广西省北海中学2020年高三上学期12月月考数学试卷
展开北海中学2020年秋季学期12月月考试卷
文科数学
本卷满分： 150 分，考试时间： 120 分钟。
第I卷（选择题，共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，则（ ）
A.5 B. C. D.
3.是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.若变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．某5个数据的均值为10，方差为2，若去掉其中一个数据10后，剩下4个数据的均值为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6.曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．过点的圆的切线方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
9.若是的一个内角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知双曲线E:的右焦点为F，以（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）.若,则双曲线E的离心率为（ ）
A. B.2 C. D. 4
11．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
12.已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数（ ）
A．函数是偶函数 B．其图象关于直线对称
C．在上是增函数 D．在区间上的值域为
第II卷（非选择题，共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，向量，则与的夹角大小为___________.
14．已知则的最小值是 .
15．已知为数列的前项和，若，则________.
16．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的最大值.
18．（本小题满分12分）
2020年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延，病毒传染性强并严重危害人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援新型冠状病毒疫情防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的2×2列联表．
| 特别满意 | 基本满意 |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
（1）被调查的男性居民中有5个年轻人，其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意，现在这5名年轻人中随机抽取3人，求至多有1人特别满意的概率．
（2）能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？
附：
19．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥中，平面，，、分别为线段、上的点，且，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知抛物线C：，直线l：（）.
（1）证明：直线l与抛物线C恒有两个交点；
（2）直线与C有两个交点A，B，O为原点，如果，直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所除题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线：，曲线：（t为参数）.
（1）求曲线与的直角坐标方程；
（2）已知P，Q分别为曲线与曲线上的动点，求的最小值.
23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数.
（1）不等式的解集，求．
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
北海中学2021届高三12月月考试卷
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | B | A | C | B | C | B | A | D | A | C | D |
【解析】
- 由，得，∴.∵，∴，故选C.
2.法一：，
∴
法二：，∴ 故选B.
3.，则,故选A
4.画出可行域，向上平移基准直线,可得最优解为，由此求得目标函数的最小值为，故选C.
5．设原数据的均值和方差分别为，设10是第5个数据，所.
由题得
由题得，
所以，
所以故选：B．
6.，∴，又，∴函数的图象在点处的切线方程是，即，故选C.
7.根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：
所以表面积为
所以选B
8.因为圆的圆心为，半径为1，由题意，易知所求切线斜率存在，设过点与圆相切的直线方程为，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直线方程分别为：或，整理得或.故选D
9．是的一个内角,，又，所以有，故选D.
10..因为为直径，点M在圆上，所以.又，由圆的对称性，有，所以.由渐近线斜率，所以离心率为. 故选D.
11.由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，∴，可得：，球的体积，解得，所以到平面的距离为：.故选：C.
12.，由函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，则周期，即，即，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，所以，再由图象可知，故选D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
答案 | 150°（或） | 4 | 32 | -3 |
13.填150°（或），
由， 所以夹角为150°.
14．4 解：lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，
∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．
15.32当时，解得；
当时，，整理得，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，，
所以.故答案为：32.
16．.解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
- 本小题满分12分）
解：（1）设这5个年轻人为，其中特别满意的2人为
则任取3人的基本事件为：
，共10种
其中3人中至多1人特别满意的事件有：
，共7种
所以至多1人特别满意的概率为
（2）
则有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异
18.（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理，得，…………………………………………（1分）
.…………………………………………（2分）
∵，.…………………………………………（3分）
∴.…………………………………………（4分）
∵，∴.………………………………………………（5分）
（2），…………………………………………（7分）
∴.…………………………………………（8分）
∵，∴，
∴，…………………………………………（10分）
∴，当且仅当“”时取“=”，
所以面积的最大值为.…………………………………………（12分）
19解：(Ⅰ)证明：由平面，平面，故
由，得为等腰直角三角形，故
又，故平面．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，
过作垂直于，易知，
又平面，所以，，
设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，
由得 ，
即，
即，所以，所以点到平面的距离为.
20.（本小题满分12分）
解：（1）因为f（x）＝（x﹣a）ex，所以f'（x）＝（x﹣a+1）ex，
当x∈（﹣∞，a﹣1）时，f'（x）＜0；当x∈（a﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，
故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，a﹣1），单调递增区间为（a﹣1，+∞）．
（2）由g（x）＝（x﹣2）ex+lnx﹣x﹣b，
因为g（x）≤0对任意的恒成立，b≥（x﹣2）ex+lnx﹣x对任意的恒成立，构造函数h（x）＝（x﹣2）ex+lnx﹣x，．
∵，∴x﹣1＜0，且单调递增，
∵，t（1）＝e﹣1＞0，∴一定存在唯一的，使得t（x0）＝0．
即，x0＝﹣lnx0．∴h（x）在上单调递增，在（x0，1）上单调递减．
∴．
∵b∈Z，∴b的最小值为﹣3．
21.（本小题满分12分）
（1）证明：联立得.…………………………………………（1分）
∵，…………………………………（3分）
故直线l与抛物线C恒有两个交点.…………………………………………（4分）
（2）解：设直线的方程为，
联立得，∴或（舍去），
∴.…………………………………………（6分）
设直线的方程为，
联立得，…………………………………………（8分）
∴，…………………………………………（10分）
∴直线的方程为，即，…………………………………………（11分）
∴直线恒过定点.…………………………………………（12分）
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）∵，，…………………………………………（1分）
∴.…………………………（3分）
由消掉t后得，…………………………………………（4分）
故曲线的直角坐标方程为，
的直角坐标方程为.…………………………………………（5分）
（2）由（1）知曲钱的圆心坐标为和半径为.…………………………………………（6分）
∵点到曲线的距离，………………………………………（8分）
∴的最小值为.…………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）
解：（1），^^^^^^^^^^^^^^①……………1分
当时，； ……………………2分
当时， ……………………3分
当时，， ……………………4分
所以不等式的解集. ……………………5分
（2）由①易知，当， .……………………7分
由 ……………………8分
……………………10分
