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优北师大版 小年级上册 数学知识点复习资料
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第一章 数的认识
第一节 数的认识
本节知识点总结：
1.自然数： 像 0,1,2,3,4,5,6 ······这样的数叫自然数。
2.整数： 像 -3,-2,-1,0,1,2,3 ······这样的数叫整数。
3.倍数和因数： 4x5=20 中， 4 和 5 是 20 的因数， 20 是 4 和 5
的倍数； 45x2=90 中， 45 和 2 是 90 的因数，
90 是 45 和 2 的倍数。
练习
1.根据算式说说那个是哪个的倍数，那个是哪个的因数：
25 x 3 = 75
14 x 6 = 84
20 x 5 = 100
2.下面哪些是 7 的倍数？
14 17 25 77
3.下面哪些是 8 的倍数？
18 24 56 38
4.写出 100 以内 7 的倍数。
5.写出 100 以内 9 的倍数。
第二节 2 和 5 的倍数特征
本节知识点总结 ：
2 的倍数的特征： 各位上是 0,2,4,6,8 的数是 2 的倍数
2 和 5 的倍数的特征： 个位上的数是 0 或 5 的数是 5 的倍数
5 的倍数特征： 个位上是 0 的数是既 5 的倍数 ,又是 2 的倍数个位上是
0、 2、 4、6、 8 的数，都能被 2 整除 个位上是 0、5 的数，都能被 5 整除
练习：
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1
1.下面哪些数能被 2 整除？哪些数能被 5 整除？
25 32 43 34 160 106 235 253
2.判断。（对的打 “√ ”，错的打 “×”）
（ 1）一个自然数不是奇数就是偶数。 （ ）
（ 2）偶数都比奇数大。 （ ）
（ 3）个位上是 2、4、6、8、0 的自然数都是偶数。（ ）
（ 4）一个数是 2 的倍数，那它一定是偶数。 （ ）
（ 5）奇数与奇数的和还是奇数。 （ ）
（ 6）能同时被 2、5 整除的数个位上的数字一定是 0。（ ）
3.填空：
（ 1）个位上是（ ）的数能被 2 整除，能被 2 整除的数叫做（ ），不能被 2
整除的数叫做（ ）。
（ 2） 20 以内的所有奇数的和是（ ）。
（ 3）三个连续奇数，中间一个是 a，其它两个数分别是（ ）和（ ）。
（ 4） 3 个连续的偶数的和是 60，这三个数分别是（ ）（ ）（ ）。
（ 5）用 2、3、5、6 这 4 个数字组成一个三位数，使它有约数 2，这样的数有哪 些？如果是 5 的倍数，这样的数又有哪些？
第三节 3 的倍数的特征
本节知识点：
3 的倍数 ： 它各个位数上数字相加之和一定是 3，6， 9， 12，15
练习：
等等，是 3 的倍数
1.下面的数，哪些是 3 的倍数？
29 45 51 67 84 96
2. 请在 3、5、1 和 2、 4、 6 以及 3、 5、 2 这三组数字中任选一组数字，按一定 的顺序组数，使组成的数不重复、不遗漏。 试算一下，组成的这些数是不是都是 3 的倍数？
(1)351、 315、 531、 513、135、153 都是 3 的倍数 （ 3＋5＋ 1＝9）
(2)246、264、426、 462、624、642 都是 3 的倍数 （ 2 + 4 + 6 =12）
(3)352、325、532、523、235、253 都不是 3 的倍数（ 2 + 3 + 5=10 ）
3．通过组数，你想到了什么？
4.不计算，你能很快说出哪几道题的结果有余数吗？
48÷ 3 57÷ 3 342÷ 3 567÷ 3 802÷ 3
5.在每个数的□里填上一个数字，使这个数是 3 的倍数
7□
20
□ □ 12
3
□5
7□
20
□ □ 12
3
□5
7□
20
□ □ 12
3
□5
“
2
6.把下表中 9 的倍数涂上颜色。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
9 的倍数都是 3 的倍数。
3 的倍数一定是 9 的倍数吗？
7.数字游戏一已知有 4 个数字（ 0，5 ，6,， 7）。
（ 1）从（0，5,6,7）中选出三个数字，组成一个是 3 的倍数的三位数。你一共可 以组成多少个这样的三位？
（ 2）所选的三张卡片上的数相加的和应具有什么特征？
（ 3）用选的三张卡片能组成几个 3 的倍数？
（ 4）组成的数既是 2 的倍数又是 5 的倍数；
（ 5）组成的数既是
（ 6）组成的数既是
2 的倍数，又是
3 的倍数，又是
3 的倍数；
5 的倍数；
（ 7）组成的数既是
2 的倍数，又是
3 的倍数，还是 5 的倍数。
第四节 奇数和偶数
本节知识点：
1.奇数： 不是 2 的倍数叫奇数
2.偶数： 是 2 的倍数叫偶数
偶数 + 偶数 =（偶数）； 奇数 + 偶数 =（奇数）； 奇数 + 奇数 =（偶数）
练习
1.把后面的数分成奇数和偶数 4,7,9,11,12,14,16,25,34,37,52,80,101
奇数： 偶数：
2.判断下列算式的结果是奇数还是偶数。
10389 + 2004:
46786+25787:
11387 + 131 :
6007 + 8997 :
268 + 1024 :
3 一本数学书放在课桌上，翻动 20 次后，书的哪一面朝上？为什么？
4.昨天老师也在这间教室里给其他班的同学上课， 灯本来是亮着的， 突然停电了， 我按了一下电灯的开关，这个班有 36 名学生，如果每人也都按了一下开关，猜 猜看，来电的时候 这盏灯是亮的还是不亮的？ 5.小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。小船上午 摆渡了 5 次，下午摆渡了 7 次，晚上又摆渡了 4 次。
（ 1）这时，船在南岸还是在北岸？
（ 2）有人说摆渡 100 次后，小船在北岸。（ ）
（ 3）摆渡 179 次,后小船在北岸。（ ）
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3
（ 4）摆渡 2008 次后小船在南岸。（ ）
第五节 质数和合数
本节知识点：
1.质数 ：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数的 数，这样的数叫质数
2.合数 ：一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数 叫做合数
3.方法 : 判断一个数是质数还是合数， 关键看它的因数数的个数， 不必把所有的约数找出来
4.注意 ：1 既不是质数，也不是合数
练习：
最小的合数是 4 最小的质数是 2
写出 100 以内所有的质数。
本题小结： 100 以内的自然数，把 2、3、5、7 的倍数去掉，剩下的就是质数（当然 2、
3、 5、7 本身是质数，所以不能去掉）这叫筛选法找质数
判断下面各数，哪些是质数？哪些是合数？
17 22 29 35 37 87 245 207 27185 10090032
质数： 合数：
3.在自然数 1~20 中：
（1） 奇数有（
）；偶数有（
）；
（2）质数有（
（3）自然数按能否被
）；合数有（
2 整除可分为 和 两类；
）
按因数的多少可分为 、 和 三类。
4. 判断正误：
（1）所有的奇数都是质数。 （ ）
（2）所有的偶数都是合数。 （ ）
（3）在自然数中，除了质数都是合数。 （ ）
（4）一个合数，至少有 3 个约数。（ ） 5.小明家的门牌号是：百位上是 10 以内的最大质数；十位上既不是质数 也不是合数；个位上既是质数，也是偶数。聪明的你能猜出小明家的门 牌号吗？
“
4
第二章 最小公倍数、最大公因数 第一节 最大公因数
本节知识点：
如果数 a 能被数 b（ b 不能为 0）整除， a 就叫做 b 的
（倍数），b 就叫做 a 的（因数）
2.公因数 ：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数
3.最大公因数： 其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数
4.公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 求最大公因数的方法总结：
A．列举法： 1.先找各个数的因数。
2.找出两个数公有的因数。
3.确定最大公因数。
B. 用倍数关系找： 如果两个数是倍数关系时 ,较小数是这两个数的最 大公因数。
C. 用互质数找： 两个不相等的质数 ,最大的公因数是 1。
D. 用相邻两个自然数找： 相邻两个自然数 (0 除外 )的最大公因数是 1。
例题解析：
例题： 8 和 12 各有哪些因数？它们公有的因数有哪几个？其中最大的因数是 几？
步骤： A、分别列出 8 和 12 的因数
8 的因数有： 1， 2， 4， 8
12 的因数有： 1，2，3，4，6，12
B、 找出 8 和 12 公有的因数： 1，2，4
C 、找出 8 和 12 的最大公因数： 4
例题： 5 和 7 的公因数和最大公因数各是几？ 7 和 9 呢？
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5
5
的因数有： 1、5
7
的因数有： 1、7
7
的因数有： 1、7
9
的因数有： 1、3、9
5
和 7 的公因数有：
1
7 和 9 的公因数有： 1
讨论：上面两组数的公因数有什么特点？
小结 1：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。
5 和 7 是互质数； 7 和 9 也是互质数。
思考： 8 和 9； 15 和 16； 20 和 21 也是互素数吗？根据这一点，你可以得到什 么结论？
例题： 找 5 和 7 的最大公因数。
5 的因数： 1、5 ； 7 的因数： 1、7
5 和 7 的最大公因数是 1.
