2020年高考数学一轮复习教案：第8章 第2节　两条直线的位置关系(含解析)

第二节　两条直线的位置关系

[考纲传真]　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行：

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直：

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

3．三种距离公式

1．直线系方程

(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．

(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.

2．两直线平行或重合的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.

3．两直线垂直的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

5．与对称问题相关的两个结论

(1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)；

(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. (　　)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. (　　)

(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为. (　　)

(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.              (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为(　　)

A.　　　　　　　 B．2－

C.－1　　　　   D.＋1

C　[由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.]

3．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)

A．2　　　　B．－3   C．2或－3　　　D．－2或－3

C　[直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.]

4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．

2　[由题意知a·1－2(3－a)＝0，解得a＝2.]

5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．

 　[先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝

1．(2019·梅州月考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[当a＝1时，显然l1∥l2，

若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.

所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]

2．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．

1或0　[l1的斜率k1＝＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.]

【例1】　(1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________.

(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．

(1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)由得∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．

设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，

则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.

∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.

(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.

由题意知＝，

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，

∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，

直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，

∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]

(1)当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)

A．第一象限          B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2) 若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

(1)B　(2)C　[(1)由得又∵0<k<，∴x＝<0，y＝>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．

(2)因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.]

►考法1　点关于点的对称问题

【例2】　(2018·泉州模拟)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．

x＋4y－4＝0　[设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]

►考法2　点关于直线的对称问题

【例3】　如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．3         B．6   C．2   D．2

C　[直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.]

►考法3　直线关于直线的对称问题

【例4】　(2019·郑州模拟)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)

A．x－2y＋3＝0          B．x－2y－3＝0

C．x＋2y＋1＝0   D．x＋2y－1＝0

A　[设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，

由得

由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，

∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.]

[规律方法]　解决两类对称问题的关键,解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.

已知直线l：3x－y＋3＝0，求：

(1)点P(4,5)关于l的对称点；

(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；

(3)直线l关于(1,2)的对称直线．

[解]　(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.              ①

又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，

∴3×－＋3＝0.②

由①②得

把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，

∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．

(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，

得关于l对称的直线方程为－－2＝0，

化简得7x＋y＋22＝0.

(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，

关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，

∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．

l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，

∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.