中考数学 专项训练 考点35 反比例函数中几何图形存在性问题

专题35 反比例函数中几何图形存在性问题
1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于A与B，且AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△ADO中，AD＝4，sin∠AOD＝，
∴＝，即AO＝5，
根据勾股定理得：DO＝＝3，
∴A（﹣3，4），
代入反比例解析式得：m＝﹣12，即y＝﹣，
把B坐标代入得：n＝6，即B（6，﹣2），
代入一次函数解析式得：，
解得：，即y＝﹣x+2；
（2）当OE3＝OE2＝AO＝5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）；
当OA＝AE1＝5时，得到OE1＝2AD＝8，即E1（0，8）；
当AE4＝OE4时，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为y＝﹣x，中点坐标为（﹣1.5，2），
∴AO垂直平分线方程为y﹣2＝（x+），
令x＝0，得到y＝，即E4（0，），
综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）时，△AOE是等腰三角形．

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．

【分析】（1）根据一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），可以求得b的值，从而可以解答本题；
（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于0．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），
∴0＝﹣2+b，得b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2，
∵一次函数的解析式为y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4），
∴4＝a+2，得a＝2，
∴4＝，得k＝8，
即反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；
（2）∵点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
设点M（m﹣2，m），点N（，m），
当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形，
||＝2，
解得，m＝2或m＝+2，
∴点M的坐标为（﹣2，）或（，2+2）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3、如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点D（m，n）．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上（点A在点C的右边），BD与AC交于点E．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点A的坐标．

【分析】（1）根据点B坐标可以确定b的值，作DF⊥OB于F，由BE＝DE，OE∥DF，推出OF＝OB＝2，推出点D（﹣3，﹣2）即可解决问题；
（2）求出BE的值，利用矩形的性质EA＝EB，求出OA即可解决问题；
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点B（0，2），
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝．
∵B（0，2），
∴OB＝2，
作DF⊥OB于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝ED，
∵OE∥DF，
∴OB＝OF＝2，
∴n＝﹣2，
∵D（m，﹣2）在y＝上，
∴m＝﹣3，
∴D（﹣3，﹣2），
∵点D在y＝上，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）由（1）可知：OE＝DF＝，
在Rt△BOE中，BE＝＝，
在矩形ABCD中，AE＝BE＝，
∴OA＝AE﹣EO＝﹣＝1，
∴A（1，0）．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4、如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，把点P（3，4）代入反比例函数y＝即可得出k的值，再将A、P两点的坐标代入y＝ax+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，进而得出结论；
（2）先求得y＝2时，x＝6，再根据菱形的判定即可求解．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣3，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝3，
∴P（3，4），B（3，0），
将P（3，4）代入反比例解析式得：k＝12，即反比例解析式为y＝．
将A（﹣3，0）与P（3，4）代入y＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+2；

（2）如图所示，∵C（0，2），PB⊥x轴，
∴点D的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝中，得x＝6，得D（6，2），
则点D（6，2）．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的判定与性质等知识，难度适中．
5、如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y＝的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值；
（2）先将y＝2x与y＝联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y＝0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y＝0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD＝AB＝OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，
又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2．
故这个反比例函数的解析式为y＝；

（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．
将y＝2x与y＝联立成方程组得：
，
解得：，，
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
①当AD⊥AB时，如图1，

设直线AD的关系式为y＝﹣x+b，
将A（1，2）代入上式得：b＝，
∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，
令y＝0得：x＝5，
∴D（5，0）；
②当BD⊥AB时，如图2，

设直线BD的关系式为y＝﹣x+b，
将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b＝﹣，
∴直线BD的关系式为y＝﹣x﹣，
令y＝0得：x＝﹣5，
∴D（﹣5，0）；
③当AD⊥BD时，如图3，

∵O为线段AB的中点，
∴OD＝AB＝OA，
∵A（1，2），
∴OC＝1，AC＝2，
由勾股定理得：OA＝＝，
∴OD＝，
∴D（，0）．
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．另外第2问要分3种情况讨论．
6、如图，已知反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把点A的坐标代入y＝求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立得出B点的坐标．
（2）把k的值代入不等式，讨论当a＞0和当a＜0时分别求出不等式的解．
（3）讨论当C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，当C在第三象限时，根据OA＝OC，求出点C的坐标，再看AC的值看是否构成等边三角形．
【解答】解：（1）把A（m，﹣2）代入y＝，得﹣2＝，
解得m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2）代入y＝kx，
∴﹣2＝k×（﹣1），解得，k＝2，
∴y＝2x，
又由2x＝，得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴B（1，2），
（2）∵k＝2，
∴≥kx为≥2x，
根据图象可得：当x≤﹣1和0＜x≤1时，反比例函数y＝的图象恒在正比例函数y＝2x图象的上方，即≥2x．
（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，
②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则OA＝OC，设C（t，）（t＜0），