小结 2： 两个不相等的质数 ,最大的公因数是 1。 思考： 找 2 和 3，11 和 19，3 和 7 的最大公因数。 例题： 找 8 和 9 的最大公因数
8 的因数有 : 1, 2, 4 ； 9 的因数有 : 1, 3 ,9 ；
8 和 9 的公因数只有 1
8 和 9 的最大公因数是 1
小结 3：相邻两个自然数 (0 除外 )的最大公因数是 1 思考： 找 11 和 16，5 和 6，1 和 2 的最大公因数。 练习：
1.填空： 12 的因数是 ( )； 18 的因数是 ( )；
12 和 18 的公因数是 ( )；
12 和 18 的最大公因数是 ( )
2．请找出下面各组数的最大公因数：
5 和 7
8 和 9
1 和 12
9 和 15
7 和 9
16 和 20
3．快速回答：
24 的因数是 ( )；
36 的因数是 ( )；
54 的因数是 ( )；
24， 36 和 54 的公因数是 ( )；
24， 36 和 54 的最大公因数是 ( )
4、找规律：
（1）3 和 5 的最大公因数是 ；
（2）18 和 36 的最大公因数是 ；
（3）6 和 7 的最大公因数是 ；
（4）8 和 16 的最大公因数是 。 你发现了什么规律了吗？
5．48 名学生排队， 要求每行的人数相同， 可以排成几行？有几种排法？如果有
37 名学生呢？
第二节 最小公倍数
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6
本节知识点：
1.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍其中最小的
解法二：短除法
2
一个，叫做这几个数的最小公倍数。
18 30 ···用公有的质因数 2 除；
3 9 15
3 5
···用公有的质因数 3 除；
···除到两个商是互质数为
所以 18 和 30 的最小公倍数是： 2×3× 3×5 = 90
求最小公倍数方法总结：
1. 求两个数的最小公倍数，先用这两个数共有的质数连续去除（一般从最小开 始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连 乘起来
2. 如果较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的
最小公倍数
例如： 9 和 27 的最小公倍就是 27 ；
27 和 54 的最小公倍数就是 54
3.如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 例如： 9 和 5 的最小公倍数就是 45 ；
27 和 8 的最大公约数也是 216
练习：
（ 1）人民公园是 1 路和 6 路汽车的起点站。 1 路汽车每 3 分钟发车一次， 6 路汽 车每 5 分钟发车一 次。这两路汽车同时发车以后， 至少再过多久又同时发 车？
（ 2）有一包糖果，不论是分给 8 个人，还是分给 10 个人，都正好剩 3 块，这包 糖至少有多少块？
（ 3）既能被 6 整除，又能被 9 整除的数，最小是多少？
（ 4）既能整除 30，又能整除 45 的数，最大是多少？
（ 5）一个数用 3、8、10 去除，都能整除，这个数最小是多少？
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7
（ 6）有两根木棒，分别长 12 厘米、 20 厘米，要把它们截成同样长的小段，不 能有剩余，每根最长多少厘米？
判断正误
（ 1）两个数的最小公倍数一定能被这两个数整除。
（
）
（ 2）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。
（
）
（ 3）两个数的积一定是这两个数的公倍数。
（
）
第三节 最大公因数和
最小公倍数比较
本节知识点：
求两个数的
最大公约数
求两个数的
最小公倍数
相同点 用短除的形式分解质因 同左
数，直到两个商是互质 数为止。
不同点 把所有的除数
乘起来。（左边数相乘）
把所有的除数和商
乘起来（一圈数相 乘）
求两个数的最大公约数和最小公倍数的区别：
1，两个数的最大公约数是它们的公约数中最大的，它必须包含两个 数全部公有的质因数。 所有除数正好是两个数全部公有的质因数， 所 以，最大公约数就要把所有除数乘起来； 2，最小公倍数既要包含两个数全部公有的质因数，又要包含各自独 有的质因数。 两个数的商分别是它们独有的质因数。 所以求两个数的 最小公倍数要把所有的除数和商乘起来
练习：
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8
1.很快说出下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
3 和 5 4 和 6 10 和 16 8 和 7 6 和 10
2.算出下列各组数的最大公因数和最下公倍数。
3 和 7 4 和 8 11 和 12 15 和 25 18 和 24
第三章 图形的周长和面积
本节知识点：
第一节 图形的面积
1.平行四边形的面积公式是由长方形转化而来的，长方形面积为：长
x 宽。如下图
高
宽
长 底
S 平行四边形 =底 x 高 =axh 周长 =2（长 +宽） C=2(a+b)
底= 面积 ÷高 = 高 =面积 ÷底
2.三角形的面积是由平行四边形推导而来
S 三角形 = 底 x 高÷ 2= 底 x 高 )= 1/2a*h
底=面积 x2 ÷高 高 =面积 x2 ÷底
（ 1 任意两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
（ 2）每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。 这个平行四边形的底等于三角形的底 这个平行四边形的高等于三角形的高。
（ 3）直角三角形面积等于两条直角边长度相乘除以 2
S=a*b÷ 2
(4) 正三角形三条边长度相等
“
9
3.梯形的面积也是由平行四边形变形而来
上底
高 高
底 下底
（ 1）平行四边的底 = 梯形的上底 + 下底
（ 2）平行四边形的高 = 梯形的高
（ 3）S平行四边形 = 底 x 高 =（上底 +下底） x 高 因为两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形， 所以一个梯 形的面积等于平行四边形的面积除以 2
（ 4）S 梯形 =（上底＋下底）×高÷ 2
（ 5）高 = 面积 x2 ÷（上底＋下底）
（ 6）（上底＋下底） = 面积 x2 ÷高
练习：
1．判断题：
（ 1）三角形面积是平行四边形面积的一半。 （ ）
（ 2）两个钝角三角形可以拼成一个平行四边形。 （ ）
