1;由f′(x)>0得，0<x<1，或x>a−1.
故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.
综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；
当1<a<2时,f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增；
当a>2时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.
【小结】
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.
2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；
(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；
(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
二 函数的单调区间
例题3 （2016·北京高考真题（理））设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【解析】（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
【小结】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)符号，从而确定单调区间．
温馨提醒：所求函数单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
例题1 函数()，，若至少存在一个，使得成立，则实数的范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】由题意知在上有解，满足即可，
设，，∵，∴，
∴在上恒为增函数，∴，∴，选B。
变式1 设函数，若对于任意都有成立，求实数的取值范围。
【解析】，令，得或，
∵当或时，，当时，，
∴在和上为增函数，在上为减函数，
∴在处有极大值，在处有极小值，极大值为，
而， ∴在上的最大值为，
对于任意都有成立，得的范围。
例题2 若对，不等式恒成立，则实数的最大值是( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】∵，即，
当时恒成立，当时，可得，令，
则，可得，且在上，在上，
故的最小值为，于是，即，选B。
变式1 已知函数。
(1)求的最小值；
(2)若对所有都有，求实数的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，的导数，
令，解得，令，解得，
从而在单调递减，在单调递增，
∴当时，取极小值也是最小值，则；
(2)依题意得在上恒成立，
即不等式对于恒成立，
令， 则，
当时，，故是上的增函数，
∴的最小值是，∴从而的取值范围是。
【小结】研究极值、最值问题应注意的三个关注点：
(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点。
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论。
(3)含参数时，要讨论参数的大小。
例题3 设函数，。
(1)求的单调区间和极值；
(2)若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围。
(3)已知当时，恒成立，求实数的取值范围。
【解析】(1)=，令得，，
∴当或时，当时，
∴的单调递增区间是及，单调递减区间是，
当，有极大值，当，有极小值；
(2)由(1)的分析可知图像的大致形状及走向，
∴当时直线与的图像有个不同交点，
即方程有三解；
(3)即，
∵，∴在上恒成立，
令，由二次函数的性质，在上是增函数，
∴，∴所求的取值范围是。
变式1 已知函数(为实数)。
(1)若在处有极值，求的值；
(2)若在上是增函数，求的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，又，，；
(2)对恒成立，
∴，，，
∵，∴的最大值为，
变式2 ∴的最小值为，又因时符合题意，∴。 已知函数。
(1)求函数在上的最大值、最小值；
(2)求证：在区间上，函数的图像在函数图像的下方。
【解析】(1)由有，当时，，为增函数
∴，；
(2)设，则，
当时，，则单调递减，且，
故时，∴，得证。
三 利用函数的单调性解不等式
例题4 （2020·山东奎文 潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞,﹣3） B．（﹣3,0） C．（0,3） D．（3,+∞）
【解析】∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
令h（x）＝f（x）•g（x），则h（﹣x）＝﹣h（x），
故h（x）＝f（x）•g（x）为R上的奇函数，
∵当x＜0时，f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0，
即x＜0时，h′（x）＝f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0，
∴h（x）＝f（x）•g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，
∴奇函数h（x）在区间（0，+∞）上也单调递减，如图：
由g（﹣3）＝0，∴h（﹣3）＝h（3）＝0，
∴当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，h（x）＝f（x）•g（x）＜0，故选：BD.
例题5 （2019·四川高考模拟（文））设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，
则，
∵，，∴，∴是上的增函数，
又， ∴的解集为，
即不等式的解集为.故选A.
【小结】
比较大小或解不等式的思路方法
(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．
(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．
五 利用函数的单调性比较大小
例题6 （2019·天津高考模拟（理））已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，
，，
当时，；
当时，，即在上递增，
的图象关于对称，
向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，
即为偶函数，，
，，即，
，即.故选D.
例题7 （2020·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【分析】构造函数，然后利用导数和已知条件求出在()上单调递减，从而有，，据此转化化简后即可得出结论.
【解析】设，则，
因为()时，，
所以()时，，
因此在()上单调递减，所以，，
即，.故选：CD.
【小结】
在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
六 根据函数的单调性求参数
例题8 （2019·湖北高三月考（理））已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵f′（x）＝2x，在内不是单调函数，
故2x在存在变号零点，即在存在有变号零点，∴2<a，故选：A
例题9 (2019年高考北京理)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.
【小结】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
