2020-2021年广西省梧州市高一（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年广西省梧州市高一（下）3月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. sin600∘的值是( )
A.12+3B.32C.−12+3D.−32

2. 已知tanα=34，α∈π，32π，则csα的值是（ ）
A.±45B.45 C. −45 D.35

3. 已知α∈(π2, π)，sinα=35，则tan(α+π4)等于( )
A.17B.7C.−17D.−7

4. 已知sin(2π−α)=45，α∈(3π2,2π)，则sinα+csαsinα−csα等于( )
A.17B.−17C.−7D.7

5. 若3sinθ=csθ，则cs2θ+sin2θ的值等于（ ）
A.−75B.75C.−35D.35

6. 已知a，β都是锐角，若sinα=55，sinβ=1010，则α+β=( )
A.π4B.3π4C.π4和3π4D.−π4和−3π4

7. 若f(sinx)=3−cs2x，则f(csx)等于( )
A.3−cs2xB.3−sin2xC.3+cs2xD.3+sin2x

8. sin15∘cs75∘+cs15∘sin105∘等于( )
A.0B.12C.32D.1

9. 化简：sin(60∘+θ)+cs120∘sinθcsθ的结果为( )
A.1B.32C.3D.tanθ

10. 若sinα+sinβ=1−32，csα+csβ=12．则cs(α−β)的值为( )
A.12B.−32C.34D.1

11. 在三角形ABC中，三个内角分别是A，B，C，若sinC=2csA⋅sinB，则三角形ABC一定是( )
A.直角三角形B.正三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形

12. 化简tan10∘tan20∘+tan20∘tan60∘+tan60∘tan10∘的值等于( )
A.1B.2C.tan10∘D.3tan20∘
二、填空题

已知角α的终边经过点2,−1，则sinα+csα的值为________.

1+tan75∘1−tan75∘=________.

已知一扇形的弧所对的圆心角为54∘，半径r=20cm，则扇形的周长为________．

求csπ5cs2π5的值________．
三、解答题

北京时间比莫斯科时间快了5小时，现在有一个挂钟时间显示16:00为莫斯科时间，要求校准为北京时间．(校准要求：时针旋转最少的圆弧）
(1)问时针转动了多少度才校准；

(2)设第一问的角度为α，求角α的终边与单位圆交点坐标．


已知角α在第一象限且csα=35，求1+2cs2α−π4sinα+π2的值．

已知α，β∈3π4,π，sinα+β=−35，sinβ−π4=1213，求csα+π4的值．

证明：sinθ1+sinθ+csθ1+csθ⋅sinθ1−sinθ+csθ1−csθ=sin2θ．

已知sinα+π2=−55, α∈(0,π).
(1)求sinα−π2−cs3π2+αsin(π−α)+cs(3π+α)的值；

(2)求cs2α−3π4的值.