（ 3） 两个等底等高的三角形，形状不一定相等，但面积都相等（ ）
(4) 平行四边形的面积是梯形面积的 2 倍。（ ）
(5) 两个梯形一定可以拼成一个平行四边形。 （ ）
(6) 等底等高的两个梯形一定可以拼成一个平行四边形。 （ ）
(7) 面积相等的两个梯形一定是等底等高。 （ ）
2．判断题：
（ 1） 一个梯形的面积是 20 平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是
（ ）平方米。
A. 10 B. 20 C. 40
（ 2） 两个等底等高的梯形和平行四边形， 如果平行四边形的面积是 10 平方米， 梯形的面积是（ ）平方米。
A. 5 B. 10 C.20
3．应用题：
（ 1）一个鱼塘的形状是梯形，它的上底长 21 米，下底长 45 米，面积是 759 平 方米。它的高是多少？
“
本节知识点 ：
10
第四章 分数 第一节 分数的认识
1.真分数：分子小于分母的分数。
2.假分数 ：分子大于或等于分母的分数。
3.带分数 ：写成整数和真分数合成的数，写成整数 部分 + 真分数部 分
把假分数化成整数或带分数的方法： 用分子除以分母，整除的，商就是所得的结果；
不能整除的， 商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的 分子，分母不变
本节知识点：
第二节 分数大小的比较
1.分母相同的分数，分子大的分数大
2.分母不相同分数，可以先通分，再比较大小
3.分子相同的分数，分母大的分数小，分母小的分数就大
4.通分 ：把分母不同的分数化成和原来分数相等，并且分 相同的分数，这个过程叫做通分。
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11
5.方法 ：通分时，一般先求出原来几个分母的最小公倍数，根据分数 的基本性质，把各分数分别化成用最小公倍数作分母的分数
第三节 约分
1. 约分 ：把一个分数化成同它相等 ,但分子、分母都比较小的分数叫 做约分，
2. 最简分数 ：分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最 简分数。
3. 约分时用 2，3，5，7，9 ，11，13，这样的质数来来约逐个实验， 直到最简。
4. 当分子 ( 小于 )分母时，分数的值小于 1 当分子 ( 等于 )分母时，分数的值等于 1 当分子 ( 大于 )分母时，分数的值大于 1 当分子 ( 整除 )分母时，分数能化成整数 当分子 ( 大于或等于 )分母时，是假分数
5.分数与除法的关系：
联系 区别
分数
分子
分数
线
分母
是一种数， 也可看作两个
数相除
除法
被除
数
除号
除数
是一种运算
“
12
被除数 分子
被除数÷除数＝ = （除数 ）
除数 分母
7÷ 13= = 8 ÷ 5 9 ÷ 9= =1=2 ÷ 2=
练习：
1、判断。（并说明理由）
（ 1）分数的分子、分母都乘以或除以相同的数，分数的大小不变。
（ 2）把的分子缩小 5 倍，分母也同时缩小 5 倍，分数的大小不变。
（ 3）分数的分子乘以 3，分母除以 3，分数的大小不变。
本节知识点：
第五章 应用题
一 相遇问题
路程 =速度 x 时间
速度 =路程÷时间 时间 =路程÷速度
解题方法：
1. 知道甲乙各自的速度和总的路程求相遇的时间， 解：设相遇时间为Ｘ
甲 xＸ+乙 xＸ=总路程
Ｘ =总路程÷（速度甲 +速度乙）
“
13
2. 知道总路程和相遇时间以及其中一个的速度，求另一个的速度比 如知道甲的速度，求速度乙
解： 速度乙 =总路程÷相遇时间 —速度甲
3. 知道速度甲和速度乙以及相遇时间，求总路程 解： 总路程 =（速度甲 +速度乙） x 相遇时间
例题 ：
挖一条长 165 米的隧道，由甲、乙两个工程队从两端同时施工。甲队每天向前 6
米，乙队每天向前挖 5 米，挖通这条隧道需要多少天？ 解：设挖通这条隧道需要Ｘ天，那么，甲队挖 6Ｘ米，乙队挖 5Ｘ米。
6Ｘ＋ 5Ｘ＝ 165
11Ｘ＝ 165
Ｘ＝ 165÷11
Ｘ＝ 15
答：挖通这条隧道需要 15 天 。
1. 解方程：
x+4x=20 6m-3m=27 2y+4y=15
9x-4x=6.5 8n-n=14 2y+y=105
2. 甲乙二人合作生产一批零件，甲每天生产 70 个零件，乙每天生产 80 个。 5
天之后完成，这些零件共有多少个？
本节知识点：
二 旅游费用问题
1. 租车租船问题 ：此类问题一般都有三种方案， 全租大，全租小，
混租 ，进行比较，一般说来两种一起租的价格要便宜。
2. 买票团体优惠问题 ：此类问题要看具体人数， 看大人多还是小孩 多，分别算出 A 方案和 B 方案的费用， 进行比较。 一般来说大人
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14
多买团体票划算，小孩多分开买便宜。
例题：长城旅行社推出 A、B 两种优惠方案：
A：景区一日游大人每位 160 元，小孩每位 40 元；
B：景区一日游团体 5 人以上（含 5 人）每位 100 元，
方案
项目
人数
方案
A
钱数
方案 B
钱数
大人
4
640
400
小孩
1
40
100
合计
5
680
500
妈、阿姨、 弟弟、姐
（ 1）笑笑打算和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一起去游玩怎样买票省钱？
答： B 方案省钱
（ 2） 淘气打算和妈
方案
项目 大人
方案
人数
A
钱数
方案 B
钱数
小孩
合计
姐、妹妹一起去游玩，怎样买票省钱？将结果填入表格内
（ 3）京华旅行社 推出 A、 B 两种优
惠方案。有 10 位家长带 5 名孩子，怎样买票省钱？
A 方案：团体 5 人以上（含 5 人）每位 300 元；
B 方案：成人每位 400 元小孩每位 200 元。
（ 4）海底捞火锅城开业酬宾，特推出两种优惠套餐： 套餐 1：成人每位 30 元小孩每位 15 元；
套餐 2：团体 5 人以上（含 5 人）每位 25 元。
李明和爸爸、妈妈、叔叔、阿姨及表哥、表姐、表妹一家去吃饭，选择哪 种方案比较划算？
本节知识点：
三 溶液浓度问题
浓度： 溶质占溶液的比重
溶液的质量 =溶质质量 +水的质量 浓度 =溶质的质量÷溶液的质量
例题： 已知一杯盐水中盐的重量 是 20 克，水的重量是是 60 克，这杯盐水的浓
度是多少？
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解：浓度 =20÷（ 20+40） = =
1 .把 40 克糖溶解在 400 克水中化成糖水，糖的重量是水德几分之几？糖占糖水 的几分之几 ?
