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初中第一章 解直角三角形综合与测试课后复习题
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这是一份初中第一章 解直角三角形综合与测试课后复习题，共10页。
专题训练 解直角三角形应用中的基本模型
► 模型一 平行线型图
图11－ZT－1
1．如图11－ZT－1，有一张简易的活动小餐桌，现测得OA＝OB＝30 cm，OC＝OD＝50 cm，桌面离地面的高度为40 cm，则两条桌腿的张角∠COD的度数为________．
► 模型二 “一线三等角”型图
2．将一盒足量的牛奶按如图11－ZT－2①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器内牛奶的高度．(结果精确到0.1 cm，参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(2)≈1.41)
图11－ZT－2
► 模型三 “梯形及其高”的基本图形
3．某地的一座人行天桥示意图如图11－ZT－3所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶eq \r(3).
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
图11－ZT－3
► 模型四 “锐角三角形及其高”的基本图形
4．2017·成都科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行．如图11－ZT－4，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地之间的距离．
图11－ZT－4
5．如图11－ZT－5，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．
图11－ZT－5
► 模型五 “钝角三角形及钝角一边上的高”的基本图形
6．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图11－ZT－6，某探测器在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cs25°≈0.9，tan25°≈0.5，eq \r(3)≈1.7)
图11－ZT－6
7．2017·内江如图11－ZT－7，某人为了测量山顶上的塔ED的高度，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)
图11－ZT－7
8．2017·白银美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图11－ZT－8，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米．(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14)
图11－ZT－8
9．如图11－ZT－9，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
图11－ZT－9
详解详析
1．120° [解析] 作AF⊥CD于点F，则AF＝40 cm，AD＝OA＋OD＝80 cm.于是可得sin∠ADC＝eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,2)，∴∠ADC＝30°.
∵OC＝OD，∴∠COD＝120°.
2．解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F.
设BF＝x.∵∠BAD＝∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF＝x.
在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，∠BPF＝30°，
tan∠BPF＝eq \f(BF,PF)，∴PF＝eq \f(x,tan30°)＝eq \r(3)x.
在Rt△AEP中，∵∠AEP＝90°，∠APE＝90°－∠BPF＝60°，PE＝8－eq \r(3)x，tan∠APE＝eq \f(AE,PE)，
∴eq \f(x,8－\r(3)x)＝eq \r(3)，化简得x＝8 eq \r(3)－3x，
解得x＝2 eq \r(3)≈3.46(cm)，
∴BF≈3.46(cm)，
∴容器内牛奶的高度＝CF＝9－BF≈5.5(cm)．即容器内牛奶的高度约为5.5 cm.
3．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶eq \r(3)，
∴tanα＝tan∠CAB＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
∴α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．
理由：过点C作CD⊥AB于点D，
则CD＝6米．
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶eq \r(3)，
∴BD＝CD＝6米，AD＝6 eq \r(3)米，
∴AB＝AD－BD＝(6 eq \r(3)－6)米＜8米，
∴文化墙PM不需要拆除．
4．解：如图，由题意知：AB＝4千米，∠CAB＝60°，∠CBD＝45°，AC∥BD，
过点B作BE⊥AC于点E，
∴∠CEB＝90°，∠EBA＝90°－∠CAB＝30°，∠CBE＝90°－∠CBD＝45°，
∴BE＝AB·cs30°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3)(千米)，
∴BC＝eq \r(2)BE＝eq \r(2)×2 eq \r(3)＝2 eq \r(6)(千米)，
即B，C两地之间的距离为2 eq \r(6)千米．
5．解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长度即为A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
设AD＝x千米，则CD＝AD＝x千米．
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，
由tan∠ABD＝eq \f(AD,BD)，即tan60°＝eq \f(x,BD)，
∴BD＝eq \f(x,tan60°)＝eq \f(\r(3),3)x(千米)．
又BC＝4千米，即BD＋CD＝4千米，
∴eq \f(\r(3),3)x＋x＝4，解得x＝6－2 eq \r(3).
即小岛上标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离为(6－2 eq \r(3))千米．
6．解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，设CD＝x米．
在Rt△ADC中，∠DAC＝25°，
所以tan25°＝eq \f(CD,AD)≈0.5，所以AD≈eq \f(CD,0.5)＝2x米．
在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝eq \f(x,2x－4)＝eq \r(3)，解得x≈3.
即该生命迹象所在位置C的深度约为3米．
7．解：由题意知∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.
又∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝ED.
设EC＝x m，则ED＝BE＝2EC＝2x m，DC＝EC＋ED＝x＋2x＝3x(m)，
BC＝eq \r(BE2－EC2)＝eq \r(3)x m.
由题意可知∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC，
∴eq \r(3)x＋60＝3x
解得x＝30＋10 eq \r(3).
则ED＝2x＝(60＋20 eq \r(3))m.
答：塔ED的高度约为(60＋20 eq \r(3))m.
8．解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x米．
在Rt△DEB中，tan∠DBE＝eq \f(DE,BE)，
∵∠DBC＝65°，
∴DE＝xtan65°米．
在Rt△ADE中，
∵∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，
∴132＋x＝xtan65°，
解得x≈115.8，
∴DE≈248米．
即观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
9．解：设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为x小时．
由题意得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．
如图，过点A作AD⊥CB交其延长线于点D.