已知tanα+1tanα=52，α∈π4,π2.
(1)求cs2α的值；

(2)求sin2α+π4的值.
参考答案与试题解析
2020-2021年广西省梧州市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用诱导公式，我们可得sin600∘=sin240∘=−sin60∘，再由特殊角的三角函数值，即可得到答案．
【解答】
解：sin600∘
=sin(360∘+240∘)
=sin240∘
=sin(180∘+60∘)
=−sin60∘
=−32.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ tanα=34，α∈(π, 32π)，
∴ csα=−11+tan2α=−45.
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正切公式
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．
【解答】
解：已知α∈(π2，π)，sinα=35，则tanα=−34，
∴ tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=17.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
根据诱导公式求出sinα的值，然后利用同角三角函数的基本关系及α的范围求出csα，把sinα，csα代入即可求出值．
【解答】
解：sin(2π−α)=−sinα=45，
∴ sinα=−45.
又α∈(3π2, 2π)，
∴ csα=35，
∴ sinα+csαsinα−csα=−45+35−45−35=17.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
【解答】
解：∵ 3sinθ=csθ，∴ tanθ=13，
∴ cs2θ+sin2θ
=cs2θ−sin2θ+2sinθcsθcs2θ+sin2θ
=1−tan2θ+2tanθ1+tan2θ
=1−19+231+19
=75.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ α，β为锐角，sinα=55，sinβ=1010，
∴ csα=1−sin2α=255,
csβ=1−sin2β=31010,
∴ cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=22,
∴ α+β=π4.
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
求二倍角的余弦
同角三角函数间的基本关系
【解析】
把已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于sinx的函数关系式，把sinx化为csx，并利用二倍角的余弦函数公式化简，即可得到f(csx)的解析式．
【解答】
解：∵ f(sinx)=3−cs2x
=3−(1−2sin2x)
=2+2sin2x，
∴ f(csx)=2+2cs2x
=2+2×1+cs2x2
=3+cs2x．
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
三角函数的化简求值
【解析】
用诱导公式把题目中出现的角先化到锐角，再用诱导公式化到同名的三角函数，sin215∘+cs215∘＝1或应用两角和的正弦公式求解．
【解答】
解：sin15∘cs75∘+cs15∘sin105∘
=sin215∘+cs215∘
=1.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
利用两角和的正弦函数展开分式的分子，通过特殊角的三角函数化简，即可求出结果．
【解答】
解：sin(60∘+θ)+cs120∘sinθcsθ
=sin60∘csθ+cs60∘sinθ+cs120∘sinθcsθ
=32csθcsθ
=32．
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的余弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
对sinα+sinβ=1−32与csα+csβ=12等号两端分别平方后相加，即可求得答案．
【解答】
解：∵ sinα+sinβ=1−32①，
csα+csβ=12②，
∴ ①​2+②​2，得
sin2α+sin2β+2sinα⋅sinβ+cs2α+cs2β+2csα⋅csβ
=(1−32)2+(12)2，
即2+2cs(α−β)=1−3+34+14=2−3，
∴ cs(α−β)=−32．
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
首先把正弦定理及余弦定理代入题中的已知关系式进行化简即可得到结果．
【解答】
解：∵ sinC=2csA⋅sinB，
由正、余弦定理，得c=2⋅b2+c2−a22bc⋅b，
化简，得(a+b)(b−a)=0，
∴ a=b，
∴ △ABC一定是等腰三角形.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正切公式
三角函数的化简求值
【解析】
由角的关系式10∘+20∘=90∘−60∘，利用和角的正切公式，即可得出结论．
【解答】
解：∵ tan10∘tan20∘+tan20∘tan60∘+tan60∘tan10∘
=tan10∘tan20∘+tan60∘(tan20∘+tan10∘)
=tan10∘tan20∘+3(tan20∘+tan10∘)
又tan30∘=tan20∘+tan10∘1−tan20∘tan10∘，
∴ 原式=tan10∘tan20∘+3×tan30∘×(1−tan20∘tan10∘)
=tan10∘tan20∘+3×33×(1−tan20∘tan10∘)
=1.
故选A.
二、填空题
【答案】
55
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
角α的终边经过点(2, −1)，由三角函数的定义求出角α正弦与余弦，代入sinα+csα求值．
【解答】
解：因为角α的终边经过点(2,−1)，
由三角函数的定义，得csα=25，sinα=−15，
所以sinα+csα=15=55.
故答案为：55.
【答案】
−3
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
把tan45∘=1巧妙代入已知式子可得原式=tan45∘+tan75∘1−tan45∘tan75∘，由两角和与差的正切公式可得．
【解答】
解：1+tan75∘1−tan75∘=tan45∘+tan75∘1−tan45∘tan75∘
=tan(45∘+75∘)=tan120∘=−3.
故答案为：−3.
【答案】
(6π+40)cm
【考点】
弧长公式
弧度与角度的互化
【解析】
由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值，可得扇形的周长为l+2r 的值．
【解答】
解：∵ 一扇形的弧所对的圆心角为54∘，半径r=20cm，
∴ 扇形的弧长l=α⋅r=54∘180∘π⋅20=6πcm,
∴ 扇形的周长为l+2r=6π+2×20=6π+40cm.
故答案为：(6π+40)cm.
【答案】
14
【考点】
三角函数的化简求值
二倍角的正弦公式
【解析】
把此式转化为分母为1的分式，然后分子分母同乘以sinπ5，利用二倍角正弦公式化简.
【解答】
解：原式=2sinπ5csπ5cs2π52sinπ5
=sin2π5cs2π52sinπ5=sin4π54sinπ5
=sinπ54sinπ5=14.
故答案为：14.
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意，北京时间比莫斯科时间快了5小时，
则时针应顺时针转动5大格，
又规定逆时针转动为正，
所以时针转动−150∘才校准.
(2)设角α的终边与单位圆交点坐标为Px,y，且α=−150∘，
则x=1×cs−150∘=cs150∘=−cs30∘=−32，y=1×sin−150∘=−sin150∘=−sin30∘=−12，
∴ P−32,−12.
【考点】
三角函数线
终边相同的角
【解析】
由−2π<−5<−3π2，可知−5介于x轴正半轴和y轴正半轴两个轴线角之间，则−5的终边确定．
【解答】
解：(1)由题意，北京时间比莫斯科时间快了5小时，
则时针应顺时针转动5大格，
又规定逆时针转动为正，
所以时针转动−150∘才校准.
(2)设角α的终边与单位圆交点坐标为Px,y，且α=−150∘，
则x=1×cs−150∘=cs150∘=−cs30∘=−32，y=1×sin−150∘=−sin150∘=−sin30∘=−12，
∴ P−32,−12.
【答案】
解：∵ α在第一象限，csα=35，
∴ sinα=45．
∴ 原式=1+2cs2α⋅csπ4+sin2α⋅sinπ4sinα⋅csπ2+csα⋅sinπ2
=1+cs2α+sin2αcsα
=2cs2α+2sinα⋅csαcsα
=2csα+2sinα=65+85=145．
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
运用诱导公式化简求值
求两角和与差的正弦
【解析】
无
【解答】
解：∵ α在第一象限，csα=35，
∴ sinα=45．
∴ 原式=1+2cs2α⋅csπ4+sin2α⋅sinπ4sinα⋅csπ2+csα⋅sinπ2
=1+cs2α+sin2αcsα
=2cs2α+2sinα⋅csαcsα
=2csα+2sinα
=65+85=145．
【答案】
解：∵ 3π4<α<π，3π4<β<π，sinα+β=−35，
∴ 3π2<α+β<2π，
∴ csα+β=45．
又∵ π2<β−π4<3π4，sinβ−π4=1213，
∴ csβ−π4=−513，
∴ csα+π4=csα+β−β−π4
=csα+βcsβ−π4+sinα+βsinβ−π4
=45×−513−35×1213=−5665．
【考点】
诱导公式
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的正弦公式
【解析】
∵ α+π4=α+β−β−π4
【解答】
解：∵ 3π4<α<π，3π4<β<π，sinα+β=−35，
∴ 3π2<α+β<2π，
∴ csα+β=45．
又∵ π2<β−π4<3π4，sinβ−π4=1213，
∴ csβ−π4=−513，
∴ csα+π4=csα+β−β−π4
=csα+βcsβ−π4+sinα+βsinβ−π4
=45×−513−35×1213=−5665．
【答案】
证明：∵ 左边=(sinθ+sin2θ+csθ+cs2θ)(sinθ−sin2θ+csθ−cs2)
=sinθ+csθ+1sinθ+csθ−1
=sinθ+csθ2−1
=sin2θ+cs2θ+2sinθ⋅csθ−1
=sin2θ=右边，
∴ 证明成立 .
【考点】
三角函数恒等式的证明
【解析】