2 .一碗糖水中糖的重量是 30 克，水的重量是 60 克，求这碗糖水的浓度是多少 ?
本节知识点：
四 铺地砖问题
1.已知房间的长和宽， 以及长方形地砖的长和宽或正 方形
地砖的边长，求所需地砖的数量或花费的钱数 解法 ：
（ 1）先算出室内的面积大小
（ 2）再算出一块地砖的面积大小
（ 3）用总面积除以一块地砖的面积，就可以求出所需的地砖数量
（ 4）用块数乘以每一块的价格就是总钱数。
例题 ：
一间长方形的地面长石 16 米，宽是 12 米，要用长是 45 宽是 30 厘米的瓷
砖来贴满，每块瓷砖的价格是 1.5 元，贴满这间地面至少块瓷砖？至少需 要多少元钱？
解：（ 1）房间的面积为： 16x12=192（平方米） =19200(平方厘米 )
（ 2）地砖的面积为： 45x30=135平方厘米
（ 3）所需块数为： 19200÷135=142.2 块 143 块
（ 4）所需费用为 : 143x1.5=214.5元 练习：
1.李明家的客厅长 800 厘米，宽 500 厘米他爸打算再客厅地面铺上瓷砖，已看中 了 2 种地砖 A 型： 22 元/ 块， 50x50 厘米， B 型 25 元/ 块， 60x60 厘米。
（ 1）如果用 A 型，需多少块？多少元？
（ 2）如果用 B 型，需多少块？多少元？
（ 3）选用哪种最省钱？
“
本节知识点：
16
五 鸡兔同笼问题
此类问题要用一元一次方程来解， 设其中的一个量为 x 另一个量用含
X 的式子来表示，然后根据题意列出方程来解答。 例题 ：
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大约在 1500 年前，《 孙子算经 》 中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的： “今有雉兔同笼，上 有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”这四句话的意思是：有
若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数，有
94 只脚。问笼中各有几只鸡和兔？
解： 一元一次方程法
设兔有 x 只，则鸡有 (35-x) 只。
4x+2(35-x)=94
解得 x=12 35-12=23
答：兔子有 12 只，小鸡有 23 只
练习：
1．班主任张老师带五年级（ 7）班 50 名同学栽树，张老师栽 5 棵，男生每人
栽 3 棵，女生每人栽 2 棵，总共栽树 120 棵，问几名男生，几名女生？
2．大油瓶一瓶装 4 千克，小油瓶 2 瓶装 1 千克，现有 100 千克油装了共
60 个瓶子。问大小油瓶各多少个？
3. 一份稿件， 甲单独打字需 6 小时完成 .乙单独打字需 10 小时完成 ,现在甲单独 打若干小时后，因有事由乙接着打完 ,共用了 7 小时。甲打字用了多少小时？
4．今年是 1998 年,父母年龄 (整数 )和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁。四年后 (2002
年)父的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是
兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？
5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 ,蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这
三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀 .每种小虫各几只？
六 常用必备数学公式
周长公式
1、长方形的周长 =（长+宽） × 2 C=(a+b) × 2
“
17
2、正方形的周长
3、长方形的面积
=边长× 4
=长×宽
C=4a
S=ab
4、正方形的面积
=边长 ×边长
S=a.a
5、三角形的面积
=底×高÷ 2
S=ah÷ 2
6、平行四边形的面积 =底 ×高 S=ah
7、梯形的面积 =（上底 +下底） ×高÷ 2 S=（ a＋ b） h÷ 2
长度单位换算
1 米=10 分米 ； 1 分米 =10 厘米； 1 米=100 厘米 ；
1 厘米 =10 毫米 ； 1 公里 =1 千米=1000 米；
面积单位换算
1 平方千米 =100 公顷 ；
1 公顷 =10000 平方米 ；
1 平方米 =100 平方分米
；
1 平方分米 =100 平方厘米
；
1 平方厘米 =100 平方毫米
重量单位换算
1 吨=1000 千克 ； 1 千克 =1000 克； 1 千克 =1 公斤 =2 市斤
人民币单位换算
1 元=10 角 ； 1 角=10 分 ； 1 元=100 分
时间单位换算
1 世纪=100 年 ； 1 年=12 月 大月(31 天)的有 :1\3\5\7\8\10\12 月 小月(30 天)的有 :4\6\9\11 月
注意：平年 2 月 28 天,闰年 2 月 29 天
平年全年 365 天,闰年全年 366 天
1 日=24 小时 ； 1 时=60 分 ； 1 分=60 秒 ； 1 时=3600 秒
单位换算
（1）1 公里＝ 1 千米 ； 1 千米＝ 1000 米
1 米＝ 10 分米 ； 1 分米＝ 10 厘米 ； 1 厘米＝ 10 毫米
（2）1 平方米＝ 100 平方分米 ； 1 平方分米＝ 100 平方厘米 ；
1 平方厘米＝ 100 平方毫米
“
18
（3） 1 立方米＝ 1000 立方分米 ； 1 立方分米＝ 1000 立方厘米 ；
1 立方厘米＝ 1000 立方毫米
（4）1 吨＝ 1000 千克 ； 1 千克 =1000 克=1 公斤 =2 市斤
（5）1 公顷＝ 10000 平方米 ； 1 亩＝ 666.666 平方米
（6）1 升＝ 1 立方分米＝ 1000 毫升 ； 1 毫升＝ 1 立方厘米
数量关系计算公式方面
（1） 单价 ×数量＝总价
（2） 单产量 ×数量＝总产量
（3） 速度 ×时间＝路程 ； 工效 ×时间＝工作总量
（4） 加数 +加数＝和 ； 一个加数＝和＋另一个加数
（5） 被减数－减数＝差 ； 减数＝被减数－差 ； 被减数＝减数＋差
（6） 因数 ×因数＝积 ； 一个因数＝积 ÷另一个因数
（7） 被除数 ÷除数＝商 ；除数＝被除数 ÷商 ；被除数＝商 ×除数
七 算术
（1）加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
（2）加法结合律： a + b = b + a
（3）乘法交换律： a ×b = b a×
（4）乘法结合律： a ×b ×c = a (b××c)
（ 5）乘法分配律： a ×b + a
c×= a
(×b + c )
八 除法的性质
（ 1） 除 法 的 性 质 ： 在 除 法 里 ， 被 除 数 和 除 数 同 时 扩 大 （ 或 缩 小 ） 相 同的倍数， 商不变。 O 除以任何不是 O 的 数都得 O 简便乘法：被乘 数、乘数末尾有 O 的乘法，可以先把 O 前面的相乘，零不参加运算，有 几个零都落下，添在积的末尾。
（ 2） 有余数的除法： 被除数＝商×除数 +余数
（ 3）方程、 代数与等式 ：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等
式。
（ 4）等式的基本性质： 等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式成立。
（ 5） a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c)
第一章 数的认识
第一节 数的认识
本节知识点总结：
1.自然数： 像 0,1,2,3,4,5,6 ······这样的数叫自然数。
2.整数： 像 -3,-2,-1,0,1,2,3 ······这样的数叫整数。
3.倍数和因数： 4x5=20 中， 4 和 5 是 20 的因数， 20 是 4 和 5
的倍数； 45x2=90 中， 45 和 2 是 90 的因数，
90 是 45 和 2 的倍数。
练习
1.根据算式说说那个是哪个的倍数，那个是哪个的因数：
25 x 3 = 75
14 x 6 = 84
20 x 5 = 100
2.下面哪些是 7 的倍数？
14 17 25 77
3.下面哪些是 8 的倍数？
18 24 56 38
4.写出 100 以内 7 的倍数。
