【数学】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中、龙海二中”五校2018-2019学年高二上学期第二次联考试题（文）
展开福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、
平和一中、龙海二中”五校2018-2019学年
高二上学期第二次联考试题（理）
（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）
一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1.抛物线的焦点坐标是（ ）
A．（，0 ） B．（0，） C．（，0） D．（0，）
2.下列说法错误的是（ ）
A.对于命题,则
B.“”是“”的充分不必要条件
C.若命题为假命题，则都是假命题
D.命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
3.某个班有45名学生,学校为了了解他们的身体发育状况,决定分成男生、女生两部分分层抽样,若每个女生被抽取的概率为0.2,抽取了3名女生,则男生应抽取( )
A.3名 B.4名 C.5名 D.6名
4.已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5. “” 是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A．46，45，56 B．46，45，53
C．47，45，56 D．45，47，53
8.已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3)，若且，则Q点的坐标为（ ）
A. (2,5,0) B.(-4,-1,-6)或(2,5,0) C. (3,4,1) D. (3,4,1) 或(-3,-2,-5）
9.已知双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10.如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的
点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D,C到
库底与水坝的交线的距离分别为DA=30 m,CB=40 m,又已知m,则甲、乙两人相距( )
A． 50 m B． 10 m C． 60 m D． 70 m
11.已知双曲线的左焦点为F，圆M的圆心在Y轴的正半轴，半径为2a,若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线MF与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.抛物线的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A.2 B. C.1 D.
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为
14．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
零件数x(个) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
加工时间y(分钟) | 64 | 69 | 75 | 82 | 90 |
由表中数据，求得线性回归方程为，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为________分钟．
15. 已知两点坐标A(-4,0)、B(4,0)，若PA+PB= 10，则点P轨迹方程为 _____________
16．已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则____________
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知，:,: ．
（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围
18.（本小题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（I）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．
19.(本小题12分）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形， ，分别为的中点，且.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，平面，，，
，， 为的中点.
（Ⅰ）求CE与DB所成角的余弦值；
（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度
21．（本小题满分12分）设F为抛物线的焦点，A,B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点.
（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；
（Ⅱ）当时，求的最小值.
22.（本小题满分12分）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设T为直线上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P,Q，且为抛物线，求的最小值．
参考答案
（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）
一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1、抛物线y=2x2的焦点坐标是（ D ）
A．（，0 ） B．（0，） C．（，0） D．（0，）
2、下列说法错误的是（ C ）
A.对于命题P：xєR,x2+x+1>0,则¬P：x0єR,x02+x0+1≤0
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C.若命题pq为假命题，则p,q都是假命题
D.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”
3.某个班有45名学生,学校为了了解他们的身体发育状况,决定分成男生、女生两部分分层抽样,若每个女生被抽取的概率为0.2,抽取了3名女生,则男生应抽取( D ) A.3名 B.4名 C.5名 D.6名 |
4、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ D ）
A．1 B． C． D．
5. “” 是“方程表示的曲线为椭圆”的（ A ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
6.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ( B )
A. B. C. D.
7、对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的
茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
8．已知，，，若且，则点的坐标为（ B ）
A. B. 或 C. D. 或
9、已知双曲线（m>0,n>0）的离心率为，则椭圆的离心率为（ D ）
A． B． C． D．
10.如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D,C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30 m,CB=40 m,又已知AB=20 m,则甲、乙两人相距( A )
A． 50 m B． 10 m C． 60 m D． 70 m
11. 已知双曲线C:的左焦点为，圆M的圆心在Y轴正半轴，半径为，若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线M与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（ A ）
