安徽狮远县育才学校2020_2021学年高二数学暑假检测试题4（含解析）
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一、选择题（60分）
1.已知， ，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（ ）
A. B. C. D.
4.设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.函数的值域是（ ）
A. B. C. D. w
6.若是函数的零点，是函数的对称轴，在区间上单调，则的最大值是 ( )
A. B. C. D.
7.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.已知函数，若将其图象沿x轴向右平移个单位（＞0），所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知， ， ，则（ ）
A. B. C. D．
11.向量，若与平行，则等于（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
12.已知锐角、满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（20分）
13.已知是第二象限且，则的值是___ _．
14.已知向量， ， ，若，则实数__________．
15.化简＝_ _.
16.给出下列四个命题：
①函数y＝2sin(2x－)的一条对称轴是x＝；
②函数y＝tanx的图象关于点(，0)对称；
③正弦函数在第一象限内为增函数；
④存在实数α，使sinα＋cosα＝.
以上四个命题中正确的有___ _(填写正确命题前面的序号).
三、解答题（70分）
17.设向量， 满足及.
（1）求， 夹角的大小；
（2）求的值.
18.已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间.
19.已知函数（， ， ）的一系列对应最值如表：
|
|
|
|
（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间和对称轴；
（3）若当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
20.已知函数（， ， ）的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象，求的图象离原点最近的对称中心.
21.已知向量满足.
（1）求向量与的夹角及向量在向量方向上的投影；
（2）求的值；
（3）若向量，求的值.
22.已知函数， .
（1）若对任意，都有成立，求的值值范围；
（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和.
参考答案
1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.C 11.D 12.D
13. 14.-1 15. 16.①②
17.(1) .(2)|3a＋b|＝.
(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝
又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角为.
(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
∴|3a＋b|＝..
18.解析:(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．
∴f(x)＝
＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1
＝sin(2x－)－1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋]k∈Z.
19. 解析：（1）设的最小正周期为，
得，
由，得，
又解得
令（），
即（），解得，
∴.
（2）当（），
即（），函数单调递增.
令（），得（），
所以函数的对称中心为， .
（3）方程可化为，
∵，∴，
由正弦函数图象可知，实数的取值范围是.
20.（1）;（2）.
解析：（1）由图形可得，
，解得.
过点，
，即（），
（）.
又， .
.
（2）由（1）知，
则 .
令（），解得（），
所以的对称中心为（），
其中离原点最近的对称中心为.
21.（1）1；（2）；（3）．
解析：（1）因为，所以，
所以，向量在向量方向上的投影为，
（2）；
（3）因为，所以，所以，
所以，解得.
22.（1）；（2）.
解析：（1）.
若对任意，都有成立，则只需即可
∵，∴，
∴当，即时， 有最小值，故.
（2）依题意可得，由得，由图可知， 在上有6个零点： ，根据对称性有， ，
从而所有零点和为.