5.写出 100 以内 9 的倍数。
第二节 2 和 5 的倍数特征
本节知识点总结 ：
2 的倍数的特征： 各位上是 0,2,4,6,8 的数是 2 的倍数
2 和 5 的倍数的特征： 个位上的数是 0 或 5 的数是 5 的倍数
5 的倍数特征： 个位上是 0 的数是既 5 的倍数 ,又是 2 的倍数个位上是
0、 2、 4、6、 8 的数，都能被 2 整除 个位上是 0、5 的数，都能被 5 整除
练习：
“
1
1.下面哪些数能被 2 整除？哪些数能被 5 整除？
25 32 43 34 160 106 235 253
2.判断。（对的打 “√ ”，错的打 “×”）
（ 1）一个自然数不是奇数就是偶数。 （ ）
（ 2）偶数都比奇数大。 （ ）
（ 3）个位上是 2、4、6、8、0 的自然数都是偶数。（ ）
（ 4）一个数是 2 的倍数，那它一定是偶数。 （ ）
（ 5）奇数与奇数的和还是奇数。 （ ）
（ 6）能同时被 2、5 整除的数个位上的数字一定是 0。（ ）
3.填空：
（ 1）个位上是（ ）的数能被 2 整除，能被 2 整除的数叫做（ ），不能被 2
整除的数叫做（ ）。
（ 2） 20 以内的所有奇数的和是（ ）。
（ 3）三个连续奇数，中间一个是 a，其它两个数分别是（ ）和（ ）。
（ 4） 3 个连续的偶数的和是 60，这三个数分别是（ ）（ ）（ ）。
（ 5）用 2、3、5、6 这 4 个数字组成一个三位数，使它有约数 2，这样的数有哪 些？如果是 5 的倍数，这样的数又有哪些？
第三节 3 的倍数的特征
本节知识点：
3 的倍数 ： 它各个位数上数字相加之和一定是 3，6， 9， 12，15
练习：
等等，是 3 的倍数
1.下面的数，哪些是 3 的倍数？
29 45 51 67 84 96
2. 请在 3、5、1 和 2、 4、 6 以及 3、 5、 2 这三组数字中任选一组数字，按一定 的顺序组数，使组成的数不重复、不遗漏。 试算一下，组成的这些数是不是都是 3 的倍数？
(1)351、 315、 531、 513、135、153 都是 3 的倍数 （ 3＋5＋ 1＝9）
(2)246、264、426、 462、624、642 都是 3 的倍数 （ 2 + 4 + 6 =12）
(3)352、325、532、523、235、253 都不是 3 的倍数（ 2 + 3 + 5=10 ）
3．通过组数，你想到了什么？
4.不计算，你能很快说出哪几道题的结果有余数吗？
48÷ 3 57÷ 3 342÷ 3 567÷ 3 802÷ 3
5.在每个数的□里填上一个数字，使这个数是 3 的倍数
7□
20
□ □ 12
3
□5
7□
20
□ □ 12
3
□5
7□
20
□ □ 12
3
□5
“
2
6.把下表中 9 的倍数涂上颜色。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
9 的倍数都是 3 的倍数。
3 的倍数一定是 9 的倍数吗？
7.数字游戏一已知有 4 个数字（ 0，5 ，6,， 7）。
（ 1）从（0，5,6,7）中选出三个数字，组成一个是 3 的倍数的三位数。你一共可 以组成多少个这样的三位？
（ 2）所选的三张卡片上的数相加的和应具有什么特征？
（ 3）用选的三张卡片能组成几个 3 的倍数？
（ 4）组成的数既是 2 的倍数又是 5 的倍数；
（ 5）组成的数既是
（ 6）组成的数既是
2 的倍数，又是
3 的倍数，又是
3 的倍数；
5 的倍数；
（ 7）组成的数既是
2 的倍数，又是
3 的倍数，还是 5 的倍数。
第四节 奇数和偶数
本节知识点：
1.奇数： 不是 2 的倍数叫奇数
2.偶数： 是 2 的倍数叫偶数
偶数 + 偶数 =（偶数）； 奇数 + 偶数 =（奇数）； 奇数 + 奇数 =（偶数）
练习
1.把后面的数分成奇数和偶数 4,7,9,11,12,14,16,25,34,37,52,80,101
奇数： 偶数：
2.判断下列算式的结果是奇数还是偶数。
10389 + 2004:
46786+25787:
11387 + 131 :
6007 + 8997 :
268 + 1024 :
3 一本数学书放在课桌上，翻动 20 次后，书的哪一面朝上？为什么？
4.昨天老师也在这间教室里给其他班的同学上课， 灯本来是亮着的， 突然停电了， 我按了一下电灯的开关，这个班有 36 名学生，如果每人也都按了一下开关，猜 猜看，来电的时候 这盏灯是亮的还是不亮的？ 5.小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。小船上午 摆渡了 5 次，下午摆渡了 7 次，晚上又摆渡了 4 次。
（ 1）这时，船在南岸还是在北岸？
（ 2）有人说摆渡 100 次后，小船在北岸。（ ）
（ 3）摆渡 179 次,后小船在北岸。（ ）
“
3
（ 4）摆渡 2008 次后小船在南岸。（ ）
第五节 质数和合数
本节知识点：
1.质数 ：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数的 数，这样的数叫质数
2.合数 ：一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数 叫做合数
3.方法 : 判断一个数是质数还是合数， 关键看它的因数数的个数， 不必把所有的约数找出来
4.注意 ：1 既不是质数，也不是合数
练习：
最小的合数是 4 最小的质数是 2
写出 100 以内所有的质数。
本题小结： 100 以内的自然数，把 2、3、5、7 的倍数去掉，剩下的就是质数（当然 2、
3、 5、7 本身是质数，所以不能去掉）这叫筛选法找质数
判断下面各数，哪些是质数？哪些是合数？
17 22 29 35 37 87 245 207 27185 10090032
质数： 合数：
3.在自然数 1~20 中：
（1） 奇数有（
）；偶数有（
）；
（2）质数有（
（3）自然数按能否被
）；合数有（
2 整除可分为 和 两类；
）
按因数的多少可分为 、 和 三类。
4. 判断正误：
（1）所有的奇数都是质数。 （ ）
（2）所有的偶数都是合数。 （ ）
（3）在自然数中，除了质数都是合数。 （ ）
（4）一个合数，至少有 3 个约数。（ ） 5.小明家的门牌号是：百位上是 10 以内的最大质数；十位上既不是质数 也不是合数；个位上既是质数，也是偶数。聪明的你能猜出小明家的门 牌号吗？
“
4
第二章 最小公倍数、最大公因数 第一节 最大公因数
本节知识点：
如果数 a 能被数 b（ b 不能为 0）整除， a 就叫做 b 的
（倍数），b 就叫做 a 的（因数）
2.公因数 ：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数
3.最大公因数： 其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数
4.公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 求最大公因数的方法总结：
A．列举法： 1.先找各个数的因数。
2.找出两个数公有的因数。
3.确定最大公因数。
B. 用倍数关系找： 如果两个数是倍数关系时 ,较小数是这两个数的最 大公因数。
C. 用互质数找： 两个不相等的质数 ,最大的公因数是 1。
D. 用相邻两个自然数找： 相邻两个自然数 (0 除外 )的最大公因数是 1。
例题解析：
例题： 8 和 12 各有哪些因数？它们公有的因数有哪几个？其中最大的因数是 几？
步骤： A、分别列出 8 和 12 的因数
8 的因数有： 1， 2， 4， 8
12 的因数有： 1，2，3，4，6，12
B、 找出 8 和 12 公有的因数： 1，2，4
C 、找出 8 和 12 的最大公因数： 4
例题： 5 和 7 的公因数和最大公因数各是几？ 7 和 9 呢？
“
5
5
的因数有： 1、5
7
的因数有： 1、7
7
的因数有： 1、7
9
的因数有： 1、3、9
5
和 7 的公因数有：
1
7 和 9 的公因数有： 1
讨论：上面两组数的公因数有什么特点？
小结 1：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。
5 和 7 是互质数； 7 和 9 也是互质数。
思考： 8 和 9； 15 和 16； 20 和 21 也是互素数吗？根据这一点，你可以得到什 么结论？
例题： 找 5 和 7 的最大公因数。
5 的因数： 1、5 ； 7 的因数： 1、7
5 和 7 的最大公因数是 1.