在Rt△ABD中，AB＝12海里，∠ABD＝60°，
∴BD＝AB·cs60°＝eq \f(1,2)AB＝6海里，AD＝AB·sin60°＝6 eq \r(3)海里，∴CD＝(10x＋6)海里．
在Rt△ACD中，由勾股定理得(14x)2＝(10x＋6)2＋(6 eq \r(3))2，
解得x1＝2，x2＝－eq \f(3,4)(不合题意，舍去)．
答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2小时．
专题训练 解直角三角形应用中的基本模型
► 模型一 平行线型图
图11－ZT－1
1．如图11－ZT－1，有一张简易的活动小餐桌，现测得OA＝OB＝30 cm，OC＝OD＝50 cm，桌面离地面的高度为40 cm，则两条桌腿的张角∠COD的度数为________．
► 模型二 “一线三等角”型图
2．将一盒足量的牛奶按如图11－ZT－2①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器内牛奶的高度．(结果精确到0.1 cm，参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(2)≈1.41)
图11－ZT－2
► 模型三 “梯形及其高”的基本图形
3．某地的一座人行天桥示意图如图11－ZT－3所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶eq \r(3).
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
图11－ZT－3
► 模型四 “锐角三角形及其高”的基本图形
4．2017·成都科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行．如图11－ZT－4，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地之间的距离．
图11－ZT－4
5．如图11－ZT－5，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．
图11－ZT－5
► 模型五 “钝角三角形及钝角一边上的高”的基本图形
6．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图11－ZT－6，某探测器在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cs25°≈0.9，tan25°≈0.5，eq \r(3)≈1.7)
图11－ZT－6
7．2017·内江如图11－ZT－7，某人为了测量山顶上的塔ED的高度，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)
图11－ZT－7
8．2017·白银美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图11－ZT－8，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米．(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14)
图11－ZT－8
9．如图11－ZT－9，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
图11－ZT－9
详解详析
1．120° [解析] 作AF⊥CD于点F，则AF＝40 cm，AD＝OA＋OD＝80 cm.于是可得sin∠ADC＝eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,2)，∴∠ADC＝30°.
∵OC＝OD，∴∠COD＝120°.
2．解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F.
设BF＝x.∵∠BAD＝∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF＝x.
在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，∠BPF＝30°，
tan∠BPF＝eq \f(BF,PF)，∴PF＝eq \f(x,tan30°)＝eq \r(3)x.
在Rt△AEP中，∵∠AEP＝90°，∠APE＝90°－∠BPF＝60°，PE＝8－eq \r(3)x，tan∠APE＝eq \f(AE,PE)，
∴eq \f(x,8－\r(3)x)＝eq \r(3)，化简得x＝8 eq \r(3)－3x，
解得x＝2 eq \r(3)≈3.46(cm)，
∴BF≈3.46(cm)，
∴容器内牛奶的高度＝CF＝9－BF≈5.5(cm)．即容器内牛奶的高度约为5.5 cm.
3．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶eq \r(3)，
∴tanα＝tan∠CAB＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
∴α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．
理由：过点C作CD⊥AB于点D，
则CD＝6米．
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶eq \r(3)，
∴BD＝CD＝6米，AD＝6 eq \r(3)米，
∴AB＝AD－BD＝(6 eq \r(3)－6)米＜8米，
∴文化墙PM不需要拆除．
4．解：如图，由题意知：AB＝4千米，∠CAB＝60°，∠CBD＝45°，AC∥BD，
过点B作BE⊥AC于点E，
∴∠CEB＝90°，∠EBA＝90°－∠CAB＝30°，∠CBE＝90°－∠CBD＝45°，
∴BE＝AB·cs30°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3)(千米)，
∴BC＝eq \r(2)BE＝eq \r(2)×2 eq \r(3)＝2 eq \r(6)(千米)，
即B，C两地之间的距离为2 eq \r(6)千米．
5．解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长度即为A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
设AD＝x千米，则CD＝AD＝x千米．
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，
由tan∠ABD＝eq \f(AD,BD)，即tan60°＝eq \f(x,BD)，
∴BD＝eq \f(x,tan60°)＝eq \f(\r(3),3)x(千米)．
又BC＝4千米，即BD＋CD＝4千米，
∴eq \f(\r(3),3)x＋x＝4，解得x＝6－2 eq \r(3).
即小岛上标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离为(6－2 eq \r(3))千米．
6．解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，设CD＝x米．
在Rt△ADC中，∠DAC＝25°，
所以tan25°＝eq \f(CD,AD)≈0.5，所以AD≈eq \f(CD,0.5)＝2x米．
在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝eq \f(x,2x－4)＝eq \r(3)，解得x≈3.
即该生命迹象所在位置C的深度约为3米．
7．解：由题意知∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.
又∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝ED.
设EC＝x m，则ED＝BE＝2EC＝2x m，DC＝EC＋ED＝x＋2x＝3x(m)，
BC＝eq \r(BE2－EC2)＝eq \r(3)x m.
由题意可知∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC，
∴eq \r(3)x＋60＝3x
解得x＝30＋10 eq \r(3).
则ED＝2x＝(60＋20 eq \r(3))m.
答：塔ED的高度约为(60＋20 eq \r(3))m.
8．解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x米．
在Rt△DEB中，tan∠DBE＝eq \f(DE,BE)，
∵∠DBC＝65°，
∴DE＝xtan65°米．
在Rt△ADE中，
∵∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，
∴132＋x＝xtan65°，
解得x≈115.8，
∴DE≈248米．
即观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
9．解：设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为x小时．
由题意得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．
如图，过点A作AD⊥CB交其延长线于点D.
在Rt△ABD中，AB＝12海里，∠ABD＝60°，
∴BD＝AB·cs60°＝eq \f(1,2)AB＝6海里，AD＝AB·sin60°＝6 eq \r(3)海里，∴CD＝(10x＋6)海里．
在Rt△ACD中，由勾股定理得(14x)2＝(10x＋6)2＋(6 eq \r(3))2，
解得x1＝2，x2＝－eq \f(3,4)(不合题意，舍去)．
答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2小时．
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