山东省临沂市2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)

2021届高三年级第一学期期中考试
数　　学
(满分150分，考试时间120分钟)
2020．11
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，B＝{x|x2＜1}，则A∩B＝(　　)
A. {－1，0，1} B. {0} C. {－1，0} D. {－1，0，1，2}
2. 若复数z满足2z＋|z|＝2i，则z在复平面上对应的点位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设a，b∈R，则“ln a＞ln b”是“ln ＞0”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知命题p：“∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是增函数”，则p的否定为(　　)
A. ∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是减函数 B. ∀m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是增函数
C. ∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x不是增函数 D. ∀m∈R，f(x)＝3x－mlog2x不是增函数
5. 若a＝()，b＝log3e，c＝()－，则(　　)
A. a＞b＞c B. c＞a＞b C. a＞c＞b D. c＞b＞a

6. 如图，AB是单位圆O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，则·＝(　　)
A. 1 B.
C. D.

7. 标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍．若视力4.2的视标边长为a，则视力5.1的视标边长为　(　　)
A. 10－a B. 10－a C. 10a D. 10a
8. 定义在R上的偶函数f(x)在[0，1]上单调递减，且满足f(x＋1)＝－f(x)，f(π)＝1，f(2π)＝2，则不等式组的解集为(　　)
A. [1，] B. [2π－6，4－π]
C. [π－2，] D. [π－2，8－2π]
二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是(　　)
A. 若·＜0，则△ABC是钝角三角形
B. 若a∈R，则a＋≥2
C. ∀x∈R，x2－2x＋1＞0
D. 若P，A，B三点满足＝＋，则P，A，B三点共线
10. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境(如图)．假设行李包所受重力为G，两个拉力分别为F1，F2.若|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　)

A. |F1|的最小值为|G|
B. θ的范围是[0，π]
C. 当θ＝时，|F1|＝|G|
D. 当θ＝时，|F1|＝|G|
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝p，2Sn－Sn－1＝2p(n≥2，p为非零常数)，则下列结论正确的是(　　)
A. {an}是等比数列 B. 当p＝1时，S4＝
C. 当p＝时，am·an＝am＋n D. |a3|＋|a8|＝|a5|＋|a6|
12. 记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I，若存在x0∈I，使得对任意x∈I，不等式[f(x)－g(x)](x－x0)≥0恒成立，则称(f(x)，g(x))构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有(　　)
A. f(x)＝ex，g(x)＝x＋1 B. f(x)＝ln x，g(x)＝
C. f(x)＝x，g(x)＝x2 D. f(x)＝，g(x)＝()x
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量a＝(1，2)，b＝(4，－7)．若a∥c，a⊥(b＋c)，则|c|＝________．
14. 已知函数f(x)＝acos x，g(x)＝x2＋bx＋2.若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________．

15. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为Rt△ABC的斜边AB、直角边BC，AC，点N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，sin∠DAB＝，则cos∠DNC＝________．
16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要共8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：
已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝
当m＝13时，试确定使得an＝1需要________步雹程；
若a7＝1，则m所有可能的取值所构成的集合M＝__________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在①sin B＋cos B＝2，② cos 2B＋cos B－2＝0，③ b2－a2＝c2－ac这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若a＝4，c＝b，________，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．














18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)cos ωx－a(ω＞0)的最小正周期为4π，最大值为1.
(1) 求ω，a的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2) 将f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到g(x)的图象．若x∈(0，π)，求满足g(x)≥的x的取值范围．












19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋ab.
(1) 若f(x)是奇函数，且有3个零点，求b的取值范围；
(2) 若f(x)在x＝1处有极大值－，求当x∈[－1，2]时f(x)的值域．













20.(本小题满分12分)
汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2])．


阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动
时间
t0
t1＝0.8秒
t2＝0.2秒
t3
距离
d0＝10米
d1
d2
d3＝米
(1) 请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)，并求当k＝1，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)；
(2) 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？
21. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．















22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln x－mx＋1，g(x)＝x(ex－2)．
(1) 若f(x)的最大值是0，求m的值；
(2) 若对其定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围.