小结 2： 两个不相等的质数 ,最大的公因数是 1。 思考： 找 2 和 3，11 和 19，3 和 7 的最大公因数。 例题： 找 8 和 9 的最大公因数
8 的因数有 : 1, 2, 4 ； 9 的因数有 : 1, 3 ,9 ；
8 和 9 的公因数只有 1
8 和 9 的最大公因数是 1
小结 3：相邻两个自然数 (0 除外 )的最大公因数是 1 思考： 找 11 和 16，5 和 6，1 和 2 的最大公因数。 练习：
1.填空： 12 的因数是 ( )； 18 的因数是 ( )；
12 和 18 的公因数是 ( )；
12 和 18 的最大公因数是 ( )
2．请找出下面各组数的最大公因数：
5 和 7
8 和 9
1 和 12
9 和 15
7 和 9
16 和 20
3．快速回答：
24 的因数是 ( )；
36 的因数是 ( )；
54 的因数是 ( )；
24， 36 和 54 的公因数是 ( )；
24， 36 和 54 的最大公因数是 ( )
4、找规律：
（1）3 和 5 的最大公因数是 ；
（2）18 和 36 的最大公因数是 ；
（3）6 和 7 的最大公因数是 ；
（4）8 和 16 的最大公因数是 。 你发现了什么规律了吗？
5．48 名学生排队， 要求每行的人数相同， 可以排成几行？有几种排法？如果有
37 名学生呢？
第二节 最小公倍数
“
6
本节知识点：
1.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍其中最小的
解法二：短除法
2
一个，叫做这几个数的最小公倍数。
18 30 ···用公有的质因数 2 除；
3 9 15
3 5
···用公有的质因数 3 除；
···除到两个商是互质数为
所以 18 和 30 的最小公倍数是： 2×3× 3×5 = 90
求最小公倍数方法总结：
1. 求两个数的最小公倍数，先用这两个数共有的质数连续去除（一般从最小开 始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连 乘起来
2. 如果较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的
最小公倍数
例如： 9 和 27 的最小公倍就是 27 ；
27 和 54 的最小公倍数就是 54
3.如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 例如： 9 和 5 的最小公倍数就是 45 ；
27 和 8 的最大公约数也是 216
练习：
（ 1）人民公园是 1 路和 6 路汽车的起点站。 1 路汽车每 3 分钟发车一次， 6 路汽 车每 5 分钟发车一 次。这两路汽车同时发车以后， 至少再过多久又同时发 车？
（ 2）有一包糖果，不论是分给 8 个人，还是分给 10 个人，都正好剩 3 块，这包 糖至少有多少块？
（ 3）既能被 6 整除，又能被 9 整除的数，最小是多少？
（ 4）既能整除 30，又能整除 45 的数，最大是多少？
（ 5）一个数用 3、8、10 去除，都能整除，这个数最小是多少？
“
7
（ 6）有两根木棒，分别长 12 厘米、 20 厘米，要把它们截成同样长的小段，不 能有剩余，每根最长多少厘米？
判断正误
（ 1）两个数的最小公倍数一定能被这两个数整除。
（
）
（ 2）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。
（
）
（ 3）两个数的积一定是这两个数的公倍数。
（
）
第三节 最大公因数和
最小公倍数比较
本节知识点：
求两个数的
最大公约数
求两个数的
最小公倍数
相同点 用短除的形式分解质因 同左
数，直到两个商是互质 数为止。
不同点 把所有的除数
乘起来。（左边数相乘）
把所有的除数和商
乘起来（一圈数相 乘）
求两个数的最大公约数和最小公倍数的区别：
1，两个数的最大公约数是它们的公约数中最大的，它必须包含两个 数全部公有的质因数。 所有除数正好是两个数全部公有的质因数， 所 以，最大公约数就要把所有除数乘起来； 2，最小公倍数既要包含两个数全部公有的质因数，又要包含各自独 有的质因数。 两个数的商分别是它们独有的质因数。 所以求两个数的 最小公倍数要把所有的除数和商乘起来
练习：
“
8
1.很快说出下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
3 和 5 4 和 6 10 和 16 8 和 7 6 和 10
2.算出下列各组数的最大公因数和最下公倍数。
3 和 7 4 和 8 11 和 12 15 和 25 18 和 24
第三章 图形的周长和面积
本节知识点：
第一节 图形的面积
1.平行四边形的面积公式是由长方形转化而来的，长方形面积为：长
x 宽。如下图
高
宽
长 底
S 平行四边形 =底 x 高 =axh 周长 =2（长 +宽） C=2(a+b)
底= 面积 ÷高 = 高 =面积 ÷底
2.三角形的面积是由平行四边形推导而来
S 三角形 = 底 x 高÷ 2= 底 x 高 )= 1/2a*h
底=面积 x2 ÷高 高 =面积 x2 ÷底
（ 1 任意两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
（ 2）每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。 这个平行四边形的底等于三角形的底 这个平行四边形的高等于三角形的高。
（ 3）直角三角形面积等于两条直角边长度相乘除以 2
S=a*b÷ 2
(4) 正三角形三条边长度相等
“
9
3.梯形的面积也是由平行四边形变形而来
上底
高 高
底 下底
（ 1）平行四边的底 = 梯形的上底 + 下底
（ 2）平行四边形的高 = 梯形的高
（ 3）S平行四边形 = 底 x 高 =（上底 +下底） x 高 因为两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形， 所以一个梯 形的面积等于平行四边形的面积除以 2
（ 4）S 梯形 =（上底＋下底）×高÷ 2
（ 5）高 = 面积 x2 ÷（上底＋下底）
（ 6）（上底＋下底） = 面积 x2 ÷高
练习：
1．判断题：
（ 1）三角形面积是平行四边形面积的一半。 （ ）
（ 2）两个钝角三角形可以拼成一个平行四边形。 （ ）
（ 3） 两个等底等高的三角形，形状不一定相等，但面积都相等（ ）
(4) 平行四边形的面积是梯形面积的 2 倍。（ ）
(5) 两个梯形一定可以拼成一个平行四边形。 （ ）