【解答】
证明：∵ 左边=(sinθ+sin2θ+csθ+cs2θ)(sinθ−sin2θ+csθ−cs2)
=sinθ+csθ+1sinθ+csθ−1
=sinθ+csθ2−1
=sin2θ+cs2θ+2sinθ⋅csθ−1
=sin2θ=右边，
∴ 证明成立 .
【答案】
解：(1)∵ sinα+π2=−55, α∈(0,π)，
∴ csα=−55，sinα=255，
∴ sinα−π2−cs3π2+αsin(π−α)+cs(3π+α)=−csα−sinαsinα−csα=−13
(2)cs2α−3π4=cs2α+π4
=22(cs2α−sin2α)
=222cs2α−1−2sinαcsα=210.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ sinα+π2=−55, α∈(0,π)，
∴ csα=−55，sinα=255，
∴ sinα−π2−cs3π2+αsin(π−α)+cs(3π+α)=−csα−sinαsinα−csα=−13
(2)cs2α−3π4=cs2α+π4
=22(cs2α−sin2α)
=222cs2α−1−2sinαcsα=210.
【答案】
解：(1)∵ tanα+1tanα=sinαcsα+csαsinα=1sinαcsα=52，
∴ sinαcsα=25，
即sin2α=45.
又∵ α∈π4,π2，
∴ 2α∈π2,π，
∴ cs2α=−1−sin22α=−35．
(2)sin(2α+π4)=sin2α⋅csπ4+cs2α⋅sinπ4
=2245−35=210．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
运用诱导公式化简求值
弦切互化
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ tanα+1tanα=sinαcsα+csαsinα=1sinαcsα=52，
∴ sinαcsα=25，
即sin2α=45.
又∵ α∈π4,π2，
∴ 2α∈π2,π，
∴ cs2α=−1−sin22α=−35．
(2)sin(2α+π4)=sin2α⋅csπ4+cs2α⋅sinπ4
=2245−35=210．