2021届高三年级第一学期期中考试(临沂)
数学参考答案及评分标准

1. B　2. B　3. A　4. D　5. B　6. C　7. A　8. D　9. AD　10. ACD　11. ABC　12. BD
13. 2　14. 2　15. 　16. 9　{1，8，10，64}
17. 解：选①：由sin B＋cos B＝2得sin(B＋)＝1，所以B＝.(2分)
选②：由cos 2B＋cos B－2＝0得2cos2B＋cos B－3＝0，
解得cos B＝，所以B＝.(2分)
选③：由b2－a2＝c2－ac得c2＋a2－b2＝ac，
得cos B＝＝＝，所以B＝.(2分)
因为＝＝，所以sin C＝.(4分)
所以C＝或C＝.(6分)
当C＝时，A＝.
又a＝4，所以b＝2，c＝2.(7分)
所以面积S＝×2×2＝2.(8分)
当C＝时，A＝，所以A＝B.
又a＝4，所以b＝4.(9分)
所以面积S＝×4×4×＝4.(10分)
18. 解：(1) 由题意f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋－a＝sin(2ωx＋)＋－a，(2分)
∴＝4π，1＋－a＝1，解得ω＝，a＝，(3分)
∴ f(x)＝sin(＋)．
令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴ 4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．(6分)
(2) 由题意得g(x)＝sin(x－)．(8分)
∵ sin(x－)≥，
∴ 2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴ 2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.(10分)
∵ x∈(0，π)，∴≤x≤，
故x的取值范围是[，]．(12分)
19. 解：(1) ∵ f(x)是定义域为R的奇函数，∴ a＝0，且f(0)＝0.
∴ f(x)＝－x3＋bx，
∴ f′(x)＝－x2＋b.(2分)
当b≤0时，f′(x)＝－x2＋b≤0，此时f(x)在R上单调递减，
f(x)在R上只有1个零点，不合题意．(3分)
当b＞0时，令f′(x)＝－x2＋b＞0，解得－＜x＜，
∴ f(x)在(－∞，－)，(＋∞)上单调递减，在(－，)上单调递增．(4分)
∵ f(x)在R上有3个零点，
∴ f()＞0且f(－)＜0，即f()＝－()3＋b＞0，即b＞0.
而b＞0恒成立，∴ b＞0.
∴实数b的取值范围是(0，＋∞)．(6分)
(2) f′(x)＝－x2＋2ax＋b，
由已知可得f′(1)＝－1＋2a＋b＝0，且f(1)＝－＋a＋b＋ab＝－，(8分)
解得或
当a＝2，b＝－3时，f(x)＝－x3＋2x2－3x－6，f′(x)＝－x2＋4x－3.
令f′(x)≥0，即－x2＋4x－3≥0，解得1≤x≤3，
易知x＝1是f(x)的极小值点，与题意不符．
当a＝－2，b＝5时，f(x)＝－x3－2x2＋5x－10，f′(x)＝－x2－4x＋5.
令f′(x)≥0，即－x2－4x＋5≥0，解得－5≤x≤1，
易知x＝1是f(x)的极大值点，符合题意，故a＝－2，b＝5.(10分)
∵ x∈[－1，2]，∴ f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．
又f(－1)＝－，f(1)＝－，f(2)＝－.
∴ f(x)在[－1，2]上的值域为[－，－]．(12分)
20. 解：(1) 由题意得d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3，
所以d(v)＝10＋0.8v＋0.2v＋＝10＋v＋.(2分)
当k＝1时，d(v)＝10＋v＋，
t(v)＝＋＋1≥1＋2＝1＋2×≈2.4(秒)．
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒．(6分)
(2) 根据题意要求对于任意k∈[1，2]，d(v)<50恒成立．
即对于任意k∈[1，2]，10＋v＋<50，即<－恒成立．(8分)
由k∈[1，2]，得∈[，]．
所以<－，即v2＋20v－800<0，解得－40 所以0 即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下．(12分)
21. 解：(1) 由Sn＝2an－2可得Sn＋1＝2an＋1－2，
两式相减可得an＋1＝2an，故数列{an}是以2为公比的等比数列．(2分)
又a1＝2a1－2，得a1＝2，
∴ an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n.(4分)
(2) 由(1)知an＝2n，an＋1＝2n＋1.
由题意an＋1＝an＋(n＋2－1)dn，即2n＋1＝2n＋(n＋1)dn，
∴ dn＝.(6分)
假设在数列{dn}中存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，
则(dk)2＝dm·dp，即()2＝·.(8分)
化简得＝.
∵ m，k，p成等差数列，∴ m＋p＝2k，
∴＝＝，得(k＋1)2＝mp＋m＋p＋1，∴ k2＝mp.
∵ m＋p＝2k，∴()2＝mp，即(m－p)2＝0，
∴ m＝p，即得m＝p＝k，这与题设矛盾．(11分)
∴在{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．(12分)
22. 解：(1) ∵ f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－m.(1分)
若m≤0，f′(x)>0，f(x)在定义域内单调递增，无最大值；(2分)
若m>0，x∈(0，)，f(x)单调递增；x∈(，＋∞)，f(x)单调递减．
∴ x＝时，f(x)取得最大值f()＝ln ＝0，∴ m＝1.(4分)
(2) 原式恒成立，即ln x－mx＋1≤x(ex－2)在(0，＋∞)上恒成立，
即m－2≥－ex在(0，＋∞)上恒成立．(5分)
设φ(x)＝－ex，则φ′(x)＝－.(7分)
设h(x)＝x2ex＋ln x，则h′(x)＝(x2＋2x)ex＋>0，
∴ h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h()＝·e－1＝e－2－1<0，h(1)＝e>0.
∴ h(x)有唯一零点x0，且xex0＋ln x0＝0，(9分)
即x0ex0＝.
两边同时取对数，得x0＋ln x0＝ln(－ln x0)＋(－ln x0)，易知y＝x＋ln x是增函数，
∴ x0＝－ln x0，即ex0＝.
由φ′(x)＝－，知φ′(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，
∴ φ(x)≤φ(x0)＝－ex0＝－＝－1，(11分)
∴ m－2≥－1，∴ m≥1，
故m的取值范围是[1，＋∞)．(12分)