(6) 等底等高的两个梯形一定可以拼成一个平行四边形。 （ ）
(7) 面积相等的两个梯形一定是等底等高。 （ ）
2．判断题：
（ 1） 一个梯形的面积是 20 平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是
（ ）平方米。
A. 10 B. 20 C. 40
（ 2） 两个等底等高的梯形和平行四边形， 如果平行四边形的面积是 10 平方米， 梯形的面积是（ ）平方米。
A. 5 B. 10 C.20
3．应用题：
（ 1）一个鱼塘的形状是梯形，它的上底长 21 米，下底长 45 米，面积是 759 平 方米。它的高是多少？
“
本节知识点 ：
10
第四章 分数 第一节 分数的认识
1.真分数：分子小于分母的分数。
2.假分数 ：分子大于或等于分母的分数。
3.带分数 ：写成整数和真分数合成的数，写成整数 部分 + 真分数部 分
把假分数化成整数或带分数的方法： 用分子除以分母，整除的，商就是所得的结果；
不能整除的， 商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的 分子，分母不变
本节知识点：
第二节 分数大小的比较
1.分母相同的分数，分子大的分数大
2.分母不相同分数，可以先通分，再比较大小
3.分子相同的分数，分母大的分数小，分母小的分数就大
4.通分 ：把分母不同的分数化成和原来分数相等，并且分 相同的分数，这个过程叫做通分。
“
11
5.方法 ：通分时，一般先求出原来几个分母的最小公倍数，根据分数 的基本性质，把各分数分别化成用最小公倍数作分母的分数
第三节 约分
1. 约分 ：把一个分数化成同它相等 ,但分子、分母都比较小的分数叫 做约分，
2. 最简分数 ：分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最 简分数。
3. 约分时用 2，3，5，7，9 ，11，13，这样的质数来来约逐个实验， 直到最简。
4. 当分子 ( 小于 )分母时，分数的值小于 1 当分子 ( 等于 )分母时，分数的值等于 1 当分子 ( 大于 )分母时，分数的值大于 1 当分子 ( 整除 )分母时，分数能化成整数 当分子 ( 大于或等于 )分母时，是假分数
5.分数与除法的关系：
联系 区别
分数
分子
分数
线
分母
是一种数， 也可看作两个
数相除
除法
被除
数
除号
除数
是一种运算
“
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被除数 分子
被除数÷除数＝ = （除数 ）
除数 分母
7÷ 13= = 8 ÷ 5 9 ÷ 9= =1=2 ÷ 2=
练习：
1、判断。（并说明理由）
（ 1）分数的分子、分母都乘以或除以相同的数，分数的大小不变。
（ 2）把的分子缩小 5 倍，分母也同时缩小 5 倍，分数的大小不变。
（ 3）分数的分子乘以 3，分母除以 3，分数的大小不变。
本节知识点：
第五章 应用题
一 相遇问题
路程 =速度 x 时间
速度 =路程÷时间 时间 =路程÷速度
解题方法：
1. 知道甲乙各自的速度和总的路程求相遇的时间， 解：设相遇时间为Ｘ
甲 xＸ+乙 xＸ=总路程
Ｘ =总路程÷（速度甲 +速度乙）
“
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2. 知道总路程和相遇时间以及其中一个的速度，求另一个的速度比 如知道甲的速度，求速度乙
解： 速度乙 =总路程÷相遇时间 —速度甲
3. 知道速度甲和速度乙以及相遇时间，求总路程 解： 总路程 =（速度甲 +速度乙） x 相遇时间
例题 ：
挖一条长 165 米的隧道，由甲、乙两个工程队从两端同时施工。甲队每天向前 6
米，乙队每天向前挖 5 米，挖通这条隧道需要多少天？ 解：设挖通这条隧道需要Ｘ天，那么，甲队挖 6Ｘ米，乙队挖 5Ｘ米。
6Ｘ＋ 5Ｘ＝ 165
11Ｘ＝ 165
Ｘ＝ 165÷11
Ｘ＝ 15
答：挖通这条隧道需要 15 天 。
1. 解方程：
x+4x=20 6m-3m=27 2y+4y=15
9x-4x=6.5 8n-n=14 2y+y=105
2. 甲乙二人合作生产一批零件，甲每天生产 70 个零件，乙每天生产 80 个。 5
天之后完成，这些零件共有多少个？
本节知识点：
二 旅游费用问题
1. 租车租船问题 ：此类问题一般都有三种方案， 全租大，全租小，
混租 ，进行比较，一般说来两种一起租的价格要便宜。
2. 买票团体优惠问题 ：此类问题要看具体人数， 看大人多还是小孩 多，分别算出 A 方案和 B 方案的费用， 进行比较。 一般来说大人
“
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多买团体票划算，小孩多分开买便宜。
例题：长城旅行社推出 A、B 两种优惠方案：
A：景区一日游大人每位 160 元，小孩每位 40 元；
B：景区一日游团体 5 人以上（含 5 人）每位 100 元，
方案
项目
人数
方案
A
钱数
方案 B
钱数
大人
4
640
400
小孩
1
40
100
合计
5
680
500
妈、阿姨、 弟弟、姐
（ 1）笑笑打算和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一起去游玩怎样买票省钱？
答： B 方案省钱
（ 2） 淘气打算和妈
方案
项目 大人
方案
人数
A
钱数
方案 B
钱数
小孩
合计
姐、妹妹一起去游玩，怎样买票省钱？将结果填入表格内
（ 3）京华旅行社 推出 A、 B 两种优
惠方案。有 10 位家长带 5 名孩子，怎样买票省钱？
A 方案：团体 5 人以上（含 5 人）每位 300 元；
B 方案：成人每位 400 元小孩每位 200 元。
（ 4）海底捞火锅城开业酬宾，特推出两种优惠套餐： 套餐 1：成人每位 30 元小孩每位 15 元；
套餐 2：团体 5 人以上（含 5 人）每位 25 元。
李明和爸爸、妈妈、叔叔、阿姨及表哥、表姐、表妹一家去吃饭，选择哪 种方案比较划算？
本节知识点：
三 溶液浓度问题
浓度： 溶质占溶液的比重
溶液的质量 =溶质质量 +水的质量 浓度 =溶质的质量÷溶液的质量
例题： 已知一杯盐水中盐的重量 是 20 克，水的重量是是 60 克，这杯盐水的浓
度是多少？
“
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解：浓度 =20÷（ 20+40） = =
1 .把 40 克糖溶解在 400 克水中化成糖水，糖的重量是水德几分之几？糖占糖水 的几分之几 ?