A. B. C. D.
12. 抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ D ）
A. 2 B. C. 1 D.
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值
为 4
14．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
零件数x(个) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
加工时间y(分钟) | 64 | 69 | 75 | 82 | 90 |
由表中数据，求得线性回归方程为＝0.65x＋，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为____102____分钟．
15. 已知两点坐标、，若PA+PB= 10，则点P轨迹方程为 _____________
【答案】
16．已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（ 4 ）
解析：由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以
．由于，可知当时，取得最小值，此时，
当时，取得最大值，此时，则．
三、解答题（70分）
17、（本小题满分10分）已知，:,: ．
（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围
17. (本题10分)解：（I） ………………………1分
是的充分条件
是的子集 ……………………2分
的取值范围是 ………………………5分
（Ⅱ）当时，，由题意可知一真一假， ………………………6分
真假时，由 ………………………7分
假真时，由 ………………………9分
所以实数的取值范围是 ………………………10分
18、（本小题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（I）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．
18．(本题12分)解：(Ⅰ)根据频率分布直方图，可知成绩在的频率为（0.0018+0.040）×10=0.58……………3分
所以该班在数学测试中成绩合格的人数为0.58×50=29人；………………………6分
(Ⅱ)根据频率分布直方图，可知成绩在范围内的人数为0.004×10×50=2人
成绩在范围内的人数为0.006×10×50=3人.………………………8分
设成绩成在范围内的两人成绩分别为A1、A2，成绩在范围内的三人成绩分别为B1、B2、B3，
则从这五名学生随机抽取两人的抽法有：A1A2；A1B1；A1B2；A1B3；A2B1；A2B2；A2B3；B1B2；B1B3；B2B3共10种；
设两名同学测试成绩分别为m、n，“|m﹣n|＞10”为事件A,则事件A包含的基本事件有：A1B1；A1B2；A1B3；A2B1；A2B2；A2B3，共6种………………………10分
所以事件A的概率为P(A)==0.6………………………12分
19．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形， ，O,为AC,的中点. SO⊥AB，
（1）证明：SO⊥平面ABC；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【解析】
解：（1）证明：取线段的中点，连接.
因为，，所以且 SO⊥AB，
所以平面， ………4分
建立如图所示空间直角坐标系,则,
（2）为平面的一个法向量.
由（1）得：，.
设为平面的一个法向量，则
取，则
所以
由图可知：二面角是锐角二面角，
所以二面角的余弦值为. …………10分
（3）由（1）（2）可得：，为平面的一个法向量.
所以，点到平面的距离
…………12分
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，平面，，， ，， 为的中点.
（Ⅰ）求CE与DB所成角的余弦值；
（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；
（Ⅰ）解：由平面，，可得，，两两垂直，所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，…………1分
则，，，，.
CE=(-1,1,-1) DB=(-1,0,2) cos<CE,DB>=, cosθ= ………4分
（Ⅱ），，，.
设平面的一个法向量为，
由，，得
令，得. …………………7分
设，其中，
则，
记直线与平面所成角为，
则，
解得（舍），或. ………………9分
所以，
故线段的长度为. …………………12分
21．（本小题满分12分）
设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.
（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；
（Ⅱ）当时，求的最小值.
（Ⅰ）解：由题意，得，则直线的方程为. …………………2分
由 消去，得. …………………3分
设点，，
则，且，， …………………4分
所以. …………………6分
（Ⅱ）解：因为是抛物线上的两点，所以设，，
由，得， …………………8分
所以，即.
则点的坐标为. …………………10分
所以， …………………11分
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为. …………………12分
22. 已知O为坐标原点，椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2，e,椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设T为直线x=-3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P,Q，且，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
⑴利用已知条件，算出，，再根据，求出，写出椭圆方程
⑵可得，设，直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，根据韦达定理，求出的表达式，利用基本不等式求出最小值
【详解】解：（1）
而又，得，
故椭圆的标准方程为 ……………4分
（2）由（1）知，∵，故，设，
∴，直线的斜率为，
当时，直线的方程为，也符合方程． …………6分
当时，直线的斜率为，直线的方程为；
设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得
消去，得：，，，…8分
………11分
当且仅当，即时，等号成立．
∴的最小值为．………12分
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆相交的问题，一元二次方程根与系数的关键，用基本不等式求最小值时，要注意等号成立的条件，本题考查了推理能力，有一定的计算量，属于难题。