∵A（﹣1，﹣2）
∴OA＝
∴t2+＝5，则t4﹣5t2+4＝0，
∴t2＝1，t＝﹣1，此时C与A重合，舍去，
t2＝4，t＝﹣2，∴C（﹣2，﹣1），而此时AC＝，AC≠AO，
∴不存在符合条件的点C．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点C的坐标，看是否构成等边三角形．
7、反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y＝的图象于点M，△AOM的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形ABCD有一个顶点在反比例函数y＝的图象上，求t的值．

【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到|k|＝3，可得到满足条件的k＝6，于是得到反比例函数解析式为y＝；
（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y＝的图象上，则D点与M点重合，即AB＝AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB＝AM＝6，所以t＝1+6＝7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y＝的图象上，根据正方形的性质得AB＝BC＝t﹣1，
则C点坐标为（t，t﹣1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t﹣1）＝6，再解方程得到满足条件的t的值．
【解答】解：（1）∵△AOM的面积为3，
∴|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；

（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y＝的图象上，则D点与M点重合，即AB＝AM，
把x＝1代入y＝得y＝6，
∴M点坐标为（1，6），
∴AB＝AM＝6，
∴t＝1+6＝7；
当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y＝的图象上，
则AB＝BC＝t﹣1，
∴C点坐标为（t，t﹣1），
∴t（t﹣1）＝6，
整理为t2﹣t﹣6＝0，解得t1＝3，t2＝﹣2（舍去），
∴t＝3，
∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y＝的图象上时，t的值为7或3．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．也考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质．


8、如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，
∴B（﹣1，2），
∴AM＝BM＝2﹣1，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，
∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2；
（3）存在，
如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，
∴OE＝OC＝，
①当AP⊥x轴时，△APE～△CDA，则：OP1＝AD＝2，
∴P1（﹣2，0），
②当AP⊥AE时，△APE～△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴
则，
综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（﹣，0）．

9、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标．

解：（1）把A（3，5）代入，可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为；
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
（3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴．

10、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．

解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为6，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（1，6），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；
（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，
设BC与AO交于E，则E（，3），
∴AE＝OE＝D1E＝，
∵E（，3），
∴D1的坐标为（，3）；
②当∠OAD2＝90°时，
可得直线AD2的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝3时，x＝19，
∴D2的坐标为（19，3），
综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）

11、如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，过点Q作QH⊥x轴于点H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．


解：（1）把A（﹣4，0）代入y＝ax+2，
得，﹣4a+2＝0，解得a＝，
故直线AB的解析式为y＝x+2，
把y＝4代入y＝x+2，得，x+2＝4，
解得x＝4，
∴点P（4，4）．
把P（4，4）代入y＝，得k＝16，
故双曲线的解析式为y＝；
（2）把x＝0代入y＝x+2，得y＝2，
∴点B的坐标为（0，2），
∴OB＝2，
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
设Q（m，），则CH＝m﹣4，QH＝，
由题意可知∠AOB＝∠QHC＝90°，
当△AOB∼△QHC时，，即，
解得：m1＝2+2，m2＝2﹣2 （不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（2+2，4﹣4），
当△BOA∼△QHC时，，即，
解得m1＝8，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（8，2）．
综上可知，点Q的坐标为（2+2，4﹣4）或（8，2）．

12、如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．

（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；
（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝90°．

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ODC+∠EDA＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠EDA＝∠OCD，
在△AED和△DOC中
，
∴△AED≌△DOC（AAS），
∴OD＝EA＝5，
∴点D的纵坐标为5；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，

设OD′＝a，OC′＝b，
同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，
∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，
∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），
∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，
∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，
∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），
∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；
（3）设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，
把A′（2，4），B′（4，2）代入得
，
解得，
∴直线A′B′解析式为y＝﹣x+6，
同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），
当A点在直线C′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝，
此时点A的坐标为（，），
∴k＝×＝；
当点D在直线A′B′上时，有m＝6，此时点A的坐标为（6，12），
∴k＝6×12＝72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．

13、如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：联立，
解得：或，
∴B点坐标为（2，1），
∵点P在y轴上，
∴设P（0，m），
∴AB＝＝，AP＝，PB＝，
若BP为斜边，
∴BP2＝AB2+AP2 ，
即 ＝2+，