高中数学人教版新课标A必修32.1.3分层抽样教案

§2.1.3  分层抽样

一、教材分析

    教材从“了解某地区中小学生的近视情况及其形成原因”的探究中引入的概念．在探究过程中，应该引导学生体会：调查者是利用事先掌握的各种信息对总体进行分层，这可以保证每一层一定有个体被抽到，从而使得样本具有更好的代表性．为了达到此目的，教材利用右栏问题“你认为哪些因素可能影响到学生的视力？设计抽样方法时，需要考虑这些因素吗？”来引导学生思考，在教学中要充分注意这一点．

    教材在探究初中和小学的抽样个数时，在右栏提出问题“想一想，为什么要这样取各个学段的个体数？”用意是向学生强调：含有个体多的层，在样本中的代表也应该多，即样本在该层的个体数也应该多．这样的样本才具有更好的代表性．

二、教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解分层抽样的概念；

（2）掌握分层抽样的一般步骤；

（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。

2、过程与方法：

通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。

3、情感态度与价值观：

通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计”与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。

三、重点难点

教学重点：分层抽样的概念及其步骤．

教学难点：确定各层的入样个体数目，以及根据实际情况选择正确的抽样方法．

四、课时安排

    1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1

    中国共产党第十七次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数进行分配的，并适当考虑前几次代表大会代表名额数等因素．按照这一分配办法，各选举单位的代表名额，比十六大时都有增加．另外，按惯例，中央将确定一部分已经退出领导岗位的老党员作为特邀代表出席大会．这种产生代表的方法是简单随机抽样还是系统抽样？教师点出课题：分层抽样．

思路2

    我们已经学习了两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，本节课我们学习分层抽样．

（二）推进新课、新知探究、提出问题

(1)假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？

(2)想一想为什么这样取各个学段的个体数？

(3)请归纳分层抽样的定义.

(4)请归纳分层抽样的步骤.

(5)分层抽样时如何分层？其适用于什么样的总体？

讨论结果：(1)分别利用系统抽样在高中生中抽取2 400×1%=24人，在初中生中抽取10 900×1%=109人，在小学生中抽取11 000×1%=110人．这种抽样方法称为分层抽样．

(2)含有个体多的层，在样本中的代表也应该多，即样本从该层中抽取的个体数也应该多．这样的样本才有更好的代表性．

(3)一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样．

(4)分层抽样的步骤：

①分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；

②按抽样比确定每层抽取个体的个数；

③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；

④综合每层抽样，组成样本．

(5)分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：

①分层时将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体结构一致性．

②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．

③当总体个体差异明显时，采用分层抽样．

（三）应用示例

例1  一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

分析：由于职工年龄与这项指标有关，所以应选取分层抽样来抽取样本.

解：用分层抽样来抽取样本,步骤是:

(1)分层：按年龄将150名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为，则在不到35岁的职工中抽125×=25人；在35岁至49岁的职工中抽280×=56人；在50岁以上的职工中抽95×=19人．

(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成样本．

点评：本题主要考查分层抽样及其实施步骤．如果总体中的个体有差异时，那么就用分层抽样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一层．

变式训练

1.某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．

分析：由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×=40；200×=60；200×=100．

解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层：按区将20 000名高中生分成三层.

(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的学生数目分别是40、60、100．

(3)在各层分别按随机数表法抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成样本．

2.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（    ）

A.简单随机抽样                       B.系统抽样

C.分层抽样                           D.先从老年人中剔除1人，再用分层抽样

分析：总人数为28+54+81=163．样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样.若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162=2∶9，则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6人，组成36的样本.

答案：D

例2  某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（    ）

A.4               B.5               C.6                D.7

分析：抽样比为=，则抽取的植物油类种数是10×=2，则抽取的果蔬类食品种数是20×=4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.

答案：C

点评：如果A、B、C三层含有的个体数目分别是x、y、z,在A、B、C三层应抽取的个体数目分别是m、n、p,那么有x∶y∶z=m∶n∶p；如果总体有N个个体,所抽取的样本容量为n,某层所含个体数目为a,在该层抽取的样本数目为b,那么有．

变式训练

1.（2007浙江高考，文13）某校有学生2 000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为______________．

分析：抽样比为，样本中高三学生的人数为500×=50.

答案：50

2.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（    ）

A.30人，30人，30人                   B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人                   D.30人，50人，10人

分析：抽样比是，则应在这三校分别抽取学生：×3 600=30人，×5 400=45人，×1 800=15人.

答案：B

（四）知能训练

1．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法（    ）

①简单随机抽样  ②系统抽样  ③分层抽样

A.②③             B.①③              C.③               D.①②③

分析：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法.

答案：D

2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是______________．

答案：5

3．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？

分析：由于研究血型与色弱的关系，按血型分层，用分层抽样抽取样本．利用抽样比确定抽取各种血型的人数．

解：用分层抽样抽取样本．

∵，即抽样比为.

∴200×=8，125×=5，50×=2.

故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.

抽样步骤：

①确定抽样比；

②按比例分配各层所要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人;

③用简单随机抽样分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本.

（五）拓展提升

    某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是（    ）

A.②③都不能为系统抽样               B.②④都不能为分层抽样

C.①④都可能为系统抽样               D.①③都可能为分层抽样

分析：如果按分层抽样时，在一年级抽取108×=4人，在二、三年级各抽取81×=3人，则在号码段1，2，…，108抽取4个号码，在号码段109，110，…，189抽取3个号码，在号码段190，191，…，270抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样.

答案：D

点评：根据样本的号码判断抽样方法时，要紧扣三类抽样方法的特征．利用简单随机抽样抽取出的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取出的样本号码有规律性，即在每一层抽取的号码个数m等于该层所含个体数目与抽样比的积，并且应该恰有m个号码在该层的号码段内；利用系统抽样取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的号码是：l,l+k,l+2k,…,l+(n－1)k．其中，n为样本容量，l是第一组中的号码，k为分段间隔＝总体容量／样本容量．

（六）课堂小结

    本节课学习了分层抽样的定义及其实施步骤．

（七）作业

    习题2.1A组5.