宁夏银川一中2021届高三第四次月考 数学试卷（文）（含答案）
展开银川一中2021届高三年级第四次月考
文 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，，则的值为
A．2 B．8 C．2或8 D．－2或8
2．已知命题“”为真，“”为真，则下列说法正确的是
A．真真 B．假真 C．真假 D．假假
3．已知为虚数单位，复数，则
A． B．2 C． D．
4．已知函数 (且的图像恒过定点，点在幂函数 的图像上，则
A． B． C．1 D．2
5．已知将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于 轴对称，则的值可能为
A． B． C． D．
6．在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为
A．14 B．15 C．16 D．17
7．函数的部分图像大致是
A B C D
8．若，，则=
A．2 B．1 C．1 D．0
9．若，则
A． B． C． D．
10．已知函数，若不等式对任意的均成立，则m的取值不可能是
A．9 B．8 C．7 D．6
11．如图所示，在长方体，若，、分别是、 的中点，则下列结论中不成立的是
A．与垂直
B．平面
C．与所成的角为
D．平面
12．已知函数，，若对任意的，存在唯一的 [，2]，使得，则实数的取值范围是
A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_______．
14．已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数_____．
15．在三棱柱中，底面ABC，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为_______.
16．如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为
斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条
直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外
作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，
不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：(共60分)
17．(12分)
已知数列为递增的等差数列，其中，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设记数列的前n项和为．
18．(12分)
已如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，M，N分别是AB，PC的中点，．
(1)求证：平面
(2)求证：平面PCD．
19．(12分)
已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足三角形可解的序号组合有哪些?
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
20．(12分)
如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且.
(1)若P为上的一点，则P到平面的距离．
(2)求三棱锥的体积．
21．(12分)
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点、，求的取值范围.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，射线l：(x≥0)，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的方程为；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．
（1）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；
（2）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为m，正实数a，b，c满足，
求证：．
银川一中2021届高三第四次月考数学(文科)参考答案
一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | B | A | D | D | C | B | A | A | D | C | B |
11．【解析】
连接、、，则为的中点，
对于A选项，平面，
平面，，
、分别为、的中点，则，
，A选项正确；
对于B选项，四边形为正方形，则，
又，，平面，
，平面，B选项正确；
对于C选项，易知为等边三角形，则，
，则与所成的角为，C选项错误；
对于D选项，，平面，平面，平面，D选项正确.
12．【解析】
解：在[，2]的值域为，
但在（,2]递减,此时∈[﹣4，）．
的导数为，
可得在递减，递增，
则在的最小值为，最大值为，即值域为[0，e]．
对任意的，存在唯一的[，2]，使得
可得，
可得，
解得．
故选：B．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．或． 15． 16．
16．【解析】
设依次所作的第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，则第个等腰直角三角形的腰长为，且.
第个正方形的边长为，，
，，
且，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
三、解答题：
17．（1）；（2）2.
【解析】
（1）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意，得，
解得．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由（1）知，an＝2n﹣1．
则＝，
∴Tn＝＝．
18．证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME．
，M，N分别是CD，AB，PC的中点，
，，
平面平面PDA，
平面PAD．
平面ABCD，．
底面ABCD是矩形，，
又，平面PAD，．
，，
又，，
平面ENM，．
，N是PC的中点，
又，平面PCD．
19.（1）①，③，④或②，③，④；（2）.
【解析】
（1）由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
20．【解析】解：（1），平面，平面，
平面，即平面BEF，
又正方体的棱长为1，
到平面BEF的距离为到的距离，
若P为上的一点，则P到平面BEF的距离为，故正确；
（2），
设AC，BD交于点O，平面，，
，
21．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）函数的定义域为，
，令.
当，即时，，则对任意的恒成立，
此时函数在上单调递增；
当时，对任意的恒成立，
此时函数在上单调递增；
当时，有两个正根，分别为，，
当或时，；当时，.
此时函数在，上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间是，，
单调递减区间是；
（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，
由韦达定理可得，，，，，
，，，
，
令，则，设，
，
当时，，当时，.
所以，函数在单调递增，在单调递减，
，
因此，的取值范围是.
22．（1），（2）
【解析】
（1）依题意，因为射线，故射线
消去方程中的参数可得，
所以曲线的普通方程为：．
（2）曲线的方程为，即，
把代入上式可得曲线的极坐标方程为，
设点对应的极径分别为，
则．
23.【答案】解：
当时，由，得，此时无解；
当时，由，得，此时的解为；
当时，由，解得，此时的解为．
综上，不等式的解集为；
证明：，
故的最小值为，．
，
等号当且仅当，即时成立．
，，
，
即．