2 .一碗糖水中糖的重量是 30 克，水的重量是 60 克，求这碗糖水的浓度是多少 ?
本节知识点：
四 铺地砖问题
1.已知房间的长和宽， 以及长方形地砖的长和宽或正 方形
地砖的边长，求所需地砖的数量或花费的钱数 解法 ：
（ 1）先算出室内的面积大小
（ 2）再算出一块地砖的面积大小
（ 3）用总面积除以一块地砖的面积，就可以求出所需的地砖数量
（ 4）用块数乘以每一块的价格就是总钱数。
例题 ：
一间长方形的地面长石 16 米，宽是 12 米，要用长是 45 宽是 30 厘米的瓷
砖来贴满，每块瓷砖的价格是 1.5 元，贴满这间地面至少块瓷砖？至少需 要多少元钱？
解：（ 1）房间的面积为： 16x12=192（平方米） =19200(平方厘米 )
（ 2）地砖的面积为： 45x30=135平方厘米
（ 3）所需块数为： 19200÷135=142.2 块 143 块
（ 4）所需费用为 : 143x1.5=214.5元 练习：
1.李明家的客厅长 800 厘米，宽 500 厘米他爸打算再客厅地面铺上瓷砖，已看中 了 2 种地砖 A 型： 22 元/ 块， 50x50 厘米， B 型 25 元/ 块， 60x60 厘米。
（ 1）如果用 A 型，需多少块？多少元？
（ 2）如果用 B 型，需多少块？多少元？
（ 3）选用哪种最省钱？
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本节知识点：
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五 鸡兔同笼问题
此类问题要用一元一次方程来解， 设其中的一个量为 x 另一个量用含
X 的式子来表示，然后根据题意列出方程来解答。 例题 ：
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大约在 1500 年前，《 孙子算经 》 中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的： “今有雉兔同笼，上 有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”这四句话的意思是：有
若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数，有
94 只脚。问笼中各有几只鸡和兔？
解： 一元一次方程法
设兔有 x 只，则鸡有 (35-x) 只。
4x+2(35-x)=94
解得 x=12 35-12=23
答：兔子有 12 只，小鸡有 23 只
练习：
1．班主任张老师带五年级（ 7）班 50 名同学栽树，张老师栽 5 棵，男生每人
栽 3 棵，女生每人栽 2 棵，总共栽树 120 棵，问几名男生，几名女生？
2．大油瓶一瓶装 4 千克，小油瓶 2 瓶装 1 千克，现有 100 千克油装了共
60 个瓶子。问大小油瓶各多少个？
3. 一份稿件， 甲单独打字需 6 小时完成 .乙单独打字需 10 小时完成 ,现在甲单独 打若干小时后，因有事由乙接着打完 ,共用了 7 小时。甲打字用了多少小时？
4．今年是 1998 年,父母年龄 (整数 )和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁。四年后 (2002
年)父的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是
兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？
5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 ,蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这
三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀 .每种小虫各几只？
六 常用必备数学公式
周长公式
1、长方形的周长 =（长+宽） × 2 C=(a+b) × 2
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2、正方形的周长
3、长方形的面积
=边长× 4
=长×宽
C=4a
S=ab
4、正方形的面积
=边长 ×边长
S=a.a
5、三角形的面积
=底×高÷ 2
S=ah÷ 2
6、平行四边形的面积 =底 ×高 S=ah
7、梯形的面积 =（上底 +下底） ×高÷ 2 S=（ a＋ b） h÷ 2
长度单位换算
1 米=10 分米 ； 1 分米 =10 厘米； 1 米=100 厘米 ；
1 厘米 =10 毫米 ； 1 公里 =1 千米=1000 米；
面积单位换算
1 平方千米 =100 公顷 ；
1 公顷 =10000 平方米 ；
1 平方米 =100 平方分米
；
1 平方分米 =100 平方厘米
；
1 平方厘米 =100 平方毫米
重量单位换算
1 吨=1000 千克 ； 1 千克 =1000 克； 1 千克 =1 公斤 =2 市斤
人民币单位换算
1 元=10 角 ； 1 角=10 分 ； 1 元=100 分
时间单位换算
1 世纪=100 年 ； 1 年=12 月 大月(31 天)的有 :1\3\5\7\8\10\12 月 小月(30 天)的有 :4\6\9\11 月
注意：平年 2 月 28 天,闰年 2 月 29 天
平年全年 365 天,闰年全年 366 天
1 日=24 小时 ； 1 时=60 分 ； 1 分=60 秒 ； 1 时=3600 秒
单位换算
（1）1 公里＝ 1 千米 ； 1 千米＝ 1000 米
1 米＝ 10 分米 ； 1 分米＝ 10 厘米 ； 1 厘米＝ 10 毫米
（2）1 平方米＝ 100 平方分米 ； 1 平方分米＝ 100 平方厘米 ；
1 平方厘米＝ 100 平方毫米
“
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（3） 1 立方米＝ 1000 立方分米 ； 1 立方分米＝ 1000 立方厘米 ；
1 立方厘米＝ 1000 立方毫米
（4）1 吨＝ 1000 千克 ； 1 千克 =1000 克=1 公斤 =2 市斤
（5）1 公顷＝ 10000 平方米 ； 1 亩＝ 666.666 平方米
（6）1 升＝ 1 立方分米＝ 1000 毫升 ； 1 毫升＝ 1 立方厘米
数量关系计算公式方面
（1） 单价 ×数量＝总价
（2） 单产量 ×数量＝总产量
（3） 速度 ×时间＝路程 ； 工效 ×时间＝工作总量
（4） 加数 +加数＝和 ； 一个加数＝和＋另一个加数
（5） 被减数－减数＝差 ； 减数＝被减数－差 ； 被减数＝减数＋差
（6） 因数 ×因数＝积 ； 一个因数＝积 ÷另一个因数
（7） 被除数 ÷除数＝商 ；除数＝被除数 ÷商 ；被除数＝商 ×除数
七 算术
（1）加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
（2）加法结合律： a + b = b + a
（3）乘法交换律： a ×b = b a×
（4）乘法结合律： a ×b ×c = a (b××c)
（ 5）乘法分配律： a ×b + a
c×= a
(×b + c )
八 除法的性质
（ 1） 除 法 的 性 质 ： 在 除 法 里 ， 被 除 数 和 除 数 同 时 扩 大 （ 或 缩 小 ） 相 同的倍数， 商不变。 O 除以任何不是 O 的 数都得 O 简便乘法：被乘 数、乘数末尾有 O 的乘法，可以先把 O 前面的相乘，零不参加运算，有 几个零都落下，添在积的末尾。
（ 2） 有余数的除法： 被除数＝商×除数 +余数
（ 3）方程、 代数与等式 ：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等
式。
（ 4）等式的基本性质： 等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式成立。
（ 5） a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c)
